Điều khiển bám vị trí cho cẩu trục có tính đến tính mềm của dây cẩu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-------------------------------

HÀ THỊ THU HUYỀN

ĐIỀU KHIỂN BÁM VỊ TRÍ CHO CẨU TRỤC
CÓ TÍNH ĐẾN TÍNH MỀM CỦA DÂY CẨU

LUẬN VĂN THẠC SĨ
ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

Hà Nội - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-------------------------------

HÀ THỊ THU HUYỀN

ĐIỀU KHIỂN BÁM VỊ TRÍ CHO CẨU TRỤC
CÓ TÍNH ĐẾN TÍNH MỀM CỦA DÂY CẨU

LUẬN VĂN THẠC SĨ
ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.NGUYỄN TÙNG LÂM

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, không sao chép
của ai. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác. Nội dung luận văn có tham khảo và sử dụng các tài
liệu ở danh mục tài liệu tham khảo.
Tác giả

Hà Thị Thu Huyền


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Tùng Lâm Giảng viên bộ môn Điều khiển &Tự động hóa - Viện Điện - Trường Đại học Bách
khoa Hà Nội, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện đề
tài này.
Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo Sau đại
học, Viện Điện, thư viện Tạ Quang Bửu cùng các giảng viên trường Đại học Bách
khoa Hà Nội đã hướng dẫn tôi trong khóa học và hoàn thành đề tài này.
Để có được ngày hôm nay, tôi không thể không nhắc đến những người thân
trong gia đình đã tạo một hậu phương vững chắc giúp tôi yên tâm hoàn thành công
việc và nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tôi xin gửi tới toàn thể bạn bè và đồng nghiệp lời biết ơn chân thành
về những tình cảm tốt đẹp cùng sự giúp đỡ quý báu mà mọi người đã dành cho tôi
trong suốt thời gian làm việc, học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài này.
Tác giả

Hà Thị Thu Huyền

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
mT Khối lượng của xe

L(t ) Độ dài của cáp mềm tại thời đểm t

 Khối lượng trên một đơn vị độ dài của cáp treo
m p Khối lượng của tải trọng
z (t ) Độ cao của một điểm p bất kỳ trên cáp tại thời điểm t

w  z (t ), t  Độ cong lệch ngang của cáp tại điểm p vào thời điểm t
x(t ) Chuyển động ngang của xe tại thời điểm t

w z  z (t ), t  Độ dốc của cáp so với phương thẳng đứng
Fx Lực tác dụng vào xe đẩy
FL Lực tác dụng vào tời để nâng và hạ tải

(t ) Vị trí thẳng đứng của tải trọng

rp Vector vị trí của điểm p tại thời điểm t
i , k Vector chuẩn của trục x và z

v p Tốc độ của điểm p
vmp Tốc độ của tải trọng

w  z (t ), t  Độ lệch ngang của cáp tại vị trí tải trọng
vmT Tốc độ của xe

K .E Động năng của hệ thống cầu trục

pp Thành phần trên chiều dài cáp treo

mC (t ) Khối lượng cáp treo tại thời điểm t

ds Thành phần chiều dài cáp treo

s(t ) Độ dài cáp treo tại điểm p vào thời điểm t

 K .E C

Động năng của cáp treo mềm


 KE mT

Động năng của xe

 KE mp

Động năng của tải trọng

P.E Thế năng của hệ cầu trục

 P.E C

Thế năng của hệ cầu trục do sự lệch ngang của cáp treo

 P.E Gmp

Thế năng của hệ cầu trục do lực trọng trường tác dụng lên tải

 P.E GC

Thế năng của hệ cầu trục do lực trọng trường tác dụng lên cáp treo

T Độ căng của cáp lúc ban đầu
g Gia tốc trọng trường

 Toán tử vi phân
 WL Công ảo được thực hiện bởi động cơ của tời nâng hoặc hạ tải
TL Momen của động cơ

 Vi phân góc quay
 Wx Công ảo làm do lực tác dụng vào xe

 W Công ảo do lực bên ngoài
 x Vi phân độ dich chuyển của xe

 s Vi phân chiều dài cáp treo tại điểm p bất kỳ
 L Vi phân tổng chiều dài cáp treo

 Vi phân sự thay đổi vị trí thẳng đứng của tải trọng
t1 và t2 Khoảng thời gian tùy ý
LC Thành phần Lagrange chuyển động cáp treo đối với hệ cầu trục

Lm Thành phần Lagrange chung của xe và tải trọng trong hệ thống cầu trục

W Kích thước w  z, t 

 Kích thước z
c Tỷ số T0 / 

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
DANH MỤC HÌNH
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH HÓA CẨU TRỤC DÂY TREO MỀM .........................2
1.1. Một số hệ thống cẩu trục ................................................................................3
1.1.1. Cẩu trục khung giàn .................................................................................3
1.1.2. Cẩu trục tháp .............................................................................................4
1.1.3. Cần trục cần ..............................................................................................4
1.2. Mô tả hệ thống cẩu trục .................................................................................5
1.3. Phân tích động học .........................................................................................6
1.4. Biểu thức năng lượng và công ảo ..................................................................7
1.4.1. Động năng (KE) của hệ thống..................................................................7
1.4.2. Thế năng của hệ thống .............................................................................8
1.4.3. Biểu thức công ảo ...................................................................................10
1.5. Các phương trình chuyển động ...................................................................12
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ........................................................................................20
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP GALERKIN CẢI TIẾN ...................................21
2.1. Phân tích không thứ nguyên (hệ tương đối)...............................................22
2.2. Xấp xỉ mô hình ..............................................................................................22
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ........................................................................................36
CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HỆ CẦU TRỤC DÂY
MỀM .........................................................................................................................37
3.1. Mô phỏng nghiệm số.....................................................................................37
3.2. Bộ điều khiển PD trong hệ thống điều khiển cẩu trục ..............................38
3.2.1. Hệ phương trình vi phân bậc nhất của mô hình cẩu trục ....................38

3.2.2. Sử dụng bộ điều khiển PD điều khiển hệ cẩu trục ................................38
3.3. Kết quả mô phỏng.........................................................................................39
3.3.1. Dây treo mềm có chiều dài cố định ........................................................39
3.3.2. Trường hợp dây treo có độ dài thay đổi .................................................51
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................................62
CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.........................................................63
4.1. Kết luận..........................................................................................................63
4.2. Kiến nghị........................................................................................................63
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................65
PHỤ LỤC A
PHỤ LỤC B
PHỤ LỤC C


DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1. Cẩu trục khung giàn ....................................................................................4
Hình 1.2. Cần trục tháp ...............................................................................................4
Hình 1.3. Cẩu trục cần.................................................................................................5
Hình 1.4. Mô tả cẩu trục..............................................................................................6
Hình 1.5. Một đoạn thành phần pp trên dây tời ........................................................7
Hình 1.6. Lực căng trên dây tời ..................................................................................9
Hình 1.7. Mômen tời quay và lực điều khiển dây tời ...............................................11
Hình 3.1. Sơ đồ khối hệ thống vòng điều khiển điều khiển cẩu trục ........................39
Hình 3.2. Vị trí và tốc độ di chuyển của tải trọng trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  0 ...............................................................................................41

Hình 3.3. Chiều dài và tốc độ di chuyển của dây treo trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  0 ...............................................................................................42

Hình 3.4. Vị trí và tốc độ di chuyển của xe trong trường hợp k p  20; kd  100; ka  0
...................................................................................................................................43
Hình 3.5. Lực tác dụng vào xe và lực nâng hạ tải trọng trường hợp
k p  20; kd  100; ka  0 ...............................................................................................44

Hình 3.6. Vị trí và tốc độ di chuyển của tải trọng trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  300 ...........................................................................................46

Hình 3.7. Chiều dài và tốc độ di chuyển của dây treo trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  300 ...........................................................................................47

Hình 3.8. Vị trí và tốc độ di chuyển của xe trong trường hợp k p  20; kd  100; ka  300
...................................................................................................................................48
Hình 3.9. Lực tác dụng vào xe và lực nâng hạ tải trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  300 ...........................................................................................49

Hình 3.10. Vị trí và tốc độ di chuyển của tải trọng trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  0 ...............................................................................................52


Hình 3.11. Chiều dài và tốc độ di chuyển của dây treo trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  0 ...............................................................................................53

Hình 3.12. Vị trí và tốc độ di chuyển của xe trong trường hợp k p  20; kd  100; ka  0
...................................................................................................................................54
Hình 3.13. Lực tác dụng vào xe và lực nâng hạ tải trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  0 ...............................................................................................55

Hình 3.14. Vị trí và tốc độ di chuyển của tải trọng trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  300 ...........................................................................................57

Hình 3.15. Chiều dài và tốc độ di chuyển của dây treo trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  300 ...........................................................................................58

Hình 3.16. Vị trí và tốc độ di chuyển của xe trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  300 ...........................................................................................59

Hình 3.17. Lực tác dụng vào xe và lực nâng hạ tải trong trường hợp
k p  20; kd  100; ka  300 ...........................................................................................60


MỞ ĐẦU
Đóng vai trò quan trọng trong quá trình vận chuyển hàng hóa ở cầu cảng, bến
bãi và nhà xưởng, cẩu trục nhận được sự quan tâm nghiên cứu phát triển của các nhà
khoa học lý thuyết và ứng dụng. Tính mềm của dây tời và bản chất thiếu cơ cấu chấp
hành của cẩu trục khiến việc điều khiển chính xác vị trí tải trọng rất khó khăn. Luận
văn tập trung nghiên cứu về mô hình toán học của cẩu trục cùng cáp treo mềm trong
việc nâng, hạ tải trọng trong quá trình di chuyển của cẩu trục.
Mô hình cẩu trục khi xét đến tính mềm của cáp treo là một mô hình phi tuyến
bao gồm phương trình vi phân đạo hàm riêng PDE và phương trình vi phân thông
thường ODE. Các phương trình vi phân dưới dạng này thường không thể giải để đưa
ra một nghiệm tường minh. Điều này dẫn đến việc mô phỏng mô hình cẩu trục trở
nên khó khăn. Trong trường hợp này, thông thường các phương pháp xấp xỉ số được
ứng dụng để giải các phương trình vi phân thông thường ODE. Sau đó, bài toán điều
khiển cẩu trục sẽ được tổng hợp trên mô hình xấp xỉ bằng phương pháp phương pháp
Galerkin cải tiến và được điều khiển bởi bộ điều khiển PD thông thường.
Cấu trúc luận văn gồm 4 chương:
Chương 1: Mô hình hóa cẩu trục dây treo mềm
Chương 2: Phương pháp Galerkin cải tiến
Chương 3: Xây dựng hệ thống điều khiển hệ cẩu trục dây treo mềm

Chương 4: Kết luận và kiến nghị
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Học viên thực hiện

Hà Thị Thu Huyền

1


CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH HÓA CẨU TRỤC DÂY TREO MỀM
Mục đích của cẩu trục là di chuyển tải trọng từ vị trí này đến vị trí khác đồng
thời làm giảm dao động của tải trọng. Theo đó, việc phát triển một hệ thống điều
khiển hiệu quả hỗ trợ làm giảm dao động chuyển động của tải trọng là cần thiết. Để
thực hiện điều này cần một mô hình chính xác phản ánh chân thật động học của cẩu
trục cùng với tải trọng và chuyển động của dây tời.
Một số mô hình toán học có liên quan đến chuyển động cẩu trục bao gồm: xe
di chuyển và tải trọng đã được phát triển [1-5]. Tuy nhiên, những mô hình này đã bỏ
qua trọng lượng và tính mềm của hệ thống dây tời nên được coi là những mô hình lý
tưởng không sát thực tế. Trong trường hợp tải trọng nhẹ, chiều dài dây tời lớn và khối
lượng dây tời có thể so sánh được với tải trọng thì động học của dây tời không bỏ qua
được và dao động của dây tời vì tính mềm của nó là chủ yếu trong đáp ứng của cẩu
trục. Trong thực tế, tải trọng không thể dịch chuyển cho đến khi xuất hiện sự lệch
ngang xảy ra trên dây tời. Do đó, thực sự cần thiết phải đưa động học của dây tời vào
mô hình của cẩu trục.
Gần đây, một số nghiên cứu đã kết hợp mô hình cần trục với dây tời [6-8]
nhưng bỏ qua sự nâng và hạ tải. Phương trình phát triển được là các phương trình vi
phân đạo hàm riêng (PDE) và các phương trình vi phân đạo hàm thường (ODE) vì
thế hệ thống là phi tuyến.
Tồn tại các điều kiện ràng buộc đòi hỏi cho tải nâng/hạ trong khi cẩu trục di
chuyển, khi đó dây tời được cuốn lên hoặc hạ xuống theo cẩu trục, độ dài của cáp treo

lúc này phụ thuộc thời gian. Mô hình động học và việc phân tích tính ổn định trong
trường hợp này phức tạp hơn nhiều so với các hệ thống khác. Một số nghiên cứu đã
đi phân tích dao động của dây tời cùng với sự thay đổi chiều dài dây tời theo thời
gian.
Trường hợp dao động của dây tời với độ dài thay đổi theo thời gian, Kottera
và Kawai đã phân tích dao động tự do của dây tời cùng chiều dài thay đổi theo thời
gian. Fung và Cheng nghiên cứu dao động tự do của dây tời/ hệ thống xe di chuyển

2


với các điều kiện biên chuyển động và sự kết hợp này là phi tuyến. Fung và Lin cũng
nghiên cứu và phân tích dao động và hỗ trợ điều khiển chuyển động của chuyển động
dây nâng với chiều dài thay đổi theo thời gian và khối lượng được gắn ở điểm thấp
nhất.
Vấn đề ở Chương này là phát triển mô hình toán học của hệ thống cẩu trục
cùng dây tời cho việc nâng hạ tải trong quá trình chuyển động cẩu trục. Phương trình
chuyển động của hệ thống là dao động ngang của dây tời, độ dịch chuyển xe di chuyển
và độ dài của dây tời là phi tuyến kết hợp PDE - ODE được đưa ra bởi nguyên lý
Hamilton và phép tính lấy đạo hàm.
1.1. Một số hệ thống cẩu trục
Cẩu trục thường có nhiều cơ cấu làm được nhiều nhiệm vụ khác nhau, cụ thể
có cơ cấu nâng hạ, cơ cấu thay đổi tầm với, cơ cấu dịch chuyển và các cơ cấu phụ.
Có ba loại cẩu trục điển hình là:
- Cẩu trục khung giàn hay còn gọi là khung cẩu;
- Cẩu trục tháp;
- Cẩu trục cần.
1.1.1. Cẩu trục khung giàn
Cẩu trục khung giàn bao gồm một xe đẩy di chuyển trong một dầm dọc theo
một trục duy nhất. Trong một số cẩu trục khung giàn, một dầm thứ hai được lắp trực

giao với dầm thứ nhất để có thể tăng thêm độ tự do trong mặt phẳng nằm ngang. Cẩu
trục khung giàn thường được sử dụng di chuyển các tải trọng trong các nhà máy như
Hình 1.1.

3


Hình 1.1. Cẩu trục khung giàn
1.1.2. Cẩu trục tháp
Cần trục tháp thường được sử dụng trong xây dựng. Trong cần trục loại này,
dầm quay trong một mặt phẳng nằm ngang xung quanh một trục cố định. Xe đẩy chứa
tải có thể chuyển động tròn trên dầm. Tải trọng được gắn vào xe sử dụng một hệ
thống dây tời.

Hình 1.2. Cần trục tháp
1.1.3. Cần trục cần
Cẩu trục cần gồm một cần gắn với một đế quay. Đế quay này chuyển động kết
hợp với chuyển động của cần để đưa đầu cần đến bất cứ vị trí nào trong mặt phẳng
nằm ngang. Tải được treo ở đầu cần bằng hệ thống cáp treo và ròng rọc. Cẩu trục cần
được sử dụng phổ biến để bốc dỡ hàng hóa ở cảng.

4


Hình 1.3. Cẩu trục cần
1.2. Mô tả hệ thống cẩu trục
Cẩu trục có mô hình như Hình 1.4 được tạo thành từ một xe di chuyển có khối
lượng mT di chuyển trên trục x và một tời được cuốn xung quanh dây tời có chiều dài
L(t ) tại thời điểm t. Dây tời có khối lượng trên một đơn vị chiều dài là  . Biểu diễn

sự lệch ngang của một điểm p bất kỳ trên dây tại thời điểm t thông qua hàm w( z(t ), t )
, xe di chuyển ngang theo trục x, độ dốc của dây tời so với phương thẳng đứng được
biểu diễn bởi hàm w z ( z (t ), t ) , lực tác dụng lên xe là Fx , lực tác dụng lên tời nâng để
đưa tải lên cao hoặc xuống thấp là FL . Các giả thiết sau đây được sử dụng trong việc
xây dựng mô hình cần trục có dây tời mềm:
- Dây tời không bị kéo dãn và mỗi điểm trên dây tời đều có cùng vận tốc và
gia tốc khi xe di chuyển.
- Độ dốc dịch chuyển theo phương ngang là nhỏ.
- Tải trọng là một điểm khối lượng.
- Chuyển động của xe dọc theo ray dẫn hướng không có ma sát.

5


Hình 1.4. Mô tả cẩu trục
1.3. Phân tích động học
Các tọa độ tổng quát dùng để mô tả hệ thống cẩu trục dây tời mềm mang tải
trọng tại đầu tự do như sau:
- x(t) hướng chuyển động của xe.
- w( z(t ), t ) sự lệch ngang của một điểm bất kỳ p theo trục z(t).
- z(t) vị trí của điểm p theo phương dọc.
- (t ) vị trí của quả nặng theo phương dọc.
Vector vị trí của điểm p tại thời điểm t được mô tả như sau:
rp   x(t )  w( z(t ), t ) i  z (t )k

(1.1)

Trong đó i và k là vector đơn vị chỉ hướng cho hai trục x và z. Tốc độ của
điểm p là:
v p   x(t)+w t ( z(t ), t )  z(t )w z ( z(t ), t ) i  z(t )k

x(t)=

dx(t )
dt

z(t)=

dz(t )
dt

w t ( z (t ), t ) 


w( z (t ), t )
t

6

(1.2)


w z ( z (t ), t ) 


w( z (t ), t )
z

Tốc độ của tải trọng vm và tốc độ của xe vm được biểu diễn bởi phương trình
T

p

(1.2).
vmp  [x+w t  w z ]i  k

(1.3)

vmT  xi

(1.4)

Ký hiệu w z và w t quy định tương ứng cho
(t ) 

w( z, t )
z

và
z  (t )

w( z, t )
t

z  (t )

d (t )
dt

Các điều kiện biên về độ võng của dây tời là:

w(0, t )  w t (0, t )  0

1.4. Biểu thức năng lượng và công ảo
Trong phần này sẽ đưa ra biểu thức về động năng, thế năng và công ảo của hệ
thống. Các biểu thức này sẽ được sử dụng trong nguyên lý Hamilton để đưa ra phương
trình chuyển động của hệ thống.
1.4.1. Động năng (KE) của hệ thống
Xét một đoạn thành phần pp trên dây treo được trình bày như Hình 1.5. Trong
đó, ds là chiều dài của đoạn thành phần pp và S(t) là chiều dài dây tời tại đoạn pp
vào thời điểm t.

Hình 1.5. Một đoạn thành phần pp trên dây tời

7


Từ Hình 1.5 dễ dàng có được:
ds  (1  w 2z )1/2 dz

(1.5)

Giả sử việc dịch chuyển hướng w z là đủ nhỏ thì biểu thức trên có thể xấp xỉ
như sau:
1
ds  (1+ w 2z )dz
2

(1.6)

Nếu chiều dài của thành phần này là rất nhỏ, khối lượng của nó tập trung ở

điểm trọng tâm và tốc độ tại điểm trọng tâm có thể được đại diện cho tốc độ của điểm
P. Động năng của hệ thống (KE) là tổng của động năng dây tời mềm ( KE )C , động
năng của xe di chuyển ( KE )mT và động năng của tải trọng ( KE )mp và được viết lại
như sau:
KE  ( KE )C  ( KE )mT  ( KE )mp
1
 
2

(t )

 [(x+w
0

t

1
 zw z ) 2  z 2 ](1  w 2z ) dz
2

1
 mT x 2
2
1
 m p ((x+w t  w z ) 2 
2

(1.7)
2

)

1.4.2. Thế năng của hệ thống
Năng lượng thế năng của hệ thống cẩu trục do độ võng theo phương ngang của
dây tời và lực trọng trường tác dụng lên tải trọng và dây tời được biểu diễn như sau:
PE  ( PE )C  ( PE )Gp  ( PE)GC

(1.8)

Năng lượng thế năng do độ võng của dây tời theo phương ngang phát sinh từ
xu hướng lực căng T khôi phục lại dây tời tại vị trí cân bằng. Một điểm trên dây tời
không chỉ chuyển động theo phương x mà còn có thể chuyển động theo phương z.
Chú ý rằng chuyển động theo phương z vẫn có thể xảy ra ngay cả khi dây tời không
giãn. Do vậy, để khôi phục trạng thái cân bằng lực căng T phải tác dụng qua hiệu độ
dài (ds-dz). Vì vậy biểu thức thế năng của dây tời có thể viết như sau:
(t )

( PE )C 

 T (ds  dz)
0

8


Sử dụng phương trình (1.6) ta có:

 PE  z

1


2

(t )

 Tw dz
2
z

(1.9)

0

Hình 1.6. Lực căng trên dây tời
Dây tời dưới tác dụng của trọng lực của tải trọng và của chính nó sinh ra lực
căng tại điểm p trên trục z giống như Hình 1.6 được đưa ra như sau:
T  Rcos

Trong đó:
R  mp g   g[L(t )  s(t )]

Với: g là gia tốc trọng trường.
cos 

dz
1
1

 (1  w 2z )
ds

2
1  w 2z

Viết lại phương trình (1.6) dưới dạng sau:
z (t )

s(t ) 


0

1
 1 2
1  w z  dz  z (t ) 
2
 2 

(t )

L(t ) 


0

1
 1 2
1  w z  dz  (t ) 
2
 2 

9

z (t )

 w dz
2
z

(1.10)

0

(t )

 w dz
2
z

0

(1.11)


Do đó, biểu thức lực căng của cáp treo thu được là:
1
 1
 
T  R 1  w 2z    m p g   g ( (t )  z (t ))   g
2
 2

 

(t )


z

 1

w 2z  1  w 2z 

  2

(1.12)

Từ các phương trình (1.9) đến phương trình (1.12) thu được phương trình sau:
(t )

 PE C  
0


1
 m p g   g ( (t )  z (t ))   g
2


(t )

w

z

2
z

 1 2  2
 1  w z  w z dz

  2

(1.13)

Thế năng do trọng lực của tải trọng và dây tời được biểu diễn như sau:
 PE Gp  m p g (t )


1
 PE GC    gL(t ) (t )
2


(1.14)

Kết hợp phương trình (1.11) đến phương trình thứ hai ở (1.14) được đưa ra như
sau:

 PE GC

1
  g

2

2

1
 g
4

(t )

 w dz
2
z

(1.15)

0

  PE GC1   PE GC 2

Kết hợp phương trình (1.8), (1.13), (1.14) và (1.15):
1
PE 
2


1
2

(t )


0

(t )


0

1
 1

R 1  w 2z  w 2z dz  m p g (t )   g
2
 2



1
 m p g   g  (t )  z (t )    g
2

1
 m p g (t )   g
2

2

(t )


z

1
 g
4

2

1
 g
4

(t )

 w dz
2
z

0

 1

w 2z dz  1  w 2z  w 2z dz

  2

(1.16)

(t )

 w dz
2
z

0

1.4.3. Biểu thức công ảo
Hệ thống cẩu trục được chuyển động bởi hai ngoại lực bên ngoài Fx và FL
tương ứng là các lực tác dụng lên xe và tời quay.

10


Hình 1.7. Mômen tời quay và lực điều khiển dây tời
Từ Hình 1.7, công ảo sinh ra bởi động cơ cho tời nâng dây tời và tải trọng là:
 WL  TL

Trong đó  ký hiệu cho toán tử vi phân, TL là momen của động cơ và  là góc
quay của tời nâng. FL là lực điều khiển dây tời để nâng hoặc hạ tải, có thể dễ dàng
được trình bày như sau:
δWL =FL rδθ=FLδs

(1.17)

δs là vi phân của một đoạn tời cuốn quanh tời nâng khi tời quay một góc θ .

Bằng cách sử dụng (1.10) ta có:
z

1
δs=δz+  w z δw z dz+ w z2δz
2
0
 1 
= 1+ w 2z  δz+w z δw z - w zz δwdz
 2 
0
z

(1.18)

Các điều kiện biên cho thấy δw=0 tại z  0 . Mối liên hệ giữa δz và  được
đưa ra bởi mối liên hệ: (Phụ lục A)
l(t)


 1 2


w
δw+
w
δwdz


z
zz

 1+ 2 w z 

 wz 


z(t)
δz= 
δl+ 
δw- 



1
1
1
 1+ w 2z 
 1+ w 2z 
1+ w 2z


2
 2

 2






11

(1.18a)


Kết hợp (1.18a) đến (1.18) ta có:
(t)

 1 
δs= 1+ w 2z  δ +w z δw z -  w zz δwdz
 2 
0

(1.18b)

Biểu thức công ảo thu được từ phương trình (1.17) và (1.18b) như sau:




1



(t)





0

 

 WL  FL  1+ w 2z  δ +w z δw z -   w zz δwdz  
 2 


(1.18c)

Mặt khác công ảo cho xe di chuyển là:
δWx =Fx δx

(1.18d)

Trong đó, δx là vi phân về độ di chuyển của xe. Tổng công ảo sinh ra bởi
ngoại lực có thể thu được từ biểu thức (1.18c) và (1.18d) như sau:


1





(t)





0

 

 W=Fx δx  FL  1+ w z2  δ +w z δw z -   w zz δwdz  
 2 


(1.19)

1.5. Các phương trình chuyển động
Áp dụng nguyên lý Hamilton mở rộng để thu được các phương trình chuyển
động của hệ thống cẩu trục. Việc áp dụng nguyên lý Hamilton mở rộng trở lên phức
tạp hơn khi nó bao gồm các điều kiện biên của chuyển động z  (t ) . Toàn bộ hệ
thống bao gồm dây tời thay đổi chiều dài 0  z(t )  (t ) , momen tời quay và vị trí tải
trọng được xem xét. Nguyên lý Hamilton mở rộng được viết như sau:
t2

  δKE-δPE+δW dt=0

(1.20)

t1

t1 và t2 là khoảng thời gian tùy ý. Kết hợp phương trình (1.7), (1.16) và (1.19)

đến (1.20) thì mối liên hệ Hamilton mở rộng trở thành:
(t)
 (t)
 1 2 


δ
L
dz+δL
+F
δx+F
1+
w
δ
+w
δww
δwdz

m
x
L 
z
z
t  0 C
0 zz  dt=0
2





1 

t2

(1.21)

Trong đó, LC là sự kết hợp của chuyển động dây tời đến hàm Lagrangian của
hệ thống cẩu trục, Lm là sự kết hợp của khối lượng tời nâng và tải trọng đến hàm
Lagrangian của hệ thống cần trục được trình bày như sau:

12


LC =(KE)C -(PE)C -(PE)GC2
1
2
 1

=  ρ  x+w t +zw z  +z 2  1+ w z2  
 2

2 

(1.22)

1  1
  1

-  R 1- w 2z  w 2z  +  ρg w 2z 
  4

2  2

= LC  t,x,z, ,w t ,w z 

L m =(KE) mp +(KE)mT -(PE)Gmp -(PE)GC1
1
=  m p  x+w t + w z

2
=L m (t,x, , ,w t ,w z )





2

 1

1

+ 2   +  mT x 2  + m pg  +  ρg 2 
   2

2


(1.23)

Luật Leibiz cho biến tích phân cùng giới hạn của biến được sử dụng khi lấy
đạo hàm các biến tích phân trong phương trình (1.21) khi độ dài dây tời thay đổi theo
thời gian:
(t )



 L dz  L  z (t )
C

C

z  (t )
z 0

(t )



0

  L dz
C

0

(1.24)

(t )

 LC (t ) 

  L dz
C

0

Trong đó LC  LC

z  (t )

Kết hợp phương trình (1.24) đến phương trình (1.21) thu được (1.25)

t  LC 
1 

t2



(t )


0

1



 LC dz   Lm  Fx x+FL  1  w 2z    w z w 
 2 




(t )

w

 wdz  dt  0 (1.25)

zz

0

 

Biến LC của phương trình (1.25) đại diện các biến w, x, và z trên hệ trục toạ
độ tổng quát với mối quan hệ sau:
δLC =δLC (t,x, ,w t ,w z )
=

LC
L
L
L
L
δx+ C δz+ C δ + C δw t + C δw z
x
z

w t
w z

Tích phân tương ứng z từ 0 đến (t )

13


(t )

(t )

 LC

 δL dz=   x
C

0


LC
L
L
L
δz+ C δ + C δw t + C δw z dz
z

w t
w z


δx+

0

(1.26)

Tích phân thành phần cuối cùng vế phải của phương trình trên thu được phương
trình (1.27):
(t )


0

LC
 w z dz 
w z

(t )


0

LC  
 w  dz 

w z  z

(t )

 L

  C  w   
 w z

0

(t )


0

(t )


0

LC
d  w 
w z

(1.27)

 LC 

  wdz
 w z  z

 LC 
  LC 
  

 w z  z z  w z 

Trong đó: 

Kết hợp phương trình (1.27) đến phương trình(1.26) và tích phân trong khoảng
thời gian bất kỳ thu được (1.28).

t 
1 

t2

(t )


0


δLC dz  dt



(t )
(t )


 LC 
 LC
 
LC
LC
LC
LC

  LC
=   
δx+
δz+
δ +
δw t +
δw z  
 w  
  w dz+ 
x
z

w t
w z

 w z  z
 w z
0 
t1  0 
 

t2

(1.28)

Tích phân từng thành phần trong biểu thức (1.28), trước tiên là thành phần đầu
tiên thu được (1.29)
 (t )   LC
t  0   x
1 

t2

  
  x  dz dt 
  

(t )


0

(t )




0

t
 2   LC
  
 t1   x

t2
t2
 L 
 d  LC
C


x


 
 

dt  x
t1 
t1
 x 


   
t1 
0
t2

 

d
(

x)
 dz


 

(t )

 d  LC
 
 dt  x

 

(

x)
 dt  dz


 

(1.29)

  
  x  dz  dt
  

Tương tự thành phần thứ hai và thứ ba của phương trình (1.28) được viết như
sau:

14



t 
1 

t2



(t )

  L dz  dt 
C



0

(t )
 (t )  d L
 LC 
 LC
 
LC 
d  LC 
d  LC 
 C
t  0  dt  x   x  dt  z   z  dt  w t   w   w z   w+    dz   w z  w   dt
z
t

1 
0 
 


t2

(1.30)

Kết hợp  z trong phụ lục A đến phương trình (1.29) thu được (1.31)

t 
1 

t2



(t )

  L dz  dt 
C



0

 (t )  d  L
t  0  dt  xC
1 
 

t2

d  L
  C
dt  z

 LC 
LC
d  LC 

  x  dt  w   w   w   w+  

z z

 t t

 1 2
1 w z 
d  LC

2
  
 1
dt  z
 1 w2 
z
2








w

 w
 1
 1 w2 
z
2



(t )


 w z w   w zz wdz  
 LC

d  L  

z (t )
  C 
dz


w



1 2

dt  z 
w z


1

w



z
2





(1.31)
(t )

0




 dt




 LC 
  LC 
  

 w t t t  w t 

Trong đó: 

Vi phân của Lm ở phương trình (1.25) thu được (1.32)
 Lm 

Lm
L
L
L
L
 x  m   m   m  wt  m  w z
x


w t
w z

(1.32)

Tích phân phương trình (1.32) trên khoảng thời gian t1 đến t2
t2

 d  Lm 


 L 
L
L
d  L 
 x  m    m     m   w  m  w z dt



dt   
w z

 w t t
t1 
 dt  x 

t2

  Lm dt   
t1

(1.33)

 Lm 
  Lm 
  

 w t t t  w t 

Trong đó 

Thay thế phương trình (1.31) và (1.33) đến phương trình (1.25) thu được (1.34)

15