Điều khiển thích nghi robot công nghiệp

Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

LÊ HỮU TRUNG

ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI ROBOT CÔNG NGHIỆP

Chuyên ngành : ĐIỀU KHIỂN & TỰ ĐỘNG HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
ĐIỀU KHIỂN & TỰ ĐỘNG HÓA

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS PHAN XUÂN MINH

Hà Nội – 2011
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
1


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

MỤC LỤC
Trang

Trang phụ bìa

1

Lời cam đoan

4

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

5

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

6

MỞ ĐẦU

8

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

11

1.1 Tuyến tính hóa chính xác

11

1.1.1 Giới thiệu chung

11

1.1.1.1 Hệ có cấu chúc mô hình affine

11

1.1.1.2 Công cụ toán học

12

1.1.2 phân tích hệ affine

16

1.1.2.1 Xác định bậc tương đối

16

1.1.2.2 Tuyến tính hóa chính xác hệ MIMO

21

1.2 Điều khiển thích nghi

30

1.2.1 Điều khiển thích nghi tự chỉnh (STR)

30

1.2.2 Điều khiển thích nghi có mô hình theo dõi (MRAC)

41

Chương 2. XÂY DỰNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI
CHO ROBOT CÔNG NGHIỆP

45

2.1 Mô hình Robot nhiều bậc tự do

45

2.1.1 Khái quát chung về Robot

45

2.1.2 Phương trình động lực học Robot nhiều bậc tự do

50

2.2 Tuyến tính hóa chính xác mô hình Robot

53

2.3 Xây dựng thuật toán điều khiển thích nghi cho Robot

56

2.3.1 Bài toán thiết kết

56

2.3.2 Thuật toán điều khiển chung

56

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
2


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Chương 3. ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI
CHO ROBOT BA BẬC TƯ DO

60

3.1 Mô hình Robot ba bậc tự do

60

3.2 Tuyến tính hóa chính xác

65

3.3 Thuật toán thích nghi

67

3.4 Kết quả mô phỏng

69

Chương 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

75

Danh mục các tài liệu tham khảo

76

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
3


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan quyển luận văn thạc sỹ “Điều khiển thích nghi robot công
nghiệp” do tôi tự nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Phan Xuân Minh với
kết quả hoàn toàn có thật. Để hoàn thành luận văn này tôi chỉ sử dụng các tài liệu ở
danh mục tham khảo, những kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và
không sao chép ở bất kỳ tài liệu nào.
Hà Nội, ngày 26 tháng 06 năm 2011
HỌC VIÊN

LÊ HỮU TRUNG

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
4


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt
CLF Hàm điều khiển Lyapunov
ISS_CLF

Hàm điều khiển Lyapunov ổn định vào trạng thái

ISS

Ổn định vào trạng thái

NL

Hệ hồi tiếp thực với mô hình ( của Hammertein )

SISO Hệ một tín hiệu vào một tín hiệu ra
MISO Hệ nhiều tín hiệu vào một tín hiệu ra
MIMO Hệ nhiều tín hiệu vào nhiều tín hiệu ra
STR Điều khiển thích nghi tự chỉnh ( self - tuning - regulator )
PI

Tỷ lệ tích phân ( Proportional – Integral )

PID

Tỷ lệ tích phân và vi phân ( Proportional – Integral – Derivative )

LQR Bộ điều khiển LQR (linear quadratic regulator)
MRAC Điều khiển thích nghi có mô hình theo dõi
MIT Luật điều chỉnh MIT ( Massachusetts Institute of Technology )

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
5


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Danh mục các hình vẽ và đồ thị:
Hình 1.1 Thiết kế bộ điều khiển tách kênh cho đối tượng tuyến tính
Hình 1.2 Điều khiển tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào – ra đối tượng MIMO
phi tuyến
Hình 1.3 Điều khiển tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào – trạng thái đối tượng
MIMO phi tuyến
Hình 1.4 Cấu trúc chung của bộ điều khiển thích nghi tự chỉnh
Hình 1.5 Xác định tham số PI theo phương pháp độ lớn
Hình 1.6 Xác định tham số PID và bộ điều khiển tiền xử lý theo phương pháp đối
xứng
Hình 1.7 Xác định tham số tối ưu theo nhiễu cho bộ điều khiển
Hình 1.8 Mô tả cấu trúc điều khiển phản hồi ( hồi tiếp ) bằng bộ điều khiển tĩnh

Hình 1.9 Thay bộ điều khiển R(s) bằng một bộ điều khiển tĩnh, phản hồi trạng thái
R và một bộ quan sát trạng thái Luenberger
Hình 1.10 Bài toán thiết kế bộ điều khiển có mô hình mẫu
Hình 1.11 cấu trúc chung của các bộ điều khiển thích nghi có mô hình theo dõi
Hình 2.1 Robot di động điều khiển từ xa
Hình 2.2 Robot tự hành
Hình 2.3 Tay máy gắp vật
Hình 2.4 Tay máy dùng khí nén hút vật
Hình 2.5 Haptics
Hình 2.6 cấu trúc bộ điều khiển bù bất định
Hình 3.1 Cấu hình Robot ba bậc tự do
Hình 3.2 Sơ đồ mô phỏng trên matlab/simulink
Hình 3.3 Tín hiệu điều khiển u
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
6


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Hình 3.4 Tín hiệu q
Hình 3.5 Tín hiệu l1
Hình 3.6 Tín hiệu lz
Hình 3.7 Tín hiệu điều khiển u
Hình 3.8 Tín hiệu q
Hình 3.9 Tín hiệu l1
Hình 3.10 Tín hiệu lz

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
7


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Ở giai đoạn trước những năm 1990 hầu như nước ta chưa du nhập về kỹ
thuật robot, thậm chí còn chưa có nhiều thông tin về lĩnh vực này. Từ đó cho đến
nay để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước vấn đề tự
động hóa sản xuất có vai trò đặc biệt quan trọng. Nhiều cơ sở sản xuất đã bắt đầu
nhập ngoại nhiều loại robot phục vụ lắp ráp các linh kiện điện tử, các trung tâm gia
công CNC, hàn vỏ xe ôtô, xe máy và phun bề mặt v.v…Gần đây rất nhiều nơi đã
bắt đầu thiết kế, chế tạo và lắp ráp robot.
Với robot chúng ta thấy việc xây dựng được bộ điều khiển là rất khó khăn, vì
nó là một đối tượng có mô hình bất định có nhiễu hoặc các tín hiệu bên ngoài không
mong muốn tác động vào đối tượng. Vì vậy khó khăn này chính là lý do để tôi chọn
đề tài này.
Lịch sử nghiên cứu
Lịch sử cho thấy, đã có những bước phát triển vượt bậc trong việc điều khiển
robot bằng các bộ điều khiển kinh điển. Các bộ điều khiển này phải thực hiện được
khâu đo lường trạng thái (như đo vị trí, vận tốc của mỗi khớp). Việc đo lường vị trí,
vận tốc bằng các thiết bị như encoder…Những thiết bị này lại thường xuyên bị sai
lệch do nhiễu tác động, dẫn đến làm sai lệch tín hiệu thu thập được và dẫn đến độ
tin cậy hệ thông bị giới hạn. Để khắc phục những mặt hạn chế này, đã có rất nhiều
nghiên cứu phát triển bộ điều khiển bám theo vị trí.
Trước tiên, Bộ điều khiển quan sát (observer-controller structure) được
Nicosia et al thiết kế, bộ quan sát được thêm vào trong vòng phản hồi nhằm đảm

bảo ổn định tiệm cận cục bộ của sai lệch vị trí. Tiếp theo Lim et al với bước lùi
(backstepping perspective) và cũng đạt được kết quả tương tự, nhưng những đối
tượng của họ yêu cầu phải biết chính xác về động lực học. Với những cấu trúc chưa
xác định Canudas de wit et al đã phát triển bộ quan sát dựa trên mô hình cấu trúc
biến đổi để thiết kế bộ điều khiển thích nghi và bộ điều khiển sơ cấp (robust
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
8


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

controller). Ngoài ra còn có, Zhu et al. đã thiết kế bộ điều khiển có cấu trúc biến đổi
mà ứng dụng bộ quan sát trên mô hình mẫu với việc ước lượng tham số đặt trước.
De Queiroz et al. đưa ra khái niệm vị trí thích nghi và điều khiển cưỡng bức mà bỏ
qua đo lường tốc độ, cho đến gần đây phương pháp điều khiển có phản hồi đầu ra
dựa trên mạng nơ ron đã được đề xuất thực hiện cấu trúc bộ điều khiển quan sát và
khâu bù cho robot không xác định. Nhưng phải thấy rằng chưa có phương pháp nào
ở trên cho kết quả ổn định tốt với bộ điều khiển quan sát cho robot với mô hình
không xác định.
Fuzzy logic là một giải pháp được tính đến có khả năng thực hiện bộ điều
khiển quan sát mền cho các robot với một khâu đo lường vị trí và khâu bù robot
không xác định. Wang đã tiên phong trong điều khiển mờ thích nghi sau đó được
passino et al. tổng quát hóa kết quả. Chen et al. kết hợp điều khiển mờ thích nghi
với điều khiển thông thường để cải thiện chất lượng điều khiển. Leu et al. đề xuất
nơ ron/mờ thích nghi dựa trên bộ quan sát cho hệ thống không xác định. Ưu điểm
là đã khắc phục các yêu cầu thông tin chính xác về động lực robot, tác động rời
rạc…
Phương pháp điều khiển thích nghi trên cơ sở nền tảng là lý thuyết

Lyapunov, kể đến phương pháp xây dựng hàm điều khiển Lyapunov (CLF) và hàm
điều khiển Lyapunov ổn định vào – trạng thái (ISS-CLF) của Sontag và phương
pháp giả định rõ. Sontag, khi đã xác định được một hàm ISS - CLF cho hệ thống thì
ta có bộ điều khiển phản hồi trạng thái làm hệ thống ổn định vào - trang thái, tức là
sẽ làm cho mọi quỹ đạo trạng thái tự do của hệ tiến về điểm cân bằng nếu như thành
phần tạp nhiễu bất định tiến về 0. Nhưng nhược điểm là: Khi nhiễu bất định không
tiến về 0, bộ điều khiển cũng sẽ không kéo hệ về đúng điểm cân bằng mong muốn,
nó chỉ đưa hệ về lân cận điểm cân bằng, thêm nữa là xác định hàm ISS – CLF là rất
khó khăn nên đối tượng áp dụng rất hạn chế. Phương pháp giả định rõ cũng chỉ giải
quyết được một trường hợp đặc biệt của bài toán điều khiển thích nghi kháng nhiễu,
đó là hệ thống có thành phần tham số không biết trước là hằng số hoặc thay đổi
chậm theo thời gian.
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
9


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Với sự hỗ trợ của ISS và hình học vi phân Phương pháp xây dựng bộ điều
khiển thích nghi theo mô hình mẫu trên cơ sở tuyến tính hóa chính xác được thêm
bộ bù bất định nhằm điều khiển hệ bám theo mô hình mẫu có điểm cực đặt trước
(điểm cực nằm bên trái trục ảo) đã loại trừ được nhiễu bất định và khắc phục được
các nhược điểm của các phương pháp trên.
Mục đính, đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Bài toán điều khiển robot trong thực tế là rất khó khăn, vì chúng ta phải làm
việc với những mô hình bất định do đối tượng chịu ảnh hưởng bởi nhiễu nội tại bên
trong và các tín hiệu bên ngoài không mong muốn tác động vào đối tượng. Để giải
được bài toán này chúng ta sử dụng sự trợ giúp của “Hệ thống điều khiển thích

nghi”.
Trong thực tế tham số của robot khó có thể đo hoặc xác định chính xác, một
số tham số biến đổi trong quá trình làm việc như khối lượng tải robot gắp ở tay,
mômen quán tính tải, các thành phần ma sát trong các khớp của robot… Với các bộ
điều khiển kinh điển khó có thể giải quyết được, để nâng cao chất lượng điều khiển
chúng ta không thể bỏ qua các thành phần bất định, nhiễu hay các tín hiệu ngoại
sinh khác tác động vào đối tượng. Vì vậy luận văn xin đưa ra một phương pháp điều
khiển thích nghi mới, xây dựng bộ điều khiển theo mô hình mẫu trên cơ sở tuyến
tính hóa chính xác và có thêm bộ chỉnh định nhằm điều khiển hệ bám theo mô hình
tuyến tính mẫu có điểm cực đặt trước (các điểm cực nằm bên trái trục ảo). Phương
pháp mới này có khả năng khử nhiễu bất định tác động vào hệ thống, và đây cũng là
mục đích của luận văn.
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết để xây dựng thuật toán điều khiển.
Mô hình hóa, mô phỏng trên máy tính để phân tích, kiểm nghiệm.

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
10


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Chương 1. Cơ sở lý thuyết

1.1 Tuyến tính hóa chính xác
1.1.1 Giới thiệu chung
1.1.1.1 Hệ có cấu trúc mô hình affine
Việc phân tích hệ phi tuyến như tính ổn định, tính điều khiển được, quan sát

được, khả năng tự dao động, hiện tượng hỗn loạn…, bằng những phương pháp trực
tiếp không nhiều. Thường dùng nhất là phương pháp phân tích gián tiếp thông qua
mô hình tuyến tính tương đương của hệ phi tuyến trong lân cận đủ nhỏ xung quanh
điểm làm việc của hệ, song phương pháp này lại không cung cấp được thông tin
một cách đầy đủ của hệ thống trong toàn bộ không gian trạng thái. Còn đối với
những phương pháp phân tích trực tiếp thì ngoại trừ tiêu chuẩn Lyapunov cho việc
phân tích ổn định và phương pháp mặt phẳng pha giới hạn ở hệ phi tuyến NL có hai
biến trạng thái cho tới nay ta chưa có một phương pháp cụ thể nào khác.
Với công cụ hình học vi phân (differential geometric tools) người ta đã đi
đến được một số phương pháp, bù đắp phần nào sự khiếm khuyết trên của hệ phi
tuyến có cấu trúc affine:
⎧d x
= f ( x) + H ( x).u
⎪
⎨ dt
⎪
y = g ( x)
⎩

(1.1)

Trong đó f ( x) , g ( x) là các vector hàm, còn H ( x) là ma trận hàm theo biến x, có số
chiều phù hợp với số các biến vào u ∈ R m , ra y ∈ R p và trạng thái x ∈ R n , tức là:
⎛ f1 ( x) ⎞
⎜
⎟
f ( x) = ⎜ M ⎟ ,
⎜ f ( x) ⎟
⎝ n ⎠

⎛ g1 ( x) ⎞
⎜
⎟
g ( x) = ⎜ M ⎟ ,
⎜ g ( x) ⎟
⎝ p ⎠

⎛ h11 ( x) L h1m ( x) ⎞
⎜
⎟
H ( x) = ⎜ M
O
M ⎟
⎜ h ( x) L h ( x) ⎟
nm
⎝ n1
⎠

Việc giả thiết mô hình hệ phải có dạng (1.1) hoàn toàn không hạn chế miền
ứng dụng của nó. Thật vậy, với hệ tự trị tổng quát có mô hình trạng thái:
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
11


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

dx
= f ( x, u )

dt

Thì chỉ bằng cách định nghĩa lại biến vào w(t ) :
du
= w(t )
dt

Ta sẽ trở về được dạng mô hình affine (1.1) quen thuộc:
d ⎛ x ⎞ ⎛ f ( x, u ) ⎞ ⎛ Θ ⎞
⎟+⎜ ⎟w
⎜ ⎟=⎜
dt ⎝ u ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ I ⎠

Hệ affine với mô hình (1.1) có những tính chất cơ bản sau :
Bất biến với phép đổi biến vi phôi
Gọi
⎛ m1 ( x) ⎞
⎜
⎟
z = m( x ) = ⎜ M ⎟
⎜ m ( x) ⎟
⎝ n ⎠

Là một phép đổi biến vi phôi (song ánh và khả vi). Khi đó mô hình (1.1) biểu diễn
theo biến mới z cũng có dạng affine:
⎧d z %
= f ( z ) + H% ( z ).u
⎪
dt
⎨

⎪
y = g% ( z )
⎩

Bất biến với cấu trúc song song, nối tiếp và hồi tiếp
1.1.1.2 Công cụ toán học
Đạo hàm của hàm vô hướng (Đạo hàm Lie)
Cho một hàm vô hướng v( x) . Đạo hàm của nó dọc theo quỹ đạo trạng thái tự
do x(t ) của hệ không bị kích thích
dx
= f ( x)
dt

được hiểu là:
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
12


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp
Lf v =

∂v
f
∂x

(1.2)

Phép đạo hàm Lie có các tính chất sau:

1. Cho một vector hàm f ( x) và hai hàm vô hướng v( x) , w( x) . Khi đó sẽ có:
Lw f v = L f v ⋅ w

2. Cho hai vector hàm f ( x) , g ( x) và một hàm vô hướng v( x) . Vậy thì:
Lg L f v( x) = Lg ( L f v( x)) =

∂ ( L f v( x))
∂x

⋅ g ( x)

3. Cho vector hàm f ( x) , một hàm vô hướng v( x) và một số nguyên k. Vậy
thì
Lkf v( x) =

∂ ( Lkf −1v( x))
∂x

⋅ f ( x)

Phép nhân Lie
Cho hai vector hàm f ( x) , g ( x) . Phép nhân Lie của chúng được hiểu là:
ad f g = [ f , g ]=

∂g
∂x

f−

∂f

∂x

(1.3)

g

Phép nhân Lie có những tính chất sau:
1. Cho hai vector hàm f ( x) , g ( x) và một số nguyên k. Vậy thì:
[ f , g ]=-[ g , f ]
ad kf g = ad f (ad kf −1 g )=[ f , ad kf −1 g ]

2. Cho hai vector hàm f ( x) , g ( x) , và hàm vô hướng v( x) . Vậy thì:
L[f , g ] = L f Lg v − Lg L f v

3. Cho hai vector hàm f ( x) , g ( x) , và hai hàm vô hướng v( x) , w( x) . Vậy
thì:
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
13


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp
[v f , w g ] = vw[ f , g ]+(L f w)vg − (L g v )w f

4. Với các vector hàm f ( x) , h( x) , g ( x) , và hai số thực a, b luôn có:
[a f + bg ⋅ h]= a[ f , h]+b[ g , h]
[h ⋅ a f + bg ]= a[h, f ]+b[h, g ]

5. Ba vector hàm f ( x) , h( x) , g ( x) thỏa mãn tính đồng dạng Jacobi:

[ f ,[ g , h]]( x) = [ g ,[h, f ]]( x) = [h,[ f , g ]]( x)

Hàm mở rộng
Dưới khái niệm hàm mở rộng của hình học vi phân người ta hiểu một ánh xạ
∆ gán mỗi phần tử x của không gian vector n chiều R n thành một không gian

vector con ∆ ( x) với d chiều ( d ≤ n ) trong R n :
∆ : x a ∆( x)

Vì là một không gian vector có số chiều bằng d nên trong ∆ ( x) phải tồn tại d
vector f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f d ( x) là độc lập tuyến tính sao cho ∆( x) là tập hợp của tất
cả các vector f ( x) dạng tổ hợp tuyến tính của chúng, tức là
n

f ( x) = ∑ ai ( x) f i ( x) ∈ ∆ ( x)
i =1

Với mọi hàm vô hướng ai ( x)
Nói cách khác, khi x cố định thì
∆ ( x) = span( f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f d ( x) )

Hàm mở rộng ∆( x) được gọi là trơn nếu các f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f d ( x) là
những vector hàm khả vi
Hàm mở rộng ∆ ( x) có các tính chất sau:
1. Hàm mở rộng ∆ ( x) được gọi là không suy biến tại x nếu ở đó có
dim( ∆ ( x) ) > 0.
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
14

Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

2. Cho hai hàm mở rộng trơn ∆1 ( x) và ∆ 2 ( x) . Tổng của chúng định nghĩa
bởi:

{

}

∆ ( x) = f ( x) = g ( x) + h( x) | g ( x) ∈ ∆1 ( x)và h( x) ∈ ∆ 2 ( x)

Cũng là một hàm mở rộng trơn.
3. Giao ∆ = ∆1 ∩ ∆ 2 của hai hàm mở rộng trơn ∆1 ( x) và ∆ 2 ( x) là một hàm
mở rộng trơn
4. Khái niệm hàm mở rộng xoắn: Hàm mở rộng ∆ ( x) có số chiều d với bộ
cơ sở f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f d ( x) trong lân cận x, được gọi là xoắn (involutive) nếu
tích Lie của hai phần tử bất kỳ thuộc ∆ ( x) cũng thuộc ∆ ( x) .
Ngoài ra, cần và đủ để:
∆ ( x) = span( f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f d ( x) ) là hàm mở rộng xoắn là

[ f i ( x), f j ( x)] ∈ ∆ ( x) với mọi 1 ≤ i, j ≤ d .

5. Hàm mở rộng trực giao : Cho ∆( x) ⊆ R n có số chiều bằng d
∆( x) = span( f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f d ( x) )

Hàm mở rộng trực giao của ∆ ( x) , ký hiệu bởi ∆ ⊥ ( x) , được hiểu là hàm mở
rộng gồm các phần tử g ( x) thỏa mãn :

{

}

T

∆ ⊥ ( x) = g ( x) ∈ R n | g f = 0 và f ( x) ∈ ∆ ( x)

Vậy thì dim ∆ ⊥ ( x) = n – d và nếu ký hiệu:
∆ ⊥ ( x) = span( g d +1 ( x ) , g d + 2 ( x) , …, g n ( x) )

Còn có thêm : g Td + k ( x) f i ( x) = 0 với mọi 1 ≤ k ≤ n − d và 1 ≤ i ≤ d
6. Tiêu chuẩn Frobenius : Xét hàm mở rộng ∆( x) ⊆ R n có số chiều bằng d.
Nếu tồn tại n – d hàm vô hướng md +1 ( x) , md + 2 ( x) , …, mn ( x) sao cho:

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
15


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp
T

⎛ ∂m ( x) ⎞
∆ ⊥ ( x) = span( ⎜ d +1 ⎟
⎝ ∂x ⎠

T

T

⎛ ∂md + 2 ( x) ⎞
⎛ ∂mn ( x) ⎞
⎟ , …, ⎜
⎟ )
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂x ⎠

,⎜

Thì ∆( x) gọi là phân tích được hoàn toàn. theo Frobenius, cần và đủ để ∆ ( x)
tích phân được hoàn toàn là nó phải xoắn.
7. Hàm mở rộng bất biến : Cho hàm mở rộng ∆( x) ⊆ R n có số chiều bằng d
và một vector hàm f ( x) . Khi đó ∆ ( x) được gọi là bất biến với f ( x) nếu tích Lie
giữa f ( x) với một vector g ( x) tùy ý thuộc ∆ ( x) lại thuộc ∆ ( x) .
Nếu ∆ ( x) = span( f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f d ( x) )
Thì cần và đủ để ∆ ( x) bất biến với f ( x) là:
[ f ( x), f i ( x)] ∈ ∆( x) với mọi 1 ≤ i ≤ d

8. Nếu hàm mở rộng ∆ ( x) bất biến với cả hai vector hàm f ( x) và g ( x) thì
nó cũng bất biến với vector hàm [ f ( x), g ( x)] ∈ ad f g ( x)
1.1.2 Phân tích hệ affine
1.1.2.1 Xác định bậc tương đối
Bậc tương đối của hệ affine SISO
Để dễ tiếp cận tới khái niệm bậc tương đối, ta xét trường hợp đặc biệt với đối
tượng tuyến tính được mô tả bằng hàm truyền đạt hợp thức chặt (strickly proper):
G (s) =

b0 + b1s + ... + bm s m

trong đó m < n
a0 + a1s + ... + an s n

Khi đó bậc tương đối được hiểu là hiệu r = n − m ≥ 1 .
Giả sử rằng đối tượng, bên cạnh hàm truyền đạt trên, còn có mô hình trạng
thái:
⎧d x
= Ax + bu
⎪
⎨ dt
⎪ y = cT x
⎩
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
16


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Vậy thì bậc tương đối r cũng được xác định từ mô hình trạng thái
⎧= 0
T
c Ak b = ⎨
⎩≠ 0

0≤ k ≤ r−2

khi
khi

(1.4)

k = r −1

Chuyển sang hệ phi tuyến với sự gợi ý của công thức tính (1.4), khái niệm
bậc tương đối của hệ ALI có một tín hiệu vào, một tín hiệu ra, được định nghĩa như
sau:
Định nghĩa 1.1: cho hệ affine SISO
⎧ d ( x)
= f ( x) + h( x).u
⎪
⎨ dt
⎪⎩
y = g ( x)

Bậc tương đối tại điểm trạng thái x của hệ là số tự nhiên r mà trong lân cận x
thỏa mãn:
⎧= 0
Lh Lkf g ( x) = ⎨
⎩≠ 0

khi
khi

0≤ k ≤ r−2

(1.5)

k = r −1

Có thể thấy ngay rằng trong trường hợp hệ tuyến tính, tức là với f ( x) = Ax ,
T

h( x) = b , g ( x) = c x , hai công thức (1.4) và (1.5) sẽ đồng nhất, vì:
T

Lkf g ( x) = c Ak x

T

Lh Lkf g ( x) = c Ak b

⇒

Định lý 1.1: Cho hai vector hàm f ( x), h( x) và một hàm vô hướng g ( x) . Vậy thì hai
điều kiện sau sẽ là tương đương:
a. Lh g ( x) = Lh L f g ( x) = ... = Lh Lkf g ( x) = 0
b. Lh g ( x) = Lad h g ( x) = ... = Lad h g ( x) = 0
f

k
f

Bậc tương đối tối thiểu của hệ affine MISO
Hệ tuyến tính MISO:
⎧d x
= Ax + Bu
⎪
⎨ dt

⎪ y = cT x
⎩
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
17


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Có r1 , r2 ,..., rm bậc tương đối cho từng kênh với đầu vào ui và đầu ra y được tính theo
công thức (1.4), mà cụ thể là
⎧= 0
T
c Ak b i = ⎨
⎩≠ 0

khi
khi

0 ≤ k ≤ ri − 2
k = ri − 1

Trong đó bi là vector cột thứ i của ma trận B. Khi đó bậc tương đối tối thiểu r được
định nghĩa bởi giá trị nhỏ nhất của r1 , r2 ,..., rm :
r = min{r1 , r2 ,..., rm }

Như vậy, nó chính là:
⎧ = 0 Với mọi 1 ≤ i ≤ m và 0 ≤ k ≤ r − 2
T

c Ak b i = ⎨
⎩≠ 0 Cho một giá trị i và k = r − 1
⇔

⎧⎪ = 0T
T
c Ak B = ⎨ T khi
⎪⎩≠ 0 khi

0≤ k ≤ r−2
k = r −1

Một cách tương tự, khái niệm bậc tương đối tối thiểu của đối tượng MISO
phi tuyến affine được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.2: Cho đối tượng MISO bậc n có m tín hiệu vào m ≤ n
⎧ d ( x)
= f ( x) + H ( x).u
⎪
⎨ dt
⎪⎩ y = g ( x)

m

= f ( x) + ∑ hi ( x)ui
i =1

(1.6)

Trong đó
⎛ x1 ⎞

⎜ ⎟
x = ⎜ M ⎟,
⎜x ⎟
⎝ n⎠

⎛ u1 ⎞
⎜ ⎟
u =⎜ M ⎟ ,
⎜u ⎟
⎝ m⎠

H ( x) = (h1 ( x), h 2 ( x),..., h m ( x))

Bậc tương đối tối thiểu tại điểm trạng thái x của đối tượng là số tự nhiên r trong lân
cận x thỏa mãn:
⎧ = 0 Với mọi 1 ≤ i ≤ m và 0 ≤ k ≤ r − 2
Lhi Lkf g ( x) = ⎨
⎩≠ 0 Cho một giá trị i và k = r − 1

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

(1.7)

ĐK&TĐH
18


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Định lý 1.2: Nếu r là bậc tương đối tối thiểu của đối tượng MISO có m tín hiệu vào,

mô tả bởi (1.6) thì:
a. Lh g ( x) = Lad h g ( x) = ... = Lad
f

i

i

r −2
f hi

g ( x) = 0

với mọi 1 ≤ i ≤ m

b. Tồn tại một chỉ số l để các vector hl ( x), ad f hl ( x),..., ad rf −1 hl ( x) là độc lập
tuyến tính.
∂Lrf−1 g ( x)
∂g ( x) ∂L f g ( x)
là độc lập tuyến tính.
,
,...,
c. Các vector hàng
∂x
∂x
∂x

d. r ≤ n
Vector bậc tương đối tối thiểu của hệ affine MIMO
Xét hệ tuyến tính:

⎧d x
= Ax + Bu
⎪
⎨ dt
⎪y = Cx
⎩

(1.8)

Với số tín hiệu vào bằng số tín hiệu ra và cùng là m, vector bậc tương đối tối thiểu
( r1 , r2 ,..., rm ), được xác định theo công thức:
⎧⎪ = 0T
c A B=⎨ T
⎪⎩≠ 0
T
j

khi
khi

k

0 ≤ k ≤ rj − 2

(1.9)

k = rj − 1

Trong đó c1 , c 2 ,..., c m là các vector hàng của ma trận C.
w1

wm

u

y1

M
−

ym
R

w1m

y1m

x

Hình 1.1 : thiết kế bộ điều khiển tách kênh cho đối tượng tuyến tính
Ngoài ra, cũng được biết từ lý thuyết điều khiển tuyến tính, nếu ma trận :
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
19


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp
⎛ c1T Ar1 −1 B ⎞ ⎛ c1T Ar1 −1b1 L c1T Ar1 −1bm ⎞
⎜
⎟ ⎜

⎟
M
M
O
M
L=⎜
⎟=⎜
⎟
⎜ cT Arm −1 B ⎟ ⎜ cT Arm −1b L cT Arm −1b ⎟
m
1
m⎠
⎝ m
⎠ ⎝ m

(1.10)

Không suy biến, thì ta luôn tìm được một bộ điều khiển tiền xử lý M và một
bộ điều khiển phản hồi trạng thái R (hình 1.1) để đưa đối tượng MIMO (1.8) ban
đầu về dạng tách thành m kênh riêng biệt :
0
⎛ G1 ( s )
⎛ Y1 ( s ) ⎞ ⎜
0
G2 ( s )
⎜
⎟
Y ( s) = ⎜ M ⎟ = ⎜
M
⎜ Y ( s ) ⎟ ⎜⎜ M

⎝ m ⎠
0
⎝ 0

0 ⎞
L
⎟ ⎛ W ( s) ⎞
0 ⎟⎜ 1 ⎟
L
M ⎟
O
M ⎟ ⎜⎜
⎟ W ( s) ⎟
L Gm ( s ) ⎠ ⎝ m ⎠

Tương tự khái niệm vector bậc tương đối tối thiểu được định nghĩa như sau :
Định nghĩa 1.3: Cho hệ affine MIMO với m tín hiệu vào/ra và n biến trạng thái
(m ≤ n )
⎧ d ( x)
= f ( x) + H ( x).u
⎪
⎨ dt
⎪ y = g ( x)
⎩

m

= f ( x ) + ∑ hi ( x )ui
i =1

(1.11)

Trong đó
⎛ g1 ( x) ⎞
⎜
⎟
H ( x) = (h1 ( x), h 2 ( x),..., h m ( x)) và g ( x) = ⎜ M ⎟
⎜ g ( x) ⎟
⎝ m ⎠

Vector bậc tương đối tối thiểu của hệ là m số tự nhiên r1 , r2 ,..., rm thỏa mãn:
a. Lh Lkf g j ( x) = 0 khi k = ri − 2 với mọi i = 1, 2,..., m
i

(1.12)

b. Ma trận
⎛ Lh1 Lr1f −1 g1 ( x) Lh2 Lr1f −1 g1 ( x)
⎜
r −1
r −1
⎜ Lh L f2 g 2 ( x) Lh2 L f2 g 2 ( x)
L( x) = ⎜ 1
M
M
⎜
⎜ L Lrm −1 g ( x) L Lrm −1 g ( x)
h2 f
m
⎝ h1 f m

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

Lhm Lr1f −1 g1 ( x) ⎞
⎟
L Lhm Lrf2 −1 g 2 ( x) ⎟
⎟
O
M
⎟
L Lhm Lrfm −1 g m ( x) ⎟⎠
L

(1.13)

ĐK&TĐH
20


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Là không suy biến.
Định lý 1.3: Nếu ( r1 , r2 ,..., rm ) là vector bậc tương đối tối thiểu của hệ (1.11)
a. Lh g j ( x) = Lad h g j ( x) = ... = Lad
f

i

i

r −2
f hi

g j ( x) = 0 với mọi 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ m

∂Lr1f −1 g1 ( x)
∂g1 ( x) ∂L f g1 ( x)
b. Các vector hàng
,
,...,
∂x
∂x
∂x
∂Lr1f −1 g 2 ( x)
∂g 2 ( x) ∂L f g 2 ( x)
,
,...,
∂x
∂x
∂x
M

∂Lr1f −1 g m ( x)
∂g m ( x) ∂L f g m ( x)
,
,...,
∂x
∂x
∂x

Là độc lập tuyến tính.
m

c. r = ∑ rk ≤ n
k =1

Định lý 1.4: (Hệ quả của định lý 1.3): Cần để đối tượng affine (1.11) có vector bậc
tương đối tối thiểu ( r1 , r2 ,..., rm ) là các vector cột h1 ( x), h 2 ( x),..., h m ( x) của H ( x) phải
độc lập tuyến tính.
1.1.2.2 Tuyến tính hóa chính xác hệ MIMO
Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào – ra
Xét đối tượng phi tuyến affine bậc n với m tín hiệu vào ra, mô tả bởi:
m
⎧d x
= f ( x) + H ( x).u = f ( x) + ∑ hi ( x)ui
⎪
⎨ dt
i =1
⎪
(
)
=
y
g
x
⎩

(1.14)

Trong đó h1 ( x), h 2 ( x),..., h m ( x) là vector cột của H ( x) . Giả sử rằng vector bậc tương

đối tối thiểu ( r1 , r2 ,..., rm ) của nó thỏa mãn :
r = r1 + r2 + ... + rm = n

Khi đó, phép đổi trục tọa độ
Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH

21


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp
⎛ m11 ( x) ⎞ ⎛ g1 ( x) ⎞
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ M ⎟ ⎜
r1 −1
1
⎜
⎟
⎜
⎟
L
g
(
x
)
mr1 ( x)

1
f
⎛ z1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
z = ⎜ M ⎟ = m( x ) = ⎜ M ⎟ = ⎜
⎟
⎜ m ⎟ ⎜ g ( x) ⎟
⎜z ⎟
⎝ n⎠
m
⎟
⎜ m1 ( x) ⎟ ⎜
⎟
⎜ M ⎟ ⎜
⎟⎟
⎜⎜ m
⎟⎟ ⎜⎜ rm −1
⎝ mrm ( x) ⎠ ⎝ L f g m ( x) ⎠

(1.15)

Trong đó g1 ( x),....g m ( x) là các phần tử của vector g ( x) , sẽ có ma trận Jacobi tính
theo :
⎛ dg1 ( x) ⎞
⎜
⎟

M
⎜
⎟
⎜ dLr1f −1 g1 ( x) ⎟
∂Lkf gi ( x)
⎟
∂ m( x ) ⎜
k
,
với
ký
hiệu
dL
g
(
x
)
=
=⎜
M
⎟
f i
∂x
∂x
⎜ dg ( x) ⎟
m
⎜
⎟
⎜
⎟

M
⎜⎜ rm −1
⎟⎟
⎝ dL f g m ( x) ⎠

Không suy biến nên là một phép vi phôi (diffeomorphism)
Với phép đổi trục tọa độ vi phôi (1.15) ta được
m
dz1 ∂m11 d x
=
= L f g1 ( x) + ∑ Lhi g1 ( x) ui = L f g1 ( x) = z2
dt
∂ x dt
i =1
14
243
=0

m
dz2 ∂m12 d x
=
= L2f g1 ( x) + ∑ Lhi L f g1 ( x) ui = L2f g1 ( x) = z3
dt
∂ x dt
i =1
14
4244
3
=0

M

dzr1 −1
dt

=

m
∂m1r1 −1 d x
= Lr1f −1 g1 ( x) + ∑ Lhi Lr1f − 2 g1 ( x) ui = Lr1f −1 g1 ( x) = zr1
∂ x dt
i =1
14
42443
=0

dzr1

m

= Lr1f g1 ( x) + ∑ Lhi Lr1f −1 g1 ( x) ui
dt
i =1
14
4244
3

(1.16)

≠0

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
22


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp
dzr1 +1
dt

=

m
∂m12 d x
= L f g 2 ( x) + ∑ Lhi g 2 ( x) ui = L f g 2 ( x) = zr1 + 2
∂ x dt
i =1
14
243
=0

M

dzr2 −1
dt

=

m

∂mr22 −1 d x
= Lrf2 −1 g 2 ( x) + ∑ Lhi Lrf2 − 2 g 2 ( x) ui = Lrf2 −1 g 2 ( x) = zr2
∂ x dt
i =1
144
2443
=0

dzr2

m

= Lrf2 g 2 ( x) + ∑ Lhi Lrf2 −1 g 2 ( x) ui
dt
i =1
14
42443

(1.17)

≠0

dzr2 +1
dt

=

m
∂m13 d x
= L f g3 ( x) + ∑ Lhi g3 ( x) ui = L f g3 ( x) = zr2 + 2

∂ x dt
i =1
14
243
=0

M

Bởi vậy, nếu trong các công thức (1.16) (1.17) ta đặt :
m

w k = Lrfk g k ( x) + ∑ Lhi Lrfk −1 g k ( x)ui
i =1

Cho toàn bộ các chỉ số k = 1, 2, ..., m tức là
r1
r1 −1
r1−1
⎛ w1 ⎞ ⎛ L f g1 ( x) ⎞ ⎛ Lh1 L f g1 ( x) L Lhm L f g1 ( x) ⎞ ⎛ u1 ⎞
⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜
w =⎜ M ⎟=⎜
M
M
O
M
⎟+⎜
⎟⎜ M ⎟

⎜ w ⎟ ⎜⎜ Lrm g ( x) ⎟⎟ ⎜⎜ L Lrm −1 g ( x) L L Lrm −1 g ( x) ⎟⎟ ⎜ u ⎟
hm f
m
⎝ m ⎠ ⎝ f m ⎠ ⎝ h1 f m
⎝ m⎠
14243 144444424444443⎠ {
u
p( x)

(1.18)

L( x)

Thì toàn bộ quan hệ trên viết lại thành dạng tuyến tính như sau :
⎛ A1 Θ L Θ ⎞ ⎛ b1 0 L 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
d z ⎜ Θ A2 L Θ ⎟ ⎜ 0 b 2 L 0 ⎟
z+
w
=
M O M ⎟ ⎜M M O M ⎟
dt ⎜ M
⎜
⎟ ⎜
⎟
Θ Θ L Am ⎠ ⎝ 0 0 L b m ⎠
⎝144
144

42444
3
42444
3
A

(1.19)

B

Trong đó Θ là ma trận gồm toàn các phần tử 0 và

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
23


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp
⎛0
⎜
M
Ak = ⎜
⎜0
⎜
⎝0

1 L 0⎞
⎟
M O M⎟

0 L 1⎟
⎟
0 L 0⎠

thuộc kiểu

⎛0⎞
⎜ ⎟
M
bk = ⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎝1⎠

thuộc kiểu

rk × rk

rk × 1

Vấn đề còn lại là tạo ra được vector tín hiệu điều khiển u từ vector tín hiệu w mà ta
đã đặt trong (1.18) cũng như từ vector trạng thái x của đối tượng. Điều này rất đơn
giản, vì đã giả thiết ma trận L(x) không suy biến. Suy ra :
⎛ Lr1f g1 ( x) ⎞
⎛ Lr1f g1 ( x) ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟ −1
−1

u = L−1 ( x)[w- ⎜
M
M
⎟ ] = - L ( x) ⎜
⎟ + L ( x)w
⎜⎜ Lrm g ( x) ⎟⎟
⎜⎜ Lrm g ( x) ⎟⎟
f
m
⎝ f m ⎠ 144
⎝2444
4
3⎠

(1.20)

a( x)

= a ( x) + L−1 ( x)w

Đây chính là bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác cho đối tượng
Giữa vector tín hiệu ra y và biến trạng thái mới z có quan hệ được suy ra từ
phép đổi biến :
⎛ c1T
g
(
x
)
⎛ 1
⎞ ⎜ T

⎜
⎟ ⎜0
y=⎜ M ⎟=⎜
⎜ g ( x) ⎟ ⎜ M
⎝ m ⎠ ⎜ T
⎝0

T

0

T

c1
M

T

0

T
L 0 ⎞
⎟
T
L 0 ⎟
z
O M ⎟⎟
T
L c1 ⎟⎠

(1.21)

Trong đó cTk là vector hàng với rk phần tử có dạng :
T

c k = (1 0 L 0) ,

k = 1, 2, ..., m

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
24


Điều khiển thích nghi robot công nghiêp

Hệ tuyến tính z& = Az + B w, y = C z
Đối tượng điều khiển phi tuyến
w
a( x) + L−1 ( x)w

u

dx
= f ( x) + H ( x)u
dt

x

y
g ( x)

x

Hình 1.2 : Điều khiển tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào – ra đối tượng
MIMO phi tuyến.
Nhận xét : Khi đã tuyến tính hóa chính xác, hệ kín (tuyến tính) với mô hình
trạng thái (1.19), (1.21) sẽ có ma trận truyền đạt:
⎛ c1T ( sI − A1 ) −1 b1 L
⎞
0
⎜
⎟
Y ( s ) = C ( sI − A) −1 B W( s ) = ⎜
M
O
M
⎟ W( s )
T
⎜
−1
0
L c m ( sI − Am ) b m ⎟⎠
⎝
⎛ 1
⎜ s r1
⎜
=⎜ M
⎜

⎜ 0
⎝

⎞
0 ⎟
⎟
O M ⎟ W( s )
1 ⎟
L rm ⎟
s ⎠
L

Điều này chứng tỏ rằng tín hiệu ra yk (t ) chỉ còn phụ thuộc vào tín hiệu đầu
vào uk (t ) . Nói cách khác, bộ điều khiển (1.20) và phép đổi biến (1.15) không những
đã tuyến tính hóa được đối tượng mà còn tách được nó thành m kênh riêng biệt. Vì
vậy phương pháp điều khiển tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào – ra đối tượng
MIMO phi tuyến còn được gọi là điều khiển tách kênh (noninteracting control).
Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào – trạng thái
Khi mà đối tượng phi tuyến có bậc tương đối tối thiểu ( r1 , r2 ,..., rm ) không
thỏa mãn điều kiện r1 + r2 + ... + rm = n .

Lê Hữu Trung - Khóa 2009

ĐK&TĐH
25