Điều khiển thích nghi robot

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

VŨ QUỐC VIỆT

ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI ROBOT

Chuyên ngành: Điều khiển và tự động hóa

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TS. Phan Xuân Minh

HÀ NỘI – 2015


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................................3
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ...................................................................................4
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................5
Chương 1. Mô hình động lực học của robot n bậc tự do .....................................12
1.1. Mô hình hóa Robot dựa trên phương trình Lagrange ............................. 12
1.1.1. Phương trình Lagrange tổng quát ........................................................12
1.1.2. Phương trình động lực học của Robot n thanh nối dựa trên phương
trình Lagrange ........................................................................................13
1.2. Mô hình trạng thái của Robot ..................................................................... 20
1.3. Các tính chất ................................................................................................. 22
1.4. Kết luận chương 1 ........................................................................................ 25

Chương 2. Điều khiển trượt thích nghi trên cơ sở mạng nơ ron nhân tạo ........26
2.1. Điều khiển trượt ........................................................................................... 26
2.1.1. Điều khiển đối tượng tích phân kép ......................................................26
2.1.2. Nguyên tắc chung của điều khiển trượt ...............................................30
2.1.3. Đặc tính bền vững của điều khiển trượt ...............................................31
2.1.4. Hiện tượng rung (chattering) trong điều khiển trượt .........................35
2.2. Mạng nơ ron nhân tạo ................................................................................. 37
2.2.1. Giới thiêụ chung về ma ̣ng nơ ron ..........................................................37
2.2.2. Cấ u trúc ma ̣ng nơ ron nhân ta ̣o ............................................................40
2.3. Điều khiển trượt thích nghi trên cơ sở mạng nơron nhân tạo cho robot n
bậc tự do ........................................................................................................ 48
2.3.1. Đặt bài toán tổng hợp bộ điều khiển trượt ..........................................48
2.3.2. Tổng hợp bộ điều khiển trượt ...............................................................49
2.3.3. Xấp xỉ hàm bất định bằng mạng nơ ron hướng tâm ...........................50
2.3.4. Phân tích tính ổn định của hệ thống .....................................................54
2.3.5. Tổng hợp bộ điều khiển trượt nơ ron thích nghi cho robot n bậc tự
do ..............................................................................................................56

Trang 1


Chương 3. Áp dụng thuật toán điều khiển trượt thích nghi trên cơ sở mạng nơ
ron nhân tạo cho robot ba bậc tự do .....................................................................59
3.1. Mô hình toán học Robot ba bậc tự do ........................................................ 59
3.2. Thiết kế bộ điều khiển trượt thích nghi bằng mạng nơ ron nhân tạo cho
robot ba bậc tự do ........................................................................................ 63
3.3. Mô phỏng kiểm chứng bằng phần mềm Matlab ....................................... 64
3.4. Kết luận chương 3 ........................................................................................ 66
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................67
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................68

Trang 2


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của bản thân được đúc kết từ
quá trình nghiên cứu từ việc tập hợp các nguồn tài liệu, các kiến thức đã học. Mọi sự
giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được tác giả cảm ơn và các thông tin đã
được trích dẫn trong luận văn đều đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả
Vũ Quốc Việt

Trang 3


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Mô tả điểm bất kỳ ở thanh nối.
Hình 2.1: Thiết kế bộ điều khiển trượt cho đối tượng tích phân kép.
Hình 2.2: Quỹ đạo sai lệch trạng thái và hiện tượng trượt về gốc tọa độ.
Hình 2.3: Điều khiển trượt đối theo nguyên tắc phản hồi tín hiệu ra.
Hình 2.4: Điều khiển trượt bám đối tượng tích phân kép.
Hình 2.5: Bộ điều khiển trượt ổn định bền vững.
Hình 2.6: Hiện tượng chattering.
Hình 2.7: Hàm bão hoà sat(s).
Hình 2.8: Định nghĩa lớp biên B(t).
Hình 2.9: Cấu trúc của một nơron sinh học điển hình.
Hình 2.10: Nơron nhân tạo.
Hình 2.11: Mô hình mạng Nơ ron 1 lớp.
Hình 2.12: Mô hình mạng Nơ ron nhiều lớp.
Hình 2.13: Mô tả mạng nơ ron Percepton.

Hình 2.14: Mô tả mạng tuyến tính.
Hình 2.15: Mô tả mạng truyền thẳng.
Hình 2.16: Mô tả mạng truyền thẳng có thời gian trễ.
Hình 2.17: Mô tả mạng Hopefield.
Hình 2.18: Mô tả mạng cơ sở xuyên tâm.
Hình 2.19: Mô tả kiến trúc mạng cơ sở xuyên tâm.
Hình 3.1: Mô hình 3D robot Scara 3 bậc tự do
Hình 3.2: Quỹ đạo và sai lệch quỹ đạo của khớp 1
Hình 3.3: Quỹ đạo và sai lệch quỹ đạo của khớp 2
Hình 3.4: Quỹ đạo và sai lệch quỹ đạo của khớp 3
Hình 3.5: Dạng đặc tính của lực ma sát và nhiễu tác động lên các khớp
Hình 3.6: Mô men và lực tác động lên các khớp khi có lực ma sát và nhiễu tác động

Trang 4


MỞ ĐẦU
Robot công nghiệp là một trong những đối tượng được sử dụng phổ biến và mang
lại hiệu quả cao trong sản xuất, sinh hoạt ... nhưng đồng thời cũng là đối tượng có
tính phi tuyến mạnh, có các tham số bất định lớn và chịu nhiều sự tác động của nhiễu.
Song song với việc nâng cao độ chính xác trong các khâu lắp ghép cơ khí thì vấn đề
điều khiển cũng là một vấn đề hết sức quan trọng để cải thiện đáng kể chất lượng làm
việc của robot. Hiện nay, có nhiều phương pháp điều khiển đã được công bố và được
áp dụng thành công cho robot như phương pháp điều khiển tuyến tính, phi tuyến, tối
ưu, thích nghi, bền vững và các phương pháp sử dụng trí tuệ nhận tạo như hệ mờ,
mạng nơ ron. Nhưng điều khiển robot vẫn luôn là bài toán được nhiều nhà khoa học
quan tâm giải quyết với mục đích cải thiện hơn nữa chất lượng động học của robot.
Điều khiển thích nghi là bài toán thiết kế bộ điều khiển nhằm luôn giữ chất lượng
hệ thống được ổn định, cho dù có nhiễu không mong muôn tác động vào hệ thống
hoặc có những sự thay đổi không biết trước xảy ra bên trong đối tượng điều khiển

làm thay đổi mô hình của nó. Nguyên tắc hoạt động của hệ thống điều khiển thích
nghi là mỗi khi có sự thay đổi của đối tượng, bộ điều khiển sẽ tự thay đổi theo nhằm
đảm bảo chất lượng trong hệ thống không bị thay đổi.
Luận văn chọn hướng nghiên cứu nâng cao chất lượng hệ thống điều khiển robot
dựa trên lý thuyết điều khiển thích nghi. Luận văn nghiên cứu và đề xuất thuật toán
điều khiển thích nghi bền vững mới dựa trên các công cụ điều khiển phi tuyến như
hàm điều khiển Lyapunov, điều khiển trượt kết hợp với mạng nơ ron nhân tạo... Các
công cụ này nhằm đảm bảo cho robot làm việc với chất lượng không thay đổi khi các
tham số và một phần cấu trúc của robot bất định đồng thời chịu ảnh hưởng của nhiễu
bên ngoài tác động.
Lịch sử nghiên cứu điều khiển robot công nghiệp trong và ngoài nước
Robot đã được đặt nền móng đầu tiên từ những năm 20 của thế kỷ XX. Trải qua
gần một thế kỷ kể từ đó các công trình nghiên cứu và các sản phẩm robot được công
bố và phát triển không ngừng. Chính vì tính đa lĩnh vực của sản phẩm mà các công
trình nghiên cứu cũng rất đa dạng đó cũng là khó khăn cho những người có tham

Trang 5


vọng viết tổng quan về lĩnh vực robot nói chung cũng nhưng tổng quan về các phương
pháp điều khiển robot nói riêng. Cũng chính vì vậy, cũng chỉ các kết quả nghiên cứu
gần đây nhất trong lĩnh vực điều khiển robot trong và nước được đề cập tới trong luận
văn này.
Tình hình nghiên cứu trong nước
Những vấn đề khoa học liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu về điều khiển, thiết kế
và chế tạo robot, hiện nay ở nước ta đã nhiều nhóm tham gia nghiên cứu về lĩnh vực
này ở các trường đại học và cao đẳng, ở các viện nghiên cứu dân sự và quốc phòng,
trong số đó có một số nhóm nghiên cứu đạt được một số kết quả đáng kể như:
- Nhóm nghiên cứu của PGS.TSKH. Phạm Thượng Cát, Viện Công nghệ Thông
tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam với một số công trình như:

“Tối ưu hệ số học của mạng hàm bán kính cơ sở trong bộ điều khiển robot theo
phương pháp tính momen” Công trình đã đề cập đến việc sử dụng thuật di
truyền (GA) thực hiện tối ưu hóa hệ số học cho mạng hàm bán kính cơ sở là
thành phần của bộ điều khiển robot theo phương pháp tính momen. Vì hệ số học
của mạng nơron có ảnh hưởng rất lớn đến tốc độ hội tụ và chất lượng của quá
trình điều khiển. Trước đây, hệ số này đã được chọn bằng kinh nghiệm và đôi
khi phải mất một thời gian khá dài mới tìm được một hệ số đáp ứng các yêu cầu
của bài toán điều khiển...
- Nhóm nghiên cứu GS.TS. Đào Văn Hiệp, PGS.T.S. Nguyễn Tăng Cường, Học
viện Kỹ thuật Quân sự với một số công trình như: nghiên cứu tay máy có kết
cấu động học song song...
- Nhóm nghiên cứu: GS.TSKH. Nguyễn Thiện Phúc, GS.TSKH. Nguyễn Văn
Khang Đại học Bách khoa Hà Nội với một số công trình như: “Động lực học và
điều khiển robot phun cát RoPC02” Dựa trên robot phun cát di động (RoPC02)
do Viện nghiên cứu KHKT Bảo hộ lao động đã chế tạo nhóm tác giả xây dựng
mô hình cơ học, xác định các tham số động học, động lực học của robot. Sau
đó trên cơ sở các phương trình động lực học đã thiết lập, tiến hành mô phỏng

Trang 6


số bài toán động học ngược, động lực học ngược và điều khiển robot phun cát
di động...
- Nhóm nghiên cứu PGS.TS. Lê Hoài Quốc, Sở Khoa học và Công nghệ T.P. Hồ
Chí Minh với các công trình: “Mô hình hoá cơ hệ tay máy song song và xây
dựng trung tâm gia công trên máy phay CNC 5 trục ảo” Đề xuất cơ sở tính toán
và xác định các thông số động học, động lực học và mô hình hoá phục vụ cho
điều khiển tay máy song song Stewart-Gough Platform (Hexapod), trong đó đã
giải quyết mối quan hệ vận tốc, gia tốc giữa tấm chuyển động với các chân
trong các ứng dụng; quan hệ giữa ngoại lực tác động trên tấm chuyển động với

lực tác động trên các chân của cơ hệ. Dựa trên cơ sở đó, một cơ hệ tay máy
robot song song sáu chân (Hexapod) dựa trên nguyên lý Gough – Stewart
Platform được xây dựng cho mục đích hình thành một trung tâm gia công trên
máy phay CNC 5 trục ảo. “Tối ưu hóa thiết kế tay máy song song dùng thuật
toán di truyền kết kợp tập hợp tối ưu Pareto” Tối ưu hóa thiết kế cho tay máy
song song kiểu Stewart Platform. Ứng dụng phương pháp điều tra không gian
tham số PSI (Parameters Space Investigation) và tập hợp tối ưu Pareto trong
việc tìm kiếm tối ưu đa tiêu chí cho tay máy song song. Đồng thời, thuật toán di
truyền GA (Genetic Algorithm) cũng được ứng dụng nhằm tìm kiếm cấu hình
thiết kế ban đầu cho quá trình tối ưu hóa dùng Pareto. Nhóm tác giả cho biết
phương pháp kết hợp GA-Pareto có kết quả tối ưu tương đương với khi chỉ dùng
tập hợp tối ưu Pareto thuần tuý, nhưng cho phép giảm thiểu đáng kể thời gian
tính toán. Đồng thời, nó khắc phục những khó khăn khi chọn lựa một cấu hình
thiết kế ban đầu phù hợp cho bài toán dùng PSI và tập hợp tối ưu Pareto trong
vùng không gian khảo sát bất kỳ.
Một số đề tài là các luận văn tiến sĩ trong nước đã đề cập và giải quyết đó là:
- Đề tài: “Ứng dụng kỹ thuật máy tính (CAE) trong kỹ thuật người máy công
nghiệp” của tác giả Phạm Đăng Phước, Đại học Đà nẵng, năm 2000. Nội dung
chính là đặt và giải quyết vấn đề tự động hóa các quá tình tính toán và thiết kế
robot, tạo ra khả năng thiết kế các chương trình điều khiển robot thuận lợi và

Trang 7


đã sử dụng. Mô phỏng hoạt động của robot trên máy tính giúp các nhà thiết kế
nhanh chóng lựa chọn được phương án hình động học của robot, đồng thời có
thể kiểm tra khả năng hoạt động của robot khi thực hiện một nhiệm vụ công
nghệ cụ thể.
- Đề tài: “Nghiên cứu hệ điều khiển thích nghi-bền vững mode trượt ứng dụng
trong điều khiển tay máy” của tác giả Nguyễn Hoàng Mai, Đại học BK Hà Nội,

năm 2008. Nội dung chính là tổng quan về hệ điều khiển. Điều khiển trượt và
vấn đề chất lượng cho hệ điều khiển tay máy. Nâng cao chất lượng hệ điều khiển
chuyển động tay máy bằng phương pháp điều khiển thành phần gián đoạn trong
mode trượt. Ứng dụng SMAC điều khiển đối tượng thực tế, mô phỏng và thực
nghiệm trên robot SCO5PLUS.
- Đề tài: “Nghiên cứu, khảo sát các đặc tính làm việc của hệ thống chấp hành của
robot công nghiệp” của tác giả Phạm Thành Long, Đại học Thái Nguyên, năm
2009. Nội dung chính là tổng quan về các đặc tính làm việc của hệ thống chấp
hành trên robot công nghiệp. Bài toán ngược trong điều khiển động học robot.
Phương pháp giải bài toán ngược và xây dựng các đặc tính động học của biến
khớp. Tổng hợp động học và chế tạo thử nghiệm các cơ cấu chấp hành đặc biệt
trên robot.
- Đề tài: “Một số giải pháp điều khiển nhằm nâng cao chất lượng chuyển động
của tay máy công nghiệp” của tác giả Võ Thu Hà, trường ĐH Bách khoa Hà
Nội, năm 2011. Nội dung chính là nghiên cứu sử dụng bộ quan sát trượt và áp
dụng luật thích nghi Li-Slotine cho robot Almega16.
(Nguồn từ thư viện Quốc gia Việt Nam.)
Tình hình nghiên cứu nước ngoài
- Các công trình của nhóm nghiên cứu Sao Kawamura, người Nhật Bản, thể hiện
rõ ở tài liệu Sao Kawamura, Mikhail Svinin (Eds) (2006): Advances in Robot
Control. pringer-Verlag Berlin Heidelberg.
- Điều khiển thích nghi trên cơ sở mờ nơ ron áp dụng cho bài toán điều khiển bám
robot Wei Sun, Yaonan Wang (2004): A Recurrent Fuzzy NeuralNetwork Based

Trang 8


Adaptive Control and Its Application on Robotic Tracking Control. Neural
Information Processing-Letters and Reviews, Vol. 5, No. 1, October 2004.
- Dự báo sai lệch dựa trên bám Jacobian thích nghi cho Robot với thông số động

học và động lực học không biết chính xác Hanlei Wang, Yongchun Xie (2009):
Prediction Error Based Adaptive Jacobian Tracking of Robots With Uncertain
Kinematics and Dynamics. IEEE Transaction on Automatic Control, vol. 54,
no. 12
- Phản hồi đầu ra thích nghi phi tuyến cho chuyển động tay máy robot John M.
Daly and Howard M. Schwartz (2005): Non-Linear Adaptive Output Feedback
Control of Robot Manipulators, Carleton University.
- Thiết kế quỹ đạo và điều khiển cho robot Planar với khớp cuối thụ động... Ngoài
ra còn áp dụng tính thụ động của mô hình robot để thiết kế bộ điều khiển dựa
đặc tính này (Jeffrey T. Spooner, Manfredi Maggiore, Raúl Ordóñez, Kevin M.
Passino (2002): Stable adaptive control and estimation for nonlinear system.
copyright by John Wiley & Sons, Inc.), sử dụng bộ quan sát trạng thái (Salim
Ibrir (2009): Algebraic observer design for a class of uniformly-observable
nonlinear systems: Application to 2-link robotic manipulator, Proceedings of
the 7th Asian Control Conference,Hong Kong, China, August 27-29, 2009).
- Điều khiển dự báo, sử dụng các công cụ mờ, mạng noron và các công trình khác
được luận văn đề cập như ở phần tài liệu tham khảo...
Tuy lĩnh vực này đã được nghiên cứu từ rất sớm và đã có nhiều kết quả được ứng
dụng nhưng vẫn còn nhiều vấn đề cần được quan tâm nghiên cứu và giải quyết tiếp
để nâng cao chất lượng phục vụ của robot.
Gần đây, với sự phát triển nhảy vọt trong điều khiển phi tuyến trên nền ISS và hình
học vi phân, phương pháp xây dựng bộ điều khiển thích nghi trên cơ sở tuyến tính
hóa chính xác và được bổ sung thêm bộ điều khiển bù bất định nhằm điều khiển hệ
bám theo mô hình tuyến tính mẫu có điểm cực đặt trước (nằm bên trái trục ảo) đã loại
trừ được nhiễu bất định tác động vào hệ thống và khắc phục được những nhược điểm
của các phương pháp trên.

Trang 9

Mục đích nghiên cứu của luận văn, đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
Mục tiêu của luận văn là đề xuất thuật toán điều khiển thích nghi phi tuyến trên cơ
sở mạng nơ ron nhân tạo cho robot công nghiệp đảm bảo bám tiệm cận quĩ đạo đặt
trước, với robot có mô hình phi tuyến, bất định dạng hàm số và có nhiễu bên ngoài
tác động. Thuật toán đề xuất được chứng minh tính ổn định cho hệ kín dựa trên lý
thuyết ổn định Lyapunov, được mô phỏng kiểm chứng bằng phần mềm MatlabSimulink.
Đối tượng nghiên cứu
Về phương pháp luận: đối tượng nghiên cứu là lý thuyết điều khiển thích nghi phi
tuyến sử dụng mạng nơ ron nhân tạo dựa trên hàm điều khiển thích nghi Lyapunov
(LACF), kỹ thuật backstepping và điều khiển trượt (SMC).
Về phương diện điều khiển: đối tượng của luận văn là nghiên cứu đề xuất thuật
toán điều khiển thích nghi phi tuyến mới trên cơ sở mạng nơ ron nhân tạo, phát biểu
bổ đề, định lý và chứng minh tính ổn định của hệ kín.
Về phương diện ứng dụng: đối tượng của luận văn là robot công nghiệp n bậc tự
do.
Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về phương pháp luận, đề xuất các thuật toán và cấu trúc điều khiển áp
dụng cho đối tượng robot, phát biểu bổ đề, định lý và chứng minh tính ổn định của
hệ kín. Mô phỏng kiểm chứng các đề xuất mới bằng phần mềm Matlab-Simulink
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Mô hình động lực học của robot n bậc tự do: trình bày một cách tổng
quát mô hình động lực học của robot n bậc tự do, xây dựng phương trình động lực
học của robot n thanh nối dựa trên phương trình Lagrange, xây dựng mô hình trạng
thái của robot n bậc tự do. Nêu và phân tích các tính chất của mô hình robot, lựa chọn
các phương pháp điều khiển từ đó chỉ rõ hướng nghiên cứu
Chương 2. Điều khiển trượt thích nghi trên cơ sở mạng nơ ron nhân tạo: trình bày
các vấn đề liên quan đến điều khiển trượt thích nghi dựa trên cớ sở mạng nơ ron nhân
tạo

Trang 10

Chương 3. Áp dụng thuật toán điều khiển trượt thích nghi trên cơ sở mạng nơ ron
nhân tạo cho robot ba bậc tự do: xây dựng mô hình toán học và bộ điều khiển trượt
thích nghi trên cơ sở mạng nơ ron nhân tạo để điều khiển robot ba bậc tự do, mô
phỏng và kiểm chứng bằng phần mềm Matlab.
Trong quá trình nghiên cứu, tác giả luận văn đã cố gắng tiếp cận và giải quyết vấn
đề một cách triệt để nhất. Tuy vậy, do thời gian có hạn và trình độ chuyên môn còn
nhiều điểm chưa hoàn thiện, chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót nhất định.
Kính mong nhận được sự đóng góp và chỉ bảo thêm của các thầy cô.
Xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Viện Đào tạo Sau đại học, Bộ môn Điều khiển
Tự động trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS. Phan Xuân Minh, người đã định
hướng và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Trang 11


Chương 1. Mô hình động lực học của robot n bậc tự do
Mô hình hóa Robot dựa trên phương trình Lagrange

1.1.

1.1.1. Phương trình Lagrange tổng quát
Trong phương trình Lagrange, các biến tọa độ tổng quát được sử dụng để xác định
vị trí duy nhất của vật. Phương trình Lagrange sẽ nhận được từ phương trình Niutơn.
Giả sử hệ thống gồm n phần tử vật chất với n bậc tự do mô tả bởi n biến tọa độ
tổng quát 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 (đối với chuyển động khớp quay, tọa độ tổng quát là góc quay
của khớp qi   i , đối với khớp chuyển động tịnh tiến, tọa độ tổng quát là độ di chuyển

qi  d i ). Một vector vị trí không gian 3 chiều 𝑋̅𝜇 đối với mỗi phần tử vật chất 𝑃𝜇 được
ký hiệu là:
𝑋̅𝜇 = 𝑥𝜇 (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 , 𝑡 )

(1.1)

Khối lượng của mỗi phần tử vật chất 𝑃𝜇 là 𝑚𝜇 và lực đặt lên 𝑃𝜇 là 𝐹𝜇 , phương trình
chuyển động Niutơn có dạng:
𝐹̅𝜇 = 𝑚𝜇 𝑋̅̈𝜇

(1.2)

Lấy đạo hàm

𝜕𝑥̅𝜇
𝜕𝑞𝑖

và lấy tổng đối với tất cả các phần tử vật chất của hệ thống, ta

nhận được phương trình sau:
𝜕𝑥̅
𝜕𝑥̅
∑𝜇 𝐹̅𝜇𝑇 𝜇 = ∑𝜇 𝑚𝜇 𝑋̅̈𝜇𝑇 𝜇 , 𝑞𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
𝜕𝑞𝑖

(1.3)

𝜕𝑞𝑖

Mặt khác từ phương trình (1.1) ta có:
𝜕𝑥̅𝜇
𝜕𝑥̅ 𝜇
𝑥̅̇𝜇 = ∑𝑛𝑖=1
𝑞̇ 𝑖 +
𝜕𝑞𝑖

𝜕𝑥̅̇ 𝜇
𝜕𝑞̇ 𝑖

=

(1.4)

𝜕𝑡

𝜕𝑥̅ 𝜇

(1.5)

𝜕𝑞𝑖

Như vậy phương trình (1.3) có thể viết lại ở dạng sau:
𝑄𝑖 =

𝑑

(

𝜕𝐾

𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑖

)−

𝜕𝐾

(1.6)

𝜕𝑞𝑖

Trong đó: 𝐾 = ∑𝜇

𝑚𝜇
2

𝜕𝑥̅𝜇
𝑥̅̇𝜇𝑇 𝑥̅̇𝜇 là động năng hệ thống, và 𝑄𝑖 = ∑𝜇 𝐹̅𝜇𝑇
là lực tổng
𝜕𝑞𝑖

quát tương ứng với hệ tọa độ 𝑞𝑖 .

Trang 12


Lực 𝐹̅𝜇 gồm hai thành phần: thành phần trọng lực (𝐹𝜇𝑎 ) và các thành phần lực còn
lại (𝐹𝜇𝑏 ). Thành phần trọng lực được tình từ thế năng của phần tử:
(𝐹𝜇𝑎 ) = −

𝜕𝑃

(1.7)

𝜕𝑥𝑢

Khi đó ta nhận được thành phần 𝑄𝑖𝑏 có dạng sau:
𝑇 𝜕𝑥̅ 𝜇
𝑄𝑖𝑏 = ∑𝜇 𝐹̅𝜇𝑏

(1.8)

𝜕𝑞𝑖

Hàm Lagrange là hiệu của động năng và thế năng của vật có dạng:
L=K−P

(1.9)

Sử dụng các biểu thức từ (1.6) đến (1.8), và sau một số biến đổi ta được phương
trình chuyển động Lagrange như sau:
Q ib =

d

(

∂L

dt ∂q̇ i

)−

∂L

(1.10)

∂qi

Đối với vật thể cứng có n bậc tự do, động năng của vật K được xác định như sau:
1

1

2

2

𝐾 = 𝑚𝑣 𝑇 𝑣 + 𝜔𝑇 𝐽t 𝜔

(1.11)

Trong đó:
𝑣 – vận tốc chuyển động tịnh tiến của tâm vật thể
𝜔 – vận tốc góc;
m – khối lượng vật thể
𝐽𝑡 - mô men quán tính của vật thể.
1.1.2. Phương trình động lực học của Robot n thanh nối dựa trên phương
trình Lagrange
Quá trình xây dựng phương trình động lực học Lagrange của Robot n thanh nối

gồm 5 bước:
-

Tính tốc độ của điểm bất kỳ trên thanh nối

-

Tính động năng

-

Tính thế năng

-

Tình hàm Lagrange

-

Tính mô men và lực của các khớp

Trang 13


1.1.2.1.

Tính tốc độ của điểm bất kỳ trên thanh nối

Với Robot n thanh nối, trên mỗi thanh nối gắn một hệ trục tọa độ trong đó mối
quan hệ giữa hệ tọa độ thanh nối i và i-1 biểu diễn bằng phép biến đổi tọa độ

i 1

Ti .

0

Do đó phép biến đổi tọa ddội từ thanh nói i đến hệ tọa độ gốc là Ti :

Hình 1.1: Mô tả điểm bất kỳ ở thanh nối.

Ti  0T1 1T2 2T3i1 Ti

0

Trong đó

i 1

Ti là hàm của biến 𝑞𝑖 khớp i.

Xét một điểm bất kỳ trên thanh nối i và biểu diễn nó trong hệ tọa độ thanh nối i
bằng vector i r
i

r  xi , yi , zi 

T

Vị trí của điểm đó trong hệ tọa độ gốc biểu diễn bằng quan hệ:

0

r 0Ti i r

(1.12)

Vì thanh nối là vật thể cứng nên quan hệ i r trong thanh nối i là hằng số, tức là

d ir
0
dt

(1.13)

Lấy đạo hàm phương trình (1.12) theo và sử dụng (1.13) ta có phương trình sau:

Trang 14


 

d 0r i  d 0 i 0 d ir
r
Ti r  Ti
dt
dt
dt

 i  0Ti
 

 j 1 q
j


i
r



(1.14)a

 0Ti
0
Ghi chú: do 𝑇𝑖 = (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑖 ) không phụ thuộc vào 𝑞𝑗 (𝑗 > 𝑖) nên
q j
(𝑗 > 𝑖) tức là j = i + 1, … , n nên thay chỉ số giới hạn i bằng n. Do đó (1.14)a có
thể viết thành:
d 0r i   i  0Ti  i
r 
q r
 j 1 q j 
dt
j



(1.14b)

Sử dụng khái niệm vết của ma trận (Trace(A)), bình phương tốc độ của một điểm
bất kỳ trong thanh nối i được tính như sau:

0

T
n  0
n  0
 
r T 0 r  Trace 0 r 0r T  Trace    Ti q j i r    Ti q k i r  
 
 k 1  q
 j 1  q j
 
  k





(1.15)

Sau một số phép biến đổi ta có:
0

n n
  0Ti i i T  0Ti 
q j q k
r T 0 r   Trace
rr
 q



q
j 1 k 1
k 
 j

1.1.2.2.

(1.16)

Tính động năng

Động năng của một điểm bất kỳ trong thanh nối i có khối lượng dm và ở vị trí i r
được tính bằng:
1
dK i  0 r T
2

0

0 T
n n
 0
r dm  1  Trace  Ti i r i r T dm  Ti
 q
2  j 1 k 1
dq k
 j




q j q k  dm




(1.17)

Do đó động năng của thanh nối được tính bằng tích phân theo toàn bộ thanh nối
i:

 n n  0T j 

 0 T
1
 i r ir T dm   Ti q q 
K i   dK i  Trace 

 dqk j k 
2
 j 1 k 1 q j  thanhi
thanhi


Ký hiệu J i 



i

r ir T dm là ma trận quán tính giả.

thanh i

Trang 15

(1.18)


 i rx2 dm
 i
 i r i r dm
 x y
Ji   i i i
  rx rz dm
i
 i rx dm
 i


i

i

ry i rx dm




i

i
i

i

ry2 dm

ry i rz dm



i

ry dm

i

rx dm

i
i
i i
i
rz rx dm
ry dm
i
i

i 2
i

i rz dm i rz dm
i
i rz dm i dm 




i

rz i rx dm





i

(1.19)

Các phần tử của 𝐽𝑖 đước xác định như sau:

I ixx 

  ry  rz dm
i 2

i 2

thanh i

I ixy 

 r
i

x

 i ry  dm

(1.20)

thanh i

mxi 



i

rx dm

thanhi

Các thành phần Iiyy , I izz , Iixz I iyz , mi yi , mi zi xác định tương tự Iixx , Iixy hoặc
mxi

Khi sử dụng các biểu thức:



i

rx2 dm  

i





i

ry2 dm 

i





i

rz2 dm 

i



1 i 2 i 2
1

1

ry  rz dm    i rx2  i rz2 dm    i rx2  i ry2 dm

2
2
2

 I

ixx

 I iyy  I izz 
2

1 i 2 i 2
1
1

ry  rz dm    i rx2  i rz2 dm    i rx2  i ry2 dm

2
2
2

I

ixx

 I iyy  I izz 

2

1 i 2 i 2
1
1

ry  rz dm    i rx2  i rz2 dm    i rx2  i ry2 dm

2
2
2

I

ixx

 I iyy  I izz 
2

Ma trận quán tính được viết lại như sau

Trang 16

(1.21)




  Iixx  Iiyy  Iizz 
I

I

ixy
ixz
2


 I  I  I 
 ixx iyy izz 



I
I

ixy
iyz
2
J 
i 
 I  I  I 
 ixx iyy izz 




I
I
ixz
iyz

2


 I

 ixx


mx
my
mz
i i
i i
i i




i
i
Trong đó r  rx

i

ry

i




mx

i i



my

i i




mz
i i


 I  I  
iyy izz  

2

(1.22)



rz 1 là vector vị trí của phần tử i

x i , yi , zi là các thành phần của vector tâm khối trong khung tọa độ thanh i.
Tổng động năng của robot được tính như sau:

n
 n n  0Ti  0TiT

1
K   K i  Trace
Ji
q j qk 
2
q k
i 1
 j 1 k 1 q j


(1.23)

Sử dụng tính chất của Trace(PL…) (1.23) được viết thành:
K

 n n
 1
1
Trace  h jk q j q k   q T H q q
2
 j 1 k 1
 2

(1.24)

Trong đó thành phần ma trận hjk được tính theo:
n

  0T  0TiT 
H jk   Trace  i J i

q k 
i 1
 q j

Do

(1.25)

 0Ti
 0,  j  i  nên có thể viết (1.25) thành
q j

  0Ti  0TiT 
H jk   Trace 
Ji

q k 
i  max( j , k )
 q j
n

(1.26)

Do h jk  hkj nên ma trận vuông H q  là ma trận đối xứng, đồng thời động năng là
một đại lượng dương với q  0 nên các thành phần của H q  là các số dương.
1.1.2.3.

Tính thế năng

Thế năng của thanh nối thứ i được xác định theo biểu thức:

Trang 17


Pi  mi g T 0Ti i r

(1.27)

trong đó:





g  g x , g y , g z ,1 - vector gia tốc trọng trường;
T

mi - khối lượng của thanh nối;
i

r - vector vị trí thanh nối i trong hệ tọa độ của thanh nối i

Tổng thế năng của hệ thống là:
n

P   mi g T Ti i r
0

(1.28)

i 1

i
Chú ý rằng mi r là cột thứ tư của ma trận J i nên có thể viết tổng thế năng như

sau:
n

P   g T Ti q J i e 4
0

(1.29)

i 1

Với e4  0 0 0 1

T

1.1.2.4.

Tính hàm Lagrange của robot

n

L   K i  Pi 

(1.30)

1
L q , q   K q , q   P q   q T H q q  P q 
2

(1.31)

i 1

Thay các biểu thức tính K (1.24) và (1.28) vào (1.30) sau một số phép biển đổi ta
nhận được hàm Lagrange có dạng sau:

  0Ti  0TiT
1 n j i
L   Trace
J
 q i q
2 i 1 j 1 k 1
j
k

1.1.2.5.

n

q j q k   mi g T 0Ti i r

i 1


(1.32)

Tính các thành phần của phương trình động lực học:

L K

 H q q


d q dq

(1.33)

d L
 H q q  H q q

dt dq

(1.34)

Trang 18


L 1   T
Pq 

q H q q 
q 2 q
q





(1.35)

Do đó phương trình động lực học robot có dạng:

1  T
Pq 
H q q  H q q 
q H q q 
M
2 q
q







(1.36)



1  T
K
q H q q  H q 

Ký hiệu V q , q   H q q 
2 q
q

(1.37)

là thành phần mô men nhớt và hướng tâm.

G q  

Pq 
q

(1.38)

là thành phần mô men trọng lực
Khi đó phương trình động lực có dạng như sau:

H q q  V q , q   Gq   M

(1.39)

Tính các biểu thức (1.32) ÷ (1.38) sẽ nhận được các biểu thức sau:
Mô men của khớp i được xác định theo (1.10) với hàm Lagrange tính theo:
n

n

n

   Dijk q j q k  Di
M i   H ij q
j 1

(1.40)

j 1 k 1

Trong đó:
  0T p
 0T pT 

 i, j  1, 2, ..., n 
H ij   Trace
Jp



q

q
p  max(i , j )
j
i 

n

  2 0T
 0T pT 
p


vi q, q     Trace
J
q q
 q j qk p qi  k j
j 1 k 1 p  max(i , j ,k )


n

j

j

  2 0T
 0T pT 
p

  Trace
J
 q j q k p qi 
p  max(i , j , k )



(1.40a)

i, k , j  1, 2, ..., n

(1.40b)

n

Dijk

n

g i   m p g
p 1

T

 0T p
q j

p

r

(1.40c)

(1.40d)

Trang 19


Các phương trình (1.36) ÷ (1.40) có H q  là ma trận vuông đối xứng (nxn) biểu
thị ma trận mô men quán tính với phần từ H i, j  xác định theo (1.40a) , V (q , q ) là
vector (n x 1) biểu thị thành phần lực hướng tâm và lực nhớt, G  p  là vector (nx1)
biểu thị mô men trọng lực. Các thành phần mô men quán tính và trọng lực có ảnh

hưởng lớn đến độ ổn đình và độ chính xác vị trí của robot. Các lực hướng tâm và nhớt
chỉ có ảnh hưởng lớn khi robot di chuyển với tốc độ cao.
Thành phần V có thể viết thành:

V (q , q )  C (q , q )q
Do đó phương trình động lực học được viết dưới dạng:

H (q )q  C (q , q )q  G(q )  M

(1.41)

Thực tế trong cơ cấu robot tồn tại lực tồn tại lực ma sát nhớt và lực ma sát tĩnh
nên một cách tổng quát, phương trình động lực học robot có dạng sau:

H (q )q  C(q , q )q  G(q )  Fv q  Fd (q )  M d  M
Trong đó: Fv - ma trận hệ số ma sát nhớt,

(1.42)

Fd (q ) - vector lực ma sát tĩnh, M d -

vector mô men nhiễu gây ra bởi mô hình động lực học không chính xác.
Từ (1.42) ta có:
  H q 1 M  C q, q q  G  p   F q   M d 
q

q   qdt
q   qdt

Nếu kể cả ngoại lực tác động vào tay robot, mô men khớp phải được cộng thêm

thành phần mô men gây ra bởi lực tác dụng lên tay:

H (q )q  C (q , q )q  G(q )  FV q  Fd (q )  M d  M  M f
1.2.

Mô hình trạng thái của Robot

Để viết phương trình động lực học ở dạng phương trình trạng thái, ta định nghĩa
các vector sau:
Vector trạng thái bậc n cho hệ thống:

Trang 20




X t   x1T , x2T , ... , x3T , ... , xnT



T

(1.43)

Trong đó xi  xi1 , xi 2   qi , qi  là vector trạng thái của thanh i.
T

T

Vector đầu vào bậc n:

U  u1 , u 2 ,...,u n   M 1 , M 2 ,..., M n 
T

T

(1.44)

Trong đó u i  M i là mô men đặt vào cơ cấu chấp hành của thanh thứ i.
Phương trình động lực học của robot (1.39) có thể viết dưới dạng sau:
 H 11  H 1n 
    


 H n1  H nn 

 q1   v1   g1   M 1 
        
       
qn  v n   g n   M n 

(1.45)

Sử dụng ký hiệu vector (1.43) và (1.44), phương trình trên có thể viết dưới dạng
phương trình trạng thái mô tả như sau:

X t   f  X t  ,U t 

(1.46)

ở đây: f    là hàm vector phi tuyến (2n x 1) và khả vi liên tục.
Khi đó ta nhận được n hệ phương trình trạng thái theo n khớp, trong đó thứ nhất
của mỗi khớp là:

 x11  x12
 x  x
 21
22




 x n1  xn 2

(1.47)

Phương trình thứ hai có thể được xác định bằng cách giải phương trình sau:
 x12   v1  x11 , x12    g1  x11    u1 
    
H q     

 
  
 x n 2  vn  xn1 , xn 2   g n  xn1  u n 



(1.48)

Vì ma trận quán tính H là không đơn nhất nên có thể biểu diễn các vector trạng

thái như sau:

Trang 21


  v1  x11 , x12    g1  x11   
 x12 
 M1 
    H 1     H 1  
    


 



 



 x n 2 
 M n 
 vn  xn1 , xn 2   g n  xn1  

(1.49)

Hoặc (89) có thể viết như sau:
 x12   f1  x    b11
 
 


  
 xn 2   f n  x   bn1

b1n   u1 
 
 
bnn  un 

(1.50)

Từ đó hệ phương trình trạng thái cho khớp i là:

 x i1  xi 2

 x i 2  f i 2 x   bi 2 x U t 

(1.51)

Trong đó f i 2    là thành phần thứ i của ma trận  H 1  q  V (q , q )  g  q  
bi 2  X  là hàng thứ i của ma trận H 1  q 

1.3.

Các tính chất

Tính chất 1: Ma trận quán tính

H q 

hằng số dương, I là ma trận đơn vị.

với  1I  H q    2I , trong đó

H q 

1 ,  2

là các

đóng một vai trò quan trọng cho cả mô

hình động lực học của robot cũng như thiết kế điều khiển. Các tính chất của ma trận
1 T
quán tính liên quan chặt chẽ đến hàm động năng K q , q   q H q q và được sử
2

dụng nhiều trong thiết kế điều khiển cho robot. Từ tính chất ma trận
dương theo

q

do đó ta có thể thấy ngay một hàm

H q 

xác định

V : Rn  Rn  R

ta có

V q , q   q T H q q . Như vậy, ta có được V q , q   2 K q , q  ở đây V q , q  tương ứng

với hàm động năng của robot K q , q   q T H q q . Cũng từ tính chất ma trận

H q 

là

xác định dương nên sử dụng tính khả nghịch của ma trận này để vận dụng thiết kế bộ
điều khiển cho robot.
Tính chất 2: C q , q q là vector tương hỗ và ly tâm, còn C q , q  R nn là ma trận
thỏa mãn C q , q   c0 q với

c0

là hằng số bị chặn và C q , q q được viết dưới dạng:

Trang 22


 1
1   T

C q , q q  H q q  
q H q q    H q   N q , q  q
2  q

 2

(1.52)

với N q , q   H q   2C q , q 

(1.53)





trong biểu thức(1.53), N q , q  là ma trận đối xứng lệch. (Ma trận đối xứng lệch
là:

NT  N  0

hay Nij  N ji  0 với i  j , ta có:

q T N q , q q  0

(1.54)

Đặc tính này được áp dụng trong việc khảo sát tính ổn định của hệ thống điều
khiển robot.
Tính chất 3: Tuyến tính với các tham số động lực học
Trong phương trình động lực học của robot, các tham số hệ thống như khối lượng
mỗi khớp mi , momen quán tính I i cũng như chiều dài mỗi khớp có quan hệ tuyến
tính và ta có thể biểu diễn phương trình động lực học qua ma trận hồi quy W như sau:
M  H(q)q  C(q,q)q  G(p)  F(q)  H(q)q  N(q,q)q  W  q,q,q  p

(1.55)

với vector p là vector tham số động lực học

p   m1 ,

, mn , I1 ,

, I n , v1 ,

, vn , k1 ,

, kn 

(1.56)

Đặc tính này rất phù hợp cho việc áp dụng điều khiển theo luật điều khiển thích
nghi, đặc biệt luật thích nghi theo mô hình động lực học đảo, thích nghi Li-Slotin.
Tính chất 4: Mô hình động lực học của robot có tính phẳng
Nếu các biến điều khiển và biến trạng thái có thể tính được theo một đại lượng
đầu ra nào đó thì đại lượng đó được gọi là đầu ra phẳng và hệ được gọi là hệ phẳng,
biến đầu ra đó được gọi là đầu ra phẳng của hệ. Từ tính chất đặc biệt này đã mở ra
khả năng tìm trực tiếp tín hiệu điều khiển từ đầu ra phẳng mong muốn.
Tính chất 5: Mô hình động lực học của robot có tính thụ động
Hệ thụ động là một lớp các đối tượng trong đó năng lượng cung cấp từ bên ngoài
không nhỏ hơn năng lượng tích luỹ thêm bên trong đối tượng. Hoặc có thể hiểu: hệ
thụ động là một hệ không tự sinh ra năng lượng và được định nghĩa trên cơ sở bảo
toàn năng lượng. Năng lượng hiện có bên trong hệ thụ động trong khoảng thời gian

Trang 23

(0,t) được xác định bằng hiệu:

A x t   A x 0  sẽ

không lớn hơn năng lượng cung

cấp cho nó được xác định bằng:
t

 u   y  d
T

(1.57)

0

Thiết kế bộ điều khiển trên cơ sở ứng dụng tính thụ động cho phép ta không phân
biệt đối tượng tuyến tính hay là phi tuyến mà điều quan tâm hàng đầu là bản chất của
các đối tượng vật lý sự biến đổi năng lượng tích luỹ nội tại trong nó không thể vượt
quá năng lượng được cung cấp từ phía bên ngoài. Thiết kế bộ điều khiển dựa trên đặc
tính thụ động cho chúng ta khả năng ứng dụng điều khiển phản hồi đầu ra. Để đạt
được mục tiêu điều khiển chúng ta không cần đo toàn bộ các biến trạng thái của đối
tượng vì do tính thụ động dựa trên cơ sở của những tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu
ra. Đây là một ưu điểm hết sức quan trọng của hệ thụ động. Bộ điều khiển trên cơ sở
thụ động có mục đích biến đổi các tham số năng lượng của đối tượng nên có thể thay
biện pháp triệt tiêu bằng phương pháp làm trội những tính chất phi tuyến không mong
muốn của đối tượng. Xây dựng bộ điều khiển tựa thụ động dựa trên nguyên lý dạng
hàm năng lượng và bù năng lượng tổn hao:

- Dạng hàm năng lượng: Tìm một luật điều khiển phản hồi sao cho hàm dự trữ
năng lượng mới có điểm cực tiểu tại giá trị đặt trước
- Bù năng lượng tổn hao: Tìm cách thay đổi hàm tiêu tán Rayleigh sao cho hệ
ổn định toàn cục.
Tính chất 6: Mô hình động lực học của robot có thể chuyển về dạng truyền ngược
chặt.
Từ mô hình robot n bậc tự do như sau:

H (q )q  C(q , q )q  G(q )  Fv q  Fd (q )  M d  M
Ta đặt:

qi  xi1 , qi  xi1  xi 2 , qi  xi1  xi 2

(1.58)

thì phương trình (1.58) trở thành hệ

phương trình sau:

 x1  x2

 x 2  f  x1 , x2   u

(1.59)

Trang 24