hoc gioi bất đẳng thức 8

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

Chuyên đề Bất đẳng thức và GTLN, GTNN
Bài 1. Cho x,y,z không âm và

1
1
1


 2 . Tìm GTLN của: P  xyz
x 1 y 1 z 1

Giải
Ta có:
1
1
1


2
x 1 y 1 z 1


1
1
1
y
z

y.z
 (1 
)  (1 
)

2
x 1
y 1
z 1
y 1 z 1
( y  1).( z  1)

(1)

Tương tự:
1
x.z
2
y 1
( x  1).( z  1)

(2)

1
x. y
2
z 1
( x  1).( y  1)

(3)

Nhân các vế của các bất đẳng thức (1)(2)(3), ta có:
1
xyz
 8.
( x  1).( y  1).( z  1)
( x  1).( z  1).( z  1)
1
 xyz 
8

Vậy MaxP 

1
1
khi x  y  z 
8
2

Bài 2. Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) và x+y+z=2. Tìm GTNN: P 

x
y
z
.
.
1 x 1 y 1 z

Giải
Đặt a=1-x ; b=1-y ; c=1-z ( a;b;c > 0 )

Suy ra: a+b+c=1
P

1  a 1  b 1  c (b  c).(c  a).(a  b) 2 bc .2 ca .2 ab
.
.


8
a
b
c
abc
abc

Vậy MinP  8 khi x  y  z 

2
3

Bài 3. Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Tìm GTLN: P 

1
1
1
 2
 2
2
2
2x  y  3 2 y  z  3 2z  x2  3

2

Giải
Ta có:
0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

2 x 2  y 2  3  ( x 2  y 2 )  ( x 2  1)  2  2 xy  2 x  2
1
1
 2

2
2 x  y  3 2 xy  2 x  2
'  '  x  y  1.
TT:
1
1

2

2 y  z  3 2 zy  2 y  2
1
1

2
2
2 z  x  3 2 xz  2 z  2
1
1
1
P


2 xy  2 x  2 2 zy  2 y  2 2 xz  2 z  2
1
x
xy



2 xy  2 x  2 2 zyx  2 xy  2 x 2 xz.xy  2 xyz  2 xy
1
x
xy
1



 (do xyz  1)
2 xy  2 x  2 2  2 xy  2 x 2 x  2  2 xy 2

1
KL : max P   x  y  z  1.
2
2

Bài 4. Cho x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1. Tìm GTLN của: P  x  yz  y  xz  z  xy
Giải
Ta có:
P  x  yz  y  xz  z  xy
 x( x  y  z )  yz  y ( x  y  z )  xz  z ( x  y  z )  xy
 ( x  y )( x  z )  ( y  x)( y  z )  ( z  x)( z  y )
( x  y )  ( x  z ) ( y  x)  ( y  z ) ( z  x)  ( z  y )


2
2
2
 2( x  y  z )  2



1
 max P  2  x  y  z  .
3

Bài 5. Cho x,y,z>0 và x+y+z=xyz. Tìm GTLN: P 

1
x 1
2



1
y 1
2



1
z2 1

Giải
Ta có:
1
1
1


1
xy yz zx
1
1
1
u  ; v  ; w   uv  vw  uw  1
x
y
z
x  y  z  xyz 

0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

P

u
u2  1

v



v2  1

u

P

w



w2  1


v

w



u 2  uv  vw  uw
v 2  uv  vw  uw
w2  uv  vw  uw
u
v
w
P


(u  v)(u  w)
(v  w)(v  u )
( w  u )( w  v)
u
u
v
v
w
w
.


.

.
uv uw
vu vw
wu wv
1 u
u
v
v
w
w
3
P (





)
2 u v u w vu vw wu wv
2
u  v  w
3
1
 max P   
uvw
x yz 3
2

3
uv  vw  wu  1
P

Bài 6. Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Tìm GTNN: P 

x y
yz
zx


xy  z
yz  x
zx  y

Giải
Theo giải thiết:
x  y  z 1
x y
yz
zx
P


xy  z
yz  x
zx  y


1 z


xy  1  x  y

1 x
1 y

yz  1  y  z
zx  1  z  x



1 z
1 x
1 y


(1  x)(1  y )
(1  y )(1  z )
(1  x)(1  z )
1 z
1 x
1 y
.
.
3
(1  x)(1  y ) (1  y )(1  z ) (1  x)(1  z )

 33

 min P  3  1  x  1  y  1  z  x  y  z 

1
3

Bài 7. Cho x,y,z>0 và xyz=1. Tìm GTNN: P 

1  x2  y 2
1 y2  z2
1  x2  z 2


xy
yz
zx

Giải
Ta có:
P


1  x2  y 2
1  y2  z2
1  x2  z 2


xy
yz
zx
3 3 x2 y 2
xy



33 z2 y2
zy



3 3 x2 z 2
xz

0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]



3

xy

3

yz

3
zx

3
3
3
.
.
 3 3 ( do xyz  1)
xy yz zx

 33

 min P  3 3  x  y  z  1.

Bài 8. Cho x,y,z>0 và x2  y 2  z 2  1 . Tìm GTNN: P 

x
y
z
 2
 2
2
2
y z
z x

x  y2
2

Giải
Theo giải thiết:
x2  y 2  z 2  1 
P

x
y
z


2
2
1 x 1 y 1 z2

Ta có:
2  2 x 2  1  x 2  1  x 2  3 3 2 x 2 .(1  x 2 ) 2
 x 2 .(1  x 2 ) 2 

4
2
x
3 3x 2
 x.(1  x 2 ) 


2
27

2
3 3 1 x

3 3 x 2 3 3 y 2 3 3 z 2 3 3( x 2  y 2  z 2 ) 3 3




2
2
2
2
2
3 3
3
 min P 
x yz
2
3
P

Bài 9. Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN: P 

1
1

3
x y
xy
3

Giải
Theo giả thiết:
x  y  1  1  ( x  y )3  x 3  y 3  3 xy ( x  y )  x 3  y 3  3 xy
P

1
1 x3  y 3  3 xy x 3  y 3  3 xy



x3  y 3 xy
x3  y 3
xy

 P  4

3 xy
x3  y 3
3xy x 3  y 3


4

2
.
 42 3
x3  y 3
xy
x3  y 3

xy

 min P  4  2 3

2 3 3

1
3
x 
1
 3 xy
x3  y 3
 xy



 3

2
3
3
'  '   x  y3
xy   x  y
3 
x  y  1
x  y  1

2 3 3



1

3
y 

2
Facebook.com/THCS.Tieuhoc
0902-11-00-33



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

Bài 10. Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN: P 

x
y

1 x
1 y

Giải
Theo giả thiết:
x
y

x
y


 y
 x  ( x  y)
y
x
y
x

x  y 1 P 
P2

x
. y 2
y

'' x y

y
. x  ( x  y )  x  y (1)
x

1
2

Mặt khác:
x  y 1 P 

1 y 1 x
1
1



 ( x  y ) (2)
y
x
x
y

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:
2P 

1
1

2
x
y

1 1
2
.


4
x y
xy

2
2 2
x y
2

P 2

 min P  2
1
2

"" x  y 

Bài 11. Cho x,,y>1. Tìm GTNN: P 

( x3  y 3 )  ( x 2  y 2 )
( x  1)( y  1)

Giải
( x3  y 3 )  ( x 2  y 2 )
x2
y2


( x  1)( y  1)
y 1 x 1
2 xy
x
y

x
y
P
 2.
.
 2.
.
8
x 11 y 1 1
( x  1)( y  1)
x  1.1 y  1.1
2
2
 min P  8.
P

'' x y 2

Bài 12. Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Tìm GTLN của: P 

x
y
z


x 1 y 1 z 1

Giải
Ta có:

0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

P

x
y
z
1
1
1


 3 (


)
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1

Áp dụng BĐT coossi cơ bản:
1
1
1


)  9, x  y  z  1
( x  1)  ( y  1)  ( z  1) (
x 1 y 1 z 1
1
1
1
9
9





x 1 y 1 z 1 x  y  z  3 4
3
P
4
3
1
P x yz
4
3
3
1

 max P   x  y  z 
4
3
1 1 1
Bài 13. Cho x,y,z>0 và    4.
x y z
Tìm GTLN: P 

1
1
1


2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

Giải
Áp dụng BĐT Cô si cơ bản 2 lần ta có:
1
1 1
1
1 1 1 1 1
 ( 
)  (  (  ))
2x  y  z 4 2x y  z
4 2x 4 y z
Tương tự ta có các BĐT khác, cộng vế với vế các BĐT này ta có:
1 4
4
4
P ( 

 ) 1
8 2x 2 y 2z
3
 max P  1  x  y  z 
4
Bài 14. Cho x,y>0 và x + y <1. Tìm GTNN: P 

x2
y2
1


x y
1 x 1 y x  y

Giải
Ta có:

x2
y2
1


 x y
1 x 1 y x  y
1
1
1
P



2
1 x 1 y x  y
P

Theo BĐT cô si:

0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

1
1
1


)9
1 x 1 y x  y
1
1
1

9




1 x 1 y x  y 2
9
5
1
 max P      x  y 
2
2
3

(1  x)  (1  y)  ( x  y) (

Bài 15. Cho x,y,z thỏa mãn: x 2  y 2  z 2  3 . Tìm GTNN của:

P

1
1
1


1  xy 1  yz 1  zx

Giải
Theo BĐT cô si cơ bản:

1
1
1


)9
1  xy 1  yz 1  zx
1
1
1
9
9
9
3
P






2
2
2
1  xy 1  yz 1  zx 3  xy  yz  zx 3  x  y  z
3 3 2
3
min P   x  y  z  1
2

(1  xy)  (1  yz )  (1  zx) (

Bài 16. Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Tìm GTLN: P 

3x  1 3 y  1 3z  1


x2  1 y 2  1 z 2  1

Giải
Ta có:

3x  1 3 y  1 3z  1


x2  1 y 2  1 z 2  1
2
2
2
1
1
1
(


)(


)
x 1 y 1 z 1

1 x 1 y 1 z
2
2
2
1
1
1
(


)(


), (do x  y  z  1)
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
yz zx x y
P

Áp dụng BĐT:

1
1
4
4



y  z x  y y  z  x  y x  2y  z
1
1

1
2
2
2






y  z z  x x  y 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
P0
 max P  0  x  y  z 

1
3

0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

Bài 17. Cho x,y,z>0 và x+y+z=3. Tìm GTLN của: P 

x
y
z


2x  y  z 2 y  x  z 2z  x  y

Giải
Ta có:
x
y
z
x yz
x yz
x yz


 1
1
1
2x  y  z 2 y  x  z 2z  x  y
2x  y  z
x  2y  z
x  y  2z
1
1
1
P  3  ( x  y  z )(



)
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
P

1
1
1
1


)
(2 x  y  z )  ( x  2 y  z )  ( x  y  2 z ) (
4
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
1
3
P  3  .9 
4
4
3
 max P   x  y  z  1
4
P  3

4
3

3

x

Bài 18. Cho x,y>0 và x  y  . Tìm GTNN: P  

1
3y

Giải
P

3 1 2 1 1

  
x 3y x x 3y

1 1
4


x 3y x  3y
4
4
4
16
Ta có:  P  
 

4
2x x  3y
2 x  x  3 y 3x  3 y


x  3y

1
 max P  4  2 x  x  3 y  x  1, y 
3

4
x  y 
3


Bài 19. Cho x,y,z,t>0. Tìm GTNN: P 

x t t  y y  z z  x



t  y y  z z  x x t

Giải
Ta có:
xt t  y y  z z  x



t  y y z z  x xt
xt
ty
yz

zx
(
 1)  (
 1)  (
 1)  (
 1)  4
ty
yz
zx
xt
x y t  z y x zt




4
t  y y z z  x xt
P

0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

1
1
1
1

)  (t  z )(

)4
ty zx
y z xt
4
4
 ( x  y ).
 (t  z ).
40
t yzx
y  z  xt
 ( x  y )(

t  y  z  x
x  y  0
 min P  0  

y  z  x  t
z  t  0

Bài 20. Cho x,y,z>0 thỏa mãn: x2  y 2  z 2  3xyz . Tìm GTNN của: P 

x
y
z


1 x 1 y 1 z

Giải
x 2  y 2  z 2  3xyz 
u

x
,v 
yz

x
y
z
 
3
yz zx xy

y
,w 
zx

z
xy



u , v, w  0

 u 2  v 2  w2  3
1
1
1
  vw;  uw;  uv
y
z
 x
P

x
y
z



1 x 1 y 1 z

1
1

1
x



1
1

1
y



1
1

1
z



1
1
1
3


 (theo ví dụ ở
1  uv 1  vw 1  uw 2

TLBG đã chứng minh)
Vậy: min P 

3
 x  y  z 1
2

Bài 21. Cho x,y,z>0 và xyz=1. Tìm GTNN: P 

1
1
1


xy  1 yz  1 xz  1

Giải
Đặt

u
v
w
x  ; y  ;z 
v
w
u
vw
wu
uv
P


uv  uw vw  vu wu  vw
vw
wu
uv
 (1 

)  (1 
)  (1 
)3
uv  uw
vw  vu
wu  vw
1
1
1
 (vw  uv  uw)(


)3
uv  uw vw  vu wu  vw
1
3
 .9  3 
2
2
0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

3
 uv  vw  wu  x  y  z  1
2
Bài 22. Cho x,y,z dương và thỏa mãn xyz=1.
 min P 

Tìm GTLN của: P 

1
1
1
 3 3
 3 3
3
x  y 1 y  z 1 z  x 1
3

Giải
Dễ thấy:
x 2  xy  y 2  xy  ( x  y )( x 2  xy  y 2   xy ( x  y )  x 3  y 3  xy ( x  y )
xyz  1  x3  y 3   xy ( x  y )  xyz  xy ( x  y  z )
1
1
z
 3


3

x  y  1 xy ( x  y  z ) xyz ( x  y  z )
TT :
1
x

3
3
y  z  1 xyz ( x  y  z )
1
y

3
3
z  x  1 xyz ( x  y  z )
x yz
P
1
xyz ( x  y  z )
 min P  1  x  y  z  1.

Bài 23. Cho x,y,z dương và thỏa mãn xyz=1.
x2 y 2
z2 y2
x2 z 2
Tìm GTLN của. Tìm GTLN của: P  2 2 7 7  2 2 7 7  2 2 7 7
x y x y
z y z y
x z x z

Giải

Ta có:
( x3  y 3 )( x 4  y 4 )  0  x 7  y 7  x 3 y 3 ( x  y )
 x 2 y 2  x7  y 7  x3 y 3 ( x  y )  x 2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
1
z
 2 2
 3 3


7
7
2 2
x y x y
x y (x  y)  x y
xy ( x  y  z ) xyz ( x  y  z )
TT :
z2 y2
x

2 2
7
7
z y z y
xyz ( x  y  z )
x2 z 2
y

2 2

7
7
x z x z
xyz ( x  y  z )
 P  1  min P  1  x  y  z  1.

Bài 24. Cho x,y,z thuộc [-1;2] và thỏa mãn x+y+z=0. Tìm GTLN của: P  x 2  y 2  z 2
Giải
0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

x   1; 2  ( x  1)( x  2)  0  x 2  2  x
TT :
y 2  2  y; z 2  2  z
 P  6  ( x  y  z)  6
 max P  6  trong 3 số có 2 số bằng -1, 1 số bằng 2.

Bài 25. Cho x,y,z thuộc [0;2] và thỏa mãn x+y+z=4. Tìm GTLN của: P  x 2  y 2  z 2
Giải
x, y, z  [0; 2]  ( x  2)( y  2)( z  2)  0

 xyz  2( xy  yz  zx)  4( x  y  z )  8  0
 xyz  [( x  y  z ) 2  ( x 2  y 2  z 2 )]  4( x  y  z )  8  0
 P  x 2  y 2  z 2  8  xyz  8  0  8 (do x, y, z  0)
( x  2)( y  2)( z  2)

 max P  8   xyz  0
 trong 3 số x, y, z có 2 số bằng 2, số còn lại bằng 0.
x  y  z  4


Bài 26. Cho x,y,z thỏa mãn x2  y 2  z 2  1.
Tìm GTNN của: P  xyz  2(1  x  y  z  xy  yz  zx)
Giải
x 2  y 2  z 2  1 | x |,| y |,| z | 1  (1  x)(1  y)(1  z )  0
 1  x  y  z  xy  yz  zx  xyz   

Mặt khác:
 (1  x  y  z )2
0

 1  x  y  z  xy  yz  zx  0 (**)
2

2
2
2
 x  y  z  1.


Từ (*), (**) ta có:

(1  x)(1  y)(1  z )  0
P0
1  x  y  z  0

 trong 3 số có 1 số bằng -1, 2 số bằng 0.

Bài 27. Cho x, y không âm. Tìm GTLN, GTNN của P 

( x  y )(1  xy )
(1  x)2 (1  y) 2

Giải
Ta có:
P

( x  y )(1  xy )
x
y


2
2
2
(1  x) (1  y)
(1  x) (1  y) 2

Do x, y không âm nên ta có thể đặt

0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học


CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN

[Toán nâng cao 8]

x  tan 2  , y  tan 2  , 0   ,  
P


2

tan 
tan 

 tan 2  cos 4   tan 2  cos 4 
2
2
2
2
(1  tan  ) (1  tan  )
2

2

1
 (sin 2 2  sin 2 2  )
4
1
1
 P
4
4

Lại có:


sin 2  1
x  1
1
 
P 

4 
4
sin 2   0
y  0
   0


sin 2  0
x  0
1
 
P 


4 
4
sin 2   1
y 1
  0

1
max P  khi x  1; y  0
4
1
min P   khi x  0; y  1
4

0902-11-00-33

Facebook.com/THCS.Tieuhoc



HOCMAI THCS & Tiểu Học