“Nghiên cứu sự lan truyền xung laser trong môi trường nguyên tử ba mức khi có mặt hiệu ứng EIT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
----------

HOÀNG MINH ĐỒNG

NGHIÊN CỨU SỰ LAN TRUYỀN XUNG LASER
TRONG MÔI TRƯỜNG NGUYÊN TỬ BA MỨC KHI CÓ MẶT
HIỆU ỨNG EIT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ

NGHỆ AN - 2017


MỤC LỤC
TỔNG QUAN ........................................................................................................... 1 
Chương 1: LAN TRUYỀN XUNG TRONG MÔI TRƯỜNG CỘNG HƯỞNG.8 

1.1. Tương tác giữa ánh sáng với nguyên tử hai mức .............................. 8 
1.1.1. Hình thức luận ma trận mật độ...................................................... 10 
1.1.2. Tiến triển nguyên tử trong gần đúng sóng quay ........................... 11 
1.1.3. Dao động Rabi và diện tích xung .................................................. 12 
1.1.4. Các phương trình Maxwell và phương trình sóng ........................ 14 
1.1.5. Phương trình sóng trong gần đúng hàm bao biến thiên chậm ...... 16 
1.1.6. Sự mở rộng không đồng nhất ........................................................ 18 
1.2. Tương tác giữa ánh sáng với nguyên tử ba mức ............................. 19 
1.2.1. Haminton tương tác trong gần đúng sóng quay ............................ 23 
1.2.2. Hệ phương trình lan truyền cặp xung laser trong gần đúng hàm
bao biến thiên chậm ................................................................................ 25 
1.2.3. Sự bẫy đô ̣ cư trú kế t hơ ̣p ............................................................... 27 

1.2.4. Sự trong suố t cảm ứng điê ̣n từ ...................................................... 29 
1.3. Các tính chất vật lý của hệ nguyên tử ba mức ................................ 35 
1.3.1. Nguyên tử Rb ................................................................................ 35 
1.3.2. Cấu trúc tinh tế .............................................................................. 36 
1.3.3. Cấu trúc siêu tinh tế ...................................................................... 37 
1.4. Kế t luâ ̣n chương 1 .............................................................................. 40 
Chương 2: SỰ LAN TRUYỀN XUNG TRONG MÔI TRƯỜNG EIT MỞ
RỘNG KHÔNG ĐỒNG NHẤT ............................................................................ 42 

2.1. Hệ phương trình Maxwell-Bloch cho sự lan truyền xung .............. 42 
2.2. Mô phỏng số ........................................................................................ 46 
2.2.1. Thuật toán Runge-Kutta ................................................................ 47 
2.2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn ..................................................... 49 
2.3. Lan truyền xung trong môi trường mở rộng không đồng nhất .... 50 
2.3.1. Xung lan truyền trong miền pico giây .......................................... 51 
2.3.2. Xung lan truyền trong miền nano giây ......................................... 53 
2.3.3. Xung lan truyền trong miền micro giây ........................................ 59 
xiii


2.3.4. Ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler ............................................ 61 
2.4. Kết luận chương 2 .............................................................................. 62 
Chương 3: ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ ĐỊNH HƯỚNG MÔ MEN LƯỠNG CỰC
ĐIỆN VÀ PHA LÊN SỰ LAN TRUYỀN XUNG .................................................... 64 

3.1. Mô hình lý thuyết ................................................................................. 64 
3.2. Ảnh hưởng của SGC lên sự lan truyền xung laser ............................... 70 
3.3. Ảnh hưởng của độ lệch pha lên lan truyền của xung laser .................. 74 
3.4. Vai trò của bơm không kết hợp ............................................................ 77 
3.5. Kết luận chương 3 ................................................................................ 79 

KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................................. 80 
CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦ A TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ ................ 82 
TÀ I LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 83 
PHỤ LỤC ................................................................................................................ 91 

xiv


TỔNG QUAN
1. Lı́ do cho ̣n đề tài
Trong vài thập kỷ qua, chủ đề về lan truyền xung laser mà không bị
biến dạng (soliton) đã và đang thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu
của các nhà khoa học do chúng có những ứng dụng tiềm năng trong thông tin
quang, chuyển mạch toàn quang và xử lý dữ liệu quang [1-3]. Thông thường,
để hình thành soliton quang thì các hiện tượng giãn xung (do tán sắc) và sự
nén xung (do tính phi tuyến) phải cân bằng nhau [2]. Trong thực tế, khi xung
ánh sáng lan truyền trong môi trường cộng hưởng thì sự hấp thụ và tán sắc sẽ
làm suy giảm tín hiệu và biến dạng xung. Vì thế, để thu được xung ổn định thì
người ta thường sử dụng ánh sáng có cường độ lớn và độ rộng xung cực ngắn.
Điều này cũng đòi hỏi những công nghệ phức tạp và tốn kém. Hơn nữa, trong
hầu hết các ứng dụng vào thiết bị quang tử hiện đại thường đòi hỏi cường độ
ánh sáng thấp và có độ nhạy cao. Vì vậy, làm giảm hấp thụ trong miền cộng
hưởng là giải pháp tối ưu để giảm cường độ của xung lan truyền đồng thời
tăng hiệu suất hoạt động của các thiết bị ứng dụng.
Hiện nay, một giải pháp đơn giản để làm giảm hấp thụ là sử dụng hiệu
ứng trong suốt cảm ứng điện từ (Electromagnetically Induced Transparency:
EIT) [4-13]. Hiệu ứng EIT về mặt lý thuyết đươ ̣c đề xuất bởi Harris và cộng
sự vào năm 1989 [6], sau đó kiểm chứng bằng thực nghiệm vào năm 1991 [7].
Bản chất của EIT là kết quả của sự giao thoa lượng tử giữa các biên độ xác
suất dịch chuyển bên trong hệ nguyên tử được cảm ứng bởi các trường laser

kết hợp. Do sự triệt tiêu hấp thụ nên tính chất tán sắc của môi trường cũng bị
thay đổi căn bản theo hệ thức Kramer-Kronig. Trong chế độ dừng, hiệu ứng
EIT đã được sử dụng để làm chậm đáng kể vận tốc nhóm ánh sáng cộng
hưởng [11] hay tăng cường tính phi tuyến của môi trường [14-17]. Như vâ ̣y,
1


môi trường EIT không chı̉ làm giảm sự hấ p thu ̣ mà còn làm tăng cường tı́nh
chấ t phi tuyế n. Hơn nữa, do đô ̣ cao và đô ̣ dốc của đường cong tán sắ c có thể
điề u khiể n đươ ̣c theo trường laser điều khiển nên hê ̣ số phi tuyế n cũng điề u
khiể n đươ ̣c [15]. Vı̀ vâ ̣y, môi trường EIT trở nên lý tưởng để tạo các hiệu ứng
quang phi tuyế n ta ̣i các cường đô ̣ ánh sáng rấ t thấ p hay thâ ̣m chı́ đơn photon
[18, 19], điề u khiể n đươ ̣c đă ̣c trưng hoa ̣t đô ̣ng của thiế t bi [20,
21], phát laser mà
̣
không đảo lộn độ cư trú (LWI) [6, 22] và chuyển mạch toàn quang [23, 24], v.v.
Do những tính chất ưu việt của môi trường EIT nên nó cũng đang được
kỳ vọng để tạo ra các xung lan truyền ổn định với công suất rất nhỏ cũng như
các xung dài. Vì vậy, lan truyền xung ánh sáng trong môi trường EIT đang
được nhiều nhóm quan tâm nghiên cứu. Một số công trình tiên phong về lan
truyền xung trong môi trường EIT đã được nghiên cứu bởi Eberly [25] và
Harris cùng cộng sự [26]. Kể từ đó, đã có nhiều công trình nghiên cứu lan
truyền xung sử dụng hiệu ứng EIT được công bố, tiêu biểu như sự tạo soliton
quang trong hệ ba và năm mức [27], lan truyền đoạn nhiệt của các xung ngắn
khi có mặt EIT [28], điều khiển động học lan truyền xung ánh sáng [29-35],
sự hình thành và lan truyền cặp xung soliton quang siêu chậm [36], điều khiển
photon sử dụng EIT [37], v.v.
Những nghiên cứu ban đầu về lan truyền xung trong môi trường EIT
thường được bỏ qua ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler. Điều này chỉ có thể
phù hợp với các môi trường nguyên tử lạnh hoặc khi xung laser cực ngắn.

Tuy nhiên, khi ứng dụng vào các thiết bị quang ở điều kiện thông thường thì
ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler lên dạng xung dài (ns) cũng cần được
xem xét. Một trong những nghiên cứu ban đầu về ảnh hưởng của mở rộng
Doppler lên sự lan truyền xung trong môi trường nguyên tử hai mức đã được
thực hiện bởi Wilson-Gordon và cộng sự [38]. Kết quả cho thấy ảnh hưởng
của Doppler gây ra các dao động ở đuôi xung. Những dao động này phụ thuộc
2


mạnh vào độ rộng Doppler, cụ thể đuôi xung dao động với chu kì nhỏ hơn và
cường độ lớn hơn khi độ rộng Doppler tăng. Sau đó, ảnh hưởng của mở rộng
Doppler lên trong quá trình lan truyền xung cũng được nghiên cứu ở nhiều
khía cạnh khác nhau, như ảnh hưởng của các hiệu ứng tuyến tính và phi tuyến
lên lan truyền xung [39, 40], điều khiển pha của lan truyền ánh sáng [41, 42],
nén xung laser bởi điều khiển kết hợp [43]. Các nghiên cứu này cũng cho thấy
sự mở rộng Doppler có thể dẫn tới sự suy giảm xung khi lan truyền trong môi
trường nguyên tử.
Gần đây nhất, T. Nakajima và cộng sự [44] đã nghiên cứu sự lan truyền
của hai chuỗi xung laser ngắn trong môi trường ba mức cấu hình lambda dưới
điều kiện EIT. Bằng cách tăng dần diện tích xung laser điều khiển, nhóm
nghiên cứu Nakajima đã rút ra được điều kiện xung laser không bị biến dạng
khi lan truyền trong môi trường. Tuy nhiên, công trình này cũng chỉ mô
phỏng kết quả trong miền pico giây, trong khi nhiều ứng dụng như truyền
thông tin quang cần thực hiện với miền xung laser dài hơn. Hơn nữa, các kết
quả thu được trong công trình [44] đã bỏ qua hiệu ứng Doppler mà nó sẽ ảnh
hưởng đáng kể khi chúng ta áp dụng cho môi trường khí ở điều kiện thông
thường. Hai vấn đề này sẽ được chúng tôi nghiên cứu bổ sung trong mô hình
này và được thực hiện trong chương 2 của luận án.
Ngoài hiệu ứng giao thoa lượng tử của các biên độ xác suất dịch
chuyển còn có một hiệu ứng giao thoa lượng tử khác xảy ra giữa các kênh

phát xạ tự phát do sự định hướng không trực giao của các mômen lưỡng cực
điện được cảm ứng bởi hai trường laser. Sự giao thoa này sẽ tạo ra một độ kết
hợp nguyên tử được gọi là độ kết hợp được tạo bởi phát xạ tự phát
(Spontaneously Generated Coherence - SGC) [45]. Về mặt thực nghiệm, hiệu
ứng SGC đã được quan sát lần đầu bởi Xia và cộng sự năm 1996 trong phân
tử natri [46]. Ngay sau đó, ảnh hưởng của SGC lên các tính chất quang ở
3


trạng thái dừng của môi trường EIT cũng đã được nghiên cứu rộng rãi, tiêu
biểu như: ảnh hưởng của SGC lên sự phát laser không đảo lộn độ cư trú [47],
hệ số hấp thụ và tán sắc [48-50], sự làm chậm vận tốc nhóm ánh sáng [51,
52], tăng cường phi tuyến Kerr [53-55], lưỡng ổn định quang [56, 57], v.v.
Kết quả nghiên cứu cho thấy, sự có mặt của SGC làm cho môi trường trở nên
trong suốt hơn tuy nhiên độ rộng miền phổ trong suốt bị thu hẹp; tán sắc lớn
hơn và dốc hơn,… Hơn nữa, các kết quả cũng cho thấy rằng, tác dụng của
SGC làm môi trường khí nguyên tử trở nên bất đối xứng, do đó tính đáp ứng
của môi trường rất nhạy với pha của các trường laser đưa vào [58]. Gần đây,
để tăng cường vai trò ảnh hưởng của SGC lên hệ số hấp thụ và tán sắc, Fan và
cộng sự đã đưa thêm một trường bơm không kết hợp vào mô hình nguyên tử
ba mức năng lượng cấu hình bậc thang [59]. Nghiên cứu đã cho thấy bơm
không kết hợp có tác dụng làm cho ảnh hưởng của SGC và pha lên các tính
chất quang trở nên hiệu quả hơn.
Cho đến nay, mặc dù nghiên cứu ảnh hưởng của SGC và pha tương đối
lên các đặc tính quang học của môi trường EIT dưới điều kiện dừng đã được
công bố nhiều [45-59]. Tuy nhiên, ảnh hưởng của SGC và pha tương đối lên
quá trình lan truyền xung laser dưới điều kiện EIT vẫn chưa được nghiên cứu
một cách đầy đủ [41, 60] và chưa có công bố về ảnh hưởng của SGC lên dạng
soliton của xung laser. Đây là vấn đề được chúng tôi quan tâm nghiên cứu
trong đề tài này. Sử dụng mô hình hệ nguyên tử ba mức trong công trình của

Fan [59], chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của SGC cũng như pha tương đối
lên dạng hàm bao của xung laser dưới điều kiện EIT và sẽ được chúng tôi
trình bày trong chương 3 của luận án.
Với tıń h cấ p thiế t của vấ n đề nghiên cứu, chúng tôi cho ̣n đề tài “Nghiên
cứu sự lan truyền xung laser trong môi trường nguyên tử ba mức khi có mặt
hiệu ứng EIT” làm đề tài nghiên cứu của mıǹ h.
4


2. Mu ̣c tiêu nghiên cứu
 Nghiên cứu ảnh hưởng của các thông số laser điều khiển lên quá trình
lan truyền xung laser.
 Nghiên cứu ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler lên quá trình lan truyền
xung laser trong các miền xung khác nhau.
 Nghiên cứu ảnh hưởng của sự định hướng không trực giao của các
mômen lưỡng cực điện lên quá trình lan truyền xung laser khi có mặt
của bơm không kết hợp.
 Nghiên cứu ảnh hưởng của pha tương đối lên quá trình lan truyền xung
laser khi có mặt của bơm không kết hợp.
3. Nô ̣i dung nghiên cứu
 Xây dựng bài toán tương tác giữa nguyên tử ba mức với các trường
laser, từ đó dẫn ra hệ các phương trı̀nh ma trâ ̣n mâ ̣t đô ̣;
 Sử dụng hệ phương trình lan truyền Maxwell-Bloch cho hệ nguyên tử ba
mức cấu hình bậc thang khi tính đến ảnh hưởng của sự mở rộng Doppler;
 Sử dụng hệ phương trình lan truyền Maxwell-Bloch cho hệ nguyên tử ba
mức cấu hình bậc thang khi xét đến ảnh hưởng của sự định hướng không
trực giao của các mô men lưỡng cực điện và pha tương đối với sự có mặt
của bơm không kết hợp;
 Viết chương trình số để giải hệ phương trình Maxwell-Bloch cho các
trường hợp trên.

 Nghiên cứu ảnh hưởng của diện tích và cường độ đỉnh xung laser điều
khiển lên sự hình thành xung soliton trong các miền xung khác nhau
khi không có và khi có mặt hiệu ứng Doppler dưới điều kiện EIT;
5


 Nghiên cứu ảnh hưởng của sự định hướng không trực giao của các mô
men lưỡng cực điện và pha tương đối lên quá trình lan truyền xung
laser khi có mặt của bơm không kết hợp;


Điều khiển độ lệch pha của trường laser và trường laser điều khiển để
thu được xung laser lan truyền ổn định;

4. Phương pháp nghiên cứu
 Sử du ̣ng phương pháp lý thuyế t: bao gồ m hình thức luận ma trận mâ ̣t
đô ̣ và các gầ n đúng lưỡng cực điê ̣n, gần đúng sóng quay và gần đúng hàm
bao biến thiên chậm;
 Sử du ̣ng phương pháp số để giải hệ phương trình Maxwell-Bloch và mô
phỏng các kết quả nghiên cứu thông qua các đồ thi.̣
5. Bố cục của luâ ̣n án
Ngoài phầ n tổng quan và kế t luâ ̣n chung, luâ ̣n án bao gồ m ba chương có
nô ̣i dung như sau:
Chương 1. Lan truyền xung trong môi trường cộng hưởng
Trong chương này, chúng tôi trình bày mô hình lý thuyế t hệ phương
trình Maxwell-Bloch cho hệ nguyên tử và trường. Chúng tôi sử dụng các
phương pháp gần đúng sóng quay và gần đúng hàm bao biến thiên chậm để
thiết lập phương trình cho lan truyền xung laser đơn, sau đó áp dụng tương tự
cho lan truyền đồng thời của hai xung laser. Bản chấ t vâ ̣t lý của hiệu ứng EIT.
Cuối cùng, chúng tôi trình bày về cấu trúc nguyên tử thực 87Rb được sử dụng

để mô tả kết quả nghiên cứu.

6


Chương 2. Sự lan truyền xung laser trong môi trường EIT mở rộng
không đồng nhất
Trong chương này, chúng tôi dẫn ra hệ phương trình Maxwell-Bloch
cho lan truyền cặp xung laser đơn trong môi trường nguyên tử ba mức cấu
hình bậc thang khi có mặt hiệu ứng Doppler. Cơ sở phương pháp số để giải hệ
phương trình Maxwell-Bloch trong trường hợp này. Từ đó, xét ảnh hưởng của
diện tích cũng như cường độ đỉnh của xung laser điều khiển lên quá trình lan
truyền xung laser trong trường hợp có và không có ảnh hưởng của sự mở rộng
Doppler trong các miền xung khác nhau. Chúng tôi tìm điều kiện để có xung
lan truyền ổn định, so sánh và xét ảnh hưởng của hiệu ứng Doppler lên sự ổn
định trong các miền xung này.
Chương 3. Ảnh hưởng của sự định hướng mô men lưỡng cực điện và pha
lên sự lan truyền xung
Trong chương này, chúng tôi dẫn ra hệ phương trình Maxwell-Bloch
cho lan truyền cặp xung laser đơn trong môi trường nguyên tử ba mức cấu
hình bậc thang khi định hướng của các mô men lưỡng cực điện không trực
giao và sự có mặt của bơm không kết hợp. Chúng tôi tìm bộ tham số cho xung
lan truyền ổn định mà chưa xét tới sự định hướng không trực giao của các mô
men lưỡng cực điện hay độ lệch pha giữa hai trường laser. Sau đó, chúng tôi
khảo sát ảnh hưởng của SGC, độ lệch pha và vai trò của bơm không kết hợp
lên quá trình lan truyền xung laser.

7

Chương 1
LAN TRUYỀN XUNG TRONG MÔI TRƯỜNG CỘNG HƯỞNG

Trong chương này, chúng ta khảo sát sự lan truyền của các xung laser
thông qua môi trường nguyên tử với các dịch chuyển hấp thụ. Sử dụng mô
hình bán cổ điển để mô tả sự tương tác của các xung laser với môi trường
nguyên tử. Trong mô hình bán cổ điển các xung laser được biểu diễn như các
trường cổ điển trong khi đó các nguyên tử được biểu hiện tuân theo cơ học
lượng tử. Trong luận án này, chúng tôi giả sử các xung laser được xem như
các sóng phẳng lan truyền theo một chiều.
Trước hết, chúng tôi xét lan truyền của xung laser đơn trong môi
trường nguyên tử chỉ có hai trạng thái năng lượng. Từ đó dẫn ra được các
phương trình Maxwell-Bloch để mô tả tương tác của hệ xung-nguyên tử bằng
cách sử dụng các phương pháp gần đúng. Sau đó, dẫn ra hệ các phương trình
lan truyền của hai xung laser trong hệ nguyên tử ba mức.
1.1. Tương tác giữa ánh sáng với nguyên tử hai mức
Chúng ta xét một trường quang học với sóng lan truyền dọc theo trục z
và được viết dưới dạng hàm bao của sóng mang:




E  z, t     z, t  e

 i  kz t 

 c.c. ,

(1.1)


ở đây   z, t  là hàm bao của trường laser, ω là tần số và k = ω/c là số sóng.
Chúng ta quan tâm đến sự tương tác cộng hưởng và giả sử tần số ω rất gần
với tần số dịch chuyển của nguyên tử.

8


|2

Δ


|1
Hình 1.1. Sơ đồ kích thích hệ nguyên tử hai mức.

Kí hiệu năng lượng riêng của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích
của nguyên tử tương ứng là 1 và 2 . Khi đó, Hamilton tương tác của
nguyên tử với trường laser là:
ˆ 


H  1 1 1  2 2 2  d . E .

(1.2)

Toán tử mômen lưỡng cực điện có dạng:
ˆ






d  d 12 1 2  d 21 2 1 .

(1.3)

Giả sử trạng thái nguyên tử có thể biểu diễn dưới dạng hàm sóng  thì sự
tiến triển của nó được biểu diễn bởi phương trình Schrödinger:

i


 H ,
t

(1.4)

đối với các nguyên tử hai mức thì hàm sóng có dạng:

  t   c1  t  1  c2  t  2 ,

(1.5)

ở đây c1(t) và c2(t) là biên độ xác suất phụ thuộc thời gian của các mức |1 và
|2, tương ứng.

9

1.1.1. Hình thức luận ma trận mật độ
Trong thực tế, môi trường là tổng hợp của rất nhiều hạt với các hàm
sóng khác nhau, do đó để mô tả trạng thái của hệ hạt ta phải sử dụng hình
thức luận ma trận mật độ với đă ̣c trưng pha trô ̣n thố ng kê các tra ̣ng thái lươ ̣ng
tử để mô tả sự tiế n triể n theo thời gian của hê ̣. Nếu tất cả các trạng thái riêng
của tập hợp các trạng thái của hê ̣ là cùng một trạng thái  , tức là hệ nằm
trong một trạng thái thuần khiết khi đó toán tử mật độ liên hệ với hàm sóng
theo [10, 62]:

 c1 2 c1c2*   
12 
   11
    
,
 c c* c 2    21  22 
2 
 21

(1.6)

Nói chung, ma trận mật độ là một hàm của cả không gian và thời gian, để
thuận tiện cho kí hiệu, chúng ta đặt 12  12  z, t  .
Các phần tử trên đường chéo của ma trận mật độ 11 và  22 là độ cư
*
trú của mức |1 và |2 tương ứng và các phần tử ngoài đường chéo 12  c1c2

là độ kết hợp giữa chúng. Khi các nguyên tử không thể được đặc trưng bởi
hàm sóng đơn, các phần tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ  12 có thể
không có liên hệ trực tiếp với các phần tử đường chéo 11 và  22 , trong

trường hợp như vậy chúng ta nói các nguyên tử đang ở trạng thái pha trộn.
Đối với cả trạng thái pha trộn và thuần khiết, ma trận mật độ phải có
vết bằng đơn vị ( 11   22  1 ) vì xác suất được bảo toàn trong hệ kín. Toán tử
ma trận mật độ tiến triển theo thời gian được xác định [63]:


i
  H ,  .
t


10

(1.7)


Phương trình (1.7) được gọi là phương trình Liouville hay phương trı̀nh Von
Neumann mô tả sự tiến triển theo thời gian của toán tử mật độ, xác định rõ sự
đóng góp của tập hợp các trạng thái lượng tử chịu tác dụng của toán tử
Hamilton toàn phầ n.
Ở dạng ma trận, Hamilton toàn phần của nguyên tử-trường là:
 
 1  d .E 
H   
.
  d * E  

2

(1.8)

1.1.2. Tiến triển nguyên tử trong gần đúng sóng quay
Để làm đơn giản Hamilton tương tác, chúng ta sử dụng gần đúng sóng
quay (Rotating Wave Approximation: RWA), trong đó chúng ta bỏ qua các số
hạng dao động nhanh. Để thực hiện điều này, chúng ta đưa vào ma trận biến
đổi unita [62]:

1 0

U  ei1t 
.
 i kz t  
0
e



(1.9)

Biến đổi ma trận mật độ theo:

 RW  U U † ,

(1.10)

ở đây chỉ số trên RW là kí hiệu trong cơ sở sóng quay. Chúng ta có thể thấy
rằng phương trình Liouville là dạng bất biến dưới hình thức biến đổi unita:

i

 RW
   H RW ,  RW  ,
t

(1.11)

Khi đó, Hamilton trong cơ sở sóng quay có dạng:

 
H RW  UHU †  i  U U † .
 t 

11

(1.12)


Sử dụng độ lệch tần   2  1    , Hamilton toàn phần trong cơ sở này là:

H RW


0
  
  d .E e  i kz t 
21






  i kz t 

 d12 .E e 
.








(1.13)

Từ biểu thức (1.1) của điện trường thì số hạng ngoài đường chéo bên phải là
 i kz t    * 2i kz t 
Ee 
  e
và số hạng ngoài đường chéo bên trái là
 2i kz t 
 i kz t
Ee    e     * . Trong khi thực hiện gần đúng sóng quay, chúng ta

bỏ qua các số hạng dao động nhanh 2it và giả sử hàm bao   z,t  biến đổi
chậm so với sóng mang. Sử dụng gần đúng này, ta tìm Hamilton toàn phần
trong RWA:

H RWA

 0
  
 d . *
 21

   0
 d12 .  

     *

 2

 
 
2
.
 


(1.14)

ở đây, chúng ta đã sử dụng định nghĩa tần số Rabi:
 
2d 21.  z , t 
  z, t  
.


(1.15)

Tần số Rabi đóng một vai trò quan trọng trong hệ nguyên tử-trường, vì nó chứa
cả toán tử mô men lưỡng cực nguyên tử và hàm bao biến thiên chậm của trường.
1.1.3. Dao động Rabi và diện tích xung

Các lời giải của phương trình Liouville trong RWA được xác định đối


với trường đơn sắc   z, t   0 và  z, t   0 là không đổi. Khi được kích
thích bởi trường như vậy độ cư trú nguyên tử dao động có chu kỳ giữa các
trạng thái cơ bản và kích thích, theo biểu thức [62, 64]:

12


 22  t   sin 2   0t / 2  ,

(1.16)

tại tần số cộng hưởng chính xác (Δ = 0). Quá trình này được gọi là dao động
Rabi, được minh họa trong hình 1.2. Với 0  t   0t được gọi là diện tích
xung, cho phép ta xác định độ cư trú của trạng thái kích thích  22 tại thời
điểm t bất kỳ.

Hình 1.2. Dao động của độ cư trú trong trạng thái kích thích.

Từ hình 1.2 ta thấy, ban đầu nguyên tử ở trạng thái cơ bản, sau đó
chuyển lên trạng thái kích thích khi  0t là bội lẻ của π và trở lại trạng thái cơ
bản khi  0t là bội chẵn của π. Với diện tích bằng 2π tạo ra một dao động toàn
phần của độ cư trú.

Sử dụng diện tích xung là thuận tiện để chúng ta mô tả hàm bao xung
phụ thuộc thời gian, được định nghĩa:


  z      z, d ,


và có dạng như trong hình 1.3.

13

(1.17)


Hình 1.3. Xung Gaussian với độ rộng xung 0 = 1 và diện tích xung 0t = 2.

1.1.4. Các phương trình Maxwell và phương trình sóng

Sự lan truyề n của trường điê ̣n từ trong môi trường vâ ̣t chất cũng như
bất cứ một hiệu ứng điện từ nào khác, đươ ̣c mô tả bởi các phương trı̀nh
Maxwell. Khi các xung laser tương tác với môi trường, chúng tác động đến
phân cực của môi trường. Mối liên hệ giữa các trường điện và từ biến thiên
theo thời gian có da ̣ng [1, 61]:


 D  e ,

(1.18)



B  0,

(1.19)


B
 E  
,
t

 D 
 H 
J.
t




14

(1.20)

(1.21)





trong đó, D là véctơ cảm ứng điê ̣n, B là véctơ cảm ứng từ, E là véctơ cường



đô ̣ điê ̣n trường, H là véctơ cường đô ̣ từ trường, J là véctơ dòng điê ̣n dẫn và

e là mâ ̣t đô ̣ điê ̣n tıć h trong môi trường vâ ̣t chấ t.
Ta khảo sát môi trường vâ ̣t chấ t không có các điê ̣n tıć h tự do và không
có dòng điện tự do, vì vâ ̣y:

e  0 ,

(1.22)


J 0 .

(1.23)

Ta cũng giả thiế t môi trường không có tıń h từ hoá, do đó phương trıǹ h liên hê ̣
giữa các trường điện và từ có da ̣ng:



B  0 H ,

(1.24)


 
D  0E  P .

(1.25)

trong đó,  0 và 0 lầ n lươ ̣t là đô ̣ điê ̣n thẩ m và đô ̣ từ thẩ m trong chân không.

Véc tơ P là phân cực vı ̃ mô của môi trường mô tả hiệu ứng tích lũy của mômen lưỡng cực trong mỗi nguyên tử.
Kết hợp các phương trình Maxwell và chỉ khảo sát sự đáp ứng lưỡng
cực điê ̣n của môi trường vâ ̣t chấ t, khi đó phương trình sóng có da ̣ng [63]:
 1 2 
1 2 
 E  2 2 E   2 2 P,
c t
 0c t

(1.26)

ở đây, c  1/  0 0 là vâ ̣n tố c ánh sáng trong chân không. Đây là da ̣ng tổ ng
quát nhất của phương trình sóng lan truyề n trong môi trường điện môi. Số
ha ̣ng thứ nhấ t ở vế trái của phương trı̀nh (1.26) có thể khai triể n thành:




 E  ( E)  2 E .

15

(1.27)


Trong quang tuyến tính với môi trường đẳ ng hướng, số ha ̣ng thứ nhấ t ở vế


phải của phương trıǹ h này bằ ng không do phương trình Maxwell   D  0

nên   E  0 . Trong quang phi tuyế n số ha ̣ng này thường không triê ̣t tiêu
ngay cả đố i với các vật liê ̣u đồng nhấ t. Tuy nhiên, trong nhiề u trường hơ ̣p
chúng ta sử du ̣ng sóng phẳ ng và trong gầ n đúng hàm bao biế n thiên châ ̣m thı̀
số ha ̣ng này cũng có thể được bỏ qua, do đó phương trıǹ h sóng (1.26) đươ ̣c
viế t la ̣i dưới da ̣ng [63]:
 1 2 
1 2 
 E 2 2E
P.
c t
 0c 2 t 2
2

(1.28)

1.1.5. Phương trình sóng trong gần đúng hàm bao biến thiên chậm

Ta sẽ xét lan truyền của trường laser dọc theo trục z, khi đó từ phương
trình (1.28) ta có:

2  1 2 
2 

E

E

P,

0
z 2
c 2 t 2
t 2

(1.29)


ở đây P là phân cực (phụ thuộc không gian và thời gian). Đối với môi trường

điện môi của các nguyên tử hai mức với mật độ số hạt N, phân cực được biểu
diễn như sau:

 


ˆ
P  N Tr d  ,

(1.30a)



 N d12  21  d 2112 ,





(1.30b)



 i kz t
i kz t
 N d12  21RW e    d 2112RW e   .





16

(1.30c)


Trong (1.30c), ta đã viết độ phân cực theo các biến sóng quay như đã được
định nghĩa trong phần 1.1.2. Lấy đạo hàm và sau đó nhóm các số hạng cùng
tần số trong phương trình sóng Maxwell, ta thu được:
 2
  2   1  2 
  2  






  2



k
2
ik
2
i







z
z 2  c 2 
z
z 

  2 RW
 RW  2 RW 
 0 Nd12   12  2i 12  2 12  .
t
t



(1.31)

Ta lại giả sử các trường biến đổi chậm so với sóng mang và thực hiện gần
đúng hàm bao biến thiên chậm (SVEA), như dưới đây:


k  ;
z

 2

;
k
2
z
z

(1.32a)


  ;
t

 2

.

2
t
t

(1.32b)

Tương tự như vậy, các biến sóng quay là biến thiên chậm khi:
12RW

  12RW .
t

(1.33)

Sử dụng các gần đúng SVEA và RWA, đồng thời và chú ý k = ω/c,

c  1/  0 0 , ta tìm được phương trình sóng biến thiên chậm:
  1    i  RW
Nd12 12 .
 
 
2 0c
 z c t 

(1.34)

 1
RW
 
   2i12 ,
 z c t 

(1.35)

Hoặc theo tần số Rabi,

17

ở đây
2

 N d12

,
2 0c

(1.36)

là tham số liên kết nguyên tử với trường laser hay còn gọi là hệ số lan truyền
của laser trong môi trường. Hệ các phương trình (1.7) và (1.35) được gọi là hệ
phương trình Maxwell-Bloch xét cho hệ nguyên tử hai mức.
1.1.6. Sự mở rộng không đồng nhất

Trong môi trường thực, có rất nhiều lý do mà các hiệu ứng dịch chuyển
cộng hưởng tần số có thể khác nhau từ nguyên tử này sang nguyên tử khác,
chẳng hạn như tạp chất hay môi trường không đồng nhất nói chung. Ví dụ,
các cơ chế chi phối trong hệ chúng tôi nghiên cứu là hiệu ứng Doppler, trong
đó vận tốc nguyên tử là khác nhau dẫn đến các tần số cộng hưởng khác nhau
từ điểm nhìn thấy laser. Để tính toán cho sự mở rộng không đồng nhất này, chúng
ta tính trung bình 12 thông qua sự phân cực trong phương trình Maxwell [62]:

12   12 g    d  .

(1.37)

Hàm phân bố g    có dạng phân bố Maxwell-Boltzmann đối với chất khí.
Theo các số hạng của độ lệch tần, hàm phân bố g    có dạng [39, 62]:
     0 2 

1
p
g  
exp    p
  ,

kv

 kvm
m
 
 

(1.38)

ở đây k  2 /  là số sóng, vm  2kBT / m là vận tốc có xác suất lớn nhất
tương ứng với độ mở rộng Doppler được cho bởi:

D  2 ln 2

18


c

vm .

(1.39)

1.2. Tương tác giữa ánh sáng với nguyên tử ba mức

Trong phần này, chúng ta xét sự tiến triển của hai trường laser trong hệ
nguyên tử ba mức có cấu hình bậc thang như trong hình 1.4. Ở đây |1 là trạng
thái cơ bản, |2 và |3 là các trạng thái kích thích. Dịch chuyển lưỡng cực điện
cho phép giữa các trạng thái |1|2 và giữa các trạng thái |2|3, trong khi
dịch chuyển giữa |1|3 là bị cấm lưỡng cực. Một trường laser yếu (tần số

p và biên độ  p ) được đưa vào dịch chuyển |1|2 và trường laser điều
khiển mạnh (tần số c và biên độ c ) kích thích dịch chuyển |2|3.

Hình 1.4. Sơ đồ kích thích hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang tương tác với
trường laser và trường laser điều khiển.

Chúng ta giả sử trường laser và trường laser điều khiển lan truyền cùng
chiều dọc theo trục z và các trường laser được mô tả cổ điển phụ thuộc vào
điện trường theo thời gian và không gian. Do đó, có thể viết tổng của hai
trường ở dạng hàm bao sóng mang như sau:



 i k z  t 
 i k z  t
E  z , t    p  z , t  e p p  c  z, t  e  c c   c.c.

19

(1.40)

ở đây  p và  p là các tần số trường laser và laser điều khiển, trong khi


k p  p / c và kc  c / c là số sóng và  p  z, t  và c  z, t  là các hàm bao
trường biến thiên chậm.
Năng lượng riêng của các trạng thái nguyên tử là  i , với i = 1, 2, 3 và
toán tử mô men lưỡng cực cho hệ này có thể viết:
ˆ 



d  d12 1 2  d 23 2 3  d 21 2 1  d32 3 2 .

(1.41)

Khi đó, Hamilton toàn phần là một ma trận 3x3, có dạng :
 1
  
H   d 21E

 0


 
 d12 E

0 
 
2  d 23 E  .
 


 d32 E 3 

(1.42)

Sự tiến triển nguyên tử được đặc trưng bởi ma trận mật độ 3x3:

 11 12 13 


   21 22 23  .


 31 32 33 

(1.43)

Tương tự như ở phần 1.1, các phần tử đường chéo của ma trận mật độ
biểu hiện cho độ cư trú nguyên tử ở các trạng thái tương ứng, còn các phần tử
ngoài đường chéo biểu hiện cho độ kết hợp giữa chúng. Độ kết hợp ở trạng
thái cơ bản  12 là đặc biệt quan trọng đối với điều khiển xung quang học.
Sự tiến triển theo thời gian của các toán tử ma trận mật độ đối với hệ
nguyên tử ba mức tương tác với hai trường laser cũng được mô tả theo
phương trình Liouville (1.7), trong đó H và  được xác định theo các phương
trình (1.42) và (1.43).

20


Đố i với các nguyên tử thực, do thời gian số ng của các mức kı́ch thı́ch là

hữu ha ̣n nên trong nguyên tử luôn luôn xảy ra các quá trı̀nh tích thoát làm
giảm đô ̣ cư trú và độ liên kế t giữa các mức nguyên tử. Ngoài ra, các nguyên
tử trong chất khı́ thường va chạm với nhau và với thành bình. Sự va chạm như
vâ ̣y sẽ ảnh hưởng tới quá trình quang học và làm thay đổi bên trong các trạng
thái lượng tử, kết quả là nguyên tử thay đổi từ mức năng lượng này sang mức
năng lượng khác, từ trạng thái này sang trạng thái khác, từ đó làm gián đoạn
quá trình phát xạ ánh sáng và có thể làm giảm thời gian sống hiệu dụng của
trạng thái kích thích. Vı̀ vâ ̣y, ta phải đưa thêm vào phương trıǹ h ma trâ ̣n mâ ̣t
đô ̣ (1.7) các số hạng phân rã theo hiê ̣n tượng luâ ̣n này. Đối với các phầ n tử ma
trận nằm trên đường chéo chı́nh (mô tả đô ̣ cư trú của các mức), hiê ̣n tươ ̣ng
suy giảm này được hiểu là sự phân rã đô ̣ cư trú từ mức trên xuố ng mức dưới.
Đố i với các phầ n tử nằ m ngoài đường chéo chıń h đó là sự suy giảm độ kế t
hơ ̣p do sự thay đổ i trong các tra ̣ng thái của hê ̣ nguyên tử. Ta thường mô tả các
quá trình này bằng cách lấy các phương trình ma trận mật độ có dạng [63]:

 nn  

i
 H ,  nn    nm mm    mn nn ,

Em  En
Em  En

(1.44a)

i
 H ,  nm   nm nm , n  m .


(1.44b)

 nm  

Ở đây,  nm là tốc độ phân rã độ cư trú từ mức m tới mức n và  nm là tốc
độ suy giảm độ kết hợp  nm .
Tốc độ suy giảm  nm của các phần tử ngoài đường chéo của ma trận
mật độ không hoàn toàn không phụ thuộc vào tốc độ suy giảm của các phần
tử trên đường chéo. Thực tế, dưới các điều kiện tổng quát thı̀ tốc độ suy giảm
của các phần tử ngoài đường chéo có thể được biểu diễn [63]:

21


 nm 

1
  n   m    nmvc ,
2

(1.45)

trong đó,  n và  m tương ứng là các tốc độ phân rã toàn phần của độ cư trú
rời khỏi mức n và m . Như vâ ̣y,  n được cho bởi biểu thức [63]:
n 



k ( Ek  En )

 kn .

(1.46)

vc
Đại lượng  nm trong phương trình (1.45) là tốc độ lệch pha lưỡng cực do các

quá trình va chạm, không liên quan tới sự di chuyển độ cư trú và thường được
gọi là tốc độ lệch pha riêng [63]. Tố c đô ̣ phân rã do va cha ̣m đố i với chấ t khı́
đươ ̣c cho bởi biể u thức [61]:



vc
nm

1/2

k T 

 8r N  B 
 vc
 M 
1

2

,

(1.47)

trong đó,  vc là thời gian trung bıǹ h giữa các va cha ̣m, r là bán kıń h nguyên
tử, M  m / 2 là khố i lươ ̣ng nguyên tử rút go ̣n, k B là hằ ng số Boltzmann, N là
mâ ̣t đô ̣ nguyên tử, P là áp suất và T là nhiê ̣t đô ̣ của chất khí.
Để mô tả các quá trình tıć h thoát tổng quát hơn và để thuận lơ ̣i hơn cho
các tı́nh toán sau này, chúng tôi bao hàm tất cả các quá trı̀nh suy giảm trong toán
tử  được xác định bởi [12]:

    nm Lnm  ,

(1.48)

1
 nm Lnm    nm  2 mn  nm   nm mn    nm mn  ,
2

(1.49)

n ,m

trong đó:

với  nm  n m là toán tử mật độ nếu n  m và là toán tử lưỡng cực nếu

22