Phương pháp RBFFD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic. (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
——————————————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP RBF-FD
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG DẠNG ELLIPTIC
Mã số: TN2013-TN07-07

Chủ nhiệm đề tài: TS. Đặng Thị Oanh

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
——————————————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP RBF-FD
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG DẠNG ELLIPTIC
Mã số: TN2013-TN07-07

Xác nhận của tổ chức chủ trì

Chủ nhiệm đề tài

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017


i

DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI

TT

1

2

Họ tên

Đơn vị công tác
Nhiệm vụ
và lĩnh vực chuyên môn
Đơn vị công tác: Bộ môn An toàn
Trịnh Minh Đức thông tin - Trường ĐH Công nghệ
Cài đặt thuật toán
thông tin và Truyền thông
Chuyên môn: Công nghệ thông tin
Đơn vị công tác: Phòng
Trần Ngọc Anh KH-CN&HTQT-Trường ĐH Công nghệ Thư ký hành chính
thông tin và Truyền thông
Chuyên môn: Ngoại ngữ

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP
TT Tên đơn vị
1
2

Nội dung phối hợp

Họ và tên
người đại diện
GS. Oleg Davydov

Trường ĐH
Thảo luận chuyên môn,
Strathclyde, UK viết chung bài báo quốc tế
Viện Toán học
Thảo luận chuyên môn,
GS. Hoàng Xuân Phú
viết chung bài báo quốc tế

Ghi chú


ii

Mục lục
PHẦN MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Nội suy với hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1. Hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Nội suy hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
5

1.3. Hàm xác định dương và ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1. Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Hàm xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Hàm bán kính xác định dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6
6

Chương 2. Tham số hình dạng tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1. Phương pháp RBF-FD đơn điểm và đa điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1. Sự rời rạc phương trình Poisson trên các tâm phân bố không đều . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2. Véc tơ trọng số vi phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3. Các phương pháp RBF-FD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4. Tính toán ổn định với c nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Nghiên cứu thử nghiệm số của tham số hình dạng tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3. Ước lượng tham số hình dạng tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Chương 3. Phương pháp thích nghi không lưới RBF-FD giải bài toán Elliptic . . . .

28

3.1. Thuật toán chọn tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2. Phương pháp làm mịn thích nghi và thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3. Các kết quả thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51


iii

Danh sách bảng
1.1

Một số hàm cơ sở bán kính, trong đó r = ||x − xk ||. . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2

Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng δ > 0. . . . . . . . . . . . . . 5

2.1

Các hàm thử u1 , . . . , u9 (các nghiệm chính xác của các bài toán dùng thử
nghiệm) và các Laplace của chúng. (các vế phải của các bài toán dùng thử
nghiệm fi = ∆ui , i = 1, . . . , 8. các hàm u4 và f4 được cho trong tọa độ cực.) . . . . 14

2.2

Số các tâm trong miền và tham số hình dạng ‘an toàn’ cdmin của mỗi rời rạc. . . . 14

2.3

Tham số hình dạng tối ưu đối với sai số rms của uˆ với phương pháp đa điểm
sử dụng hàm thử u3 . Đối với mỗi miền, số đầu tiên trong mỗi cột là tham số
hình dạng tối ưu, số còn lại là miền giá trị của tham số hình dạng. . . . . . . . . 16

2.4

Tham số hình dạng tối ưu đới với sai số vi phân rms của phương pháp đa
điểm sử dụng hàm thử u3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5

Tham số hình dạng gần tối ưu copt đối với phương pháp đa điểm và số vòng
lặp nIter trong Bước II của Thuật toán 1 khi Ξ = Ξ(2) và Ξref = Ξ(3) đối với
hàm thử u3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6

Tham số hình dạng gần tối ưu copt và số lần lặp nIter đối với phương pháp
đa điểm như trong Bảng 2.5 đối với các hàm thử và các miền như trong
Hình 2.4 và 2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7

Tham số hình dạng gần tối ưu copt và số lần lặp nIter đối với phương pháp
đa điểm như trong Bảng 2.5 f đối với các hàm thử và các miền như trong các
Hình 2.5 and 2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1

h0 và pow đối với TP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2

h0 và pow cho TP5a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3

Độ đo đồng dạng umax , uaver , cmax , caver (được định nghĩa như trong phần 3.1)
thu được cho mỗi bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


iv

Danh sách hình vẽ

2.1

Tam giác phân ban đầu T (1) của miền đĩa với lỗ thủng vuông và miền đa giác. . 15

2.2

Trái: Sai số rms của nghiệm sử dụng véc tơ trọng số đa điểm với hàm thử
u3 trên năm bộ tâm, như một hàm của tham số hình dạng c (các đường liền)
được so sánh với sai số rms của nghiệm FEM (các nét đứt). Phải: sai số vi
phân số (numerical differentiation error) của các véc tơ trọng số đa điểm. Từ
trên xuống dưới: miền hình vuông, đĩa, đĩa với lỗ thủng vuông và đa giác.
Trong mỗi hình con, năm nét liền là sai số của phương pháp đa điểm trên
năm bộ tâm, ngoài ra đường thẳng đứt là sai số của phương pháp phần tử hữu
hạn trên năm tam giác phân để so sánh với phương pháp đa điểm. Vị trí ngôi
sao là sai số của phương pháp đa điểm với c = cdmin . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3

Sai số rms của phương pháp đa điểm với hàm thử u3 trên năm bộ tâm, như
một hàm của của bậc tự do đối với ba giá trị của tham số hình dạng : An
toàn c = cdmin , như trình bày trong Bảng 2.2, QR0 tham chiếu đến trường
hợp c = 0, và Opt tham chiếu đến giá trị tối ưu của c được trình bày trong
Bảng 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4

Sai số rms của nghiệm đa điểm (trái) và sai số vi phân số rms (phải) như
trong Hình 2.2. Từ trên xuống: u5 trên miền đa giác, u7 , u8 và u1 trên miền
hình đĩa.

2.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Sai số rms của nghiệm đa điểm sử dụng hàm thử u2 , u4 , u5 , u6 . Các hình được
bố trí như trong Hình 2.2 (trái). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6

Sai số rms của phương pháp đơn điểm (sp, các đường cong đứt) và phương
pháp đa điểm (mp, các đường cong liền). Các nghiệm của hàm thử u3 trên
năm bộ tâm như một hàm của các bậc tự do, với các giá trị tham số hình
dạng là sản phẩm của Thuật toán 1: Alg1a và Alg1b tương ứng với Thuật
toán 1a và 1b, phân biệt. Sai số của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để
so sánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7

Sai số rms của các nghiệm của phương pháp đơn điểm và đa điểm đối với các
hàm thử và các miền như trong Hình 2.4 trên năm bộ tâm, với giá trị tham số
hình dạng là sản phẩm của Thuật toán 1. Các ký hiệu giống như trong Hình 2.6. . 25


v

2.8

Sai số rms các nghiệm của phương pháp đơn điểm và đa điểm đối với các
hàm thử và các miền như trong Hình 2.5 trên năm bộ tâm, với giá trị tham số
hình dạng là sản phẩm của Thuật toán 1. Các ký hiệu giống như trong Hình 2.6. . 26

3.1

Cấu trúc Ξζ thu được bởi Thuật toán 2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2

Các tâm được thêm vào tại lân cận cạnh được đánh dấu.

3.3

Nghiệm giải tích của các Bài toán 1 (trái) và 2 (phải). . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4

Bài toán 1: (a) Sai số Ec của nghiệm xấp xỉ trên các tâm rời rạc được sinh ra

. . . . . . . . . . . . . 32

bởi làm mịn liên tiếp, sử dụng FEM và hai phương pháp RBF-FD, (RBF-FD
old: trong bài báo [4], RBF-FD: trong bài báo này) như một hàm với đối số
là nghịch đảo của số tâm trong miền. (b) Sai số Eg của nghiệm nội suy trên
lưới. (cd) Hàm sai số u − uˆ đối với phương pháp RBF-FD trong bài báo này
trên 3169 tâm trong miền và phương pháp trên 3009 đỉnh trong miền. (ef)
Các tâm được sử dụng đối với các nghiệm phân biệt. (gh) phóng to cả hai tập
các tâm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5

Bài toán 1 với các tâm repulsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6

Bài toán 2: Các sai số và các tâm như trong Hình 3.4. Các đồ thị trong (c,
d) dựa trên nghiệm RBF-FD trên 1938 tâm trong miền biểu diễn trong (e) và
nghiệm của FEM trên 1811 đỉnh trong biểu diễn trong (f).

3.7

. . . . . . . . . . . . 37

Bài toán 3: Các sai số đối với các giá trị khác nhau của ω, sai số trên tâm
(trái) và sai số trên lưới (phải). RBF-FD: phương pháp chúng tôi mới đề xuất,
FEM: Phương pháp Phần tử hữu hạn được tính bởi MATLAB PDE Toolbox
với các tham số ngầm định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.8

Bài toán 3: Các hàm sai số của các phương pháp RBF-FD (trái) và FEM
(phải). Số các tâm/đỉnh nằm trong miền: (a) 2786, (b) 2768, (c) 3592, (d)
3478, (e) 1721, (f) 1427, (g) 2553, (h) 2521. Các tâm và các đỉnh được biểu
diễn trong các Hình 3.9.

3.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Bài toán 3: Các tâm được sinh ra bởi phương pháp RBF-FD (trái) và các
đỉnh của các tam giác được sinh ra bởi phương pháp FEM (phải) đối với các

nghiệm xấp xỉ, các đồ thị sai số được biểu diễn trong các Hình 3.8. . . . . . . . . 40


vi

3.10 Bài toán 3: (a) Sai số Ec của nghiệm xấp xỉ trên các tâm (RBF-FD old:
phương pháp cũ trong bài báo [4], RBF-FD: phương pháp chúng tôi mới đề
xuất). (b) Sai số Eg nội suy nghiệm xấp xỉ trên lưới. (cd) hàm sai số u − uˆ của
nghiệm xấp xỉ RBF-FD của phương pháp mới tên 2204 tâm trong miềnvà
trên 2236 đỉnh trong miền của phương pháp FEM. (ef) Các tâm sử dụng.
3.11 Bài toán 4: Nghiệm chính xác đối với α =
3.12 Bài toán 4 với α =

1
10π :

1
10π

và

1
50π .

. . . . 41

. . . . . . . . . . . . . . 42

(a) Nghiệm chính xác trong miền con được sử dụng

trong Hình 3.13(e-h) và trong (bd) của hình này. (b-d) Các tâm và sai số
đối với nghiệm xấp xỉ với 3679 tâm trong miền thu được từ phương pháp
RBF-FD với độ lệch ε0 (ζ , ξ ) = |uˆζ − uˆξ |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.13 Bài toán 4 with α =

1
10π :

Sai số và các tâm/đỉnh. Các đồ thị trong (ceg) được

dựa trên nghiệm xấp xỉ với RBF-FD với 4029 tâm trong miền, các đồ thị
(dfh) còn lại dựa trên nghiệm xấp xỉ của FEM với 3806 đỉnh trong miền.
3.14 Bài toán 4 with α =

1
50π :

. . . . 43

Các sai số và các tâm/đỉnh. Các đồ thị trong (ceg)

dựa trên nghiệm số của phương pháp RBF-FD với 13964 tâm trong miền, các
đồ thì (dfh) còn lại dựa trên nghiệm xấp xỉ của FEM với 14942 đỉnh trong
miền. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.15 Các nghiệm giải tích của Bài toán 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.16 Bài toán 5: Các sai số với α = 1000, x0 = (0.5, 0.5) (trên) và α = 100000,
x0 = (0.51, 0.117) (dưới). RBF-FD: phương pháp mới đề xuất, FEM: phương
pháp Phần tử hữu hạn, RBF-FD trên các tâm của FEM: phương pháp RBFFD với Thuật toán 2 trên các tâm được sinh ra bởi phương pháp FEM. . . . . . . 45
3.17 Bài toán 5 với α = 1000 và x0 = (0.5, 0.5): (ab) Nghiệm số của phương pháp
RBF-FD với 350 và FEM với 343 tâm trong miền, (c-h) các đồ thị sai số của

các nghiệm số trên các cấp khác nhau của làm mịn thích nghi. . . . . . . . . . . 46
3.18 Bài toán 5 với α = 1000 và x0 = (0.5, 0.5): Các tâm của phương phápRBFFD và FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.19 Bài toán 5 với α = 1000 và x0 = (0.5, 0.5): phương pháp RBF-FD với Thuật
toán 2 trên các tâm được sinh ra bởi FEM. (a) Nghiệm xấp xỉ với 343 tâm.
(b-d) Sai số của các nghiệm xấp xỉ trên các tâm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


vii

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Đơn vị: Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1. Thông tin chung
• Tên đề tài: Phương pháp RBF-FD giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic
• Mã số: TN2013-TN07-07
• Chủ nhiệm đề tài: TS. Đặng Thị Oanh
• Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái
Nguyên
• Thời gian thực hiện: Từ tháng 11 năm 2013 đến tháng 11 năm 2015 (gia hạn đến tháng
6 năm 2016)
2. Mục tiêu
• Xây dựng phương pháp không lưới mới dưới dạng công thức yếu nhờ nội suy địa
phương RBF.
• Đề xuất thuật toán mới chọn tâm nội suy hỗ trợ cho phương pháp này.
• Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp RBF - FD.
3. Tính mới và sáng tạo
• Đề xuất 3 thuật toán mới.
• Thử nghiệm số trên các thuật toán mới để so sánh với các thuật toán đã công bố.

4. Kết quả nghiên cứu
• Đề xuất thuật toán tìm tham số scaling tối ưu cho nội suy hàm RBF cho phương pháp
RBF-FD.
• Đề xuất thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới RBF-FD.


viii
• Đề xuất thuật toán sinh tâm thích nghi cho phương pháp RBF-FD.
• Cải tiến thuật toán chọn tâm.
5. Sản phẩm
Sản phẩm khoa học
• 01 bài báo đăng trên tạp chí quốc tế ISI.
• 01 bài báo đăng trên tạp chí chuyên ngành quốc gia.
• 01 bài báo đăng trên kỷ yếu hội thảo Quốc gia.
1. Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu (2017), "Adaptive RBF-FD
Method for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D", Applied Mathematics and Computation, Volume 313, pp. 474-497.
2. Đặng Thị Oanh (2014), "Tham số hình dạng tối ưu cho phương pháp xấp xỉ RBFFD giải phương trình Poisson", Tạp chí Ứng dụng Toán học Việt Nam, Số 12, tr.
1-24.
3. Đặng Thị Oanh và Nguyễn Văn Tảo (2016), "Nghiên cứu thuật toán chọn k-láng
giềng gần với hai điều kiện dừng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình
Poisson trong 2D", Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Công nghệ quốc gia (Fair 2016),
tr. 509-514.
Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn 03 luận văn thạc sĩ bảo vệ thành công:
1. Vũ Huy Hoàng Đô, Sự ảnh hưởng của bộ tâm được chọn trong phương pháp
không lưới RBF-FD, Luận văn tốt nghiệp năm 2015, Quyết định số 49/QĐĐHCNTT&TT ngày 14/01/2015, tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin và
Truyền thông - Đại học Thái Nguyên.
2. Đàm Văn Mạnh, Nghiên cứu một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số, Luận
văn tốt nghiệp năm 2014, Quyết định số 132/QĐ-ĐHTN, ngày 27/01/2014, tại
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
3. Phạm Thị Quyên, Hàm cơ sở theo bán kính và ứng dụng giải bài toán Dirichlet

với phương trình Poisson, Luận văn tốt nghiệp năm 2014, Quyết định số 132/QĐĐHTN, ngày 27/01/2014, tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.


ix

6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả
nghiên cứu:
Các bài báo và các công trình công bố trong các hội thảo sẽ là tài liệu cho những nghiên
cứu sâu hơn trong chủ đề này. Kết quả nghiên cứu của đề tài cũng là nguồn tài liệu tham
khảo hữu ích cho công tác giảng dạy cho sinh viên tại trường Đại học Công nghệ thông tin
và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên.
Ngày 26 tháng 06 năm 2017
Tổ chức chủ trì

Chủ nhiệm đề tài ...


x

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1. General information:
• Project title: Radial Basis Function-Finite Difference Method(RBF-FD) for Solving
Elliptic Partial Differential Equation
• Code number: TN2013-TN07-07
• Coordinator: Dr. Dang Thi Oanh
• Implementing institution: TNU - University of Information and Communication Technology .
• Duration: From November 2013 to November 2015 (extended until June 2016).
2. Objective(s):
• Develop a new meshless method in weak formula by local RBF interpolation.

• Propose a new interpolation stencil support selection algorithm in order to support this
method.
• Propose an adaptive refinement algorithm to RBF-FD method.
3. Creativeness and innovativeness:
• Propose 3 new algorithms.
• Numerical test on the new algorithms to compare with published algorithms.
4. Research results:
• Propose an algorithm to find the optimal shape parameter for RBF interpolation.
• Propose a stencil support selection algorithm in order to support RBF-FD method.
• Propose an adaptive refinement algorithm to RBF-FD method.
• Improve the stencil support selection algorithm.
5. Products:
Scientific product


xi
• A paper in ISI international journal.
• A paper in national journal.
• A paper in proceedings of national conference.
1. Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu (2017), "Adaptive RBF-FD
Method for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D", Applied Mathematics and Computation, Volume 313, pp. 474-497.
2. D. T. Oanh (2014), "On the optimal shape parameter for RBF-FD approximation method to solve the Poisson equation", Vietnam Journal of Mathematical
Applications, Number 12, pp. 1-24, .
3. Dang Thi Oanh and Nguyen Van Tao (2016), "Research the k-neighbors close selection algorithm with two termination criterion for the RBF-FD method to solve
the Poisson equation in 2D", Proceedings of national conference (Fair 2016), pp.
509-514.
Product training: Graduate study guide 03 Master’s theses.
1. Vu Huy Hoang Do, The influence of stencils selection to meshless RBF-FD
method, Graduation thesis in 2015, number 49/QĐ-ĐHCNTT&TT,14/01/2015.
2. Dam Van Manh, Research on some interpolation methods and function approximation, Graduation thesis 2014, number 132/QĐ-ĐHTN, 27/01/2014, at Thainguyen university of Sciences.

3. Pham Thi Quyen, Application of radial basis function for solving the Dirichlet
problem for poisson’s equation, Graduation thesis 2014, number 132/QĐ-ĐHTN,
27/01/2014, at Thainguyen university of Sciences.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results:
Articles and work published in seminars will be the materials for further research in the
topic. The research results of the project are also useful references for teaching students at
Thai Nguyen University of Information & Communication Technology.


1

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu
Phương pháp RBF – FD là phương pháp không lưới sử dụng nội suy hàm RBF (Radial
Basis Function) với cách tiếp cận địa phương và dựa trên sự rời rạc hóa giống như phương
pháp FD (finite different). Phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic đã được giải bằng các
phương pháp truyền thống như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử biên,
phương pháp thể tích biên. . . Tuy nhiên, các phương pháp truyền thống rất khó sử dụng trong
những trường hợp lưới biến dạng trên phạm vi rộng hoặc số chiều không gian cao, hàm vế
phải hoặc hàm điều kiện biên có kì dị (có độ dao động lớn), vì các phương pháp này đòi hỏi
phải rời rạc miền tính toán thành một lưới. Nên khi miền tính toán phức tạp thì các phương
pháp truyền thống sẽ gặp khó khăn rất lớn. Khó khăn phức tạp lớn nhất là sinh lưới, duy trì
lưới và cập nhật lưới. Để khắc phục những nhược điểm của các phương pháp lưới trên, người
ta đã đưa ra phương pháp không lưới giải phương trình đạo hàm riêng. Phương pháp không
lưới sử dụng các tập điểm rời rạc trong miền xác định để tính nghiệm tại các điểm này. Một
lợi thế của kỹ thuật rời rạc không lưới là chỉ cần dựa trên tập điểm độc lập phân bố bất kỳ.
Do đó, chi phí dành cho sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới được loại trừ. Phương pháp
xấp xỉ không lưới có thể được xem như một công cụ số thế hệ mới.
2. Mục tiêu, đối tượng, phạm vi, cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu
• Mục tiêu

– Xây dựng phương pháp không lưới mới dưới dạng công thức yếu nhờ nội suy địa
phương RBF.
– Đề xuất thuật toán mới chọn tâm nội suy hỗ trợ cho phương pháp này.
– Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi cho phương pháp RBF - FD.
• Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp không lưới dựa vào nội suy địa phương RBF giải phương trình đạo
hàm riêng dạng elliptic cấp 2 và một số thuật toán hỗ trợ cho phương pháp này như:
thuật toán chọn tham số hình dạng tối ưu, thuật toán chọn tâm và thuật toán làm mịn
thích nghi.


2
• Phạm vi nghiên cứu
– Đề xuất thuật toán chọn bộ tâm tối ưu cho nội suy địa phương hàm cơ sở bán kính
để tìm véc tơ trọng số giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic cấp 2.
– Đề xuất thuật toán làm mịn thích nghi trong không gian 2D đối với những bài
toán biên có miền hình học phức tạp, hàm có độ dao động lớn.
– Thử nghiệm số trên các bài toán biên với điều kiện biên Dirichlet như Poisson,
elliptic và so sánh hiệu quả của phương pháp mới với một số phương pháp truyền
thống.
• Cách tiếp cận
Bài toán thực tế thường có kích thước lớn vì vậy chúng tôi tiếp cận theo phương
pháp địa phương hóa tức là xấp xỉ địa phương bởi hàm RBF trong giai đoạn đầu (Điều
này tránh việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính kích thước lớn), sau đó sử dụng
những kết quả này như thông tin đầu vào để ghép trơn trên phạm vi toàn cục trong giai
đoạn thứ hai.
• Phương pháp nghiên cứu
– Nghiên cứu tài liệu và thử nghiệm,
– Thống kê toán học: Chứng minh bằng thử nghiệm và so sánh các kết quả của
phương pháp không lưới với các phương pháp truyền thống như phương pháp sai

phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn trên các bài toán mẫu.
– Sử dụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình đạo
hàm riêng để nghiên cứu độ xấp xỉ, tốc độ hội tụ của phương pháp. Sử dụng công
cụ đại số tuyến tính và giải tích hàm nghiên cứu hệ phương trình đại số được đưa
ra khi xây dựng thuật toán.


3

Chương 1

Kiến thức cơ sở
Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở liên quan đến đề tài, bao gồm:
Khái niệm bài toán nội suy; Nội suy dữ liệu phân tán; Nội suy với hàm cơ sở bán kính; Khái
niệm hàm xác định dương, ma trận xác định dương và cuối cùng là sự ổn định của ma trận
hệ số.

1.1.

Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd

Cho bộ dữ liệu (xi , yi ), i = 1, 2, ..., n, xi ∈ Rd , yi ∈ R, trong đó xi là các vị trí đo, yi là các
kết quả tại vị trí đo. Cho B1 , B2 , ..., Bn là các hàm cơ sở của không gian tuyến tính các hàm d
biến liên tục [10]. Ký hiệu
n

F = span {B1 , B2 , ..., Bn } =

∑ Ck Bk , Ck ∈ R

.

k=1

Bài toán nội suy là tìm hàm P f ∈ F sao cho
P f (xi ) = yi , i = 1, 2, ..., n.

(1.1)

Vì P f ∈ F nên
n

P f (xi ) =

∑ Ck Bk (x), x ∈ Rd ,

(1.2)

k=1

từ (1.1) và (1.2) ta có
AC = y,

(1.3)


B1 (x1 ) ... Bn (x1 )
...
...  .
A =  ...

B1 (xn ) ... Bn (xn )

(1.4)

trong đó


C = (c1 , ..., cn )T , y = (y1 , ..., yn )T .
Hệ phương trình (1.3) và (1.4) có nghiệm duy nhất nếu det(A) = 0, câu hỏi đặt ra là chọn cơ
sở {B1 , B2 , ..., Bn } như thế nào để điều kiện trên được thỏa mãn? Trong trường hợp d = 1 thì
ta có thể chọn cơ sở là
{B1 , B2 , ..., Bn } = 1, x, x2 , ..., xn−1 .


4
Định lý 1.1.1. (Mairhuber Curtis) Giả sử rằng Ω ⊂ Rd , d ≥ 2, chứa một điểm trong. Khi đó
không tồn tại không gian Haar của các hàm liên tục trên Ω [10].
Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω ⊂ Rd và F ⊂ C(Ω) là không gian tuyến tính hữu hạn chiều có cơ
sở là {B1 , B2 , ..., Bn }. Ta nói F là không gian Haar trên Ω nếu det(A) = 0 với mọi bộ tâm
phân biệt từng đôi một x1 , x2 , ..., xn trong Ω, trong đó ma trận A được định nghĩa bởi (1.4)
[10].
Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận nội suy, nghĩa là tồn
tại duy nhất nghiệm của Bài toán nội suy (1.1). Không gian các đa thức một biến bậc n − 1
chính là không gian Haar n chiều với tập dữ liệu (x j ; y j ), j = 1, ..., n; x j , y j ∈ R.
Định lý Mairhuber Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán nội suy dữ liệu phân
tán nhiều biến thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu. Để thu được các không gian xấp
xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét các hàm xác định dương và ma trận xác định dương.

1.2.

Nội suy với hàm cơ sở bán kính

1.2.1.

Hàm cơ sở bán kính

Định nghĩa 1.2.1. Một hàm φ : Rd → R được gọi là hàm cơ sở bán kính (RBF) nếu ở đó tồn
tại một hàm ϕ : [0, +∞) → R sao cho
φ (x) = ϕ(||x||2 ),
trong đó ||x||2 là chuẩn Euclid [10].

Bảng 1.1: Một số hàm cơ sở bán kính, trong đó r = ||x − xk ||.
Tên hàm

Viết tắt

Multiquadric

MQ

Inverse multiquadric

IMQ

Định nghĩa
√
φmq (r) = 1 + r2
√
φimq (r) = 1/ 1 + r2

Gaussian

Gauss

φg (r) = e−r

2

Vì hàm ϕ(x) vẫn là xác định dương khi r được nhân với một số lớn hơn không, nên khi
một tham số hình dạng δ > 0 được đưa vào hàm φ ta có Bảng 1.2 tương ứng như sau:


5

Bảng 1.2: Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng δ > 0.

1.2.2.

Tên hàm

Viết tắt

Multiquadric

MQ

Inverse multiquadric

IMQ

Định nghĩa
√
φmq (r) = δ 2 + r2
√
φimq (r) = 1/ δ 2 + r2

Gaussian

Gauss

φg (r) = e−(r/δ )

2

Nội suy hàm cơ sở bán kính

Ta ký hiệu
Φk (x) = Φ(x − xk ) = φ (||x − xk ||)với k = 1, 2, ..., n, x ∈ Rd .

(1.5)

Khi đó, nội suy hàm số dựa trên các hàm cơ sở bán kính có nghĩa là tìm hàm
n

P f (x) =

n

∑ Ck Φk (x) =

∑ Ck ϕ(||x − xk ||)

k=1

k=1

thỏa mãn điều kiện nội suy (1.1).
Chú ý 1.2.1.
- Hàm cơ sở phải gắn liền với đối tượng nghiên cứu. Vì vậy, để giải phương trình đạo
hàm riêng thì các hàm cơ sở bán kính phải là các hàm khả vi liên tục và thậm chí là khả vi
liên tục vô hạn lần.
- Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần chọn hàm φ phù hợp sao cho det(A) = 0.

1.3.

Hàm xác định dương và ma trận xác định dương

1.3.1.

Ma trận xác định dương

Định nghĩa 1.3.1. Ma trận giá trị thực, đối xứng A = (A jk ) được gọi là xác định dương nếu
dạng toàn phương tương ứng không âm, tức là:
n

n

∑ ∑ c j ck A jk ≥ 0,

với c = (c1 , c2 , ..., cn )T ∈ Rn .

j=1 k=1

Hay tương đương
cT Ac ≥ 0 với c = (c1 , c2 , ..., cn )T ∈ Rn .
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, ..., 0)T [10].


6

Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là các véctơ riêng của nó dương và ma
trận xác định dương là không suy biến.
Với cơ sở Bk , nếu Bài toán nội suy (1.1) tạo ra ma trận nội suy A xác định dương thì hệ
(1.3) có nghiệm duy nhất.

1.3.2.

Hàm xác định dương

Định nghĩa 1.3.2. Hàm Φ : Rd → R liên tục, được gọi là xác định dương trên Rd nếu và chỉ
nếu nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x1 , x2 , ..., xn } ⊂ Rd , với
mọi véc tơ C = (c1 , c2 , ..., cn ) ∈ Rn thì dạng toàn phương
n

n

∑ ∑ c j ck Φ(x j − xk ) ≥ 0.

(1.6)

j=1 k=1

Công thức (1.6) là đẳng thức khi và chỉ khi c là véc tơ 0 [10, 6].
Định nghĩa 1.3.3. Hàm một biến φ : [0, ∞] → R được gọi là xác định dương trên Rd nếu hàm
nhiều biến tương ứng Φ(x) = φ (||x||), x ∈ Rd , là xác định dương [10, 6].
Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy có thể sử dụng các
hàm xác định dương Bn = Φ(x − xk ) là hàm cơ sở và khi đó ta có:
n

P f (x) =

∑ ck Φ(x − xk ).

(1.7)

k=1

Ma trận nội suy A = [A jk ]nxn , với A jk = Bk (x j ) = Φ(x j − xk ); j, k = 1, ..., n.

1.3.3.

Hàm bán kính xác định dương

Định nghĩa 1.3.4. Một hàm được gọi là hàm bán kính xác định dương nếu nó vừa là hàm
bán kính vừa đồng thời xác định dương [10, 6].
Giả sử Φ(x) là hàm xác định dương và được xác định theo công thức (1.5). Khi đó ma
trận của bài toán nội suy theo hàm Φ(x) có dạng



Φ(0)
... Φ(x1 − xn )
.
...
...
...
A=
Φ(xn − x1 ) ...
Φ(0)
Theo định nghĩa hàm xác định dương thì det(A) = 0.

(1.8)


7

Chương 2

Tham số hình dạng tối ưu
Trong chương này chúng tôi trình bày như sau: Mục 2.1 trình bày phương pháp RBF-FD
đơn điểm và đa điểm; Mục 2.2 nghiên cứu thử nghiệm số của tham số hình dạng tối ưu; Mục
2.3 trình bày ước lượng tham số hình dạng tối ưu và cuối cùng trình bày kết luận của Chương
2. Các kết quả trong chương này được chủ nhiệm đề tài công bố trong [1].

2.1.

Phương pháp RBF-FD đơn điểm và đa điểm

2.1.1.

Sự rời rạc phương trình Poisson trên các tâm phân bố không đều

Cho D là toán tử vi phân tuyến tính và X = {xi }ni=0 là bộ tâm phân bố không đều, xác
định trong Rd . Công thức vi phân số tuyến tính đối với toán tử D,
n

Du(x) ≈ ∑ wi (x)u(xi ),

(2.1)

i=0

được xác định bởi các trọng số wi = wi (x). Véc tơ w = [w0 , . . . , wn ]T được gọi là stencil hay
còn gọi là véc tơ trọng số.
Trong phương pháp sai phân hữu hạn, stencil được sử dụng để rời rạc phương trình đạo
hàm riêng. Xét bài toán Dirichlet đối với phương trình Poisson trong miền giới nội Ω ⊂ Rd :
f là hàm đã cho, được xác định trên Ω, và hàm g được xác định trên ∂ Ω. Tìm u sao cho
∆u = f trên Ω,
u|∂ Ω = g.

(2.2)
(2.3)

Bài toán này có thể được rời rạc hóa nhờ công thức vi phân (2.1) như sau.
Cho Ξ ⊂ Ω là bộ hữu hạn các tâm rời rạc, ∂ Ξ := Ξ ∩ ∂ Ω và Ξint := Ξ \ ∂ Ξ. Giả sử rằng
với mỗi ζ ∈ Ξint , bộ Ξζ ⊂ Ξ được chọn sao cho ζ ∈ Ξζ và
Ξ=

Ξζ .

(2.4)

ζ ∈Ξint

Đối với mỗi ζ ∈ Ξint chọn một công thức vi phân tuyến tính đối với toán tử Laplace ∆,
∆u(ζ ) ≈

∑
ξ ∈Ξζ

wζ ,ξ u(ξ ),

(2.5)


8

với stencil [wζ ,ξ ]ξ ∈Ξζ , và thay thế (2.2)–(2.3) bởi hệ phương trình tuyến tính

∑

wζ ,ξ u(ξ
ˆ ) = f (ζ ),

ζ ∈ Ξint ,

(2.6)

u(ξ
ˆ ) = g(ξ ),

ξ ∈ ∂ Ξ.

(2.7)

ξ ∈Ξζ

Nếu hệ phương trình (2.6)–(2.7) không suy biến thì véc tơ nghiệm của nó uˆ : Ξ → R có thể
so sánh được với véc tơ của nghiệm đúng trong (2.2)–(2.3)được rời rạc hóa u|Ξ = [u(ξ )]ξ ∈Ξ .
Nếu chúng ta thực hiện trên miền hình vuông Ω ⊂ R2 , thì phương pháp được trình bày
phía trên là phương pháp sai phân hữu hạn chuẩn, Ξ là lưới đều, và (2.5) là công thức sai
phân 5 - điểm kinh điển đối với toán tử Laplace.
Có thể được một lược đồ tổng quát hơn nếu ta đưa vào bộ Θ ⊂ Ω các tâm trùng khớp
khác để thay thế Ξint trong (2.6):
wθ ,ξ u(ξ ) = f (θ ),

∑

θ ∈ Θ,

(2.8)

ξ ∈Ξθ

trong đó Ξθ và wθ ,ξ , ξ ∈ Ξθ , xác định công thức vi phân số đối với tâm θ ,
∆u(θ ) ≈

∑

wθ ,ξ u(ξ ).

(2.9)

ξ ∈Ξθ

Khi đó, hệ phương trình (2.8)–(2.7) là một rời rạc khác của bài toán (2.2)–(2.3).
Nếu Θ chứa nhiều tâm hơn Ξ, thì nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình tuyến tính (2.8)–
(2.7)có thể tìm được bằng phương pháp bình phương tối thiểu. Ví dụ: Số phương trình có thể
giảm bằng cách sử dụng trung bình địa phương của các phương trình trong (2.8), dẫn đến
phương pháp sai phân hữu hạn tổng quát như sau.
Với mỗi ζ ∈ Ξint chọn một bộ Θζ ⊂ Θ và các trọng số σζ ,θ ∈ R, θ ∈ Θζ , xác định sự kết
hợp tuyến tính của Laplace thay đổi trên Θζ , và chọn công thức vi phân số

∑

σζ ,θ ∆u(θ ) ≈

θ ∈Θζ

∑

wζ ,ξ u(ξ ),

(2.10)

ξ ∈Ξζ

với sự trợ giúp của Ξζ và các trọng số wζ ,ξ , ξ ∈ Ξζ .
Khi đó, sự rời rạc của (2.2)–(2.3) được cho bởi hệ phương trình tuyến tính

∑
ξ ∈Ξζ

wζ ,ξ u(ξ
ˆ )=

∑

θ ∈Θζ

σζ ,θ f (θ ),

ζ ∈ Ξint ;

u(ξ
ˆ ) = g(ξ ),

ξ ∈ ∂ Ξ.

(2.11)


9

Cho thấy rằng sự rời rạc phương pháp phần tử hữu hạn trong công thức (2.2)–(2.3) có thể
viết lại trong dạng (2.11), nếu véc tơ trọng số được đánh giá bằng chuẩn cầu phương. Thật
vậy, ví dụ xét các phần tử hữu hạn tam giác tuyến tính. Cho tam giác phân phù hợp trong
miền đa giác Ω, chúng tôi ký hiệu Ξ là bộ các đỉnh của các tam giác, và ϕξ , ξ ∈ Ξ, là các
hàm nón. Xấp xỉ của phần tử hữu hạn được trình bày trong dạng u(x)
ˆ ≈ ∑ξ ∈Ξ u(ξ

ˆ )ϕξ (x),
x ∈ Ω, trong đó, các giá trị u(ξ
ˆ ) thỏa mãn u(ξ
ˆ ) = g(ξ ) với ξ ∈ ∂ Ξ, và
−

∑

u(ξ
ˆ )

∇ϕξ ∇ϕζ dx =
Ω

ξ ∈Ξζ

ζ ∈ Ξint ,

f ϕζ dx,
Ω

trong đó, Ξζ bao gồm ζ và các đỉnh của tam giác phân liên thông với ζ bởi một cạnh. Tích
phân ở vế trái (các phần tử của ma trận cứng) có thể được tính toán một cách rõ ràng, trong
khi ở vế phải cần công thức cầu phương. Lược đồ chuẩn của phương pháp phần tử hữu hạn
với chuẩn điểm giữa (midpoint) trên mỗi tam giác với sự hỗ trợ của ϕζ . Do đó
f ϕˆ ζ dx =
Ω

∑

θ ∈Θζ Tθ

f ϕˆ ζ dx ≈

∑

θ ∈Θζ

area(Tθ )
f (θ ),
3

trong đó, Θζ là bộ các trọng tâm của các tam giác kết nối với ζ , và Tθ là ký hiệu của tam
giác với trọng tâm θ . Vì vậy, chúng ta nhận được (2.11), trong đó
wζ ,ξ := −

σζ ,θ :=

∇ϕξ ∇ϕζ dx,
Ω

2.1.2.

area(Tθ )
.
3

(2.12)

Véc tơ trọng số vi phân số

Công thức vi phân số (2.1) và véc tơ trọng số của phương pháp phần tử hữu hạn thường
xuyên thu được bằng cách cắt cụt chuỗi Tayor, mà đảm bảo độ chính xác đa thức ở bậc nào
đó. Nói cách khác, véc tơ trọng số có thể có được với sự trợ giúp của phương pháp trùng
khớp dữ liệu phân tán như sau.
Cho s là một xấp xỉ của u từ bộ dữ liệu các tâm phân bố phân tán X = {x0 , . . . , xn } ⊂ Rd
và các giá trị hàm tương ứng u|X = [u(x0 ), . . . , u(xn )]T , trong dạng
m

s = ∑ ai si ,

(2.13)

i=0

trong đó si , i = 0, . . . , m, là các hàm cơ sở, và véc tơ hệ số a = [a0 , . . . , am ]T phụ thuộc tuyến
tính trên u|X ,
n

ai =

∑ bi j u(x j ),

j=0

i = 0, . . . , m,

(2.14)

10
m,n
hoặc, trong dạng ma trận a = B · u|X , trong đó B = [bi j ]i=0,
j=0 . Khi đó,
m

m

n

Du(x) ≈ Ds(x) = ∑ ai Dsi (x) =
i=0

∑

j=0

n

∑ bi j Dsi(x) u(x j ) =

i=0

∑ w j u(x j ),

j=0

và chúng ta nhận được một công thức vi phân số (2.1) với stencil w = [w0 , . . . , wn ]T được cho
bởi
m

w j = ∑ bi j Dsi (x),

j = 0, . . . , n,

i=0

hoặc trong dạng ma trận
w = BT · [Dsi (x)]m
i=0 .

(2.15)

Cụ thể, xét trường hợp m = n và các hệ số a j thu được bằng cách giải bài toán nội suy
không suy biến
n

s(xi ) =

∑ a j s j (xi) = u(xi),

i = 0, . . . , n.

j=0

Khi đó, rõ ràng B = SX−1 , trong đó SX := [s j (xi )]ni, j=0 . Vì vậy, véc tơ trọng số w được cho bởi
w = SX−T · [Dsi (x)]ni=0 ,
và có thể tính toán được bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính
SXT w = [Dsi (x)]ni=0 ,

(2.16)

đó là,
n

∑ wis j (xi) = Ds j (x),

j = 0, . . . , n.

i=0

Rõ ràng có rất nhiều phương pháp xấp xỉ khác, ví dụ như bình phương tối thiểu hoặc bán
nội suy kiểu (2.13)–(2.14) và vì vậy dẫn đến các véc tơ trọng số vi phân số dạng (2.15). Từ
đó
n

m

Du(x) − ∑ w j u(x j ) = D u(x) − ∑ ai si (x) ,
j=0

i=0

độ chính xác của véc tơ trọng số liên quan trực tiếp đến độ chính xác của phương pháp xấp
xỉ.

2.1.3.

Các phương pháp RBF-FD

Họ các phương pháp thực hiện tốt đối với nội suy dữ liệu phân tán dựa trên RBF, vì vậy
một cách tự nhiên để mong rằng các véc tơ trọng số tốt có thể được sinh ra từ nội suy RBF.


11
Cho ϕ : R+ → R là hàm xác định dương. Cho trước một bộ các tâm bất kỳ X = {x0 , . . . , xn } ⊂
Rd và một hàm u : Rd → R, nội suy RBF với giới hạn hằng số [3, 6, 10] được trình bày trong
dạng
n

s(x) =

ϕ j (x) = Φ(x − x j ),

∑ a j ϕ j (x) + c,

Φ(x) := ϕ( x ),

(2.17)

j=0

trong đó x là chuẩn Ơ-cơ-lit của x, và các hệ số a j được chọn sao cho
n

s(xi ) = u(xi ),

i = 0, . . . , n,

∑ a j = 0.

(2.18)

j=0

Các hệ số a j được xác định duy nhất bởi nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
n

n

∑ a j Φ(xi − x j ) + c = u(xi),

i = 0, . . . , n,

j=0

∑ a j = 0,

j=0

mà có thể viết trong dạng ma trận
ΦX 1
1T 0

a
c

=

u|X

0

,

ΦX := [Φ(xi − x j )]ni, j=0 ,

1 := [1 · · · 1]T .

Ma trận ΦX đối xứng và xác định dương đối với bộ X bất kỳ.
Tham khảo đến cách thiết lập chung của Phần 2.1.2, chúng ta thấy rằng ở đây m = n + 1,
−1
ΦX 1
si = φi , i = 0, . . . , n, sn+1 = 1, và B thu được từ ma trận
bằng cách loại bỏ cột
1T 0
cuối cùng và đưa vào một biến phụ giá trị thực v, chúng ta có thể viết (2.15) trong dạng
w
v

=

ΦX 1
1T 0

−1

[Dsi (x)]m
i=0 ,

dẫn đến hệ phương trình tuyến tính

ΦX 1
1T 0

w
v

=

[Dϕi (x)]ni=1
0

,

(2.19)

Chú ý rằng véc tơ trọng số w thỏa mãn ∑nj=0 w j = 0, ngụ ý rằng ma trận [wζ ,ξ ] của (2.6)
hoặc (2.11) sẽ là yếu theo đường chéo trội nếu nó là một L-matrix. Đây là lý do tại sao chúng
tôi nhấn mạnh sử dụng nội suy RBF với thành phần hằng số mặc dù cả thành phần hằng số
c và điều kiện ∑nj=0 a j = 0 có thể bỏ đi trong công thức (2.17)–(2.18) bởi vì ΦX không suy
biến. Trong trường hợp này của nội suy RBF gốc, hệ số v và phương trình cuối sẽ triệt tiêu
trong(2.19), dẫn đến hệ phương trình tuyến tính đơn giản hơn ΦX w = [Dϕi (x0 )]ni=0 để tính
stencil, như trong (2.16). Tuy nhiên, nói chung, các stencil thu được bằng cách này có tổng
không bằng 0.


12
2

Trong thử nghiệm chúng tôi dùng hàm RBF Gauss ϕ(r) = e−(cr) , đây là hàm xác định
dương đối với mọi giá trị tham số hình dạng c > 0. Với hàm này, ma trận ΦX có dạng

2

ΦX = [e−c
2

Laplacian của hàm Gauss Φ(x) = e−c

2

x

xi −x j

2

]ni, j=1 .

(2.20)

cần để rời rạc phương trình Poisson (2.2) được

cho bởi
2

∆Φ(x) = 2c2 e−c

x

2

(2c2 x

2

− d).

(2.21)

Bây giờ chúng tôi sử dụng các stencil w từ (2.19) để xác định hai kiểu stencil RBF, từ đó
rời rạc bài toán Dirichlet (2.2)-(2.3), xem thêm chi tiết về phương pháp trong [4]. Quan sát
công thức (2.11), chúng tôi miêu tả trong mỗi trường hợp làm thế nào để các tâm trùng khớp
trong Θζ và các trọng số σζ ,θ được chọn, từ đó đưa ra hệ phương trình tuyến tính xác định
véc tơ trọng số w, giả sử rằng bộ các tâm rời rạc địa phương Ξζ là đã biết. Hiện nay có nhiều
thuật toán chọn Ξζ , xem[4, Phần 5]. Các kết quả số trong bài báo này chúng tôi sử dụng [4,
Thuật toán 1].
Véc tơ trọng số đơn điểm RBF
Giống như véc tơ trọng số sai phân hữu hạn, công thức vi phân số đối với giá trị Laplace
của u tại điểm ζ . Vì vậy, sự rời rạc của bài toán Dirichlet được cho bởi (2.6)–(2.7) với
w = [wζ ,ξ ]ξ ∈Ξζ được tính theo (2.19) với D = ∆. Cụ thể, cho Ξζ = X = {x0 , . . . , xn }, ζ = x0 ,
là bộ các tâm rời rạc địa phương. Khi đó w tìm được bằng cách giải hệ phương trình tuyến
tính
ΦX 1
1T 0

w
v

=

[∆ϕi (x0 )]ni=1

0

.

(2.22)

Véc tơ trọng số đa điểm
Ý tưởng bởi véc tơ trọng số từ sự rời rạc phần tử hữu hạn, hơn nữa, chúng tôi xét phương
pháp trong [4] dựa trên vi phân số của toán tử D được xác định bằng sự kết hợp tuyến tính
của các Laplace
Du :=

∑ σk ∆u(· − x0 + yk ),
k=1

trong đó Θζ = {y1 , . . . , y } và các trọng số dương σ = [σζ ,θ ]θ ∈Θζ = [σ1 , . . . , σ ] được chọn
riêng biệt. Khi đó Du(x0 ) = ∑k=1 σk ∆u(yk ), và (2.19) dẫn đến hệ phương trình tuyến tính để
tính w như sau,
ΦX 1
1T 0

w
v

=

[∑k=1 σk ∆ϕi (yk )]ni=1
0

.

(2.23)