Tóm tắt lý thuyết môn toán 12

MỤC LỤC
A. Phần I: GIẢI TÍCH............................................................................ Trang 02
I. Chương I: Ứng dụng của đạo hàm............................................................Trang 02
II. Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit..........................Trang 6
III.Chương III: Nguyên hàm và tích phân....................................................Trang 11
Nguyên hàm ..........................................................................................Trang 11
Tích phân................................................................................................Trang 13

Ứng dụng của tích phân................................................................... Trang 14
IV.Chương IV: Số phức..............................................................................Trang 15

B. Phần II: HÌNH HỌC ......................................................................... Trang 16
I.Chương I: Khối đa diện.............................................................................Trang 16
II. Chương II: Khối tròn xoay......................................................................Trang 17
III.Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian.................................Trang 18
Mặt cầu..................................................................................................Trang 19
Mặt phẳng..............................................................................................Trang 20
Đường thẳng...........................................................................................Trang 21

C. Phần III: Các phím thường dùng trên máy tính FX 570VN Plus.....Trang 24

1


Phần I: GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN−NGHỊCH BIẾN
A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1/ Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
Cho hàm sô y = f ( x ) có tập xác định là miền D.
− f(x) đồng biến trên D ⇔ f ' ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ D .

− f(x) nghịch biến trên D ⇔ f ' ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ D .
(chỉ xét trường hợp f / (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
2/ Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c .
1. Nếu ∆ < 0 thì f(x) ln cùng dấu với a.
2. Nếu ∆ = 0 thì f(x) có nghiệm x = −

b
b
và f(x) luôn cùng dấu với a khi x ≠ − .
2a
2a

3. Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2
nghiệm f(x) cùng dấu với a.
3/ So sánh nghiệm của tam thức với số 0
∆ > 0

* x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0
S < 0


∆ > 0

* 0 < x1 < x2 ⇔  P > 0
S > 0


* x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0

4/ Hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên R

Cho hàm số y = f (x). Nếu f / (x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )
∆ ≤ 0
a > 0
∆ ≤ 0
Hàm số f (x) nghịch biến trên ¡ ⇔ 
a < 0

• Hàm số f (x) đồng biến trên ¡ ⇔ 
•

BÀI 2: CỰC TRỊ
A/Tóm tắt lý thuyết:
• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x0
thì f/(x0)=0
• Dấu hiệu đủ thứ I :
Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x0 – h; x0 + h) với h > 0.
+Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 hàm số đạt cực đại tại x0,
+Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 hàm số đạt cực tiểu tại x0

2


Qui tắc tìm cực trị = dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Tính : y/ = , tìm nghiệm của ptr y/ = 0 . Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu có)
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải
tăng dần)
+ Kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
 y / ( x 0 ) = 0
3) Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0   /
i daá
u qua x0
 y ( x)  đổ
•Dấu hiệu II:
Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x0 ∈ (a;b)
 y / (x 0 ) = 0
+Nếu  //
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
 y (x 0 )  > 0
y / ( x 0 ) = 0
+Nếu  / /
thì hàm số đạt cực đại tại x0.
y ( x0 )  < 0
Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II:
+ MXÐ
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 => các nghiệm x1 , x2 ….. .( nếu có )
+ Tính .. y// = ?. y//(xi), i = 1, n
Nếu y//(xi) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi .
Nếu y//(xi) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi .
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho
/

những trường hợp mà y khó xét dấu
*Cực trị của hàm hữu tỉ :
Nếu h/s y =

u ( x)
đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 và giá trị cực trị y(x0) =
v( x)

u′(x 0 )
v′(x 0 )

* Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu):
a ≠ 0
∆ > 0

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 

*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu):
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu
* Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
3


A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên D ( D ⊂ R)
a) Nếu ∃x0 ∈ D : f ( x) ≤ f ( x0 ), ∀x ∈ D thì số M=f(x0) được gọi là GTLN của hàm số f trên D
Ký hiệu M = maxf(x)
x∈D
b) Nếu ∃x0 ∈ D : f ( x) ≥ f ( x0 ), ∀x ∈ D thì số M=f(x0) được gọi là GTNN của hàm số f trên D
Ký hiệu m = minx∈f(x)
D
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên D

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên D. Dựa vào BBT để kết luận
( Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại
(cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên D)
3) Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số f liên tục trên đoạn [a,b].
+ Tìm các điểm x1,x2, ..., xn thuộc (a;b) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm
+ Tính f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(a )và f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
M = max f ( x ) ; m = min f ( x )
[ a ,b ]

[ a ,b ]

BÀI 4: TIỆM CẬN
A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Tiệm cận đứng :
x = x0 là tiệm cận đứng nếu có một trong các giới hạn sau
lim f (x) = +∞ ; lim+ f (x) = −∞ ; lim− f (x) = +∞ ; lim− f (x) = −∞

x →x 0+

x →x 0

x →x 0

x →x 0

Chú ý : Tìm x0 là những điểm hàm số không xác định
2.Tiệm cận ngang :
f (x) = y 0 ; lim f (x) = y 0
y = y0 là tiệm cận ngang nếu có một trong các giới hạn sau: xlim

→+∞
x →−∞
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì
có tiệm cận ngang

4


BÀI 5: ĐỒ THỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I.DẠNG ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3 : y=ax3+bx2+cx+d.
II.
D
Ạ
N
G

ĐỒ THỊ HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG :y=ax4+bx2+c.

III. DẠNG ĐỒ THỊ HÀM NHẤT BIẾN (B1/B1) : y =

ax + b
cx + d

4

4

2

2

-5

5

-5

5

-2

-2

-4

-4

-6

-6

y/ >0, ∀x

y/ <0, ∀x

IV. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường
hợp sau
1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) :
B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0)

/
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0)) là: y = f (x0 ) (x–x0) + f(x0)
2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hồnh độ x0 :
B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0), f(x0)
/
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là: y = f (x0 ) (x–x0) + f(x0)
5


3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độ y0 :
B1: Tìm f ’(x) .
B2: Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm .
B3:Do tung độ là y0 ⇔ f(x0)=y0. giải phương trình này tìm được x0 ⇒ f /(x0)
/
B4: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là: y = f (x0 ) (x–x0) + y0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :
f ′( x 0 ) =k
(*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒ f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a.
 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a= -1/a.
V: TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Bài toán. Cho hai đồ thị ( C ) : y = f ( x ) và ( L ) : y = g ( x ) . Tìm tọa độ giao điểm của hai đường.
Phương pháp
B1 : Lập phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường
f ( x ) = g ( x ) (1).
B2 : Giải phương trình (1) tìm nghiệm x. Giả sử phương trình (1) có các nghiệm là x1 , x 2 ,..., x n , ta thế lần

lượt các nghiệm này vào một trong hai hàm sô trên ta được các giá trị tương ứng là y1 , y 2 ,..., y n suy ra tọa
độ các giao điểm.
Chú ý : số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị ( C ) và ( L ) .

CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
Bài 1: LŨY THỪA
1.

Các định nghĩa:
Lũy thừa a α

Cơ số a
a∈R

a n = a.a......a (n thừa số a) n ∈ N *
a0 = 1
1
a−n = n , n ∈ N *
a

a≠0
a≠0
a>0

m

a n = n am

a>0

m∈ Z,n ∈ N*

*
a α = lim a rn α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N )

2.Các tính chất về lũy thừa: a, b>0; x, y∈R
a

x

⋅  a .a = a  y = a
x

y

x+y

x− y

x

x

x

a
  ÷
b

x

 (a.b) =a .b

a

 a>1 thì a >a ⇔ x>y ;  0x

y

x

y

=

a
b

x
x

( ax )

y

( y)

= a

x

=a

x.y

 a n < b n , ∀n > 0
0n
 a > b , ∀n < 0

3.Căn bậc n:
a) Định nghĩa: Cho số thực b và số nguyên dương n (n ≥ 2). Số a được gọi là căn bậc n của b nếu an = b.
6


Từ định nghĩa ta có:
• Với n lẻ và b ∈ R:Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là

n

b

• Với n chẵn và b<0: Khơng tồn tại căn bậc n của b;
• Với n chẵn và b=0: Có một căn bậc n của b là số 0;
• Với n chẵn và b>0: Có hai căn bậc n của a trái dấu nhau, kí hiệu giá trị dương là

n

b , cịn giá trị âm là

−n b .
b)Tính chất căn bậc n:
• n a.n b = n a.b ;
a
• n an = 
 a

•

n
n

a
b

khi n lẻ
khi n chẵ
n

=

n

a
;
b

•

( a)
n

m

= n am

• n k a = nk a

;

BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA
1. Khái niệm. “Hàm số y = x , với α∈R, được gọi là hàm số luỹ thừa.”
* Chú ý:
+ Với α nguyên dương, tập xác định là R.
+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\{0}
+ Với α không nguyên, TXĐ D = (0; + ∞)
2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa.
Hàm số y = x α , ( α ∈ R ) có đạo hàm với mọi x > 0 ta có:
α

• ( xα ) = α xα −1
/

• ( u α ) = α u α −1.u /
/

α

3. Tóm tắt tính chất hàm số: y = x với α∈ R

* Tập khảo sát:
*Đạo hàm:

y = xα, α> 0
(0 ; + ∞).
y' = α.xα-1> 0,∀x > 0

y = xα, α< 0
(0 ; + ∞)
y' = α.xα-1< 0, ∀x > 0

* Sự biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (0 ;+∞)

Hàm số nghịch biến trên (0 ;+∞)

*Tiệm cận:

Khơng có

*Đồ thị

Đồ thị của hàm số y = x α luôn đi qua

Trục Ox là tiệm cận ngang
Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị.
Đồ thị của hàm số y = x α luôn đi qua điểm

điểm A(1 ;1), luôn nằm trên trục ox

A(1 ;1), luôn nằm trên trục ox

Dạng đồ thị
4

y
α>1

α=1
0<α<1

2

α=0

1

α<0
1

5

O
-2

7

x

Baøi 3: LOGARIT
1/ Định nghĩa Logarit: a, b>0 và a≠ 1 α = logab ⇔ aα = b
2/ Tính chất:
Tính chất 1:
log a1 = 0; logaa=1; aloga x = x ; log a ax = x
Tính chất 2:
a) Cho x, y>0 và 0*a>1 thì logax > logay ⇔ x>y
*0*logax = logay ⇔ x=y
 a > 1& b > 1
b) logab > 0 ⇔ 
 0 < a, b < 1
logab < 0 ⇔Trong 2 số a và b một số lớn hơn 1 số còn lại thuộc (0;1)

3/ Các qui tắc biến đổi: với a, B, C > 0 ; a ≠ 1 ta cú:
B
ã log a ữ = log a B − log a C
C
4/ Công thức đổi cơ số: với a, b, c > 0 ; a, c ≠ 1 ta có:
• log a (B.C) = log a B + log a C

log c a.log a b =

log c b

hoặc

log a b =

•loga Bβ = β log a B

log c b
log c a

Hệ quả:
*0 < a, b ≠ 1 thì log a b =

1
log b a

*0 < a ≠ 1, b>0 thì log α b =
a

;

1
logab ;
α

logaα bβ  =

β
logab
α

Bài 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
1/ Hàm số mũ:
a) Định nghĩa: Hàm số mũ là hàm số cho bởi biểu thức y =

b) Giới hạn. lim
x→ 0

a

x

với a > 0 ; a ≠ 1

e −1
=1
x
x

c) Đạo hàm của các hàm số mũ

(ex) / = ex
(ax) / = ax.lna

(eu)/ = u/.eu
(au)/ = u/.au.lna

d) Tóm tắt tính chất hàm số y=ax
a>1
0*TXĐ:
D=R
D=R
*TGT:
T=(0;+∞)

T=(0;+∞)
x /
x
*Đạo hàm:
(a ) = a .lna>0 ∀x
(ax) / = ax.lna <0 ∀x
*Chiều biến thiên:
Hàm số luôn luôn đồng biến
Hàm số luôn luôn nghịch biến
*Tiệm cận:
Trục Ox là tiệm cận ngang
Trục Ox là tiệm cận ngang
* Dạng đồ thị:
Đồ thịhàm số mũ đi qua các điểm (0;1) và (1;a), nằm phía trên trục hoành.

8


2/ Hàm số Logarit:
a)ĐN: Hàm số logarít là hàm số cho bởi biểu thức y = log a x với a > 0 ; a ≠ 1
b) Đạo hàm của các hàm số logarit
1

•(lnx) / =
•(lnu)/ =

x
u′
u

•(ln

(x>0)

(u>0)•(ln

x

x

)/ =

/

1

=

u′
u

x

(x≠0)•(logax) / =

(u≠0)• (logau)/ =

1
x ln a

u′
u. ln a

(x>0)•(loga

(u>0)•(loga

u

x

) /=

) /=

1
x ln a

u/
u ln a

(x≠0)

(u≠0)

c) Tóm tắt tính chất hàm số y=logax
*TXĐ:
*TGT:
*Đạo hàm:
*Chiều biến thiên:

*Tiệm cận:
*Dạng đồ thị

a>1
D=(0;+∞)
T=R
(logax) / =

0D=(0;+∞)
T=R
1
x ln a

>0 ∀x >0

(logax) / =

1
x ln a

<0 ∀x >0

Hàm số luôn luôn đồng biến
Hàm số luôn luôn nghịch biến
Trục oy là tiệm cận đứng
Trục oy là tiệm cận đứng
Đồ thị hàm số mũ đi qua các điểm (1;0) và (1;a), nằm phía trên trục hồnh.

Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1/ Phương trình cơ bản:
Phương trình mũ cơ bản: ax = b (0 < a ≠ 1  )
• Nếu b>0, ta có ax = b ⇔ x = loga b
• Nếu b≤ 0 phương trình vơ nghiệm.
Tổng qt: a f (x) = b (với 0<a≠1, b > 0)⇔ f(x) = log a b
Phương trình loga cơ bản:
• log a x = b (0 < a ≠ 1) ⇔ x = a b
Tổng quát: log a f (x) = b (0 < a ≠ 1) ⇔ f (x) = a b
2/ Một số phương pháp giải phương trình mũ và loga:
a)Đưa về cùng cơ số:
Chú ý:
9


• a f (x) = a g(x) ⇔ f(x) = g(x)

f (x) > 0 hoặc g(x) > 0
•log a f(x) = log a g(x) ⇔ 
f (x) = g(x)
b) Đặt ẩn phụ:
Dạng 1:α. a 2f (x) +β. a f (x) + γ = 0
;
Dạng 2: α. a b + f (x) +β. a b−f (x) + γ = 0 ;

Đặt: t =

a

Đặt: t =

f (x)

a

Dạng 3: α. a f (x) +β. b f (x) + γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =

Đk t > 0

f (x)

Đk t > 0

f (x) ; 1 = f (x)
b
t
f (x)
a
a

Dạng 4:α. a 2f (x) +β. ( a.b ) f (x) + γ . b 2f (x) = 0 ; Đặt t =  ÷
b
Dạng 5: α .(loga x)2 + β loga x + γ = 0 +β. a f (x) ;

Đặt: t = logax

Dạng 6:α.logax+β logxa+γ = 0 Đặt: t = logax thì logxa=
c)Logarit hố, mũ hố: a

f (x)

=b

g(x)

1
t

⇔ f (x) = g(x). log b
a

Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1/ Bất phương trình cơ bản:
Bất phương trình mũ cơ bản:
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax >b (hoặc ax < b, ax ≤ b, ax ≥ b) với 0Giải bất phương trình mũ dạng: ax >b
• Nếu b≤ 0, tập nghiệm của phương trình là R.

 x > loga b neu
á a>1

x
• Nếu b>0, thì a >b⇔ 

á 0 x < loga bneu
 f (x) > loga b neu
á a>1

Tổng quát: với b > 0, a >b⇔ 
f(x)

á 0 f (x) < loga bneu

Bất phương trình loga cơ bản:

c loga x ≥ b, loga x < b
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x > b với a > 0, a ≠ 1 ( hoặ
,loga x ≤ b )
Giải bất phương trình mũ dạng: loga x > b

 x > ab neu
á a>1

• loga x > b⇔ 

b
á 0 0 < x < a neu

 f (x) > ab neu
á a>1
Tổng quát: loga f (x) > b⇔ 
b
á 0 0 < f (x) < a neu
1/ Một số phương pháp giải bất phương trình mũ và loga:
Giải tương tự phương trình mũ, loga
Chú ý:
• Nếu a > 1 thì a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x)

10


• Nếu 0 < a < 1 thì a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x)
• Nếu a > 1 thì log a f ( x ) > log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > 0
• Nếu 0 < a < 1 thì log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x)

Chương III: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

I/ NGUYÊN HÀM
1) Một số kiến thức về đạo hàm
a) Qui tắc tính đạo hàm:
(u + v) ' = u '+ v ' ;

(u + v) ' = u '+ v '
 u ′ u '
( ku) ' = ku ' ;  ÷ =
k
k

(u.v) ' = u 'v + uv ' ;

( với k là hằng số)
b)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
(C)’ = 0 ; (x)’=1

(x )

α /

=

/

n xn−1

/

 ax2 + bx + c  adx2 + 2aex + be− cd

÷ =
2
( dx + e)
 dx + e 

( sin x ) / = cos x
( cos x ) / = − sin x

( sin u ) / = u / . cos u
( cos u ) / = −u / . sin u

1
= 1 + tan 2 x
cos 2 x
( cot x ) / = − 12 = − 1 + cot 2 x
sin x

( tan u ) /

=

(

( )
x

′

/

( )

1
n

/

e

.u /

( )

ad − bc
 ax + b 

 =
( cx + d ) 2
 cx + d 

( tan x ) /

α −1

k.v
 k
 v ÷ = − v2
 
/
u/
u =
2 u
/
u'
n
u =
n n−1
n u

( )

/

( u = u( x )

Đạo hàm của các hàm số hợp

α /

/

n

( với k là hằng số)

(u ) α .u

= α .x α −1

k
 k
 x ÷ = − x2
 
/
1
x =
2 x

( x)

kv'
 u ′ u 'v− uv'
 k ′
=
;
 ÷
 ÷ =− 2
2
v

v
v
v

)

x

=e

(a )

x /

= a x . ln a
1
1
/
/
( lnx) = ( x>0) ; ( ln x ) = (x ≠ 0)
x
x
1
/
(x>0) ;
( loga x) =
x.lna
( log a x ) / = 1 (x ≠ 0)
x. ln a

( )

′

u

(a )

u /

)

(

( cot u ) /
e

(

u/
= u / 1 + tan 2 u
2
cos u
u/
= − 2 = −u / . 1 + cot 2 u
sin u
=

)

u

=u'.e

= a u .u / . ln a

u/
u/
/
(u ≠ 0)
( u>0) ; ( ln u ) =
u
u
u/
/
(u>0)
( loga u) =
u.lna
/
( log a u ) / = u (u ≠ 0)
u. ln a

( lnu) =
/

2) Bảng nguyên hàm:
11


Nguyên hàm

Nguyên hàm hàm số hợp

∫ dx = ∫ 1dx = x + C
∫

xα dx =

∫ kdx = kx + C

1
xα +1 + C (α ≠ 1)
α +1
n+ m

n
x dx =
x n
n+m

∫
1
∫ x dx = ln x + C
n m

1

∫ ( ax + b)
∫
∫

∫

+C

1

∫ x2 dx = − x + C
1

∫ x dx = 2 x + C
x
x
∫ e dx = e + C
∫

2

dx =

akx+ bdx =

1
ax + b + C
a

1 ax+ b
e
+C
a

1 akx+ b
.
+C
k ln a
1

1

1

∫ sin2(ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C

1
1
x− a
dx =
ln
+C
2
−a
2a x + a
1

∫ tan xdx = − ln cos x + C
( x − x1 )

1

∫ ( x − x ) ( x − x ) dx = ( x − x ) ln ( x − x )
2

ax + b

dx = 2.

1

2

∫ cot xdx = ln sin x + C

+C

2

3. CÁC TÍNH CHẤT

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C ;
∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx

2. ∫ k . f ( x ) dx =k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ 0 ) ;

1.

4.

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx

B1: Đặt: t=u(x) và lấy vi phân hai vế: dt=u’(x)dx ⇒
B2: Tính:

∫ f  u ( x )  u ' ( x ) dx = ∫ f (t )dt

∫ f ( t ) dt = F ( t ) + C
12

3.

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx

4.1.Phương pháp đổi biến số:
Nguyên hàm dạng

+C

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C
1
∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C
1
1
∫ cos2(ax + b) dx = a tan(ax + b) + C

dx = − cot x + C

1

n+ m

(a > 0, a ≠ 1)

∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
1
∫ cos2 x dx = tanx + C
∫x

1
ax+ b

∫

+ C (α ≠ 1)

1
n
(ax + b) dx = .
(ax + b) n
a n+m
1
1
dx = ln ax + b + C
ax + b
a
1
1
1
dx = − .
+C

2
a ax + b
( ax + b)

∫e

ax
a dx =
+ C (a > 0, a ≠ 1)
ln a

∫ sin2 x

α +1

1 ( ax + b)
dx = .
a
α +1
m

n

∫

x

1

α

B3: Thay t=u(x) vào F(t) được:

∫ f  u ( x )  u ' ( x ) dx = F (u ( x)) + C

4.2 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN: công thức nguyên hàm từng phần

∫ u( x).v '( x)dx = u( x).v( x) − ∫ v( x).u'(x)dx
Áp dụng tính: I=

∫ udv = uv − ∫ vdu

Vắn tắt:

∫ f ( x ) .g ( x)dx

 u = f (x) ⇒ du = f'(x)dx
⇒ I = f (x).G(x) − ∫ G(x). f '(x)dx
Đặt: 
 dv = g(x)dx ⇒ v = G(x) là một nguyên hàm của g(x)
Tớnh G(x). f '(x)dx , suy ra I
* Chú ý: Vận dụng để tính các dạng nguyên hàm sau:
Dạng 1:

∫ P ( x ) .g ( x)dx ( P(x): là hàm số đa thức , g ( x) là hàm số lượng giác hoặc hàm số mũ)
 u = P ( x) ⇒ du = P '(x)dx
 dv = g(x)dx ⇒ v = G(x) là một nguyên hàm của g(x)

t:

Dng 2:

P ( x ) .hs log aritdx ( P(x): là hàm số đa thức)

Đặt :

 u = hs log arit

 dv = P( x)dx

Chú ý : 1/ Thường sử dụng pp từng phần khi ngun hàm có dạng tích của 2 dạng hàm số khác nhau
hoặc chỉ có mỗi hàm số logarit
2/ Thứ tự ưu tiên khi đặt u: “Nhất lơgarit, nhì đa thức, tam mũ, tứ lượng”

II. TÍCH PHÂN
1.ĐN:Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x).
b

∫ f ( x ) dx = F ( x )
a

b
a

= F ( b) − F ( a)

Chú ý:
b

b

b

b

a

a

a

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( y ) dy
2.Tính chất:
a

1/.

∫ f ( x ) dx = 0

; 2/.

a

b

4/.

b

a

a

b

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx ;

b

b

∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx ;
a

a

3/.

5/.

a

b

b

a

a

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ 0)

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

3.Phương pháp đổi biến số:
b

3.1. Đổi biến số dạng I : Tính tích phân dạng
B1: Đặt: t=u(x) ⇒ dt=u’(x)dx
B2: Đổi cận:
x
a
b
α
β
t

∫ f  u ( x )  .u ' ( x ) dx
a

13


b

β

a

α

β

B3: ⇒ ∫ f  u ( x )  .u ' ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = F ( t ) α = F ( β ) − F (α ) , với F(t) là một nguyên hàm của f(t)
b

3.2. Đổi biến số dạng II :

∫ f ( x ) dx
a

B1: Đặt: x=u(t) ⇒ dx = u '(t )dt
B2: Đổi cận:
x
a
b

α
β
t
b

∫

B3: Tính:

a

β

β

α

α

β

f ( x ) dx = ∫ f  u ( t )  u ' ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt = G ( t ) α với G(t) là một nguyên hàm của g(t)

II. 4. Phương pháp tích phân từng phần: cơng thức TPTP:
b
b b
b
b
u
(

x
).
v
'(
x
)
dx
=
u
(
x
).
v
(
x
)
− v( x).u'(x)dx
b
∫a
udv
=
uv
−
a ∫a
∫a vdu
a
, vắn tắt: ∫
a
Chú ý : 1/ Thường sử dụng pp từng phần khi tích phân có dạng tích của 2 dạng hàm số khác nhau hoặc
chỉ có mỗi hàm số logarit

2/ Thứ tự ưu tiên khi đặt u là: “Nhất lơgarit, nhì đa thức, tam mũ, tứ lượng giác”

III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Cho (C); (C1); (C2) là những đường cong liên tục trên đoạn [a; b]
1. Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi :
 (C)
: y =f(x)

S Truïc Ox: y=0
 2 dt
:x =a; x =b (a
b

S = ∫ f (x) .dx
a

Nếu thiếu cận x=a hoặc x=b thì giải pt hđgđ : f(x)=0 tìm nghiệm, suy ra cận x=a hoặc x=b
2.Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi:
 (C1): y =f(x)

S : (C2): y =g(x)
 x =a; x =b (a
b

S=

∫

f ( x) − g ( x ) .dx

a

Nếu thiếu cận x=a hoặc x=b thì giải pt hđgđ : f(x)=g(x) tìm nghiệm, suy ra cận x=a hoặc x=b
3.Thể tích của khối trịn xoay :

14


 (C): y =f(x)

Khi cho hình phẳng giới hạn bởi  Truïc Ox
quay quanh trục Ox ta được vật thể trịn
 x =a; x =b (a
b

2
xoay (T) có thể tích: V = π ∫ [f (x)] dx
a

CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC
I. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN :
1.Định nghĩa :
Số phức là một biểu thức có dạng a + bi ; trong đó a, b ∈ ¡ và i 2 = −1 .
2.Các khái niệm liên quan :
Cho số phức z = a + bi . Khi đó :
• Đơn vị ảo i
i2 = -1

 i3 = -i
 i4 = 1
• a gọi là phần thực và b là phần ảo của số phức z ; a, b ∈ ¡
+ Nếu a = 0 ⇒ z = bi , z gọi là số thuần ảo
+ Nếu b = 0 ⇒ z = a , z gọi là số thuần thực
+ Nếu a = 0 và b = 0 ⇒ z = 0 , z gọi là số thuần thực hay thuần ảo đều được
• Số phức z được biểu diễn bởi điểm M ( a ; b ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
•

uuuu
r
z = OM = a 2 + b 2 gọi là môđun của số phức z .

• Số phức z = a − bi gọi là số phức liên hợp của số phức z .
• Số thực a được xem là một số phức có phần ảo là 0.
• z ≠ 0 ⇔ a 2 + b2 > 0 .
Tập hợp các số phức kí hiệu là C
3. Hai số phức bằng nhau : Cho z1 = a + bi z2 = c + di
a = c
z1 = z2 ⇔ 
b = d

a , b, c , d ∈ R

4. Biểu diễn hình học số phức :
Số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi điểm M(a ;b) trong mặt phẳng Oxy
y

b

M
a

x

5. Các phép toán trên tập hợp số phức :
Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :

( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i

Phép chia hai số phức :

z ′ z ′.z z ′.z z ′.z
=
= 2 = 2 ( z ≠ 0)
z z.z
z
z

( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i
( a + bi ) ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i
Chú ý :
15


• Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số thơng
thường với chú ý rằng i 2 = −1 .
• Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.
2
• Cho z = a + bi . Khi đó : z + z = 2a ; z.z = a 2 + b 2 = z .

6. Căn bậc hai và phương trình bậc hai :
a) Định nghĩa căn bậc hai của số thực a.
*a=0 => a có một căn bậc hai là 0
* a là số thực dương. Khi đó a có hai căn bậc hai là : a và − a .
* a là số thực âm. Khi đó a có hai căn là : i a và −i a .
b) Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong tập số phức :
Giải phương trình : az 2 + bz + c = 0; a, b, c ∈ R; a ≠ 0 .
B1 : Tính ∆ = b 2 − 4ac hoặc ∆ / = ( b / ) − ac .
B2 : Kết luận nghiệm
/
Nếu
( ∆ >0) thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
−b ± ∆
∆>0
z1,2 =
•
2a
2

•
•


−b / ± ∆ / 
 z1,2 =
÷

÷
a



/
−b −b / .
Nếu ∆ = 0 ( ∆ =0) thì phương trình có một nghiệm kép thực
z1 = z2 =
=
2a
a
/
Nếu ∆ < 0 ( ∆ <0) khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là
z1;2

−b i ∆
=
±
2a
2a


/
i ∆/ 
 z = −b ±
÷
 1;2
a
a ÷
÷



Phần II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
1. Khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ
(hình chóp, hình chóp cụt) kể cả hình lăng trụ (hình chóp, hình chóp cụt) ấy.
2. Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất:
a)Hai đa giác phân biệt chỉ có thể: hoặc khơng có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có
một cạnh chung.
b)Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
3. Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
4. Điểm trong – Điểm ngồi : Điểm khơng thuộc khối đa diện gọi là điểm nằm ngoài khối đa diện,
điểm thuộc khối đa diện nhưng khơng thuộc hình đa diện gọi là điêm nằm trong khối đa diện.
5. Miền trong và miền ngồi: Mỗi hình đa diện chia các điểm cịn lại của khơng gian thành hai miền
khơng giao nhau là miền trong và miền ngồi của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngồi là chứa
hồn tồn một đường thẳng nào đấy.
6. Khối đa diện lồi: Khối đa diện (H) đgl khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H)
ln thuộc (H).
7. Khối đa diện đều: là khối đa diện lồi có các tính chất sau:
-Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
-Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy đgl khối đa diện đều loại (p; q).
16


Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện. Đó là các loại [3; 3], [4; 3], [3; 4], [5; 3], [3; 5].

Bảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều

8.THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN:
8.1.THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

B : diệ
n tích đá
y
V = Bh với 
u cao
h: chiề

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
b) Thể tích khối lập phương:
8.2.THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:

V=abc với a, b, c là ba kích thước
V=a3 với a là độ dài cạnh

8.3.TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần
lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

B : diệ
n tích đá
y
1
V = B.h với 
3
u cao
h: chieà
VSABC
SA SB SC
=

VSA'B'C ' SA' SB' SC '

CHƯƠNG 2: THỂ TÍCH DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI
TRỊN XOAY:
1. Hình nón trịn xoay
Cho ∆OIM vng tại I. Khi quay nó xung quanh cạnh góc vng OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một
hình đgl hình nón trịn xoay.
– Hình trịn (I, IM): mặt đáy
– O: đỉnh
– OI: đường cao
– OM: đường sinh
– Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi OM: mặt xung quanh.
2. Khối nón trịn xoay
Phần khơng gian được giới hạn bởi một hình nón trịn xoay kể cả hình nón đó đgl khối nón trịn xoay.
– Điểm ngồi: điểm khơng thuộc khối nón.
– Điểm trong: điểm thuộc khối nón nhưng khơng thuộc hình nón
3. Hình trụ trịn xoay
Cho chữ nhật ABCD quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa 1 cạnh, chẳng hạn
AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành 1 hình đgl hình trụ trịn xoay.
– Hình trịn (A,AD)và (B;BC) gọi là mặt đáy
– AB: đường cao
– DC: đường sinh
– Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi DC: mặt xung quanh.
4. Khối trụ tròn xoay
17


Phần khơng gian được giới hạn bởi một hình trụ kể cả hình trụ đó đgl khối trụ trịn xoay.
– Điểm ngồi: điểm khơng thuộc khối trụ.
– Điểm trong: điểm thuộc khối trụ.nhưng khơng thuộc hình trụ.

5.Mặt cầu (Hình cầu): Mật cầu tâm O bán kính R là tập hợp các điểm M trong
không gian cách O một khoảng không đổi R.(R>0)
6. Khối cầu: Phần không gian giới hạn bởi mặt cầu, kể cả mặt cầu đó gọi là khối cầu.
– Điểm ngồi: điểm khơng thuộc khối cầu.
– Điểm trong: điểm thuộc khối cầu nhưng khơng thuộc hình cầu.
7.THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

7.1: Khối trụ:

7.2: Khối nón

7.3.Khối cầu:

R : bá
n kính đá
y
Sxq = 2π Rl vớ
i 
ngsinh
l : đườ
R : bá
n kính đá
y
Vtrụ = π R2h vớ
i 
ng cao
h: đườ

R
h

l

R : bá
n kính đá
y
Sxq = π Rl vớ
i 
ngsinh
l : đườ
R : bá
n kính đá
y
1
Vnón = π R2h vớ
i 
3
ng cao
h: đườ

l

h

R

S = 4π R2vớ
i R : bá
n kính mặ
t cầ

u
4
Vcầu = π R3 vớ
i R : bá
n kính khố
i cầ
u
3

R

CHƯƠNG III: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ
TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ
I.TỌA ĐỘ VECTƠ
r
r
r r r
Định nghĩa: u = ( x;y;z) ⇔ u = xi + yj + zk

TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ.
r
r
ĐN: kg Oxyz cho a = ( x1 ; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 )

Công thức:
r
r
Trong kg Oxyz,cho: a = (a1;a2;a3), b = (b1;b2;b3)
1/ Tọa độ vectơ tổng:

r
r r  y
v =  a; b  =  1
 y2

z1 z1
;
z2 z 2

x2 x1
;
x2 x2

y1 
÷
y2 

Tính chất:

r r
a ± b = ( a1 ± b1;a2 ± b2;a3 ± b3 )

r r
r r r
r r r
r r
r r
• [a, b] ⊥ a • [a, b] ⊥ b • [a, b] = a . b .sin( a, b)
r r
r r

r
• a, b cùng phương ⇔ [a, b] = 0
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
r r
r r r
r
a, bvà c đồng phẳng ⇔ [a, b].c = 0
II. TỌA ĐỘ ĐIỂM
uuuu
r r r r
a. Định nghĩa: M ( x;y;z) ⇔ OM = xi + yj + zk

2.Tích của 1 số thực k với 1 véc tơ:
r
ka = (ka1; ka2;ka3) ( k ∈ R )
3. Hai vectơ bằng nhau:
a1 =b1
r
r

a =b ⇔
a2 =b2
a =b
3
3

4.Điều kiện 2 vectơ cùng phương:
r
r r r
r r

a , b cùng phương ⇔ a = kb ; b ≠ 0

M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) ;

M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 )

M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) ;

M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z )

M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) ;

a1 = kb1

⇔∃k ∈ R : a2 = kb2

a3 = kb3

M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z )

b. Công thức:
Cho các điểm A(xA; yA; zA ), B(xB; yB; zB ) ,…

5.Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng
rr
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

uuu
r

1.Tọa độ vectơ: AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA )
2.Khoảng cách giữa 2 điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB)

6.Độ dài vec tơ:
18


uuur

r
a = a12 + a22 + a32

AB = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2
3.Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn AB

7. Điều kiện 2vectơ vuông góc

rr
r r
a ⊥ b ⇔ ab
. = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

 x + xB yA + yB zA + zB 
M A
;
;
÷
2
2

2 


r r
r r r r
8.Góc giữa 2 vectơ a ≠ 0, b ≠ 0 : Gọi ϕ = a,b

( )

rr
r r
a1b1 + a2b2 + a3b3
a.b
cos a, b = r r =
a.b
a12 + a22 + a23 . b12 + b22 + b23

4.Tọa độ trọng tâm tam giác
G trọng tâm tam giác ABC

( )

 x + x B + x C yA + yB + yC z A + z B + zC 
G A
;
;
÷
3
3
3




MỘT SỐ ỨNG DỤNG và CÔNG THỨC
1. Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng
uuur hàng;
uuur không thẳng hàng:
 3 điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB = k AC
uuur uuur
r
hoặc: 3 điểm A,B,C thẳng hàng ⇔  AB, AC  = 0
uuur
uuu
r
3 điểm A,B,C không thẳng hàng ⇔ AB ≠ k AC
uuur uuur
r
hoặc:3 điểm A,B,C không thẳng hàng ⇔  AB, AC  ≠ 0
uuur uuu
r
2. D ( x;y;z) là đỉnh hình bình hành ABCD ⇔ AD = BC
uuu
r uuur

3.Diện tích hình bình hành ABCD: SY ABCD =  AB, AD 
uuur uuur

hoặc: SY ABCD = 2S ∆ABC  AB, AC 
4.Diện tích tam giácABC: S∆ABC =

1 uuur uuur
 AB, AC  .

2

5. Chứng minh 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng, không đồng phẳng
uuur uuur uuur
4 điểm A,B,C,D đồng phẳng ⇔  AB, AC  . AD = 0
uuur uuur uuur

4 điểmA,B,C,D không đồng phẳng ⇔  AB, AC  . AD ≠ 0
(A,B,C,D là đỉnh tứ diện ABCD)
6.Thể tích tứ diện ABCD: VABCD =

1 uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD .

6

7.Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’:
uuu
r uuur uuur
VABCD. A' B 'C ' D' =  AB, AD  .AA'

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
I. Phương trình mặt cầu:
2
2
2
Dạng 1:Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r có phương trình: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 2 .

Mặt cầu tâm O, bán kính r: x 2 + y 2 + z 2 = r 2
Dạng 2:Phương trình dạng x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz = 0 ; điều kiện a 2 + b 2 + c 2 − d > 0
là phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính r = a 2 + b 2 + c 2 − d .
II. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
Trong k.g Oxyz Cho : mặt cầu (S),tâm I(a;b;c), bán kinh r và
mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
a/

Gọi H(x;y;z) là hình chiếu vng góc của tâm I(a;b;c) trên m ( α ) .
Ta có: IH = d ( I , ( α ) ) =

Aa + Bb + Cc + D
A2 + B 2 + C 2

.

a/ IH > R : mp ( α ) và mặt cầu (S) khơng có điểm chung.
19


b/ IH = R : mp ( α ) và mặt cầu (S) có 1 điểm chung duy nhất
( mp ( α ) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H )

 H : Gọi là tiếp điểm
b/

 mp ( α ) : Gọi là tiếp diện

Điều kiện mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 tiếp xúc mặt
cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r: d ( I , ( α ) ) = r

c/ IH < R : mp ( α ) cắt mặt cầu (S) theo 1 đường trịn (C) có

 x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
phương trình: (C): 
Ax + By + Cz + D = 0

(C) có tâm H, bán kính r ' = r 2 − IH 2 .

c/

 Khi IH = d ( I , ( α ) ) = 0 : mp ( α ) cắt mặt cầu (S) theo đường
tròn lớn tâm H ≡ I , bán kính r ' = r

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
r
r r
1/ Vectơ n ≠ 0 được gọi là VTPT của mp ( α ) ⇔ n ⊥ ( α ) .
r
r r
r r
2/ Nếu a , b là cặp vectơ khơng cùng phương và có giá nằm trên ( α ) hoặc song song với ( α ) thì : n =  a; b  là 1
VTPT của mp ( α ) .

r
3/ Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ,VTPT n = ( A; B; C ) có phương trình tổng quát dạng

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
⇔ Ax + By + Cz + D = 0 : phương trình tổng quát của mặt phẳng

4/ Chú ý: Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng
Tính chất của mặt phẳng (P)
Phương trình của mặt phẳng (P)
r
Phương trình các mặt phẳng tọa độ
mp ( Oxy ) : z = 0 - VTPT k = ( 0;0;1) .
r
mp ( Oxz ) : y = 0 - VTPT j = ( 0;1;0 ) .
r
mp ( Oyz ) : x = 0 - VTPT i = ( 1;0;0 ) .
(P) qua gốc O
Ax + By + Cz = 0
(P) // Ox hay (P) chứa Ox
By + Cz + D = 0
(P) // Oy hay (P) chứa Oy
Ax + Cz + D = 0
(P) // Oz hay (P) chứa Oz
Ax + By + D = 0
(P) // mp(Oxy)
Cz + D = 0 (C.D ≠ 0) hay z = m
(P) // mp(0xz)
By + D = 0 (B.D ≠ 0) hay y = n
(P) // mp(0yz)
Ax + D = 0 (A.D ≠ 0) hay x = p
x y z
(P) qua các điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0),C(0 ; 0 ; c)
+ + =1
(abc ≠ 0)
a b c
5/ Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng:

ur
Cho 2 mặt phẳng (P): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 có VTPT n1 = ( A1 ; B1; C1 )
20


ur
(Q): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 có VTPT n1 = ( A2 ; B2 ; C2 )
ur
uu
r
a. (P) cắt (Q) ⇔ n1 ≠ k n2 ⇔ ( A1 ; B1 ; C1 ) ≠ ( A2 ; B2 ; C2 )
ur
uu
r
 n1 = k n2
A
B C
D
⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1 ( A2 ; B2 ; C2 đều khác 0)
b. (P) P (Q) ⇔ 
A2 B2 C2 D2
 D1 ≠ kD2
ur
uu
r
 n1 = k n2
A B C
D
⇔ 1 = 1 = 1 = 1 ( A2 ; B2 ; C2 đều khác 0)
c. (P) ≡ (Q) ⇔ 

A2 B2 C2 D2
 D1 = kD2
ur uu
r
ur uu
r
Chú ý: (P) ⊥ (Q) ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ n1.n2 = 0

6/ Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
d ( M , (α ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B 2 + C 2
Nếu ( α ) / / ( β ) ⇒ d ( (α ), ( β ) ) = d ( M ∈ (α ), ( β ) ) = d ( N ∈ ( β ), (α ) )
ĐƯỜNG THẲNG

r r
1/ Vec tơ chỉ phương: Vec tơ u ≠ 0 và có giá song song hoặc nằm trên đường thẳng ∆ được gọi là vectơ
chỉ phương của đường thẳng ∆
r
r
Nếu u là vectơ chỉ phương của ∆ thì k u ( k ≠ 0 ) cũng là VTCP của ∆ .
2/ Phương trình tham số của đường thẳng:
 x = x0 + u1t
r

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0;y0;z0),VTCP u = (u1 ; u2u3 ) có phương trình tham số:  y = y0 + u2t (t ∈ ¡ )
z = z + u t
0

3

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
3/Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:
với u1 , u2 , u3 đều khác 0
u1
u2
u3
4/ Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng :
Cách 1 : ( đưa 2 đt về phương trình tham số )
Cách 2 :
r ur uu
r
ur
uu
r
 qua M 1
 qua M 2
 d1


uu
r ; d2 
uu
r Tính n = [u1 , u2 ]
Cho d1 
a/ d1//d2 ⇔ u1 = ku2 và  vô nghiệm
VTCP u1

VTCP u2


d2
ur uu
r r
ur
uu
r
 Nếu [u1 , u2 ] = 0
 d1
ur uuuuuur r
b/ d1≡ d2 ⇔ u1 = ku2 và  có vơ số nghiệm
[u1 , M 1 M 2 ] ≠ 0
d1//d2
d2
ur uuuuuur r
ur
uu
r  d1
[u1 , M 1M 2 ] = 0
d1≡ d2
'
c/ d1 cắt d2 ⇔ u1 ≠ ku2 và  có nghiệm duy nhất ( t ; t )
ur uu
r r
d2
 Nếu [u1 , u2 ] ≠ 0
ur uu
r uuuuuur

ur
uu
r
 d1
[
u
,
u
d1 cắt d2
1
2 ].M 1M 2 = 0
d/ d1,d2 chéo nhau ⇔ u1 ≠ ku2 và  vô nghiệm
ur uu
r uuuuuur
d
 2
[u1 , u2 ].M 1M 2 ≠ 0
d1 và d2 chéo nhau
ur uu
r
Chú ý : d1⊥d2 ⇔u1.u2 = 0
4/ Vị trí tương đốigiữa đường thẳng và mặt phẳng:
 x = x0 + u1t

r

 qua M
r và mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n
Cho đường thẳng d:  y = y0 + u2t ( t ∈ ¡ ) , d : 


VTCP u
z = z + u t
0
3

rr

 d
 u.n = 0
Cách 1: Giải hệ:  P
Cách 2:+ d // (P) ⇔ 
(
)


M ∉ ( P )
21


rr
 u.n = 0
⇒ A ( x0 + u1t ) + B ( y0 + u2t ) + C ( z0 + u3t ) + D = 0 ( 1)

+ d ⊂ (P) ⇔ 
+ Nếu (1) vơ nghiệm thì d //(P)

M ∈ ( P )
rr
+ Nếu (1) có vơ số nghiệm thì d ⊂ (P)
+ d cắt (P) ⇔ u.n ≠ 0

+ Nếu (1) có nghiệm duy nhất t = t0 thì d cắt (P).
Chú ý : Nếu đề yêu cầu tìm giao điểm của đường
Thay t = t0 vào (d) ta tìm được (x;y;z).
thẳng và mặt phẳng thì giải hệ (cách 1)
Kết luận d cắt (P) tại điểm M (x;y;z).
KHOẢNG CÁCH
5.Khoảng cách giữa 2 điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB):
uuur
AB = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

6. Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
d ( M , (α ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B 2 + C 2
 Nếu 2 mp song song: ( α ) / / ( β ) ⇒ d ( (α ), ( β ) ) = d ( M ∈ (α ), ( β ) ) = d ( N ∈ ( β ), (α ) )
 Nếu đường thẳng song song mp: ∆ / / mp ( α ) ⇒ d ( ∆;(α ) ) = d ( M ∈ ∆;(α ) ) =
7.Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến đường thẳng ∆:
 qua M 0
r
VTCP u

Đường thẳng ∆ : 

r r
r r r r
9.Góc giữa 2vectơ a ≠ 0, b ≠ 0 : Gọi ϕ = a,b

( )

( )

uuuuuu
r r
M 0 M , u 


d ( M ;∆) =
r
u

uu
r uu
r
u1.u2
cosdϕ( =∆ u
u
r uu
r
1; ∆2 ) =
u1 . u2

10.Góc giữa 2mặt phẳng:
uu
r uu
r
uu
r uu
r

n1,n2 VTPT của 2 mặt phẳng. Gọi ϕ = n1,n2
uu
r uur
n1.n2
cosϕ = uu
r uur
n1 . n2

A2 + B 2 + C 2

11.Góc giữa 2đường thẳng:
uu
r uu
r
uu
r uu
r
u1,u2 là VTCP của 2 đường thẳng. Gọi ϕ = u1,u2

rr
rr
a1b1 + a2b2 + a3b3
a.b
cosϕ = cos a,b = r r =
a. b
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

(

Ax0 + By0 + Cz0 + D

)

uu
r uu
r uuuuuur
u1 , u2  .M 1M 2


uu
r uu
r
u1 , u2 



(

)

12.Góc
giữa đường
thẳng; mặt phẳng:
r
r
r r
n VTPT mp; u VTCP đường thẳng. Gọi ϕ = n,u
rr
n.u
sinϕ = r r

n. u

( )

 Nếu 2 đường thẳng song song : ∆1 / / ∆ 2 ⇒ d ( ∆1 ; ∆ 2 ) = d ( M 1 ∈ ∆1 ; ∆ 2 ) = d ( M 2 ∈ ∆ 2 ; ∆1 )
8.Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:


 qua M 1
 qua M 2
uu
r ∆2 : 
uu
r


VTCP u1
VTCP u2

Đường thẳng ∆1 , ∆ 2 chéo nhau ∆1 : 

CƠNG THỨC GĨC
Một số cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng:
r uuur
 Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B thì d có vtcp là u = AB.
uur
r uur
 Cho đường thẳng ∆ có vtcp u∆ . Nếu d//∆ thì vtcp của đường thẳng d là u = u∆ .
uuur
r uuur

 Cho mp(P) có vtpt n( P ) , nếu đường thẳng d⊥(P) thì d có vtcp là: u = n( P ) .
r r
r
r
Cho 2 vectơ a , b không cùng phương. Đường thẳng d vuông góc với giá 2 vectơ a và b thì d có vtcp là:
22


r r r
u = [ a, b] .

uuur
uur
 Đương thẳng ∆ có vtcp u∆ , mp(P) có vtpt n( P ) .đường thẳng d song song với (P) và d vng góc với ∆ thì
r uu
r uuur
d có vtcp là u = [u ∆ , n( P ) ].
uur uur
 Cho hai mp (P) và (Q) có vtpt lần lượt là nP , nQ . Nếu d là giao tuyến của 2 mp (P), (Q) thì d có vtcp là:
r uuur uuur
u = [n( P ) , n(Q ) ].

CÁC PHÍM THƯỜNG DÙNG TRÊN MÁY TÍNH 570 VN PLUS
1. MODE 1 : Trạng thái tính tốn cơ bản.
2. MODE 2 : Trạng thái tính tốn với số phức
3. MODE 5 1: Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.
MODE 5 2: Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn
MODE 5 3: Giải phương trình bậc 2.
MODE 5 4: Giải phương trình bậc 3.
4. MODE ∇ 1 1: Giải bất phương trình bậc 2.

MODE ∇ 1 1 1: Giải bất phương trình bậc 2: a.x2+b.x+c>0
MODE ∇ 1 1 2: Giải bất phương trình bậc 2: a.x2+b.x+c<0
MODE ∇ 1 1 3: Giải bất phương trình bậc 2: a.x2+b.x+c≥0
MODE ∇ 1 1 4: Giải bất phương trình bậc 2.: a.x2+b.x+c≤ 0
5. MODE ∇ 1 2: Giải bất phương trình bậc 3.
MODE ∇ 1 2 1: Giải bất phương trình bậc 2: a.x3+b.x2+cx+d>0
MODE ∇ 1 2 2: Giải bất phương trình bậc 2: a.x3+b.x2+cx+d<0
MODE ∇ 1 2 3: Giải bất phương trình bậc 2: a.x3+b.x2+cx+d≥0
MODE ∇ 1 2 4: Giải bất phương trình bậc 2.: a.x3+b.x2+cx+d≤ 0
6. MODE 7 Lập bảng giá trị của một hàm (Thường dùng tìm giá trị LN,NN)
Nhập hàm f(x) cần tính các giá trị.
Start giá trị bắt đầu.
End giá trị kết thúc.
Step bước nhảy ( khoảng cách giữa các số cần tính)
Chú ý: Muốn chỉ tính cho 1 hàm f(x) nhấn Sh Mode ∇ 5 1 (ở chế độ này ta tính được 20 giá trị của f(x))
r
7. MODE 8 1 1: nhập tọa độ Véctơ a
r
SHIFT 5 1 2 1: nhập tọa độ Véctơ b .
r
SHIFT 5 1 3 1: nhập tọa độ Véctơ c .
Kết thúc nhập: AC
r
r
Tính tích có hướng 2 vectơ a và b : nhấn SHIFT 5 3SHIFT 5 4
r
r
Tính tích vơ hướng 2 vectơ a và b : nhấn SHIFT 5 3 SHIFT 5 7 SHIFT 5 4
8.
XÁC ĐỊNH ĐƠN VỊ ĐO GÓC

Ấn SHIFT SETUP 3 chọn đơn vị đo góc là Độ (Deg)
Ấn SHIFT SETUP 4 chọn đơn vị đo góc là Radian (Rad)
9. XÁC ĐỊNH DẠNG SỐ HIỂN THỊ
Ấn SHIFT SETUP 6 (Fix) Dạng số hiển thị có ấn định số chữ thập phân có từ 0 – 9 số.
8. CALC TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC.
Chức năng CALC cho phép ta nhập biểu thức với biến, sau đó nhập giá trị biến để tính giá trị biểu thức.
Chức năng CALC sử dụng được trong mode COMP (MODE 1) và mode CMPLX (MODE 2)
9. SHIFT SOLVE ĐỂ TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
Nhập vào hàm số nhấn SOLVE máy hỏi X? nhập vào giá trị tùy ý của X máy tìm ra nghiệm gần đúng của
phương trình. Chức năng SOLVE chỉ dùng ở mode COMP ( )
10. Sh d/dx (f(x))X : Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm x.
11.

∫ dx : Tính Tích phân
23


12. Nhập giá trị vào ô nhớ: nhấn < Giá trị > Shift Sto <tên ơ nhớ>
Xố nội dung của ô nhớ:
-Xóa nội dung của bộ nhớ Ans, bộ nhớ độc lập và tất cả các biến nhớ. Ấn phím shift CLR 2 =. Để huỷ hoạt
động xóa ấn (Cancel).
-Xóa nội dung của một ô nhớ nhấn: 0 Shift Sto <tên ơ nhớ>
13. Xóa tất cả các cài đặt trở về cài đặt ban đầu
Thực hiện thao tác sau để lập cài đặt ban đầu: Sh CLR(9) 3 = =

24