Nghiên cứu lý thuyết wavelet và ứng dụng trong xử lý nhiễu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---- ---- o0o ---- ---NGỤYỄN HUY HOÀNG

N
NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT WAVELET
VẦ ỨNG DỤNG TRONG XỬ LÝ NHIỄU
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH : ĐIẼN TỬ - VIỄN THÔNG

Người hướng dẫn khoa học :
TS.NGUYỄN HỮU TRUNG

HÀ NỘI - 2010


1

LỜI MỞ ĐẦU
Mục đích chính của việc xử lý tín hiệu là mô tả các tín hiệu thực, để từ đó
có thể tính toán, nén hoặc tìm hiểu về chúng, mà công cụ thực hiện là các phép
biến đổi hoặc các mở rộng tuyến tính như là biến đổi Fourier, biến đổi Haar,...
Ngày nay, các phép biến đổi đang tập trung vào các giải thuật nhanh như FFT
cũng như các ứng dụng xử lý nhiễu .
Cùng với sự phát triển của khoa học, ngày càng xuất hiện thêm nhiều công
cụ trong xử lý tín hiệu. Một trong những công cụ mới nhất là wavelet mà đi
song song với nó là các dãy lọc và mã hoá băng con.
Hiện nay wavelet đang là một chủ đề nóng về cả hai lĩnh vực lý thuyết và
ứng dụng. Wavelet là một cây cầu nối liền các lĩnh vực riêng biệt của toán học,
thống kê, xử lý tín hiệu và các khoa học vật lý khác. Càng ngày người ta càng
quan tâm nghiên cứu về Wavelet nhiều hơn. Chẳng hạn: tháng 3-2000, một cơ sở

dữ liệu các bài báo về khoa học vật lý và kỹ thuật bao gồm 10000 bài báo và
sách viết về Wavelet nhiều hơn 2000 bài so với tháng 3-1999.
Được TS.Nguyễn Hữu Trung giới thiệu đề tài và hướng dẫn tận tình, em
đã tìm hiểu và hoàn thành luận văn cao học “Nghiên cứu lý thuyết Wavelet và
ứng dụng trong xử lý nhiễu ” bao gồm năm chương với nội dung như sau:
Chương 1: Tổng quan về các phép biến đổi tín hiệu
Chương 2: Lý thuyết Wavelet
Chương 3: Một số ứng dụng của Wavelet
Chương 4: Ứng dụng của Wavelet trong khử nhiễu tín hiệu
Chương 5: Mô phỏng và kết quả


2

Với một nội dung hết sức mới mẻ, chưa được nghiên cứu nhiều ở Việt
Nam nên trong quá trình thực hiên đồ án này em cũng gặp phải nhiều khó khăn
và không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được những ý kiến nhận
xét và chỉ bảo của thầy cô và bạn bè.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Hữu Trung đã hướng
dẫn và giúp đỡ em để hoàn thành luận văn này.
Người thực hiện

Nguyễn Huy Hoàng


3

MỤC LỤC
Trang phụ bìa ……………………………………………………………………1
Lời mở đầu ………………………………………………………………………2

Mục lục ………………………………………………………………………......3
Danh mục các kí hiệu và danh mục các chữ viết tắt ………………………….....6
Danh mục các bảng ………………………………………………………...........7
Danh mục các hình vẽ và đồ thị ………………………………………………....8
Chương I. Tổng quan về các phép biến đổi tín hiệu …………………………….9
1.1 Các biến đổi trực giao rời rạc ………………………………....................9
1.2 Các tính chất của biến đổi trực giao rời rạc ……………………………10
1.3 Các biến đổi trực giao rời rạc cơ sở ……………………………………11
1.3.1 Biến đổi Fourier rời rạc ……………………………………………12
1.3.2 Biến đổi Cosine rời rạc …………………………………………….14
1.3.3 Biến đổi Haar ……………………………………………………...15
1.3.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn …………………………………...16
1.3.5 Biến đổi Wavelet rời rạc …………………………………………..18
Chương II. Lý thuyết Wavelet …………………………………………………19
2.1 Giới thiệu chung về Wavelet …………………………………………...19
2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet ………………………………….22
2.2.1 Biến đổi Fourier …………………………………………………...22
2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet ……………………………………….26
2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet ………...27
2.2.4 Sự khác nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet ……....... 28
2.3 Biến đổi Wavelet liên tục ………………………………………………29
2.3.1 Định nghĩa …………………………………………………………29
2.3.2 Đặc điểm của CWT …………………………………………….….31
2.3.2.1 Tính tuyến tính ……………………………………………..….33
2.3.2.2 Tính dịch …………………………………………………...….33
2.3.2.3 Tính tỷ lệ …………………………………………………...….33
2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượ………………………...………………33
2.3.2.5 Tính định vị…………………………………………………….33
2.3.3 Ví dụ Wavelet Morlet ……………………………………………34
2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc ……………………………..………………34

2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc ………………………………...38
2.5.1 Phân tích đa phân giải …………………………………………...38
2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc ………………………...41
2.5.3 Biểu diễn ma trân DWT …………………………………………45


4

2.5.4 Phân loại Wavelet ………………………………………………..49
2.5.4.1 Đặc điểm của băng lọc Wavelet trực giao ……………………50
2.5.4.2 Đặc điểm của băng lọc Wavelet song trực giao ……………...50
2.6 Phân tích gói …………………………………………………………..50
2.6.1Nguyên tử gói ……………………………………………………..51
2.6.2 Phân tích đa phân giải và gói Wavelet …………………………...53
2.6.3 Lựa chọn phân tích tối ưu ………………………………………..54
2.7 Các họ Wavelet ……………………………………………………….55
Chương III. Một số ứng dụng của Wavelet ……………………………………58
3.1 Nén ảnh ……………………………………………………………….58
3.2 Nén Video …………………………………………………………….61
3.3 Nén Audio và thoại …………………………………………………...62
3.4 Wavelet shrinkage …………………………………………………….63
3.5 Phương pháp loại nhiễu ảnh bằng Wavelet …………………………...64
3.5.1 Giới thiệu …………………………………………………………65
3.5.2 Wavelet …………………………………………………………..65
3.5.2.1 Định vị theo không gian và tham số ………………………….65
3.5.2.2 Tính chất đều …………………………………………………66
3.5.2.3 Biến đổi Wavelet hai chiều …………………………………..67
3.5.2.4 Thực hiện biến đổi Wavelet rời rạc …………………………..68
3.5.2.5 Đối xứng và phản đối xứng …………………………………..69
3.5.3 Nhiễu và loại nhiễu Wavelet …………………………………….69

3.5.4 Dự đoán đều từ các hệ số Wavelet ……………………………….71
3.5.5 Tương quan giữa các hệ số Wavelet ……………………………..73
Chương IV. Ứng dụng Wavelet trong xử lý nhiễu …………………………….73
4.1 Giới thiệu về khử nhiễu tín hiệu ………………………………………73
4.2 Sự co ngắn của Wavelet ………………………………………………74
4.2.1 Khái niệm khử nhiễu ……………………………………………..76
4.2.2 Quy trình khử nhiễu ……………………………………………...77
4.2.2.1 Phân tích……………………………………………………... 81
4.2.2.2 Lấy ngưỡng …………………………………………………..83
4.2.2.3 Khôi phục …………………………………………………….83
4.3 Khử nhiễu tín hiệu ECG ……………………………………………….85
Chương V . Kết quả và mô phỏng ……………………………………………...85
5.1 Giới thiệu về chương trình mô phỏng khử nhiễu tín hiệu ECG ……….85
5.1.1 Giới thiệu chung …………………………………………………..86
5.1.2 Giao dịên chính của chương trình ………………………………...88


5

5.1.3 Một số kết quả khử nhiễu tín hiệu …………………………………88
5.1.4 Nhận xét kết quả tín hiệu khử nhiễu ……………………………….91
5.2 Kết luận và đề xuất hướng nghiên cứu tiếp ……………………………..92
Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………...95


6

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
STT

TÊN

TÊN ĐẦY ĐỦ

NGHĨA

1

DFT

Discrete Fourier Transform

Biến đổi Fourier

2

DCT

Discrete Cosine Transform

Biến đổi Cosine

3

STFT

Short Time Fourier Tranform

Biến đổi Fourier
thời gian ngắn

4

DWT

Discrete Wavelet Transform

Biến đổi Wavelet

5

CWT

Continute Wavelet Transform

Biến đổi Wavelet
liên tục


7

DANH MỤC CÁC BẢNG
MỤC

TÊN

TRANG

2.1

Tổng kết một số tính chất Wavelet

57


8

DANH SÁCH HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
HÌNH
TÊN
2.1 Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng
tần số-thời gian.
2.2 Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số. Trục hoành
biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số
2.3 Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.6)
2.4 Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội
tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số
2.5 Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần
số, và sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số
2.6 Biểu diễn Wavelet Morlet
2.7 Wavelet Haar
2.8 Không gian và các không gian con trong đa phân giải.
Không gian L2 biểu diễn toàn bộ không gian. V j biểu diễn
một không gian con, Wj .
2.9 Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con
2.10 Phân tích Wavelet sử dụng toán tử kí hiệu
2.11 Băng lọc hai kênh
2.12 Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử
2.13 So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của
Wavelet và Merlot

2.14 Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies
2
2.15 Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d)
3.1 Các bước của bộ mã hoá ảnh biến đổi
3.2 Biến đổi wavelet rời rạc bốn mức và dãy lọc tương đương
của nó
3.3 Ảnh của Barbara được phân tích với wavelet 4 mức
3.4 Ảnh Barbara mã hoá bằng DWT
4.1 Phương pháp khử nhiễu Wavelet Shrinkage
4.2a Tín hiệu bị nhiễu trong miền thời gian
4.2b Tín hiệu trong miền Wavelet
4.3 Biểu diễn các hàm lấy ngưỡng (shrinkage function)

TRANG
24
25
27
29
30
34
38
39

42
45
46
51
52
53
55

59
59
60
61
75
78
78
81


9

CHƯƠNG I . TỔNG QUAN VÊ CÁC PHÉP
BIẾN ĐỔI TÍN HIỆU
Biến đổi tín hiệu là thay đổi cách biểu diễn một tín hiệu hoặc một hàm
nhờ sử dụng một phép toán nào đó. Nhờ đó chúng ta có thể phân tích một vấn đề
kỹ thuật phức tạp thành các khía cạnh đơn giản hơn để dễ giải quyết. Các phép
biến đổi tín hiệu có vai trò khác nhau trong các ứng dụng xử lý tín hiệu, như :
lọc, nhận dạng mẫu, dãn, định vị và nén tín hiệu. Hiệu suất của mỗi ứng dụng
phụ thuộc vào nhiều yếu tố, và do đó mỗi ứng dụng cần một kỹ thuật biến đổi
khác nhau để có được một kết quả tốt nhất. Trong các ứng dụng xử lý tín hiệu rời
rạc, các biến đổi trực giao rời rạc rất phổ biến nhờ một số tính chất nổi bật.
Trong chương này chúng ta sẽ xét một số biến đổi trực giao và các tính chất của
chúng.
1.1 Các biến đổi trực giao rời rạc
Xét một tín hiệu x(n) có chiều dài N và có thể biểu diễn theo các hàm cơ sở
độc lập tuyến tính a(i,n)
N −1

x (n ) = ∑ X (i )a (i, n ),

n = 0,1,..., N − 1

(1.1.1)

i =0

điều kiện trực giao cho ta:

ai* a j = δ (i − j )

(1.1.2)

trong dó ai = [a(i,0), a(i,1),..., a(i,N)]T ,
a* là chuyển vị liên hợp của a
⎧1
⎩0

δ(i-j) là hàm Kronecker delta: δ (i − j ) = ⎨

i= j
(1.1.3)
i≠ j

Các hệ số mở rộng X(i) có thể được rút ta bằng cách nhân cả hai vế của
(1.1.1) với a*(j,n), n = 0,1, ..., N-1 và sử dụng quan hệ trực giao (1.1.2)


10

N −1

X (i ) = ∑ x(n )a * (i, n ),

(1.1.4)

i = 0,1,..., N − 1.

n =0

Tập hợp các phương trình ở trên có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận
như sau:
A¢* = I ,

(1.1.5)

x = AX , X = A* x

(1.1.6)

ở đó: • x = [x(0), x(1), ... , x(N-10]T là véc tơ số liệu,
a(0,1)
...
a(0, N − 1) ⎤
⎡ a(0,0)
⎢ a(1,0)
a(1,1)
...
a(1, N − 1) ⎥⎥
⎢

• A=
⎢
⎥
M
M
M
M
⎢
⎥
⎣a( N − 1,0) a( N − 1,1) K a( N − 1, N − 1)⎦

là ma trận biến đổi,

• X = [X(0), X(1), ... , X(N-1)]T là vecto của các hệ số mở rộng và
biến đổi
• I là ma trận đồng nhất.
1.2 Các tính chất của biến đổi trực giao rời rạc
• Bảo toàn năng lượng
Đối với một biến đổi đơn nhất được định nghĩa bởi công thức (1.1.6),
X

2

= x

2

(1.2.1)

được gọi là Định lý Parseval có thể được xem xét một cách dễ dàng từ:

X

2

= X * X = x * AA* x = x * x.

(1.2.2)

Phương trình (1.2.1) cho thấy một biến đổi đơn nhất bảo toàn năng lượng
của một tín hiệu, hoặc nó là một sự quay vòng đơn giản của một sắp xếp cơ sở.
• Tập trung năng lượng (Energy Compaction)
Hầu hết các biến đổi đơn nhất tập trung năng lượng trong một số hệ số
biến đổi. Vì các biến đổi đơn nhất bảo toàn năng lượng nên nhiều hệ số biến đổi


11

sẽ có ít năng lượng. Tính chất này ảnh hưởng tới các ứng dụng nén và loại bỏ
nhiễu (denoising). Trong nén số liệu, người ta mong muốn biểu diễn số liệu bằng
càng ít các hệ số càng tốt với một sự suy hao cho phép mà không ảnh hưởng
nhiều đến chất lượng . Trong việc loại bỏ nhiễu, nếu số liệu được quan sát bị
ngắt bởi nhiễu trắng Gaussian (Gaussian white noise) mà năng lượng của nó
khuếch tán trên mọi vecto của bất kỳ biến đổi trực giao nào, người ta mong
muốn là sẽ tìm được một cơ sở sao cho tính chất tập trung năng lượng tốt nhất
đối với sự loại bỏ nhiễu tối thiểu.
• Phản tương quan (Decorrelation)
Một số biến đổi trực giao có xu hướng không tương quan số liệu đầu vào
đã được tương quan với nhau. Điều đó có nghĩa là các thành phần không trực
giao của ma trận hiệp biến ( covariance matrix) của các hệ số biến đổi.

{

R X = E ( X − µ X )( X − µ X )

T

}

có xu hướng trở nên nhỏ so với các thành phần chéo của nó.
• Dễ xây dựng phép biến đổi ngược
Vì phép biến đổi ngược là sự biến đổi liên hợp nên phép biến đổi ngược
được thực hiện bằng việc biến đổi nó theo hướng ngược lại.
• Tuyến tính
Kết quả của một biến đổi trực giao rời rạc của một một sự chồng chất các
tín hiệu giống như sự chồng chất của các biến đổi của các tín hiệu.
1.3 Các biến đổi trực giao rời rạc cơ sở
Vào năm 1880, Fourier đã giới thiệu một kỹ thuật phân tích sớm nhất và
được nghiên cứu rộng rãi nhất, đó là phép phân tích Fourier. Phép phân tích
Fourier phân tích tín hiệu thành tổng của các hàm sin phức của các tần số khác


12

nhau. Mặc dù phép phân tích Fourier có nhiều ưu điểm, nhưng các kỹ thuật phân
tích khác vẫn được đề xuất sau đó cả khi nó có một vài hạn chế. Trong phần này
chúng ta sẽ xét một số phép biến đổi trực giao rời rạc , các tính chất và hạn chế
cũng như các lĩnh vực ứng dụng của chúng trong xử lý tín hiệu.
1.3.1 Biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform)
Phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT) biểu diễn tín hiệu như là một tổ hợp
của các hài là hàm sin phức. Xét tập hợp các hàm cơ sở tạo ra bằng việc dãn một

hàm sin phức,
a(n,t) = exp(int) = cos(nt) + i sin(nt).
Biến đổi Fourier liên tục của một tín hiệu x(t) được định nghĩa như sau:
X (ω ) =

1
2π

∞

∫ x(t )a(ω , t )dt

(1.3.1.1)

−∞

và biến đổi ngược được định nghĩa như sau:
x(t ) =

∞

∫ X (ω )a(− ω , t )dω

(1.3.1.2)

−∞

Biến đổi Fourier biểu diễn các tần số của một tín hiệu. Điều quan trọng
của biến đổi Fourier xuất phát từ thực tế là các hàm cơ sở exp(iωt) là các hàm
riêng của hệ thống bất biến tuyến tính theo thời gian. Nghĩa là, nếu chúng ta đưa

một tín hiệu hàm mũ phức exp(iωt) vào đầu vào của hệ thống bất biến tuyến tính
theo thời gian thì ta sẽ nhận được ở đầu ra một bản ảnh của hàm sin phức mà tỷ
lệ theo ⎜H(ω)⎜ và trễ pha một lượng arg⎜H(ω)⎜. Do đó biến đổi Fourier phù hợp
với việc phân tích các hệ thống bất biến tuyến tính theo thời gian.
Biến đổi Fourier rời rạc là phép biến đổi Fourier được lấy mẫu của một
chuỗi hữu hạn được mở rộng bằng các điểm không ở ngoài khoảng [0, N-1]

( )

X (k ) = X e jω

ω = 2π k


13

ở đó X(ejω) là biến đổi Fourier của chuỗi mở rộng. DFT được định nghĩa
nhờ các hàm cơ sở là các hàm sin phức có tần số thay đổi tuyến tính từ 0 đến π,
a(n, k ) =

1
⎛ 2πkn ⎞
exp⎜ i
⎟
N
⎝ N ⎠

(1.3.1.3)

Nếu trong miền thời gian tín hiệu trễ một lượng là µ thì sẽ gây ra một

lượng trễ trong miền tần số:
x µ (n ) = x(n ⊕ µ (mod N ))
N −1
⎛ 2πkn ⎞
⇒ X µ (n ) = ∑ x(k ⊕ µ (mod N )) exp⎜ i
⎟
⎝ N ⎠
k =0

N −1
⎛ 2π (k − µ )n ⎞
⎛ 2πµn ⎞
X µ (n ) = ∑ x(n ) exp⎜ i
⎟ = exp⎜ i
⎟ X (n )
N
⎝
⎠
⎝ N ⎠
k =0

(1.3.1.4)
(1.3.1.5)
(1.3.1.6)

DFT còn thoả mãn định lý tích chập vòng, nghĩa là DFT của tích chập
vòng của hai chuỗi thì bằng tích của các biến đổi Fourier rời rạc của chúng,
N −1

x 2 (n ) = ∑ h(n − k )c x1 (k )

k =0

⇒ Ax 2 = ( Ah )( Ax1 )

(1.3.1.7)

trong đó : A là ma trận DFT ,
h(n-k)C = h((n-k)modN)
Tính chất tích chập vòng của DFT được sử dụng trong tính toán tích chập
tuyến tính.
Hai ứng dụng chính của DFT trong xử lý tín hiệu là dự đoán phổ và lọc
được điều chỉnh bằng giải thuật nhanh cho DFT gọi là biến đổi Fourier nhanh
(Fast Fourier Transform: FFT). FFT tìm thừa số ma trận DFT trong một tích các
ma trận rời rạc mà cần O(NlogN) phép tính cho số liệu N điểm. Hạn chế của
DFT là nó cần lưu trữ lại và tính toán các giá trị phức.


14

DFT hai chiều là một biến đổi có thể tách rời được, do đó có thể thực hiện
biến đổi này như là hai phép biến đổi một chiều theo hàng và theo cột một cách
liên tục.
N

N

X (k , l ) = ∑∑ x(n, m )a(n, k )a * (m, l )

(1.3.1.8)

m =0 n =0

và có thể biểu diễn ma trận dưới dạng ký hiệu như sau:
X = ANxAN*.

(1.3.1.9)

1.3.2 Biến đổi Cosine rời rạc (Discrete Cosine Transform – DCT)
Biến đổi cosine rời rạc được định nghĩa bởi các hàm cơ sở :
a(n, k ) = c(k )

ở đó:

kπ ⎤
2
⎡
cos ⎢(n + 0.5) ⎥
N
N⎦
⎣

(1.3.2.1)

⎧1 2 ,
k =0
c(k ) = ⎨
⎩1 , k cßn l¹i

Một số tính chất quan trọng của DCT:
Cơ sở DCT là ảnh độc lập như có thể thấy từ phương trình (1.3.2.1).

Các vectơ cơ sở của ma trận DCT là các vectơ riêng của các ma trận
đối xứng có dạng sau:
⎡(1 − α ) − α
⎢ −α
1
⎢
Q=⎢ M
M
⎢
L
⎢ 0
⎢⎣ 0

0
−α
0
L

L
0

−α
0

L

1
−α

0 ⎤

0 ⎥⎥
M ⎥
⎥
−α ⎥
(1 − α )⎥⎦

(1.3.2.2)

Q tiến dần đến Rx-1 khi ρ tiến dần đến 1, trong đó Rx là ma trận tự tương
quan của quá trình và:


15

R

−1
x

1+ ρ 2
= 2
σ 1− ρ 2

(

)

⎡(1 − ρβ ) − β
⎢ −β
1

⎢
⎢ M
M
⎢
L
⎢ 0
⎢⎣ 0

0
−β
0
L

L
0

−β
0

L

1
−β

0 ⎤
0 ⎥⎥
M ⎥
⎥
−β ⎥
(1 − ρβ )⎥⎦

(1.3.2.3)

với β = ρ (1 + ρ 2 ) .
DCT hai chiều có thể tách riêng rẽ do đó có thể thực hiện như sau:
X (k , l ) =

N N
2
kπ ⎤
kπ ⎤
⎡
⎡
c(k )c(l )∑∑ x(n, m ) cos ⎢(m + 0.5) ⎥ cos ⎢(n + 0.5) ⎥ (1.3.2.4)
N
N⎦
N⎦
⎣
⎣
m =0 n =0

X(0,0) được coi như hệ số một chiều và phần còn lại của các hệ số được
coi là các hệ số xoay chiều.
Việc tính toán DCT có thể được thực hiện nhờ giải thuật nhanh, như
FFT và cần O(NlogN) phép tính.
1.3.3 Biến đổi Haar
Biến đổi Haar được thực hiện nhờ vào việc lấy mẫu các hàm Haar. Các
hàm Haar được định nghĩa trong một khoảng liên tục x ∈ [0,1],
h0,0 (x ) =

1
N

,

x ∈ [0,1],

q −1
q −1 2
⎧ p2
≤x<
p
⎪2 ,
2
2p
⎪
q −1 2
q
1 ⎪ p2
h p , q (x ) =
≤x< p
⎨− 2 ,
p
2
2
N ⎪
[
]
,
víi

x
,
0
∉
0
1
⎪
⎪⎩

trong đó:

(1.3.3.1)

(1.3.3.2)

N = 2n, 0≤ p ≤ n-1
2p khi q = 0, 1 khi p = 0 và 1 ≤ q ≤ p ≠ 0.


16

Ma trận Haar nhận được nhờ việc lấy mẫu hp,q(x) ở x = m/N, m = 0, ..., N1.

Ví

dụ

⎡ h0, 0 (0 )
⎢ h (0)
⎢ 0,1

⎢ h1,1 (0)
⎢
1 ⎢ h1, 2 (0)
H8 =
8 ⎢ h2,1 (0)
⎢
⎢h2, 2 (0)
⎢ h (0)
⎢ 2,3
⎢⎣h2, 4 (0)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
1 ⎢
0
=
8⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢

1
1
2
0
2

0
0
0

ma

trận

Haar

h0,0 (1 8) h0,0 (2 8) L h0, 0 (7 8)⎤
h0,1 (1 8) h0,1 (2 8) L h0,1 (7 8)⎥⎥
h1,1 (1 8) h1,1 (2 8) L h1,1 (7 8) ⎥
⎥
h1, 2 (1 8) h1, 2 (2 8) L h1, 2 (7 8)⎥
=
h2,1 (1 8) h2,1 (2 8) L h2,1 (7 8)⎥
⎥
h2, 2 (1 8) h2, 2 (2 8) L h2, 2 (7 8)⎥
h2,3 (1 8) h2,3 (2 8) L h2,3 (7 8)⎥
⎥
h2, 4 (1 8) h2, 4 (2 8) L h2, 4 (7 8)⎥⎦

1
1
1
1
2 − 2
0
0

0
−2
0
2
0
0
0
0

1
1
− 2
0
0
−2
0
0

1
1
1
−1 −1 −1
0
0
0
2
2 − 2
0
0
0

0
0
0
2 −2
0
0
0
2

1 ⎤
− 1 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
− 2⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
0 ⎥
⎥
− 2 ⎦⎥

cấp

8

là:

(1.3.3.3)

(1.3.3.4)

Một số tính chất của biến đổi Haar:
Biến đổi Haar là thực và trực giao
Biến đổi Haar nhanh , được thực hiện bằng O(N) phép tính
Các vecto cơ sở của biến đổi Haar được sắp xếp liên tục
Các hàm Haar thay đổi theo cả tỷ lệ và vị trí, trong khi các hàm
lượng giác chỉ thay đổi theo tần số.
Biến đổi Haar tập trung năng lượng ảnh kém.
1.3.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short time Fourier Transform)
1.3.4.1- Định nghĩa:


17

Biến đổi Fourier thời gian ngắn là sự phân chia một chuỗi thời gian thành
các khối chồng nhau (overlaping blocks) có chiều dài bằng nhau và áp dụng biến
đổi Fourier nhanh (FFT) cho mỗi khối một cách tuần tự.
Đầu tiên tín hiệu được nhân với một hàm cửa sổ ω(t-τ) và sau đó thực hiện
biến đổi Fourier, kết quả sẽ cho một biến đổi hai chiều (two-indexed)
STFT(ω,τ):
∞

STFT (ω , τ ) = ∫ ω (t − τ ) f (t )e jωt dt
−∞

1.3.4.2-Các tính chất:
Trong biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) các hàm sử dụng trong mở
rộng thu được bằng cách làm trễ và điều chỉnh hàm cửa sổ cơ sở ω(t)
gω,τ(t) = ejωt ω(t-τ)

(1.3.4.1)

từ đó dẫn đến một dạng mở rộng :
STFT (ω , τ ) =

∞

∫e

− jωt

ω * (t − τ ) f (t )dt = g ω ,τ (t ). f (t )

−∞

Hàm f(t) có thể khôi phục lại được theo công thức sau:
f (t ) =

∞ ∞

∫ ∫ STFT (ω ,τ ).gω τ (t )d ®τ
,

(1.3.4.2)

− ∞− ∞

STFT không có tính chất bảo toàn năng lượng.
Để thực hiện phương pháp này một cách tốt nhất thì yêu cầu phải chọn
khoảng thời gian của các đoạn để phân chia sao cho tín hiệu ở mỗi khoảng thời

gian đó có thể coi là tĩnh. Vì STFT chỉ xử lý số liệu tĩnh trên mỗi đoạn nên nó
chỉ tính một cặp giá trị biên độ và pha.
STFT là một phương pháp phổ biến và tính toán hiệu quả. Nhược điểm
lớn nhất của phương pháp này là khi tín hiệu có một dải động lớn thì cụm tần số


18

thấp. Trong trường hợp đó hướng tạp âm tần số cao có thể che cấu trúc tín hiệu
tần số cao.
1.3.5 Biến đổi Wavelet rời rạc ( Discrete Wavelet Transform – DWT)
Trên đây là một số phương pháp biến đổi tín hiệu sử dụng nhiều trong xử
lý tín hiệu. Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và hạn chế riêng của nó.
Hiện nay người ta đang nghiên cứu và phát triển một phương pháp biến đổi mới
mà có thể khắc phục được các nhược điểm của những phương pháp trên. Đó là
phép biến đổi Wavelet mà ở đây ta quan tâm nhiều đến biến đổi Wavelet rời rạc
(Discrete Wavelet Transform). Biến đổi waveler rời rạc bắt đầu với một wavelet
mẹ là một tín thời gian chu kỳ ngắn và có trung bình bằng không, ψ(t), kết hợp
với chuỗi thời gian cần xét f(t) để lọc ra chuỗi thời gian. Wavelet mẹ được dãn ra
theo thời gian ở các hệ số dãn cố định tạo thành các wavelet con. Trong mỗi tỷ lệ
đều có chứa f(t). Do vậy wavelet mẹ và các bản ảnh trễ của nó tạo thành một dãy
các bộ lọc chồng nhau mà mỗi đoạn của dãy có cùng hệ số phẩm chất (Qw = độ
rộng băng tần / tần số trung tâm). Có nhiều khái niệm liên quan bởi vậy chúng ta
sẽ nghiên cứu phép biến đổi này trong một chương riêng.


19

Chương II :LÝ THUYẾT WAVELET
Wavelet là công cụ toán học để phân chia dữ liệu thành những thành phần

tần số khác nhau, sau đó nghiên cứu mỗi thành phần đó với độ phân giải tương
ứng với thang tỷ lệ của thành phần phổ đó.
Chương hai trình bày về sự hình thành của biến đổi Wavelet, so sánh biến
đổi Wavelet với biến đổi Fourier, các tính chất và các khía cạnh kỹ thuật của
biến đổi Wavelet, và giới thiệu một số ứng dụng của biến đổi Wavelet.
2.1 Giới thiệu chung về Wavelet
Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ. Các hàm Wavelet thoả
mãn các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm
khác.Ý tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đã tồn tại từ đầu thế kỉ
18 khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với
nhau để biểu diễn một hàm khác. Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được
sử dụng để phân tích dữ liệu theo một cách đặc biệt. Các thuật toán Wavelet xử
lý dữ liệu theo các tỷ lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau. Khi quan sát
tín hiệu với một cửa sổ lớn, chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung. Tương
tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu với một cửa sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra
những đặc điểm chi tiết hơn.
Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được
gọi là Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet).
Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của
Wavelet mẹ, trong khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số
thấp của cùng Wavelet mẹ. Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu
diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến


20

tính của các hàm Wavelet), các tính toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng
các hệ số Wavelet tương ứng. Và nếu như chọn được Wavelet phù hợp với dữ
liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng nào đó, chúng ta thu được dữ liệu
được biểu diễn rời rạc. Mã hoá rời rạc (sparse coding) làm cho Wavelet trở

thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu.
Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm
học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học
thần kinh, âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang
học, fractals, turbulence, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán
học như giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation).
Lịch sử hình thành Wavelet
Trong lịch sử toán học, trong một thời gian dài nhiều ý tưởng về biến đổi
Wavelet đã được giới thiệu, đưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích
Wavelet. Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet được thực hiện vào những năm
1930, tuy nhiên ở thời điểm đó, các nỗ lực riêng biệt đã không đưa ra được một
lý thuyết chặt chẽ, thống nhất.
Trước 1930
Trước 1930, một nhánh chính của toán học nghiên cứu về Wavelet ban đầu
với Joseph Fourier (1807) và lý thuyết của ông về giải tích tần số (frequency
analysis), hiện nay thường được nhắc đến với biến đổi Fourier (FT).
∞

a0 + ∑ (ak cos kx + bk sin kx)

(2.1)

k =1

với các hệ số a0, ak, bk:
1
a0 =
2π

2π

∫ f ( x)dx,
0

ak =

1

π

2π

∫ f ( x) cos(kx)dx,
0

bk =

1

π

2π

∫ f ( x) sin(kx)dx
0

(2.2)


21

Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy
Fourier, và các hệ thống trực giao, các nhà toán học dần đi từ khái niệm giải tích
tần số tới khái niệm giải tích tỷ lệ (scale analysis). Ý tưởng cơ bản là xây dựng
một hàm gốc, dịch và thay đổi tỷ lệ hàm này, áp dụng chúng với cùng tín hiệu để
thu được một xấp xỉ mới của tín hiệu đó. Người ta nhận ra rằng, dạng phân tích
tỷ lệ ít nhạy cảm với nhiễu vì phân tích tỷ lệ tính sự biến đổi trung bình của tín
hiệu ở các tỷ lệ khác nhau. Khái niệm Wavelet xuất hiện đầu tiên trong phụ lục
của lý thuyết của A. Haar (1909). Wavelet Haar triệt tiêu bên ngoài một khoảng
hữu hạn. Và Wavelet Haar không khả vi liên tục, điều này làm hạn chế các ứng
dụng của Wavelet Haar.
Những năm 1930
Trong thập kỉ 1930, một vài nhóm các nhà toán học đã độc lập nghiên cứu sự
biểu diễn hàm sử dụng các hàm cơ sở tỷ lệ thay đổi. Bằng cách sử dụng hàm cơ
sở tỷ lệ thay đổi gọi là hàm gốc Haar, Paul Levy, một nhà vật lý đã nghiên cứu
chuyển động Brownian, một dạng tín hiệu ngẫu nhiên. Paul Levy nhận thấy hàm
gốc Haar tốt hơn các hàm cơ sở Fourier khi nghiên cứu các chi tiết nhỏ phức tạp
trong chuyển động Brownian. Và một nghiên cứu khác trong những năm 1930
do Littlewood, Paley, và Stein thực hiện yêu cầu tính toán năng lượng của hàm f
(x):
Năng lượng =

∫

2

f ( x) dx

(2.3)

Các nhà nghiên cứu đã tìm ra một hàm có thể thay đổi theo tỷ lệ và có thể
bảo toàn năng lượng khi tính toán năng lượng hàm. David Marr đã đưa ra với
thuật toán hiệu quả cho xử lý ảnh số sử dụng Wavelet.


22

1960-1980
Từ năm 1960 đến 1980, các nhà toàn học Guido Weiss và Ronald R.Coifman
đã nghiên cứu các phần tử đơn giản nhất của không gian hàm, gọi là atom
(nguyên tử), với mục đích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc
tập hợp “assembly rules” cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm
sử dụng các atoms. Năm 1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ
sư, đã định nghĩa chung Wavelets trong lĩnh vực vật lý lượng tử. Hai nhà nghiên
cứu này đã đưa ra một cách quan niệm Wavelet dựa trên cơ sở vật lý.
Cuối những năm 80
Năm 1985, Stephane Mallat đã tạo ra một bước nhảy vọt trong nghiên cứu
Wavelet với các công trình nghiên cứu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số. Stephane
Mallat đã khám phá ra mối liên hệ giữa các bộ lọc (quadrature mirror filters),
các thuật toán hình chóp (pyramid algorithm), và các cơ sở Wavelet trực chuẩn.
Dựa trên những kết quả này, Y.Meyer đã xây dựng Wavelet Y.Meyer. Khác với
Wavelet Haar, Wavelet Meyer là khả vi liên tục. Sau đó một vài năm, Ingrid
Daubechies đã ứng dụng các nghiên cứu của Mallat để xây dựng một tập hợp các
hàm cơ sở trực chuẩn Wavelet, là cơ sở cho các ứng dụng Wavelet ngày nay.
2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet
2.2.1 Biến đổi Fourier
Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp J.Fourier đã chứng minh rằng một
hàm tuần hoàn bất kỳ có thể biễu diễn như là một tổng xác định của các hàm mũ
phức. Nhiều năm sau, Fourier đã khám phá tính chất đặc biệt của các hàm, đầu
tiên ý tưởng của ông đã được tổng quát hoá với các hàm không tuần hoàn, và sau

đó cho các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn rời rạc theo thời gian. Sau đó
tổng kết này trở thành một công cụ hoàn toàn phù hợp cho các tính toán máy


23

tính. Năm 1965, một thuật toán mới được gọi là biến đổi Fourier nhanh FFT
(Fast Fourier Transform) được phát triển và biến đổi FT (Fourier Transform)
trở thành một công cụ phổ biến.
Định nghĩa FT:
∞

∫ f (t )e

F ( w) =

− jwt

dt

−∞

(2.4)

∞

f (t ) =

∫ F ( w)e

iwt

dw

−∞

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì
tích phân từ -∝ tới +∝. Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần
số thay đổi theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary). Điều đó
có nghĩa là biến đổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các
thành phần tần số nào đó, tuy nhiên thông tin này độc lập với thời điểm xuất hiện
thành phần phổ đó.
Do vậy biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là biến đổi Fourier
nhanh STFT (Short Time Fourier Transform) được đưa ra. Trong biến đổi STFT,
tín hiệu được chia thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên từng đoạn được
phân chia có thể coi là dừng (stationary). Với mục đích này, hàm cửa sổ được
lựa chọn. Độ rộng của cửa sổ phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết về sự dừng
của tín hiệu là phù hợp. Định nghĩa STFT:

STFT (l , w) = ∫ [ f (t ) w* (t − l )]e − jwt dt

(2.5)

t

với w là hàm cửa sổ. Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của
cửa sổ được sử dụng. Cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự


24

thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn
và ngược lại.

Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên
mặt phẳng tần số-thời gian
Vấn đề với biến đổi STFT là sự chính xác của độ phân giải thời gian và tần
số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg. Các phương trình cơ bản
không thể đưa ra biểu diễn thời gian-tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không
thể biết được các thành phần phổ tồn tại ở khoảng thời gian nào, và không thể
biết chắc chắn khoảng thời nào trong đó dải tần số chắc chắn tồn tại.
Do vậy, vấn đề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân
tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ phụ thuộc ứng dụng. Nếu như các thành
phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy
sinh độ phân giải tần số và do vậy có độ phân giải thời gian tốt. Tuy nhiên, trong
trường hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa
sổ phù hợp là khó khăn.
Mặc dù vấn đề độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật
lý (nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi