Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------------ĐẶNG NGOC HÀ

Đặng Ngọc Hà

ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT WAVELET TRONG
HỆ THỐNG THÔNG TIN TRẢI PHỔ CDMA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Kỹ thuật Điện tử viễn thông

KHOÁ 2009

Hà Nội – Năm 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------------Đặng Ngọc Hà

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT WAVELET TRONG HỆ
THỐNG THÔNG TIN TRẢI PHỔ CDMA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Kỹ thuật Điện tử viễn thông

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS. Nguyễn Hữu Trung

Hà Nội – Năm 2011


LÝ LỊCH KHOA HỌC
(Dùng cho học viên cao học)

I. Sơ lược lý lịch:
Họ và tên: Đặng Ngọc Hà.................................................... Giới tính: Nam
ảnh 4x6
Sinh ngày:18 tháng 05 năm 1985
Nơi sinh(Tỉnh mới): Hà Nam..............................................................................................
Quê quán: Phủ Lý – Hà Nam.............................................................................................
Chức vụ: Giảng viên .........................................................................................................................
Đơn vị công tác: Khoa Kỹ thuật – Điện tử, Trường Cao Đẳng Phát Thanh – Truyền Hình I..........
Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc:SN 77 – Tổ 21 – P.Hai Bà Trưng – TP.Phủ Lý – Tỉnh Hà Nam .
Điện thoại CQ: Điện thoại NR:..... 0351.3855076 Điện thoại di động: 0983051885
Fax: ................................................ E-mail: ..............................................
II. Quá trình đào tạo:
1. Trung học chuyên nghiệp (hoặc cao đẳng):
- Hệ đào tạo(Chính quy, tại chức, chuyên tu): Thời gian đào tạo: từ. . . . /. . . . .. đến.
- Trường đào tạo. ..............................................................................................................................
- Ngành học: ..................................................... Bằng tốt nghiệp đạt loại:
2. Đại học:
- Hệ đào tạo(Chính quy,tại chức, chuyên tu) : Chính quy. Thời gian đào tạo: từ. 09/2003 đến 06/2008.
- Trường đào tạo: Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội ....................................................................
- Ngành học: Điện tử viễn thông....................... Bằng tốt nghiệp đạt loại: Khá
3. Thạc sĩ:
- Hệ đào tạo: Chính quy .................................... Thời gian đào tạo: từ: 10/2009 đến 10/2011
- Chuyên ngành học: Điện tử viễn thông ..........................................................................................

- Tên luận văn: Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ
CDMA..............................................................................................................................................
- Người hướng dẫn Khoa học: Tiễn sĩ Nguyễn Hữu Trung..............................................................
4. Trình độ ngoại ngữ (Biết ngoại ngữ gì, mức độ nào): Tiếng Anh, TOEFL ITP 460 điểm........
III. Quá trình công tác chuyên môn kể từ khi tốt nghiệp đại học:
Thời gian
Nơi công tác
Công việc đảm nhận
2008-nay
CĐ Phát thanh-Truyền hình 1
Giảng viên

IV. Các công trình khoa học đã công bố:
Tôi cam đoan những nội dung viết trên đây là đúng sự thật.
Ngày
tháng
năm
NGƯỜI KHAI KÝ TÊN


CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
*****

NHẬN XÉT HƯỚNG DẪN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Họ và tên học viên: Đặng Ngọc Hà
Tên đề tài:

Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải
phổ CDMA.

Chuyên ngành:

Điện tử – Viễn thông.

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Trung
Cơ quan công tác:

Trường Cao đẳng Phát Thanh – Truyền Hình 1

NỘI DUNG NHẬN XÉT
1. Tính khoa học của đề tài:
1.1. Tính cấp thiết của luận văn
Luận văn “Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ
CDMA” của học viên Đặng Ngọc Hà đề cập đến vấn đề phân tích Wavelet được sử dụng để
thay thế các hàm cơ sở trực giao dùng FFT bằng tập các tín hiệu có cấu trúc cao, truyền dẫn
hiệu quả, tin cậy trong các hệ thống thông tin trải phổ CDMA
Luận văn đã trình bày lý thuyết về Wavelet và hệ thống thông tin trải phổ đa truy nhập
theo mã từ đó xây dựng mô hình CDMA dùng Wavelet có tính năng ưu việt. Quá trình thực
hiện luận văn với hệ thống đề suất WP-MC/MU-CDMA kết hợp với bộ tách sóng giả ngẫu
nhiên và điều chế gói wavelet được miêu tả và phân tích dưới dạng xác suất BER và xác
suất bị mất kênh trong fading Nakagami. Phân tích khung, mô hình hệ thống và biểu thức
của hệ thống hiện tại.
1.2. Hướng tiếp cận
1


Để thực hiện được công việc đề xuất và thực hiện tính toán các mô hình toán học, học viên
đã nghiên cứu lý thuyết wavelet, các hệ thống thông tin trải phổ CDMA, so sánh các hệ
thống trải phổ, đề suất WP-MC/MU-CDMA kết hợp với bộ tách sóng giả ngẫu nhiên. Kết

quả đồ thị chỉ ra rằng hệ thống WP-MC/MU-CDMA phối hợp ưu điểm của cả hai điều chế
gói Wavelet và tách sóng đa truy nhập

2. Về bố cục của luận văn
Luận văn được chia thành 4 chương với hơn 100 trang kể cả mục lục, danh mục tài liệu
tham khảo, bảng biểu, ... Bố cục của luận văn được trình bày như sau: Chương 1 trình bày
tổng quan về luận văn, mục đích, phương pháp luận từ trang 8 đến trang 12. Chương 2 từ
trang 13 đến trang 47 trình bày về lý thuyết wavelet. Chương 3 từ trang 48 đến 100 trình
bày lý thuyết nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ
CDMA. Chương 4 gồm các trang còn lại trình bày kết luận và hướng phát triển của luận
văn. Bố cục và trình bày theo đúng yêu cầu của bộ Giáo dục và Đào tạo.

3. Tóm tắt các nội dung chủ yếu của luận án và nhận xét.
Chương 1 Học viên giới thiệu tổng quan về các phương pháp phân tích thời gian – tần
số truyền thống nhờ biến đổi Fourier và các phương pháp phân tích phổ biển hiện nay như
biến đổi STFT, biến đổi Wavelet…
Chương 2 Trình bày lý thuyết wavlet. Chương này học viên nêu các lý thuyết wavlet cơ
bản và nâng cao. Wavelet là công cụ toán học để phân chia dữ liệu thành những thành phần
tần số khác nhau, sau đó nghiên cứu mỗi thành phần đó với độ phân giải tương ứng với
thang tỷ lệ của thành phần phổ đó. Chương hai trình bày về sự hình thành của biến đổi
Wavelet, so sánh biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier, các tính chất và các khía cạnh kỹ
thuật của biến đổi Wavelet, và giới thiệu một số ứng dụng của biến đổi Wavelet.
Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA.
Chương này học viên trình bày khái niệm chung về CDMA gồm 3 hệ thống trải phổ cơ bản:
chuỗi trực tiếp đa truy cập nhập phân chia theo mã (DS-CDMA),Nhảy tần số đa truy cập
phân chia theo mã (FH-CDMA) và nhảy thời gian đa truy nhập phân chia theo mã (THCDMA). So sánh các hệ thống trải phổ, hệ thống đề suất WP-MC/MU-CDMA kết hợp với

2

bộ tách sóng giả ngẫu nhiên và điều chế gói wavelet được miêu tả và phân tích dưới dạng
xác suất BER và xác suất bị mất kênh trong fading Nakagami. Qua đó xây dựng mô hình hệ
thống và mô phỏng trên matlab.
Chương 4: Kết luận và hướng phát triển. Học viên nêu ra nhân xét về ứng dụng
Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA. Qua đó đề xuất hướng phát triển cho đề
tài về sau
Kết luận: Kết quả đồ thị chỉ ra rằng hệ thống WP-MC/MU-CDMA phối hợp ưu điểm
của cả hai điều chế gói Wavelet và tách sóng đa truy nhập. Hệ thống này có thể coi như kế
hoạch triển vọng về xóa bỏ giao thoa cho hệ thống thông tin vô tuyến thế hệ tiếp
theo.Hướng nghiên cứu phát triển tiếp theo của đề tài: kênh trong mô hình ứng dụng là
mượn kênh fading Nakagami-m, cho các hệ thống sử dụng wavelet gói như là điều chế dạng
sóng, nghiên cứu thực hiện phân tích hệ thống đề suất trong tín hiệu nhiễu dải hẹp...

4. Kết luận
Tên đề tài sát với nội dung, phù hợp với nội dung của luận văn thạc sỹ khoa học.
Hướng nghiên cứu và phương pháp luận khoa học, logic.
Học viên đã có các kết quả về mặt khoa học và thu nhận được các kiến thức:
-

Lý thuyết Wavelet.

-

Nghiên cứ được các hệ thống thông tin trải phổ CDMA, đề suất nghiên cứu hệ thống
WP-MC/MU-CDMA phối hợp ưu điểm của cả hai điều chế gói Wavelet và tách sóng
đa truy nhập

-

Tính toán mô phỏng các kết quả theo theo thuật tán đề xuất.

Đánh giá: 10 điểm
Người hướng dẫn

TS.Nguyễn Hữu Trung

3


4


Lời mở đầu

Lời mở đầu
Trong hệ thống thống tin liên lạc và mạng viễn thông thì việc xử lý tín hiệu
đóng vai trò vô cùng quan trọng. Ngày nay, cùng với sự phát triển vô cùng mạnh
mẽ của kỹ thuật số với những ưu điểm nổi bật, lĩnh vực xử lý số tín hiệu ngày càng
được quan tâm nhằm tạo ra được các tín hiệu chất lượng cao, đáp ứng tốt cho các
thiết bị hiện đại cũng như nâng cao mức sống của con người. Song song với quá
trình đó thực tiễn đòi hỏi hệ thống thông tin có khả năng chống phá sóng cao, có
khả năng giảm mật độ công suất, độ định vị cao đang là đòi hỏi cấp thiết.
Trong việc xử lý tín hiệu số thì lý thuyết Fourier luôn là nền tảng cở sở không
thể thiếu được từ trước đến nay. Nó là công cụ toán học và ứng dụng trong kỹ thuật
đặc biệt là xử lý tín hiệu số. Tuy nhiên trong một số trường hợp nó trở lên khá phức
tạp. Phép biến đổi Wavelet được phát triển nhằm khắc phục những hạn chế của biến
đổi Fourier trong lĩnh vực xử lý tín hiệu. Thực ra biến đổi Wavelet đã được biết đến
và được khai thác từ lâu. Nhưng dưới khía cạnh toán học, trong những năm gần đây,
biến đổi Wavelet được quan tâm để đầu tư cho nghiên cứu phát triển và đã thu được
những kết quả nổi bật. Kỹ thuật phân tích Wavelet dựa trên cơ sở khoa học là các

bộ lọc số có nhiều đặc điểm và tính vượt trội so với biến đổi Fourier kinh điển. Biến
đổi Wavelet được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như hình ảnh, âm thanh, quân sự,
y học, điều khiển tự động và nhiều lĩnh vực khác nữa.
Có thể nói đây là lĩnh vực nghiên cứu còn khá mới mẻ, nhiều tiềm năng và rất
hấp dẫn. Đó là lý do em chọn để tài “Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Wavelet
trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA”.
Trong luận văn này, phân tích Wavelet được sử dụng để thay thế các hàm cơ sở
trực giao dùng FFT bằng tập các tín hiệu có cấu trúc cao, truyền dẫn hiệu quả, tin
cây trong các hệ thống thông tin trải phổ CDMA. Mục tiêu thứ nhất của luận văn là
giới thiệu và trình bày chi tiết về lý thuyết Wavelet, đưa ra các đặc điểm chi tiết và
ứng dụng của Wavelet. Mục tiêu thứ hai là trình bày lý thuyết về hệ thống thông tin
trải phổ đâ truy nhập theo mã.

1


Lời mở đầu
Dựa trên những yêu cầu đặt ra với đề tài “Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết
Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA” , luận văn của em được cấu
trúc như sau:
Chương 1: Giới thiệu. Giới thiệu một số khái niệm trong luận văn, trình bày
mục đích, nội dung và những yêu cầu đặt ra trong luận văn.
Chương 2: Lý thuyết Wavelet. Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet, những
đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau.
Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải
phổ CDMA. Trình bày khái niệm chung về CDMA, qua đó xây dựng mô hình hệ
thống và mô phỏng trên Matlab.
Chương 4: Kết luận và hướng phát triển. Nêu ra nhân xét về ứng dụng
Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA. Qua đó đề xuất hướng phát triển
cho đề tài về sau.

Trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, em mong
nhận được nhiều ý kiến đóng góp của thầy cô giáo, các bạn để luận văn được hoàn
thiện và mang tính thực tế hơn.
Qua lời mở đầu, em xin được gửi lời trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Hữu Trung
và TS. Nguyễn Thuý Anh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện cho em
hoàn thành tốt luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!

2


Mục lục
Lời mở đầu ..................................................................................................................1
Mục lục ...............................................................................................................3
Danh sách hình vẽ .......................................................................................................6
Chương 1.....................................................................................................................9
Giới thiệu.....................................................................................................................9
1. Giới thiệu chung .............................................................................................9
1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số ............................................................12
1.2 Độ phân giải thời gian và tần số........................................................................12
2. Giới thiệu về CDMA ....................................................................................13
3. Ứng dụng của Wavelet .................................................................................15
Chương 2:..................................................................................................................17
Lý thuyết Wavelet .....................................................................................................17
2.1 Giới thiệu chung về Wavelet ......................................................................17
2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet.........................................................18
2.2.1 Biến đổi Fourier ...............................................................................................18
2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet ...........................................................................21
2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier .........................22
2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier ............................22

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục............................................................................24
2.3.1 Định nghĩa ........................................................................................................24
2.3.2 Đặc điểm của CWT .........................................................................................25
2.3.2.1 Tính tuyến tính....................................................................................26
2.3.2.2 Tính dịch (translation) ........................................................................26
2.3.2.3 Tính tỷ lệ (scaling)..............................................................................27
2.3.2.4 Tính bảo toàn năng lượng ...................................................................27
2.3.2.5 Tính định vị (localization) ..................................................................27
2.3.2.6 Ví dụ Wavelet Morlet..........................................................................27
2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform)..............................28
2.4.1 Định nghĩa DWT .............................................................................................28
2.4.2 Tính chất biến đổi DWT .................................................................................29
2.4.3 Ví dụ Wavelet Haar .........................................................................................30
2.5.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis) ......................................31
2.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc ......................................................33
2.5.3 Biểu diễn ma trận DWT ..................................................................................37
2.5.4 Phân loại Wavelet ............................................................................................41
2.5.4.1 Đặc điểm của băng lọc Wavelet trực giao (orthogonal wavelet filter
banks)..............................................................................................................41

3


2.5.4.2 Đặc điểm của băng lọc Wavelet song trực giao (biorthogonal wavelet
filter banks) .....................................................................................................41
2.6 Phân tích gói Wavelet .................................................................................42
2.6.1 Nguyên tử gói (Wavelet Packets Atoms) .....................................................43
2.6.2. Phân tích đa phân giải và gói Wavelet .........................................................44
2.6.3. Lựa chọn phân tích tối ưu ..............................................................................45
2.7 Các họ Wavelet...........................................................................................46

Chương 3...................................................................................................................48
Ứng dụng lý thuyết Wavelet trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA ...................48
3.1 Giới thiệu chung về hệ thống thông tin trải phổ CDMA ............................48
3.1.1 DS – CDMA (Direct sequence Code Division multiple Access) ..............48
3.1.1.1 Nguyên lý............................................................................................48
3.1.1.2 Ảnh hưởng của nhiễu nhiệt.................................................................50
3.1.1.3 Nhiễu đơn tần (Single – tone Interference) ........................................51
3.1.1.4. Nhiễu băng rộng (Winderband Interference).....................................53
3.1.2 FH – CDMA (Frequency Hopping CDMA) .................................................54
3.1.2.1 Nguyên lý............................................................................................54
3.1.2.2. Hệ thống SFH ....................................................................................55
3.1.2.3. Hệ thống FFH ....................................................................................56
3.1.2.3. Hệ thống FH sử dụng kỹ thuật BFSK................................................57
3.1.3 TH – CDMA (Time Hopping CDMA) .........................................................58
3.1.4 Hệ thống hỗn hợp (Hybrid) FH/DS ...............................................................59
3.1.5 Đồng bộ.............................................................................................................61
3.1.5.1.1 Đồng bộ thô .....................................................................................61
3.1.5.1. Tinh chỉnh đồng bộ (Tracking or Fine Synchronization) ..................62
3.1.5.2 Đồng bộ cho hệ thống FH...................................................................64
3.1.5.2.1 Đồng bộ thô .....................................................................................64
3.1.5.2.2 Tinh chỉnh đồng bộ ..........................................................................66
3.1.6 So sánh các phương pháp trải phổ .................................................................68
3.1.6.1 DS-CDMA ..........................................................................................68
3.1.6.2 FH – CDMA .......................................................................................69
3.1.6.3 TH – CDMA .......................................................................................69
3.2 Mô hình Điều chế Fractal ...........................................................................70
3.2.1 Giới thiệu ..........................................................................................................70
3.2.2 Thiết kế máy phát: Điều chế ..........................................................................73
3.2.3 Thiết kế máy thu: Giải điều chế .....................................................................78
3.2.3.1 Giải điều chế dữ liệu số ......................................................................78

3.2.3.2 Giải điều chế của dữ liệu tương tự......................................................82
4


3.3 Đề xuất mô hình hệ thống CDMA đa người dùng đa tải thông tin dùng gói
Wavelet......................................................................................................................85
3.3.1 Giới thiệu ..........................................................................................................85
3.3.2 Mô hình hệ thống .............................................................................................86
3.3.2.1 Mô hình máy phát...............................................................................86
3.3.2.2 Mô hình kênh......................................................................................88
3.3.2.3 Mô hình máy thu.................................................................................89
3.3.3 Công suất tín hiệu và phương sai nhiễu ........................................................93
3.3.4 Đặc tính lỗi bít (BER – Bit Error Rate) ........................................................95
3.3.4.1 Đặc tính phân tập lựa chọn (SD) ........................................................95
3.3.4.2 Đặc tính phối hợp bằng độ tăng ích (EGC) ........................................96
3.3.4.3 Đặc tính phối hợp tỷ lệ tối ưu (MRC) ................................................97
3.3.5. Đặc tính xác suất ngừng chạy .......................................................................98
3.3.6. Kết quả mô phỏng ..........................................................................................99
Chương 4.................................................................................................................101
Kết luận và hướng phát triển...................................................................................101
4.1 Kết luận chung ..........................................................................................101
4.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo......................................................................101

5


Danh sách hình vẽ
Hình 1.1: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet .............................15
Hình 2.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng và độ phân giải trên mặt phẳng tần số-thời
gian ..............................................................................................................................19

Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số. Trục hoành biểu diễn20
Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức 4.6 ..................................................19
Hình 2.4: Các hàm Fourier cơ sở, ô ngói thời gian - tần số, và sự hội tụ trên
mặt phẳng thời gian - tần số .....................................................................................23
Hình 2.5: Các hàm cơ sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, và sự
hội tụ trên mặt phẳng thời gian - tần số ..................................................................23
Hình 2.6: Biểu diễn Wavelet Morlet .......................................................................28
Hình 2.7: Wavelet Haar ............................................................................................31
Hình 2.8: Không gian và các không gian con trong đa phân giải. Không gian
L2 biểu diễn toàn bộ không gian. V j biểu diễn một không gian con, Wj biểu
diễn chi tiết .................................................................................................................32
Hình 2.9: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con .......................34
Hình 2.10: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử .........................................37
Hình 2.11: Băng lọc hai kênh...........................................................................35
Hình 2.12: Phân tích gói wavelet sử dụng các ký hiệu toán tử............................42
Hình 2.13: So sánh biểu diễn trên mặt phẳng thời gian - tần số của Wavelet và43
Hình 2.14: Các nguyên tử gói Wavelet sinh ra từ Wavelet Daubechies 2 .........44
Hình 2.15: Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet246
Hình 3.1: Dạng sóng của d(t), g(t) và d(t)g(t) ........................................................49
Hình 3.2: Sơ đồ thu – phát trải phổ của DS ...........................................................50
Hình 3.3: Bộ phát nhảy tần số. ................................................................................54
Hình 3.4: Bộ thu nhảy tần số. ..................................................................................55
Hình 3.5: Quá trình truyền phát SFH dùng 4-FSK ...............................................56
Hình 3.6: Quá trình truyền phát FFH dùng 4-FSK ...............................................57
Hình 3.7: Điều chế FH dùng BPSK ........................................................................57
Hình 3.9: TH Modulator ...........................................................................................58
Hình 3.10: TH Receiver............................................................................................59
Hình 3.11: Phổ tần số của hệ thống tổng hợp FH/DS ...........................................59
Hình 3.12: Bộ điều chế tổng hợp FH/DS ...............................................................60
Hình 3.13: Bộ thu tổng hợp FH/DS ........................................................................60

Hình 3.14: Mạch đồng bộ thô DS............................................................................62
Hình 3.15: Mạch tinh chỉnh đồng bộ DS................................................................63
Hình 3.16: VCO Input ..............................................................................................64
Hình 3.17: Mạch đồng bộ thô FH............................................................................65
Hình 3.18: Dạng sóng của mạch đồng bộ thô FH .................................................66
Hình 3.19: Mạch tinh chỉnh đồng bộ FH (hay mạch tinh chỉnh cổng sớm trễ) .67
Hình 3.20: Sóng của cổng sớm trễ ..........................................................................68
Hình 3.21: Hệ thống thông tin để truyền liên tục hay rời rạc chuỗi dữ liệu q[n]
trên nhiễu ....................................................................................................................70
Hình 3.22: Mô hình kênh đặc trưng cho chuỗi thông tin mong muốn ...............71
6


Hình 3.23: Ảnh về thời gian – tần số của tín hiệu đồng nhất với mức H= -1/2.74
Hình 3.24: Một phần ảnh thời gian – tần số tín hiệu với vector dữ liệu q chiều
dài hữu hạn với trường hợp H=-1/2 ........................................................................77
Hình 3.25: Thuật toán phân tích khả năng hiệu quả phép biến đổi Wavelet cơ
sở trực giao dựa trên mô tả biến đổi Wavelet ........................................................80
Hình 3.26: Mô hình hệ thống máy phát WP-MC/MU-CDMA. ..........................87
Hình 3.28: bộ giải mã WP-MC/MU-CDMA cho hth dải con...............................90
Hình 3.29: So sánh đặc tính BER của các kỹ thuật phân tán khác nhau ..........100
Hình 3.30: So sánh đặc tính Pout của các kỹ thuật phân tán khác nhau ............100

7


Danh sách bảng
Bảng 2.1 Tổng kết tính chất của một số Wavelet ....................................................47

8

Chương 1. Giới thiệu

Chương 1
Giới thiệu
1. Giới thiệu chung
Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ. Các hàm Wavelet thỏa mãn
các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác. Í
tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đó tồn tại từ đầu thế kỷ 18 khi
Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để phân
tích dữ liệu theo một cách đặc biệt. Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ lệ
khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau. Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ lớn,
chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung. Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu
với một cửa sổ nhỏ hơn chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn.
Quy trình phân tích Wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là
Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet). Phân tích
thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong
khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ.
Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển
Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet ), các tính
toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng. Và nếu như
chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng nào
đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc. Mó húa rời rạc (sparse coding)
làm cho Wavelet trở thành một cụng cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu.
Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học,
kỹ thuật hạt nhân, mã hóa băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,
âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals,
turbulence, dự bỏo động đất, radar, và các ứng dụng thuần túy toán học như giải
phương trỡnh vi phõn từng phần (partial differential equation).

Lịch sử hình thành Wavelet
Trong lịch sử toán học, trong một thời gian dài nhiều ý tưởng về biến đổi
Wavelet đó được giới thiệu, đưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích Wavelet.
Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet được thực hiện vào những năm 1930, tuy nhiên ở
thời điểm đó, các nỗ lực riêng biệt đó không đưa ra được một lý thuyết chặt chẽ, thống
nhất.
Trước 1930
Trước năm 1930, một nhánh chính của toán học nghiên cứu về Wavelet ban đầu
với Josep Fourier (1807) và lý thuyết của ụng về giải tớch tần số (frequency analyis),
hiện nay thương được nhắc đến với biến đổi Fourier (FT)
9


Chương 1. Giới thiệu
∞

a0 + ∑ ( ak cos kx + bk sin kx )

(1.1)

k =1

Với cỏc hệ số a0, ak, bk:
1
a0 =
2π

2π

∫ f ( x )dx ,

ak =

0

1

π

2π

∫ f ( x )cos(kx)dx ,

bk =

0

1

π

2π

∫ f ( x )sin(kx)dx

(1.2)

0

Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy Fourier

và các hệ thống trực giao, các nhà toán học dần đi từ khái niệm giải tích tần số tới khái
niệm giải tích tỷ lệ (scale analysis). Í tưởng cơ bản là xây dựng một hàm gốc, dịch và
thay đổi tỷ lệ hàm này, áp dụng chúng với cùng tín hiệu để thu được một xấp xỉ mới
của tín hiệu đó. Người ta nhận ra rằng, dạng phân tích tỷ lệ ít nhạy cảm với nhiễu vì
phân tích tỷ lệ tính sự biến đổi trung bình của tín hiệu ở các tỷ lệ khác nhau. Khái
niệm Wavelet xuất hiện đầu tiên trong phụ lục của lý thuyết của A.Haar (1909).
Wavelet triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn. Và Wavelet Haar không khả vi liên
tục, điều này làm hạn chế các ứng dụng của Wavelet Haar.
Những năm 1930
Trong thập kỷ năm 1930, một vài nhóm các nhà toán học đó độc lập nghiên cứu
sự biểu diễn hàm sử dụng các hàm cơ sở tỷ lệ thay đổi. Bằng cách sử dụng hàm cơ sở
tỷ lệ thay đổi gọi là hàm gốc Haar, Paul Levy, một nhà vật lý đó nghiên cứu chuyển
động Brownian, một dạng tín hiệu ngẫu nhiên. Paul Levy nhận thấy hàm gốc Haar tốt
hơn các hàm cơ sở Fourier khi nghiên cứu các chi tiết nhỏ phức tạp trong chuyển động
Brownian. Và một nghiên cứu khác trong những năm 1930 do Littlewood, Paley, và
Stein thực hiện yêu cầu tính toán năng lượng của hàm f(x):
1
Năng lượng =
2

2π

∫ f ( x)

2

dx

(1.3)

0

Các nhà nghiên cứu đó tìm ra một hàm có thể thay đổi theo tỷ lệ và có thể bảo
toàn năng lượng khi tính toán năng lượng hàm. David Marr đó đưa ra với thuật toán
hiệu quả cho xử lý ảnh số sử dụng Wavelet.
Năm 1960 đến 1980
Từ năm 1960 đến 1980, các nhà toán học Guido Weiss và Ronal R.Coifman đó
nghiên cứu các phần tử đơn giản nhất của không gian hàm, gọi là atom (nguyên tử),
với mục đích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc tập hợp (assembly
rules) cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm sử dụng các atoms. Năm
1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đó định nghĩa chung Wavelet
trong lĩnh vực vật lý lượng tử. Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra một cách quan niệm
Wavelet dựa trên cơ sở vật lý.

10


Chương 1. Giới thiệu
Cuối những năm 1980
Năm 1985, Stephane Mallat đã tạo ra một bước nhảy vọt trong nghiên cứu
Wavelet với các công trình nghiên cứu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số. Stephane
Mallat đó khám phá ra mối liên hệ giữa các bộ lọc (quadrature mirror filters – các bộ
lọc gương cầu phương), các thuật toán hình chóp (pyramid algorithms), và các cơ sở
Wavelet trực chuẩn. Dựa trên những kết quả này, Y. Meyer đó xây dựng Wavelet Y.
Meyer. Khác với Wavelet Haar, Wavelet Meyer là khả vi liên tục. Sau đó một vài năm
Ingrid Daubechies đó ứng dựng các nghiên cứu của Mallat để xây dựng một tập hợp
các hàm cơ sở trực chuẩn Wavelet, là cơ sở cho các ứng dụng Wavelet ngày nay.
Mặc dù lý thuyết về biến đổi Wavelet hiện đại chính thức được phát triển
khoảng hai mươi năm gần đây, tuy nhiên nguồn gốc ý tưởng về biến đổi Wavelet đó
xuất hiện từ trước đó rất lâu. Nguồn gốc của lý thuyết Wavelet hiện đại bắt nguồn từ

cuối những năm 1970 và 1980. Ban đầu Jean Morlet đặt ra vấn đề đối với biến đổi
Fourier thời gian ngắn STFT (Short Time Fourier Transform), đó là tăng cường độ
phân giải thời gian cho các thành phần tần số cao thời gian ngắn và tăng độ phân giải
tần số cho các thành phần tần số thấp hơn. Tuy nhiên với biến đổi STFT, độ phân giải
thời gian và độ phân giải tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg, khi độ
phân giải tần số đạt được tốt thì phải hy sinh độ phân giải thời gian và ngược lại muốn
có độ phần giải thời gian tốt thì độ phân giải tần số sẽ kém đi. Để giải quyết vấn đề
này Joseph Morlet đó đưa ra ý tưởng về các hàm biến đổi: xây dựng hàm cửa sổ sóng
cosin và áp cửa sổ này lên trục thời gian để thu được hàm tần số cao hơn, hay trải hàm
này ra để thu được hàm tần số thấp hơn. Để theo dừi toàn bộ thay đổi của tín hiệu theo
thời gian, các hàm này được dịch theo thời gian.
Phân tích Wavelet dựa trên một ý tưởng tuyệt vời: tín hiệu được khai triển trên
một tập hợp của các hàm được giãn hay nén (hàm Wavelet mẹ - mother Wavelet)
⎛ t −b ⎞
⎟
⎝ a ⎠

ψ⎜

(1.4)

Trong đó b là dịch chuyển của hàm wavelet trên toàn bộ trục thời gian, a là
thang tỷ lệ (scale) và nó là yếu tố quan trọng cho phép thay đổi độ phân giải thời gian
và độ phân giải tần số khi phân tích tín hiệu. Quy trình phân tích Wavelet là chọn một
hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là Wavelet phân tích (analyzing Wavelet) hay
Wavelet mẹ (mother Wavelet). Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version)
co lại tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân tích tần số được thực hiện với dạng
gión ra tần số thấp của cựng Wavelet mẹ.
Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ thuật
trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả năng ứng

dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, kỹ thuật hạt nhân,
mã hóa băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm nhạc, quang học,
dự báo động đất, radar, ảnh cộng hưởng từ và các ứng dụng thuần túy toán học như
giải phương trình vi phân từng phần.

11


Chương 1. Giới thiệu
Lý thuyết Wavelet được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu mà ở đây là
trong hệ thống thông tin trải phổ CDMA.
1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số
Phân tích thời gian-tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier. Các
phương pháp phân tích thời gian-tần số phổ biến nhất hiện nay là biến đổi STFT và
biến đổi Wavelet.
Biến đổi STFT khắc phục được những hạn chế của biến đổi Fourier. Tín hiệu ƒ(t)
ban đầu được nhân với hàm cửa sổ w(t − τ ) , sau đó thực hiện biến đổi Fourier truyền
thống. Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ: cửa sổ càng
hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp
lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại. Một ví dụ điển hình của hàm cửa
sổ Gaussian được đưa ra bởi Gabor 1946.
Biến đổi Wavelet liên tục sử dụng sự dịch (shift) và tỷ lệ (scale) (giãn ra hay co
vào) của hàm nguyên mẫu đầu tiên ψ (t ) . Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các
tần số khác nhau với những độ phân giải khác nhau. Biến đổi WT được xây dựng để
đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân
giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp.
1.2 Độ phân giải thời gian và tần số
Trong bất kỳ ứng dụng xử lý tín hiệu nào, độ phân giải thời gian-tần số là một vấn
đề quan trọng cần quan tâm. Các phương pháp miền tín hiệu yêu cầu một mức định vị
cao theo thời gian trong khi các phương pháp miền tần số yêu cầu mức định vị cao

theo tần số. Điều đó dẫn đến vấn đề thoả hiệp giữa độ phân giải thời gian và độ phân
giải tần số.
Khái niệm về sự định vị của hàm cơ bản thường dựa trên cơ sở một diện tích bao
phủ nào đó trong mặt phẳng thời gian-tần số của hàm đó. Diện tích cơ bản trong mặt
phẳng được gọi là ‘ô ngói’ (tile). Trong trường hợp lý tưởng, ô ngói là một cửa sổ hình
chữ nhật nhỏ tập trung trong mặt phẳng thời gian-tần số.
Để tập trung ô ngói trong mặt phẳng thời gian-tần số, các biến đổi sử dụng cho
biểu diễn thời gian-tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và lấy tỷ
lệ. Rõ ràng dịch theo thời gian bởi τ dẫn đến sự dịch ô ngói theo τ qua trục thời gian.
12


Chương 1. Giới thiệu
jw t
Tương tự như vậy, nhân với e S dẫn đến dịch ô ngói bởi wS. Ngoài ra, cần chú ỷ rằng

hình dạng của ô ngói không hoàn toàn là hình chữ nhật lý tưởng hay không có kích
thước hẹp vô hạn. Hình dạng thực của ô ngói được xác định bởi hàm cơ sở được sử
dụng cho khai triển.
Giả thiết tín hiệu f (t ) tập trung quanh t0 với phổ tần số F(w) tập trung quanh w0,

∆t biểu diễn độ phân giải thời gian của f (t ) , ∆ w là độ phân giải tần số của F(w).
2

∆t =
2

∆w =

∞

1
(t − t0 )2 f (t ) 2 dt
∫
E −∞

1 1
E 2π

∞

∫ (w − w ) F (w)
2

0

2

(1.2)

dw

(1.3)

−∞

với E là năng lượng của tín hiệu. Độ phân giải thời gian và tần số liên hệ theo nguyên
lý bất định Heisenberg. Nguyên lý này thiết lập một giới hạn cho độ phân giải thời
gian và tần số được biểu diễn bởi tích ∆ t ∆ w . Nếu f (t ) phân rã nhanh hơn 1 / t khi
t → ∞ thì nguyên lý bất định khẳng định:

2

2

∆t ∆w ≥

1
2

(1.4)

2. Giới thiệu về CDMA
Lý thuyết về CDMA đã được xây dựng từ những năm 1950 và được áp dụng
trong thông tin quân sự từ những năm 1960. Cùng với sự phát triển của công nghệ bán
dẫn và lý thuyết thông tin trong những năm 1980, CDMA đã dần dần được thương mại
hóa.
Hệ thống CDMA sử dụng kỹ thuật trải phổ nhằm thực hiện cho các hệ thống
thông tin có khả năng chống phá sóng cao. Kỹ thuật trải phổ là ứng dụng trực tiếp của
lý thuyết thông tin của Shannon, đã trở nên rất quan trọng trong các hệ thống thông tin
do có nhiều tính năng ưu việt như: giảm mật độ cống suất, độ định vị cao, độ phân giải
cao...
Có 3 kỹ thuật trải phổ:
- Chuỗi trực tiếp (DS – Direct Sequence)
- Nhảy tần số (FH – Frequency Hopping)
- Nhảy thời gian (TH – Time Hopping)
13


Chương 1. Giới thiệu
Trải phổ là một kỹ thuật được thực hiện bằng cách điều chế lần thứ hai một tín

hiệu đã được điều chế nhằm tạo ra một dạng sóng sẽ là nhiễu đối với bất kỳ một tín
hiệu nào khác hoạt động trong cùng băng tần. Vì vậy, khi máy thu tín hiệu AM hay
FM thông thường sẽ không nhận thấy sự hiện diện của tín hiệu trải phổ đang hoạt động
trên cùng băng tần. Tương tự, máy thu tín hiệu trải phổ sẽ không nhận diện được sự
hiện diện của tín hiệu AM hay FM. Vì thế, người ta nói các tín hiệu này “trong suốt”
(transparent) với nhau.
Để tạo được sự trong suốt này, kỹ thuật trải phổ điều chế một tín hiệ đã điều
chế, điều biên hay điều tần băng rộng, vì vậy sẽ tạo ra một tín hiệu có băng thông rất
rộng. Ví dụ: tín hiệu AM thông thường có băng thông là 10Khz, một tín hiệu trải phổ
hoạt động cùng tần số sóng mang như tín hiệ AM và có coong suất Ps nhưng có băng
thông là 1Mhz. Như vậy trong khoảng băng tần 10Khz của tín hiệu AM công suất của
tín hiệu trải phổ là Ps (104/106) = Ps/100 và đối với đầu thu tín của tín hiệu AM, phân
công suất của tín hiệu trải phổ giao thoa với nó tương đương như tín hiệu nhiễu thấp
hơn 20 dB.
Trong hệ thống CDMA, nhiều user sử dụng chung miền thời gian và tần số, các
mã giả ngẫu nhiên (PN – Pseudo Noise) với sự tương quan chéo thấp được ấn định cho
mỗi user. Tốc độ bit của chỗi PN phải đủ lớn để trải phổ tín hiệu trên toàn băng thông.
User truyền tín hiệu bằng cách trải phổ tín hiệ truyền sử dụng chuỗi PN đã được ấn
định. Máy thu sẽ tạo lại một chuỗi giả ngẫu nhiên như ở máy phát và khôi phục lại tín
hiệu nhờ việc dồn phổ các tín hiệu đồng bộ thu được.
Tính chất của kỹ thuật trải phổ:
-

Băng thông tín hiệu phát lớn hơn nhiều so với băng thông cần thiết để
truyền thông tin chứa trong tín hiệu đó

-

Việc trải phổ được thực hiện nhờ tín hiệu trải phô c(t), thường được gọi là
tính hiệu mã (code). Tín hiệu này độc lập với dữ liệu truyền đi.

-

Ở đầu thu, việc thu lại tín hiệu ban đầu được thực hiện nhờ kỹ thuật dồn phổ
(despreading) khô phuc dữ liệu nguyên thủy bằng cách xét sự tương quan
của tín hiệu thu được với tín hiệu giống hệt và được đồng bộ với tính hiệu
mã dùng để trải phổ.

14


Chương 1. Giới thiệu
3. Ứng dụng của Wavelet
Ngày nay biến đổi Wavelet có phạm vi ứng dụng rộng rãi. Biến đổi Wavelet
được áp dụng trong những lĩnh vực khác nhau từ xử lý tín hiệu tới sinh trắc học, và
phạm vi ứng dụng của biến đổi Wavelet ngày càng được mở rộng. Một trong các ứng
dụng nổi bật của Wavelet là trong chuẩn nén dấu vân tay của FBI. Biến đổi Wavelet
được sử dụng để nén ảnh dấu vân tay để lưu giữ trong ngân hàng dữ liệu của FBI. Ban
đầu FBI chọn biến đổi Cosine rời rạc (DCT) nhưng biến đổi này không được thực hiện
tốt ở tỷ số nén cao. Biến đổi này đưa ra một vài hiệu ứng chặn làm cho không thể theo
các đường vân tay sau khôi phục. Điều này hoàn toàn không xảy ra với biến đổi
Wavelet vì các tính chất của nó cho phép lưu giữ lại chi tiết có trong dữ liệu.
Với biến đổi Wavelet rời rạc, hầu hết thông tin quan trọng xuất hiện trong các biên
độ lớn và các thông tin kém quan trọng hơn xuất hiện ở những biên độ rất nhỏ. Việc
nén dữ liệu có thể thu được nhờ loại bỏ các biên độ thấp. Biến đổi Wavelet cho phép
tỷ số nén cao với chất lượng khôi phục tốt. Hiện nay, ứng dụng Wavelet cho nén ảnh
là một trong những lĩnh vực nghiên cứu được quan tâm nhất. Gần đây, biến đổi
Wavelet đã được chọn cho chuẩn nén JPEG 2000.

Hình 1.1: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet

Hình 2.16 thể hiện các bước chung trong ứng dụng xử lý tín hiệu. Quá trình xử lý
tín hiệu có thể bao gồm nén, mã hoá, khử nhiễu, … Tín hiệu đã xử lý được lưu giữ
hoặc truyền phát đi. Với hầu hết các ứng dụng nén, quá trình xử lý bao gồm lượng tử
hoá mã hoá entropy cho tới nén ảnh. Trong suốt quá trình này, toàn bộ các hệ số
wavelet dưới ngưỡng được chọn bị loại bỏ. Các hệ số bị bỏ qua được thay thế bằng
không trong suốt quá trình khôi phục ở đầu kia. Để khôi phục tín hiệu, mã hoá entropy
được giải mã, sau đó được lượng tử hoá và cuối cùng được biến đổi Wavelet ngược.

15


Chương 1. Giới thiệu
Wavelet cũng được ứng dụng trong nén tiếng nói, nó làm giảm thời gian truyền
dẫn trong các ứng dụng di động. Wavelet được sử dụng để khử nhiễu, phát hiện sườn,
trích các đặc điểm, nhận dạng tiếng nói, loại bỏ tiếng vọng,… Wavelet cũng cho thấy
nhiều ứng dụng triển vọng trong nén tín hiệu audio và video thời gian thực. Wavelet
cũng được ứng dụng trong thông tin số tiêu biểu như ghép kênh phân chia theo tần số
trực giao OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing).

16


Chương 2. Lý thuyết Wavelet

Chương 2:

Lý thuyết Wavelet
Wavelet là công cụ toán học để phân chia dữ liệu thành những thành phần tần số
khác nhau, sau đó nghiên cứu mỗi thành phần đó với độ phân giải tương ứng với
thang tỷ lệ của thành phần phổ đó.

Chương hai trình bày về sự hình thành của biến đổi Wavelet, so sánh biến đổi
Wavelet với biến đổi Fourier, các tính chất và các khía cạnh kỹ thuật của biến đổi
Wavelet, và giới thiệu một số ứng dụng của biến đổi Wavelet.
2.1 Giới thiệu chung về Wavelet
Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ. Các hàm Wavelet thoả mãn
các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác.Ý
tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đã tồn tại từ đầu thế kỉ 18 khi Joseph
Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để biểu diễn một
hàm khác. Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được sử dụng để phân tích dữ liệu
theo một cách đặc biệt. Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ lệ khác nhau
hoặc các độ phân giải khác nhau. Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ lớn, chúng ta sẽ
nhận được các đặc điểm chung. Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu với một cửa
sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn.
Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là
Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet). Phân tích
thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong
khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ.
Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển
Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính
17


Chương 2. Lý thuyết Wavelet
toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng. Và nếu như
chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng nào
đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc. Mã hoá rời rạc (sparse coding)
làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu.
Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học, kỹ
thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm
nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals,

turbulence, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải
phương trình vi phân từng phần (partial differential equation).
2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet
2.2.1 Biến đổi Fourier
Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp J.Fourier đã chứng minh rằng một hàm
tuần hoàn bất kỳ có thể biễu diễn như là một tổng xác định của các hàm mũ phức.
Nhiều năm sau, Fourier đã khám phá tính chất đặc biệt của các hàm, đầu tiên ý tưởng
của ông đã được tổng quát hoá với các hàm không tuần hoàn, và sau đó cho các tín
hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn rời rạc theo thời gian. Sau đó tổng kết này trở
thành một công cụ hoàn toàn phù hợp cho các tính toán máy tính. Năm 1965, một
thuật toán mới được gọi là biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier Transform) được
phát triển và biến đổi FT (Fourier Transform) trở thành một công cụ phổ biến.
Định nghĩa FT:
∞

∫ f (t )e

F ( w) =

− jwt

dt

−∞

(2.4)

∞

f (t ) =

∫ F ( w)e

iwt

dw

−∞

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích phân từ ∝ tới +∝. Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay đổi theo
thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary). Điều đó có nghĩa là biến đổi
Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần số nào đó,
tuy nhiên thông tin này độc lập với thời điểm xuất hiện thành phần phổ đó.
18