Nghiên cứu, xây dựng cơ sở dữ liệu CADCAM và ứng dụng trong chế tạo mẫu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ CHÂU

NGHIÊN CỨU, XÂY DỰNG CƠ SỞ DỮ LIỆU CAD/ CAM VÀ ỨNG DỤNG
TRONG CHẾ TẠO MẪU

Chuyên ngành: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. BÙI NGỌC TUYÊN

Hà Nội tháng 3 năm 2012


1

LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Nguyễn Thị Châu
Học viên lớp: Cao học Công nghệ CTM 2009
Dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Ngọc Tuyên tôi nhận nghiên cứu đề tài:
“Nghiên cứu, xây dựng cơ sở dữ liệu CAD/ CAM và ứng dụng trong chế tạo mẫu”
Tôi xin cam đoan, luận văn này là quá trình nghiên cứu của bản thân. Nếu có
sai sót gì tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2012
Người cam đoan

Nguyễn Thị Châu


2

MỤC LỤC
TRANG
LỜI CAM ĐOAN...........................................................................................................1
MỤC LỤC ......................................................................................................................2
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ......................................................................5
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................8
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................. 8
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài.....................................8
3. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn của đề tài..............................................8
3.1.

Ý nghĩa khoa học của đề tài .........................................................................9

3.2.

Ý nghĩa thực tiễn của đề tài.........................................................................10

TỔNG QUAN...............................................................................................................12
1. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................12
2. Nội dung cần giải quyết của đề tài...................................................................12
CHƯƠNG I: CƠ SỞ DỮ LIỆU CAD.......................................................................14
1.1.Mô hình khung dây..............................................................................................14
1.1.1. Đường thẳng.................................................................................................14
1.1.2. Đường tròn...................................................................................................16.

1.1.3. Elip................................................................................................................17
1.1.4. Đường cong Hermite.....................................................................................19
1.1.5. Đường cong Bezier........................................................................................22
1.1.6.Đường cong B- Spline......................................................................................25


3

1.2 Mô hình bề mặt.......................................................................................................30
1.2.1 Phương pháp biểu diễn bề mặt trong CAD..................................................30
1.2.2 Biểu diễn các bề mặt cơ bản ................................................................................31
1.3. Mô hình khối rắn...................................................................................................39
1.3.1. Hình học khối rắn cơ bản ( Constructive Solid Geometry – CSG)....................39
1.3.2. Mô hình biểu diễn trên B-rep.............................................................................43
CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ SỞ DỮ LIỆU CAD.................48
2.1 Kỹ thuật thuận .......................................................................................................48
2.1.1 Quá trình thiết kế và chế tạo sản phẩm................................................................48
2.1.2 Một số phần mềm CAD và CAD/CAM hiện nay...................................................49
2.1.3. Giới thiệu phần mềm ứng dụng CATIA..............................................................50
2.2 Kỹ thuật ngược.......................................................................................................54
2.2.1.Giới thiệu tổng quan về Reverse Enigeering........................................................58
2.2.2 Sử dụng máy đo tọa độ BROWN &SHARP 544 với phần mềm PC-DMIS trong
xây dựng mô hình CAD..................................................................................................60
2.2.3.Ứng dụng...............................................................................................................63
CHƯƠNG III : THỰC NGHIỆM XÂY DỰNG CƠ SỞ DỮ LIỆU CAD/ CAM VÀ
CHẾ TẠO MẪU...........................................................................................................65
3.1 Ứng dụng kỹ thuật thuận trong thiết kế mô hình mẫu.......................................65
3.1.1 Trình tự thiết kế bề mặt tự do trong CATIA..........................................................65
3.1.1.Các bước thiết kế chuột bằng CATIA....................................................................67
3.2. Thực nghiêm xây dựng CSDL CAM bằng CATIA............................................70

3.3. Thực nghiệm gia công mẫu chuột máy tính mini trên máy phay CNC...........72


4

3.3.1.Cơ sở, thiết bị, dụng cụ thí nghiệm:....................................................................72
3.3.2 Cơ sở vật chất:......................................................................................................72
3.3.3 Tiến hành gia công...............................................................................................74
CHƯƠNG IV:ỨNG DỤNG KỸ THUẬT NGƯỢC TRONG KIỂM TRA MẪU
GIA CÔNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ...................................................................80
4.1. Nội dung phương pháp.........................................................................................80
4.1.1. Quy trình kỹ thuật ngược.....................................................................................80
4.1.2. Ứng dụng kỹ thuật ngược trong chế tạo..............................................................81
4.2. Thực nghiệm ứng dụng phương pháp kiểm mẫu chế tạo ................................83
4.2.1. Đo quét mẫu bằng đầu quét laze Renishaw VIVID910D hãng KONICA
MINOTA........................................................................................................................83
4.2.2. Xử lý số liệu bằng phần mềm kiểm tra mặt tự do................................................84
4.2.3. Điều kiện thực nghiệm kiểm tra bề mặt chuột mini.............................................84
4.2.3 Nội dung tiến hành thực nghiệm kiểm tra bề mặt mẫu........................................85
4.2.4. Nhận xét và đánh giá kết quả thực nghiệm..........................................................89
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO.........................................91
Kết luận.........................................................................................................................91
Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo.......................................................................91


5

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Mô hình khung dây.....................................................................................14
Hình 1.2. Biểu diễn đoạn thẳng ..................................................................................14

Hình 1.3. Xác định L.....................................................................................................16
Hình 1.4. Biểu diễn đường tròn....................................................................................17
Hình 1.5. Biểu diễn elip................................................................................................17
Hình 1.6. Điểm trên đường cong tham số bậc ba.........................................................19
Hình 1.7. Thêm vào các đoạn đường cong tham số bậc ba..........................................19
Hình 1.8. Đường cong Bezier thỏa mãn tính chất thân lồi...........................................23
Hình 1.9. Sự thay đổi cưa đường cong Bezier khi di chuyển một điểm điều khiển......23
Hình 1.12. . Đường cong Bezier điều khiển khu vực thiếu....................................25
Hình 1.13.Nội suy B- spline..........................................................................................26
Hình 1.14 .Mặt phẳng qua 3 điểm................................................................................31
Hình 1.16. Mặt phẳng đi qua 1 điểm và 2 hướng.........................................................33
Hình 1.17.Phương trình tham số của bề mặt kẻ...........................................................33
Hình 1.18. Bề mặt tròn xoay.........................................................................................34
Hình 1.21.Biểu diễn tham số bề mặt trụ.......................................................................3
Hình 1.18. Mảnh bậc 3 Bezier......................................................................................41
Hình 1.19. Mảnh bề mặt tam giác ...............................................................................38
Hình 1.22. Bề mặt Bezier tam giác...............................................................................39
Hình 1.23. Mô hình khối rắn cơ sở...............................................................................41

Hình 1.24. Biểu đồ Venn................................................................................42


6

Hình 1.25. Cây CSG.......................................................................................42
Hình 1.26. Mô hình biểu diễn trên B- rep........................................................45
Hình 1.27. Mô hình B- rep của vật thể...........................................................................46
Hình 2.1.Chu trình sản phẩm ...................................................................................48
Hình 2.2. Môi trường vẽ phác thảo trong CATIA.........................................................51
Hình 2.3. Môi trường thiết kế chi tiết.........................................................................52

Hình 2.4. Một số thanh công cụ sử dụng khi thiết kế chi tiết.......................................54
Hình 2.5. Một số thiết bị số hóa sử dụng trong kỹ thuật ngược..............................55

Hình 2.6. Sơ đồ thực hiện quá trình số hoá lặp......................................................57
Hình 2.7. Sơ đồ quét kiểu LINEAR CLOSE.......................................................61
Hình 2.8: Direction 1 và drrection 2 cho Patch...........................................................62
Hình 2.9: Sơ đồ quét kiểu Patch...................................................................................62
Hình 2.10: Định dạng tam giác trong file STL.......................................................................63

Hình 3.1. Hình thành lưới bề mặt trong CATIA............................................................65
Hình 3.2. Bề mặt đã hình thành sau khi thiết kế xong..................................................66
Hình 3.3. Sửa lại lưới bề mặt để tạo bề mặt theo yêu cầu............................................66
Hình 3.4. Bề đã được sửa bằng cách sửa tọa độ điểm trong ......................................67
Hình 3.5. Bề mặt tự do được hình thành .....................................................................67
Hình 3.6. Biên dạng chuột được hình thành ...............................................................68
Hình 3.7 Tạo hai cạnh vát bên cạnh chuột ..................................................................68
Hình 3.8. Dùng các lệnh cắt, chỉnh sửa bề mặt chuột.................................................69
Hình 3.9. Mẫu chuột đầy đủ trên cơ sở vừa tạo ra ở trên ..........................................69


7

Hình 3.10. Sản phẩm bề mặt chuột thiết kế trong CATIA V5R19.................................70
Hình 3.11. Chi tiết được đưa vào Module gia công......................................................70
Hình 3.12. Tạo phôi.......................................................................................................71
Hình 3.13. Phôi đã được tạo, Rough stock 1 xuất hiện trên cây thư mục......................71
Hình 3.14. Mô phỏng gia công trên CATIA..................................................................72
Hình 3.15. Phôi được đưa vào không gian gia công trong CATIA................................75

Hình 3.16. Phôi đã được đưa vào gia công ở dạng mặt STL có độ phân giải

thấp.................................................................................................................76
Hình 3.17. Phôi đã được đưa vào gia công ở dạng mặt STL có độ phân giải
cao..................................................................................................................77
Hình 4.1. Sơ đồ kỹ thuật ngược...................................................................................80
Hình 4.2 Giai đoạn quét mẫu.........................................................................................82
Hình 4.2 Một nửa mô hình người đã được tạo dưới dạng lưới điểm.............................82
Hình 4.4 Mô hình người đã được tạo dưới dạng lưới điểm...........................................82
Hình 45. Mô hình đầu người hoàn chỉnh được hình thành dưới dạng mặt NURBS.....82
Hình 4.6. Mô hình mặt người được gia công trên máy CNC........................................83
Hình 4.7. Bề mặt “mau1.txt” và “chitiet1.txt” trước và sau khi thực hiện chương trình
kiểm tra...........................................................................................................................85
Hình 4.8. Bề mặt “mau1.txt” và “chitiet2.txt” trước và sau khi thực hiện chương trình
kiểm ...............................................................................................................................87
Hình 4.9. Bề mặt “mau1.txt” và “chitiet3.txt” trước và sau khi thực hiện chương trình
kiểm tra..........................................................................................................................88


8

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
“Nghiên cứu, xây dựng cơ sở dữ liệu CAD/ CAM và ứng dụng trong chế tạo mẫu”
Hệ thống CAD/ CAM/ CNC ngày càng được sử dụng rộng rãi trong sản xuất
công nghiệp ở nước ta. Nắm vững cấu trúc hệ thống và phát triển nó nhằm nâng cao
hiệu quả kinh tế và từng bước góp phần hiện đại hóa ngành công nghiệp nước nhà là
vấn đề đặt ra cho tất cả các nhà làm kỹ thuật hiện nay.
Bề mặt sản phẩm được sản xuất trong công nghiệp khá đa dạng và phức tạp, vì
vậy để thiết kế và chế tạo thuận lợi người ta đã sử dụng máy tính để trợ giúp trong quá
trình này. Lĩnh vực thiết kế và mô tả bề mặt gia công trên máy tính được gọi là CAMM
(Computer Aided Modeling Machining), nó đóng vai trò rất quan trọng trong hệ CAD/

CAM/ CNC.
Việc nghiên cứu, xây dựng cơ sở dữ liệu CAD/ CAM và ứng dụng trong chế tạo
mẫu nhằm giúp các nhà kỹ thuật hiểu rõ hơn quá trình hình thành bề mặt chi tiết trong
khi thiết kế và chế tạo sản phẩm thực, qua đó nắm bắt được những sai sót có thể mắc
phải trong quá trình thiết kế cũng như chế tạo nhằm mục đích tối ưu hóa những sản
phẩm và quá trình tạo ra chúng để có những sản phẩm đạt được hiệu quả cao nhất.
Vì vậy việc Nghiên cứu, xây dựng cơ sở dữ liệu CAD/ CAM và ứng dụng trong
chế tạo là việc hết sức cấp thiết, đây cũng chính là lý do mà tác giả lựa chọn nghiên
cứu đề tài này.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài
- Nắm vững lý thuyết cơ sở dữ liệu CAD/CAM
- Nêu được các phương pháp xây dựng cơ sở dữ liệu CAD
- Ứng dụng khai khai thác được phần mềm CAD/CAM CATIA
3. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn của đề tài


9

3.1. Ý nghĩa khoa học của đề tài
Ngày nay công nghệ CAD/CAM/CNC và công nghệ tái tạo ngược đang được
ứng dụng nhiều trong thực tế sản xuất các sản phẩm cơ khí chất lượng cao, nhờ vào các
công nghệ này mà chúng ta có thể sản xuất được những sản phẩm cơ khí chất lượng có
tính kinh tế và kỹ thuật cao và đem lại hiệu quả kinh tế to lớn trong ngành cơ khí chế
tạo.
Hiện tại, với cơ chế mở cửa thu hút các nhà đầu tư trong và ngoài nước, đặc biệt
là các nhà đầu tư nước ngoài đã đem đến cho nền công nghiệp nước nhà một diện mạo
mới.
Khi các nhà đầu tư nước ngoài vào nước nhà không chỉ đem đến một phương
pháp quản lý hiện đại, mà cùng với đó là những thiết bị tối tân trợ giúp quá trình tạo ra
sản phẩm một cách nhanh chóng, dễ dàng và chính xác nhất có thể trong đó các phần

mềm CAD/CAM/CAE đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong khâu thiết kế, chế
tạo, mô phỏng và kiểm tra chất lượng sản phẩm trước khi ứng dụng sản xuất hàng loạt.
Cùng với việc thành thạo trong sử dụng các loại phần mềm hỗ trợ thiết kế, chế
tạo, mô phỏng, kiểm tra chất lượng sản phẩm trước khi đi vào sản xuất là việc tìm hiểu
được những điểm mấu chốt, cốt lõi để làm nên chất lượng của chúng. Qua đó có những
hiểu biết cần thiết và tiến tới có thể cải tiến hơn nhằm phù hợp với sự phát triển không
ngừng của khoa học.
Không có gì là bất biến, tri thức thì lại càng không. Càng ngày kho tri thức càng
khổng lồ thêm. Vì vậy, những kiến thức nhân loại đang ứng dụng hôm nay chưa hẳn đã
là dùng tốt cho ngày mai. Việc nghiên cứu NURBS cũng nằm trong xu thế ấy. Trong
quá trình nghiên cứu, nếu còn thấy hay, thấy tốt thì còn dùng được và làm sao để ứng
dụng đạt hiệu quả tối ưu nhất. Nếu thời điểm nào đó thấy một hướng hay hơn thì sẽ tìm
cách cải tiến theo hướng ấy.


10

Trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài này chỉ mong sao cung cấp một cái nhìn
thấu đáo về chế tạo mẫu và ứng dụng nó trong các phần mềm nhằm thiết kế được các
bề mặt phức tạp mà những lý thuyết trước đây khó thực hiện được. Khi hiểu và nắm
bắt được có thể sẽ mở ra hướng nghiên cứu mới sau này.
Các kết quả nghiên cứu mang ý nghĩa khoa học:
- Nghiên cứu lý thuyết, thực nghiệm so sánh độ chính xác gia công của hai định
dạng CSDL là mô hình mặt cong trơn và mô hình STL.
- Thực nghiệm ứng dụng thành công kỹ thuật ngược với CMM để kiểm tra độ
chính xác của mô hình chế tạo
3.1.

Ý Nghĩa thực tiễn của đề tài
Từ kết quả nghiên cứu được, đánh giá được khả năng tái tạo lại bề mặt của chi

tiết đã thất lạc dữ liệu, nâng cao hiệu quả trong việc thiết kế các chi tiết qua đó nâng
cao hiệu quả kinh tế cũng như độ chính xác của các chi tiết sau khi gia công.
Hiểu được khả năng tạo ra các bề mặt từ dữ liệu điểm (đám mây điểm) trong các
phần mềm CAD/CAM qua đó kết hợp với các máy đo (đo tọa độ, máy quét…) để tạo
ra các ngân hàng dữ liệu điểm cho các chi tiết . Qua đó giúp cho việc chế tạo các chi
tiết cũng như lưu trữ các chi tiết đạt kết quả cao hơn và nhẹ nhàng hơn.
Nắm bắt được ưu, nhược điểm của phương pháp để từ đó có cái nhìn khách
quan hơn cho tiến trình tạo ra sản phẩm, qua đó có những phương án tối ưu hóa thiết
kế sao cho quá trình gia công ngắn nhất mà vẫn tạo ra được các sản phẩm với chất
lượng tốt (điều này sẽ được thí nghiệm giải thích rõ hơn trong phần thực nghiệm của
đề tài này).
Các kết quả mang tính thực tiễn:
-

Tổng kết phương pháp xây dựng CSDL CAD, đề xuất phương pháp đánh giá
được hiệu quả CSDL CAD với định dạng STL trong gia công CNC


11

-

Áp dụng phương pháp kỹ thuật ngược trong kiểm tra đánh giá độ chính xác hình
học các bề mặt tự do

-

Thực hiện mô phỏng quá trình gia công, gia công trên máy CNC.

-

Mẫu đã thu được sau khi gia công là 03 chuột mini, vật liệu là nhôm.


12

TỔNG QUAN
CAD/ CAM được hiểu là sử dụng máy tính trong quá trình thiết kế và sản xuấtmáy tính trợ giúp thiết kế và sản xuất. CAD/ CAM là một lĩnh vực rộng là trái tim của
nền sản xuất tích hợp và tự động
Hiện nay, việc nghiên cứu một cách đầy đủ cơ sở dữ liệu để hình thành bề mặt
và ứng dụng CAD/CAM vào thiết kế, chế tạo sản phẩm còn khá hạn chế hoặc mang
tính riêng rẽ. Có những đề tài đi sâu vào nghiên cứu ứng dụng của CAD/CAM trong
thiết kế và chế tạo, có đề tài chỉ nghiên cứu về mảng kỹ thuật ngược, có đề tài chỉ
chuyên sâu vào lý thuyết cơ sở hình thành bề mặt.
Vì vậy, trong khuôn khổ đề tài này sẽ tập trung nghiên cứu, từ xây dựng cơ sở
dữ liệu hình thành bề mặt, ứng dụng trong các phần mềm CAD/CAM để thiế kết, chế
tạo mẫu. Khi nghiên cứu tập trung trong một tiến trình sẽ gặp phải những vấn đề mà
nếu nghiên cứu riêng rẽ không gặp phải, qua đó giải quyết được những vấn đề đó sẽ
làm rõ hơn tính đúng đắn của lý thuyết CAD/CAM, xóa nhòa khoảng cách giữa lý
thuyết và thực hành.
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết CAD/CAM, Sử dụng máy CMM để thu thập dữ liệu
bề mặt chi tiết mẫu, nghiên cứu ứng dụng các phần mềm CAD/CAM, thực hiện thiết
kế chi tiết và gia công trên máy CNC.
1. Nội dung cần giải quyết của đề tài
Trong đề tài này tác giả chủ yếu nghiên cứu và giải quyết những vấn đề như
sau:
1. Nghiên cứu tìm hiểu về CAD/CAM, các dạng dữ liệu CAD.
2. Nghiên cứu lý thuyết, các phương pháp xây dựng CSDL CAD

13

3. Tìm hiểu về CMM và ứng dụng trong kỹ thuật ngược từ đó xây dựng
CADL CAD
4. Khai thác sử dụng phần mềm CATIA , xây dựng CSDL CAD/ CAM
5. Thực nghiệm chế tạo mẫu với hai định dạng CSDL CAD là STL và mặt
cong trơn, đánh giá kết quả.


14

CHƯƠNG I
CƠ SỞ DỮ LIỆU CAD
Trong chương này tác giả đề cập đến cơ sở dữ liệu CAD chủ yếu đi sâu giới
thiệu về biểu diễn hình học trong CAD mà không đề cập tới phần biến đổi hình học
và các phép chiếu trong CAD
1.1. Mô hình khung dây
Mô hình khung dây được xây dựng trên cơ sở các cạnh (edges) và các đỉnh (vertices).
Các mặt không được tạo nên và chỉ các đường biên, mô hình này chỉ có kích thước các
cạnh nhưng không có thể tích (như mô hình bề mặt), hoặc khối lượng (như khối rắn).
Toàn bộ đối tượng của mô hình đều nhìn thấy.

Hình 1.1: Mô hình khung dây
*Các thực thể trong khung dây

Y

1.1.1. Đường thẳng

P1

Đường thẳng nối hai điểm P1, P2

u=0

Pn
P

P2
u=1

0
Z

Hình 1.2. Biểu diễn đoạn thẳng

X


15

Định nghĩa tham số u có giá trị 0 tại P1 và giá trị 1 tại P2
Xét tam giác OPP1 viết được phương trình véc tơ sau
P  P1  P1 P  P1  ( P  P1 )

(1.1)

Theo cách định nghĩa tham số u có thể viết được
P  P1  u ( P2  P1 )

(1.2)

Thay (2) vào (1) có phương trình đường thẳng đi qua P1, P2
P  P 1  u ( P2  P1 )

0  u  1

(1.3)

Dạng khai triển có thể viết
 x  x1  u ( x2  x1 )

 y  y1  u ( y 2  y1 ) 0  u  1
z  z  u( z  z )
1
2
1


(1.4)

Trong phương trình (3) và (4), với mỗi u có thể tìm được P. tham số u ngoài khoảng

0....1sẽ được các điểm nằm ngoài đoạn

P1 P2

Vecto chỉ phương của đường thẳng được viết
P ,  P2  P1

(1.5)

 x ,  x 2  x1

Hay  y ,  y 2  y1
 ,
 z  z 2  z1

Vecto đơn vị được viết như sau:


n

P2  P1
L

L  P2  P1 

 x2  x1 2   y 2  y1 2   z 2  z1 2


16


Đường thẳng đi qua P1 có hướng xác định bởi vecto đơn vị n (hình 1.3)

Y


P1 n

L

P
u=1

P
0
Z

X

Hình 1.3. Xác định L


Giả sử đường thẳng có chiều dài L, phương trình đường thẳng như sau: P  P1  L n
1.1.2. Đường tròn
phương trình tham số cơ bản của đường tròn như sau

 x  xc  R cos u

 y  yc  R sin u
z  z


(1.6)

0  u  2

Để hiển thị đường tròn dùng phương trình ( 1.7) để tính các điểm trên chu vi đường
tròn bằng cách tăng u từ 0 đến 3600. tuy nhiên đây là cách không hiệu quả do phải
tính các hàm lượng giác cho các điểm. một phương pháp hiệu quả hơn là viết
phương trình (1.2)dạng gia số: giả sử có một gia số góc u giữa hai điểm liên tiếp
P(xn,yn,z n) và P(xn+1, yn+1, z n+1) trên chu vi đường tròn. Các quan hệ đệ qui sau được

viết

 x n  xc  R cos u

 y n  yc  R sin u
 x n 1  xc  R cosu  u 
 y  y  R sin u  u 
c
 n 1
 z n 1  z n

(1.7)


17

Pn 1  xn 1 , y n 1 , z n 1 
Pn  xn , y n , z n 

u

Y

R

P ( x, y , z )
u
Pc  xc , yc , z c 
Pc

0

X

Z

Hình 1.4. Biểu diễn đường tròn
x n 1  x c  ( x n  x c ) cos u   y n  y c sin u

Khai triển xn+1 và yn+1 ta có: y n 1  y c   y n  y c  cos u   xn  xc sin u

(1.8)

z n 1  z n

Từ (1.8) có thể thấy rằng đường tròn xuất phát từ một điểm và các điểm liên tiếp
với khoảng cách bằng nhau được tính toán đệ quy và cos u , sin u chỉ phải tính một
lần. điều này làm tăng tốc độ tính toán do không phải tính các hàm lượng giác mỗi
khi tính một điểm mới làm cho phần cứng có thể tăng tốc độ hiển thị đường tròn.
Cung tròn là một trường hợp đặc biệt của đường tròn. Phương trình tham số của
cung tròn như sau:
 x  xc  R cos u

 y  y c  R sin u
z  z

c


u s  u  uc

1.1.3. Elip
Elip là đường cong sinh ra do một điểm chuyển động trong không gian sao cho
tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 điểm cố định là hằng số và bằng bán kính lớn


18

của elip. Khoảng cách từ tiêu điểm đến tâm bằng

A 2  B 2 ;A,B là các bán kính

lớn và bé của elip
phương trình tham số của elip có tâm Pc được biểu diễn như sau:
 x  xc  A cos u

 y  y c  B sin u
z  z
c


0  u  2

(1.9)

Chú ý: tham số u không phải là góc giữa PcP và bán trục lớn mà là góc như

Pn 1 x n1 , y n 1 , z n 1 
Pn  xn , y n , z n 
Y
P ( x, y, z )

A

Pc  xc , yc , z c 
B

Bsinu
Acosu

Pc

0

X

Z

Hình 1.5. Biểu diễn elip
Để biểu diễn trên màn hình CAD sử dụng hệ phương trình sau:
A

 xn 1  xc  x n  xc  cos u  B  y n  y c sin u

A

 y n 1  y c   y n  yc  cos u   xn  xc  sin u

B

 z n 1  z n



Nếu trục lớn của elip nghêng một góc  so với ox thì phương trình biểu diễn elip
như sau:


19

 x  xc  A cos u cos  B sin u sin 

 y  y c  A cos u sin   B sin u cos
z  z
c


0  u  2

Phương trình để hiển thị elip như sau:
 x n1  xc  A cosu n  u  cos   B sin u n   u sin 

 y n 1  y c  A cosu n  u  sin   B sin u n   u  cos 
z  z
c
 n 1

Trong đó u n = (n-1)u. điểm đầu tương ứng với n=0, nằm trên điểm cuối bán trục lớn

các đường cong tổ hợp
1.1.4. Đường cong Hermite
Đường cong Hermiter là đường cong trơn tham số bậc ba được định nghĩa bởi tọa
độ và vecto tiếp tuyến tại hai đầu mút phương trình tổng quát được viết như sau:
3

P t    ai.t i

(1.10)

0  t 1

i 0

Trong đó P(t) là điểm trên đường cong

Y

P4

P0
Pt
P1
P3

0

X

P2

Z

Hình 1.6.Điểm trên đường cong
tham số bậc ba

Hình 1.7.Thêm vào các đoạn
đường cong tham số bậc ba


20

khai triển phương trình (1.10)
 xt   a 3 x .t 3  a 2 x .t 2  a1x .t  a 0 x

3
2
 y t   a 3 y .t  a 2 y .t  a1 y .t  a 0 y

3
2
 z t   a3 z .t  a 2 z .t  a1z .t  a 0 z

(1.11)

Viết (1.10) dưới dạng vecto
P t   a 3 .t 3  a 2 .t 2  a1 .t  a 0

(1.12)

a3 
a 
Viết (1.10) dưới dạng ma trận Pt   t 3 t 2 t 1 .  2 
a1 
 
a0 





(1.13)

Vecto tiếp tuyến tại một điểm trên đường cong nhận được bằng cách đạo hàm
(1.10)
3

P , t    ai.t i 1

(1.14)

0  t 1

i 0

Viết (1.14) dưới dạng vecto
P , t   3a3 .t 2  2a 2 .t 1  a1

(1.15)

Để xác định các hệ số ai cần dựa vào các điều kiện biên đã biết là P0,P ,0 tạo t=0 và
P1, P,1 tại t=1, hình 1.6 thay phương trình (1.14) vào (1.15) có:
P0  a 0
P , 0  a1
P1  a3  a 2  a1  a 0

(1.16)

P ,1  3a3  2a 2  a1

Từ đó tính được các hệ số ai như sau:


21
a 0  P0 
a1  P , 0 

(1.17)

a 2  3P0   3P1  2 P , 0   P , 1
a 3  2 P0   2 P1  P , 0   P , 1

Thay (1.17) vào (1.12) và (1.15) nhận được:

















Pt   2t 3  3t 2  1 .P0   2t 3  3t 2 .P1  t 3  2t 2  t .P , 0  t 3  t 2 .P , 1 (1.18)

















P , t   6t 2  6t .P0   6t 2  6t .P1  3t 2  4t  1 .P , 0  3t 2  2t P , 1

(1.19)

Phương trình (1.17) viết dưới dạng ma trận như sau:
P(t) = T.M(H).G(H)

(1.20)

Trong đó





T  t 3 t 2 t1 1

MH

Gọi là ma trận tham số.

(1.21)

2  2 1 1 
3 3  2  1
 gọi là ma trận đặc trưng đường cong Hermite

0 0 1 0 


0
1 0 0

 P0  
 P1 
G H   ,  Gọi là ma trận hình học
 P 0 
 , 
 P 1 

Tương tự phương trình (1.19) viết dạng ma trận như sau:
P , t   T .M  H .G H

Trong đó:

(1.24)

(1.22)

(1.23)


22
0
6

 6

0

M H

0

0

0 
 6 3 3 
6  4  2

0
1 0 

(1.25)

1.1.5. Đường cong Bezier
Đường cong Bezier nhận các điểm điều khiển hoặc các đỉnh điều khiển được sắp đặt
theo trật tự điểm (P 0…Pn) đó là các điểm gần kề với đường cong. Các điểm này có thể
được biểu diễn trên màn hình đồ họa và được người sử dụng dùng để điều khiển hình
dạng của đường cong theo ý muốn của mình. Đường cong Bezier dựa trên nền tảng là
các hàm đa thức, dùng để biểu diễn các đường cong tự do đường cong Bezier có bậc n
được định nghĩa bằng n+1 đỉnh điều khiển và là hàm tham số có dạng
n

Pt    Pi Bi , nt 

(1.26)

i 0

Trong đó các véctơ Pi biểu diễn n+1 điểm điều khiển.Hàm B i,n(t) là hàm trộn cho các
biểu diễn Bezier và được mô tả bằng đa thức Bernstein như sau:
Bi , n t   C ( n ,i ) .t i .(1  t ) n i

0  t 1

(1.27)

Trong đó nhị thức C(I,n) được tính như sau:
C i ,n  

n!
i!n  i !

i=0,…,n

(1.28)

Các hàm trộn này thỏa mãn điều kiện sau:
Bi,n(t)  0 cho tất cả các i

0  t 1

n

 B t   1
i,n

0  t 1

(1.29)

i 0

Dạng thứ hai của phương trình (1.29) gọi là “đặc trưng chung” các điều kiện này tác
động vào các đường cong để đảm bảo tồn tại thực thể với các hình thù lồi được cài đặt


23

bởi các điểm ngoài cùng của đa giác được tạo ra bằng các điểm điều khiển và được gọi
là “thân lồi” như (hình 1.8) thân lồi có thể được coi tương đương với các đa giác và nó
sẽ nhận được nếu ta dùng một sợi dây cao su bọc quanh các điểm điều khiển
P6
P5
P1

P2

P2

P1
P4

P4

P3

P0

P3

Hình 1.8. Đường cong Bezier thỏa mãn tính chất thân lồi

P1

P1

P1

P2

P3
P0

Hình 1.9. Sự thay đổi cưa đường cong Bezier khi di
chuyển một điểm điều khiển
Các hàm trộn của Bezier tạo ra bậc n của đa thức và cho n+1 điểm điều khiển. nói
chung tác động vào đường cong Bezier để thêm vào các điểm điều khiển đầu và cuối.
Các điểm điều khiển ở giữa chỉ có tác dụng lôi kéo co giãn đường cong và có thể được
sử dụng điều chỉnh cho đường cong thay đổi hình thể. hình 1.9 thể hiện sự ảnh hưởng


24

của đường cong khi ta di chuyển một điểm điều khiển
Ví dụ về sử dụng hàm trộn được xem xét trong trường hợp có 4 điểm điều khiển P0, P1,
P2, P3 theo định nghĩa số điểm điều khiển là n+1 ta có bậc của đa thức là 3, khai triển
phương trình (1.26)
ta có:
P t   P0 B0,3  P1 B1, 3  P2 B2, 3  P3 B3,3

(1.30)

Bốn hàm trộn phải tìm dựa trên đa thức Bernstein cho ở phương trình (1.27) là:
3! 0

3
3
 B0 ,3  0!.3! .t .1  t   1  t 

 B  3! .t 1 .1  t 2  3t .1  t 2
 1,3 1!.2!

 B  3! .t 2 .1  t   3t 2 .1  t 
 2, 3 2!.1!

3! 3
0
 B3 , 3 
.t .1  t   t 3
3!.0!


(1.31)

Chú ý rằng, đặc trưng thông thường áp dụng cho các hàm trộn nghĩa là cộng chúng
thành một đa thức:

1  t   3t.1  t   3t .1  t   t
3

2

2

3

1

(1.32)

Thay vào phương trình (1.30) ta được
Pt   1  t  .P0  3t.1  t  .P1  3t 2 .1  t .P2  t 3 .P3
3

2

(1.33)

Khi
t = 0 suy ra

P(0)= P0

t = 1 suy ra

P(1)= P3

(1.34)

đây chính là thể hiện của đường cong Bezier đi qua điểm điều khiển đầu tiên và cuối
cùng. Các hàm trộn tại các giá trị này của biến tham số là