Tính toán động lực học và mô phỏng số robot công nghiệp dựa trên chương trình robotdyn cải tiến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-------------------------------------

CHU HOÀNG ANH

TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC VÀ MÔ PHỎNG
SỐ ROBOT CÔNG NGHIỆP DỰA TRÊN
CHƯƠNG TRÌNH ROBOTDYN CẢI TIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2010


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa

1

Danh mục các chữ viết tắt

6

Danh mục các bảng

10

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

12

Mở đầu

15

Chương I: Cơ sở lý thuyết của hệ chương trình ROBOTDYN

18

1.1 Các tọa độ thuần nhất và phương pháp biến đổi thuần nhất

18

1.1.1 Định nghĩa ma trận Cosin chỉ hướng

18

1.1.2 Ý nghĩa của ma trận Cosin chỉ hướng của vật rắn

20

1.1.3 Các ma trận quay cơ bản

21

1.1.4 Định nghĩa các tọa độ thuần nhất

22

1.1.5 Biến đổi phép cộng vector trong không gian vật lý 3 chiều thành
phép nhân ma trận trong không gian thuần nhất 4 chiều

24

1.1.6 Phép biển đổi ma trận thuần nhất và ma trận biến đổi thuần nhất

25

1.1.7 Ma trận nghịch đảo của ma trận biến đổi thuần nhất

27

1.1.8 Các ma trận quay cơ bản thuần nhất và ma trận tịnh tiến thuần
nhất
1.2 Bài toán động học và động lực học vật rắn

27
28

1.2.1 Động học vật rắn

28

1.1.2 Động năng vật rắn

32

1.3 Ma trận Denavit-Hartenberg

35
2


1.4 Biểu thức xác định động năng và thế năng của Robot công nghiệp từ
các ma trận Denavit-Hartenberg
1.5 Đạo hàm riêng theo biến Vector của hàm ma trận

39
42

1.5.1 Đạo hàm riêng theo biến vector của ma trận hàm

42

1.5.2 Đạo hàm riêng theo biến vector của tích hai ma trận

43

1.5.3 Đạo hàm theo thời gian của ma trận hàm biến vector

44

1.6 Thiết lập dạng thức Lagrange loại 2 của Robot công nghiệp

44

1.6.1 Thiết lập dạng thức Lagrange loại 2

44

1.6.2 Biến đổi phương trình vi phân chuyển động

45

1.6.3 Một dạng ma trận của phương trình Lagrange loại 2 của hệ nhiều
vật
1.7 Bài toán động học ngược

46
49

1.7.1 Mở đầu

49

1.7.2 Bài toán động học ngược rôbốt và các công thức cơ bản

49

1.7.3 Thuật toán xác định các véctơ toạ độ trạng thái q (t k )

52

1.8 Bài toán động lực học ngược
Chương II: Chương trình RobotDyn
2.1 Giới thiệu về chương trình RobotDyn

54
56

56

2.1.1 Hệ chương trình RobotDyn

56

2.1.2 Mô tả dữ liệu vào-ra của RobotDyn 2.0

57

2.1.3 So sánh hai phiên bản RobotDyn 1.0 và 2.0

57

2.2 Hướng dẫn sử dụng chương trình ROBOTDYN 2.0
2.1.1 Nhập dữ liệu

58
58

3


2.1.1 Xuất dữ liệu dữ liệu
Chương III: Áp dụng chương trình ROBOTDYN tính toán động học
của một số Robot điển hình

60
67

3.1 Robot 2 khâu phẳng

67

3.2 Robot 3 khâu phẳng

69

3.3 Robot 3 khâu không gian

72

3.4 Robot Scara RRTR

75

3.5 Robot Scara RRRT

78

3.6 Robot sơn 5 BTD

82

3.7 Robot đo 5 BTD

85

3.8 Robot Stanford

88

3.9 Robot Elbow

91

3.10 Robot Elbow dạng 2

94

3.11 Robot Puma

97

3.12 Robot Kuka

100

3.13 Khớp cầu

103

Chương IV: Áp dụng chương trình ROBOTDYN thiết lập phương
trình chuyển động của một số Robot điển hình

105

4.1 Robot 2 khâu phẳng

107

4.2 Robot 3 khâu phẳng

107

4.3 Robot 3 khâu không gian

110

4.4 Robot Scara RRTR

114

4.5 Robot Scara RRRT

116

4


Chương V: Áp dụng chương trình ROBOTDYN mô phỏng số một số
Robot điển hình

121

5.1 Robot 2 khâu phẳng

121

5.2 Robot 3 khâu phẳng

124

5.3 Robot 3 khâu không gian

127

5.4 Robot Scara RRTR

133

5.5 Robot Scara RRRT

138

Kết luận và kiến nghị

143

Tài liệu tham khảo

145

5


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
STT

Ký hiệu

Diễn giải

1

Ci

cos(qi)

2

Cij

cos (qi+ qj)

3

Si

sin(qi)

4

Sij

sin(qi+ qj)

5

r

vCi

Vector vận tốc khối tâm Ci đối với hệ quy chiếu R0

6
7
8

k

r
vCi

Vector vận tốc khối tâm Ci đối với hệ quy chiếu Rk

r

ωi

Vector vận tốc khâu thứ i đối với hệ quy chiếu R0

r

Vector vận tốc khâu thứ i đối với hệ quy chiếu Rk

k

ωi

r

9

ωi(

0)

Vector đại số của ωi trong R0

10

ω(i )

Vector đại số của ωi trong Ri

r

i

r

11

k

ωi(

0)

k

Vector đại số của ωi trong R0

12

k

ω(i )

k
Vector đại số của ωi trong Ri

i

r

r

13

v (Ci)
0

Vector đại số của vCi trong R0

14

()
vCi

Vector đại số của vCi trong Ri

r

i

r

15

k

v(Ci)

k
Vector đại số của vCi trong R0

16

k

v(Ci)

Vector đại số của vCi trong Ri

17

ph

0

i

r

k

r

Tọa độ vật lý của một điểm

6


18

h

19

Hi

Ma trận Dennavit-Hartenberg của khâu thứ i so với khâu i-1

20

Di

Ma trận Dennavit-Hartenberg của khâu i so với gốc toạ độ

21

k

Ma trận cosin chỉ hướng của khâu thứ i so với khâu k

22

Ai

Ma trận cosin chỉ hướng của khâu i so với hệ quy chiếu R0

23

mi

Khối lượng khâu thứ i

24

M(q)

Ma trận khối lượng của hệ

25

C( q,q& )

Ma trận Coriolis và quán tính ly tâm của hệ

26

Ii

Tensor quán tính khối của khâu i trong hệ quy chiếu R0

27

Ii(i)

Tensor quán tính khối của khâu i trong hệ quy chiếu Ri

28

JTi

Ma trận Jacobi tịnh tiến của khâu i

29

JRi

Ma trận Jacobi quay của khâu i

30

qi

Toạ độ suy rộng thứ i

31

q&i

Vận tốc suy rộng thứ i

32

q&&i

Gia tốc suy rộng thứ i

33

ei

Sai số của biến khớp i

34

e&i

Sai số của vận tốc suy rộng thứ i

35

e&&i

Sai số của gia tốc suy rộng thứ i

36

n

Số khâu của Robot

37

m

Số bậc tự do của hệ

38

Ti

Động năng của khâu thứ i

r

Ai

Tọa độ thuần nhất của một điểm

7


39

∏i

Thế năng của khâu thứ i

40

x

Vector toạ độ khâu thao tác

41

x& i

Vector vận tốc khâu thao tác

42

&&
xi

Vector gia tốc khâu thao tác

43

τ

Moment hoặc lực suy rộng tác dụng lên khớp thứ i

44

ϕ ,ψ ,θ

Ba góc quay theo các trục của khâu

45

T

Ma trận biến đổi thuần nhất

46

TRx (ϕ )

Ma trận phép biến đổi quay quanh trục Ox một góc ϕ

47

TRy (ψ )

Ma trận phép biến đổi quay quanh trục Oy một góc ψ

48

TRz (θ )

Ma trận phép biến đổi quay quanh trục Oz một góc θ

49

TTx ( a )

Ma trận phép biến đổi tịnh tiến theo trục Ox một đọan a

50

TTy ( b )

Ma trận phép biến đổi tịnh tiến theo trục Oy một đọan b

51

TTz ( c )

Ma trận phép biến đổi tịnh tiến theo trục Oz một đọan c

52

r0
ei( )

Vector đơn vị trên các trục tương ứng của hệ Ox0y0z0

53

r
e1

Vector đơn vị trên các trục tương ứng của hệ Axyz

54

%
ω

Toán tử sóng của vector vận tốc góc

55

ε%

Toán tử sóng của vector gia tốc góc

56

θi

Góc quay theo trục zi-1 của khâu thứ i so với khâu i-1

57

di

Dịch chuyển dọc trục zi-1 đưa gốc tọa độ về trục zi

8


58

αi

Góc quay theo trục xi của khâu thứ i so với khâu i-1

59

ai

Dịch chuyển dọc trục xi đưa gốc tọa độ về trục xi

60

rCi

Tọa độ khối tâm của khâu thứ i

61

A⊗B

Tích Kronecker của hai ma trận A và B

62

&
A

Đạo hàm theo thời gian của ma trận A

63

Fv

Ma trận lực cản khô

64

Fs

Ma trận lực cản nhớt

65

J+

Ma trận tựa nghịch đảo của ma trận J

9


DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 3.1: Tham số Denavit-Hartenberg Robot 2 khâu phẳng

67

Bảng 3.2: Tham số Denavit-Hartenberg Robot 3 khâu phẳng

70

Bảng 3.3: Tham số Denavit-Hartenberg Robot 3 khâu không gian

72

Bảng 3.4: Tham số Denavit-Hartenberg Robot Scara RRTR

75

Bảng 3.5: Tham số Denavit-Hartenberg Robot Scara RRTT

79

Bảng 3.6: Tham số Denavit-Hartenberg Robot sơn 5 BTD

83

Bảng 3.7: Tham số Denavit-Hartenberg Robot đo 5 BTD

85

Bảng 3.8: Tham số Denavit-Hartenberg Robot Stanford

89

Bảng 3.9: Tham số Denavit-Hartenberg Robot Elbow

91

Bảng 3.10: Tham số Denavit-Hartenberg Robot Elbow dạng 2

94

Bảng 3.11: Tham số Denavit-Hartenberg Robot Puma

97

Bảng 3.12: Tham số Denavit-Hartenberg Robot Kuka

100

Bảng 3.13: Tham số Denavit-Hartenberg khớp cầu

103

Bảng 4.1: Thông số động lực học của Robot 2 khâu phẳng

105

Bảng 4.2: Thông số động lực học của Robot 3 khâu phẳng

108

Bảng 4.3: Thông số động lực học của Robot 3 khâu không gian

110

Bảng 4.4: Thông số động lực học của Robot Scara RRTR

114

Bảng 4.5: Thông số động lực học của Robot Scara RRRT

118

Bảng 5.1: Bảng tham số động lực của Robot 2 khâu phẳng

121

Bảng 5.2: Bảng tham số động lực của Robot 3 khâu phẳng

124

10


Bảng 5.3: Bảng tham số động lực của Robot 3 khâu không gian

129

Bảng 5.4: Bảng tham số động lực của Robot Scara RRTR

133

Bảng 5.5: Bảng tham số động lực của Robot Scara RRTT

139

11


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Trang
Hình 1.1: Hệ quy chiếu R0 và R
Hình 1.2:

19
20

Hình 1.3:

21

Hình 1.4:

22

Hình 1.5:

22

Hình 1.6:

22

Hình 1.7: Tọa độ điểm trong R3

23

Hình 1.8:

25

Hình 1.9:

28

Hình 1.10:

29

Hình 1.11:

32

Hình 1.12:

36

Hình 1.13:

36

Hình 1.14:

40

Hình 1.15: Giải thuật xác định M ( q )

42

Hình 1.16: Sơ đồ thuật toán xác định qk

Hình 1.17: Sơ đồ thuật toán xác định ngẫu lực khớp

54
55

Hình 2.1: Cửa sổ làm việc của chương trình RobotDyn 2.0

57

Hình 2.2: Cửa sổ làm việc của chương trình RobotDyn 1.0

58

Hình 2.3: Cửa sổ làm việc của file nhập dữ liệu

59

Hình 3.1: Mô hình Robot 2 khâu phẳng

67

Hình 3.2: Mô hình Robot 3 khâu phẳng

69

Hình 3.3: Mô hình Robot 3 khâu không gian

72

Hình 3.4: Mô hình Robot Scara RRTR

75
12


Hình 3.5: Mô hình Robot Scara RRRT

68

Hình 3.6: Mô hình Robot sơn 5 BTD

82

Hình 3.7: Mô hình Robot đo 5 BTD

85

Hình 3.8: Mô hình Robot Stanford

88

Hình 3.9: Mô hình Robot Elbow

91

Hình 3.10: Mô hình Robot Elbow dạng 2

94

Hình 3.11: Mô hình Robot Puma

97

Hình 3.12: Mô hình Robot Kuka

100

Hình 3.13: Mô hình khớp cầu

103

Hình 4.1: Mô hình Robot 2 khâu phẳng

105

Hình 4.2: Mô hình Robot 3 khâu phẳng

107

Hình 4.3: Mô hình Robot 3 khâu không gian

110

Hình 4.4: Mô hình Robot Scara RRTR

114

Hình 4.5: Mô hình Robot Scara RRRT

117

Hình 5.1: Mô hình Robot 2 khâu phẳng

121

&&1 , q&&2
Đồ thị biến khớp q1,q2, q&1 , q&2 q

122

Đồ thị moment lực khớp τ1,τ2

122

Đồ thị biến khớp q1,q2

123

Hình 5.2: Mô hình Robot 3 khâu phẳng

124

&&1 , q&&2 , q&&3
Đồ thị biến khớp q1,q2,q3, q&1 , q&2 , q&3 , q

125

Đồ thị moment lực khớp τ1,τ2,τ3

126

Đồ thị biến khớp q1,q2,q3

127

13


Hình 5.3: Mô hình Robot 3 khâu không gian

128

&&1 , q&&2 , q&&3
Đồ thị biến khớp q1,q2,q3, q&1 , q&2 , q&3 , q

129

Đồ thị moment lực khớp τ1,τ2,τ3

130

Đồ thị biến khớp q1,q2,q3

131

Hình 5.4: Mô hình Robot Scara RRTR

133

&&1 , q&&2 , q&&3 , q&&4

Đồ thị biến khớp q1,q2,q3, q3, q&1 , q&2 , q&3 , q&4 , q

134

Đồ thị moment lực khớp τ1,τ2,τ3,τ4

135

Đồ thị biến khớp q1,q2,q3,q4

138

Hình 5.5: Mô hình Robot Scara RRRT

140

&&1 , q&&2 , q&&3 , q&&4
Đồ thị biến khớp q1,q2,q3, q3, q&1 , q&2 , q&3 , q&4 , q

140

Đồ thị moment lực khớp τ1,τ2,τ3,τ4

141

Đồ thị biến khớp q1,q2,q3,q4

142

14

MỞ ĐẦU
Robot công nghiệp ngày càng phát triển và có vai trò quan trọng không chỉ trong
các nhà máy mà còn rất nhiều lĩnh vực khác như y tế, thám hiểm vũ trụ, giải trí,
chăm sóc sức khoẻ con người… Trong công nghiệp Robot dùng để hàn, sơn, đo đạc
hay lắp ráp các chi tiết máy đòi hỏi độ chính xác cao và kích thước từ lớn đến rất
nhỏ.
Từ 1980 đến nay đã có nhiều cuốn sách có giá trị về Robot xuất hiện [3, 4, 12, 13,
15, 16, 17]. Môn học Robot ngày nay đã trở thành một môn học cho nhiều ngành
học trong các khoa về cơ khí và điện.
Các Robot được phân thành: Robot công nghiệp (tay máy), Robot song song, Robot
tự hành, mobil Robot. Trong luận văn này chúng tôi chỉ đề cập đến Robot công
nghiệp.
Robot công nghiệp (tay máy) có cấu trúc dạng cây. Việc tính toán động học hay
động lực học là cơ sở cho bài toán thiết kế và điều khiển cho Robot, cơ sơ cơ học
của Robot là động học và động lực học hệ nhiều vật [1, 2, 5] . Một trong những
công cụ để tính toán Robot rất hiệu quả đó là phần mềm Maple [11]. Mỗi Robot lại
có một đặc điểm cấu trúc khác nhau, do đó nếu áp dụng trực tiếp Maple để tính toán
động học, động lực học hay mô phỏng số Robot thì thường phải viết nhiều câu lệnh
một cách thủ công. Vì vậy cần có một chương trình tính toán dựa trên phần mềm
Maple có thể tính toán động học, động lực học và mô phỏng số một cách tự động,
dễ dàng cho người sử dụng. Bộ môn Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa
Hà Nội đã nghiên cứu và có rất nhiều đồ án, luận văn tốt nghiệp về lĩnh vực này [6,
7, 8, 9]. Một số kết quả nghiên cứu được trình bày trong các công trình [18, 19, 20].
Việc nghiên cứu tính toán Robot ở Việt Nam được trình bày ở các tạp chí, các hội
nghị cơ điện tử, các hội nghị quốc tế về Robot [23, 24]. Trong luận văn thạc sỹ “Mô
hình hoá và mô phỏng số động lực học Robot công nghiệp” [6] Đỗ Thành Trung đã
sử dụng phần mềm Maple để viết ra một chương trình có tên ROBOTDYN 1.0 để
15

tính toán động học, động lực học và mô phỏng số cho nhiều loại Robot công nghiệp.
Tuy nhiên chương trình ROBOTDYN 1.0 còn nhiều hạn chế về mặt tính cũng như
in ra kết quả.
Trong luận văn này chúng tôi cố gắng cải tiến chương trình ROBOTDYN 1.0 thành
phiên bản ROBOTDYN 2.0, phiên bản mới này có nhiều ưu điểm và được bổ sung
nhiều tính năng mới hơn so với phiên bản cũ. Nội dung luận văn bao gồm:
Chương I: Cơ sở lý thuyết của hệ chương trình ROBOTDYN. Chương này trình bày
phần lý thuyết về các phép đổi thuần nhất, việc giải bài toán động học, động lực học
thuận và ngược bằng phương pháp ma trận Denvit-Hartenberg.
Chương II: Chương trình RobotDyn. Giới thiệu về chương trình ROBOTDYN 2.0,
so sánh với phiên bản cũ 1.0 và hướng dẫn sử dụng chương trình.
Chương III: Áp dụng chương trình ROBOTDYN tính toán động học của một số
Robot điển hình. Chương này trình bày một số bài toán tính toán về một số Robot
điển hình vị trí điểm thao tác, các ma trận cosin chỉ hướng, ma trận DenvitHartenberg, vận tốc góc vv...
Chương IV: Áp dụng chương trình ROBOTDYN thiết lập phương trình chuyển động
của một số Robot điển hình. Chương này trình bày việc xác định tính toán ma trận
khối lượng, ma trận Coriolis và thiết lập phương trình chuyển động của một số
Robot.
Chương V: Áp dụng chương trình ROBOTDYN mô phỏng số một số Robot điển
hình. Chương này trình bày về mô phỏng số một số Robot dựa trên cơ sở lý thuyết
các kết quả của các chương trên.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của GS.TSKH. Nguyễn
Văn Khang. Xin trân thành cảm ơn Giáo sư đã tận tình chỉ dạy trong thời gian làm
luận văn. Xin cảm ơn Bộ môn Cơ học ứng dụng và Viện đào tạo sau đại học –
Trường đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện giúp tôi trong quá trình học tập
tại trường.
16

Mặc dù đã nỗ lực và cố gắng, tuy nhiên do thời gian và kiến thức có hạn nên chắc
chắn luận văn không tránh khỏi những sai sót và hạn chế. Tôi rất mong sự đóng
góp, chỉ bảo của các các bạn cũng như giáo viên, giảng viên và các nhà khoa học đã
quan tâm đến chương trình.
Người thực hiện

Chu Hoàng Anh

17


Chương I
Cơ sở lý thuyết của hệ chương trình ROBOTDYN
Các Robot chuỗi (serial robot) là các hệ nhiều vật có cấu trúc cây. Để thiết lập
phương trình vi phân chuyển động của chúng, người ta sử dụng phương trình
Newton-Euler hoặc phương trình Lagrange loại 2. Trong luận văn này sử dụng
phương trình Lagrange loại 2 để thiết lập các phương trình chuyển động của Rôbôt
chuỗi.
Trong chương này trình bày cơ sở lý thuyết để xây dựng hệ chương trình
ROBOTDYN - một hệ chương trình cho phép thiết lập một cách tự động bài toán
động học và động lực học của Robot công nghiệp. Từ đó có thể mô phỏng số các
bài toán động học, động lực học và điều khiển Robot. Dựa trên khái niệm ma trận
Denavit-Hartenberg, việc xây dựng các thuật toán xác định vị trí và hướng quay của
các khâu, vận tốc góc, gia tốc góc, vị trí khối tâm các khâu, động năng vật rắn vv…
tương đối đơn giản. Từ đó đưa ra thuật toán thiết lập tự động phương trình vi phân
chuyển động của các loại Robot công nghiệp. Ngoài ra chương trình ROBOTDYN
đã được cải tiến về mặt dữ liệu vào ra cho dễ sử dụng và bổ sung thêm phần tính
toán và mô phỏng số động học ngược và động lực học ngược. Cuối cùng là phần
điều khiển dựa trên phương pháp điều khiển trượt.

1.1 Các tọa độ thuần nhất và phương pháp biến đổi thuần nhất
1.1.1 Định nghĩa ma trận Cosin chỉ hướng

{r( ) r( ) r( )} (hình 1.1)
0

0

Cho vật rắn B và hệ quy chiếu R0 = e1 , e2 , e3

r ( 0) r ( 0) r ( 0)

Trong đó e1 , e2 , e3

0

là 3 vector đơn vị trên các trục Ox0, Oy0, Oz0. Ta gắn chặt

{

r r r
vào vật rắn B một hệ quy chiếu R = e1 , e2 , e3

r r r

} với e1 , e2 , e3

là vector đơn vị trên

các trục Ax, Ay, Az.

Ma trận vuông cấp 3

18


⎡er1( 0 )er1 er1( 0)er2
⎢r 0 r r 0 r
Α = ⎢e2( )e1 e2( )e2
⎢ r ( 0) r r ( 0) r
⎢⎣e3 e1 e3 e2

r0r
e1( )e3 ⎤
r0r⎥
e2( )e3 ⎥
r0r⎥
e3( )e3 ⎥⎦

(1.1)

được gọi và ma trận Cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R0
z
z0

e3
e2

A
e1

e3(0)

y

B

x
R0
O
x0

e2(0)

y0

e1(0)

Hình 1.1: Hệ quy chiếu R0 và R

Nếu ta ký hiệu

(

r0 r
r0 r
aij = ei( ) .e j = cos ei( ) , e j

)

i,j=1,2,3

thì ma trận Cosin chỉ hướng có dạng

⎡ a11 a12
A = ⎢ a21 a22
⎢
⎢⎣ a31 a32

a13 ⎤
a23 ⎥
⎥
a33 ⎥⎦

(1.1)

Từ định nghĩa trên trong hệ quy chiếu R0 ta có hệ thức liên hệ

r
0 r 0
0 r 0
0 r 0
e1 = a11( ) .e1( ) + a12( ) .e2( ) + a13( ) .e3( )
r
( 0) r ( 0)
( 0) r ( 0)
( 0) r ( 0)
e2 = a21
.e1 + a22
.e2 + a23
.e3

r
( 0) r ( 0)
( 0) r ( 0)
( 0) r ( 0)
e3 = a31
.e1 + a32
.e2 + a33
.e3

(1.3)

r

Nếu ta ký hiệu ei là ma trận gồm các phần tử của vector ei trong hệ quy chiếu R0

19


⎡ a31 ⎤
⎡ a11 ⎤
⎡ a21 ⎤
e1 = ⎢⎢ a12 ⎥⎥ , e2 = ⎢⎢ a22 ⎥⎥ , e3 = ⎢⎢ a32 ⎥⎥
⎢⎣ a33 ⎥⎦
⎢⎣ a13 ⎥⎦
⎢⎣ a23 ⎥⎦

(1.4)

thì ma trận Cosin chỉ hướng có dạng A=[e1, e2, e3]
1.1.2 Ý nghĩa của ma trận Cosin chỉ hướng của vật rắn

Xét hai hệ quy chiếu R0 và R có cùng gốc O (hính
1.2). Trong đó hệ quy chiếu R0 là hệ quy chiếu cố

z0

z

định, hệ quy chiếu R là hệ quy chiếu động
R=Oxyz gắn liền với vật rắn B. Vị trí của điểm P
r
được xác định bởi vector định vị OP = r . Ký

y

hiệu tọa độ của điểm P trong hệ quy chiếu Oxyz
là xP, yP, zP còn tọa độ của điểm P trong hệ quy
( ) ( ) ( )
chiếu cố định là xP , yP , zP .
0

0

0

x0
x

Ta có hệ thức sau

Hình 1.2

r
0 r 0
0 r 0
0 r 0
rP = xP( )e1( ) + yP( )e2( ) + zP( )e3( )
r
r0
r0
r0
rP = xP e1( ) + yP e2( ) + zP e3( )

(1.5)
(1.6)

Thế các biểu thức (1.3) vào (1.6) ta được
r
r0
r0
r0
r0
r0
r0
rP = x P a11.e1( ) + a12 .e2( ) + a13 .e3( ) + y P a21.e1( ) + a22 .e2( ) + a23 .e3( )

(

(

r0

r0
r0
+ z P a31.e1( ) + a32 .e2( ) + a33 .e3( )

y0

O

)

)

(

)

hay

r
r0
r0
rP = ( a11 xP + a12 y P + a13 z P ) e1( ) + ( a21 xP + a22 y P + a23 z P ) e2( )
r0
+ z P ( a31 y P + a32 y P + a33 z P ) e3( )

(1.7)

So sánh các biểu thức (1.50 và (1.7) ta suy ra hệ phương trình

20

⎧ xP( 0) = a11 xP + a12 yP + a13 zP
⎪⎪ ( 0)
⎨ yP = a21 xP + a22 yP + a23 z P
⎪ (0)
⎪⎩ z P = a31 yP + a32 yP + a33 z P

(1.8)

Hệ phương trình (1.8) ta có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau

⎡ xP( 0) ⎤ ⎡ a
a
⎢ ( 0) ⎥ ⎢ 11 12
⎢ yP ⎥ = ⎢ a21 a22
⎢ ( 0) ⎥ ⎢
⎢⎣ z P ⎥⎦ ⎣ a31 a32

a13 ⎤ ⎡ xP ⎤
⎢ ⎥
a23 ⎥ ⎢ yP ⎥
⎥
a33 ⎥⎦ ⎢ z P ⎥
⎣ ⎦

(1.9)

Kết luận: Ma trận Cosin chỉ hướng A biến đổi tọa độ của điểm bất kỳ P thuộc vật
rắn trong hệ quy chiếu động Oxyz sang tọa độ điểm P trong hệ quy chiếu cố định

Ox0y0z0
1.1.3 Các ma trận quay cơ bản

z

Ta quy ước hướng quay dương là hướng quay

θ

ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ đầu mũi tên về
gốc như hình 1.3
Các phép quay quanh trục x, y, z của hệ tọa độ

y

vuông góc Oxyz được gọi là các phép quay cơ

ϕ

bản

ψ

Ta tìm ma trận quay của phép quay quanh trục
các trục tọa độ. Theo công thức (1.1) ta có các kết

x

Hình 1.3

quả sau
Ma trận quay quanh trục x0 (hình 1.4)

0
0 ⎤
⎡1
⎢
⎥
A x 0 (ϕ ) = ⎢ 0 cos (ϕ ) − sin (ϕ ) ⎥
⎢⎣ 0 sin (ϕ ) cos (ϕ ) ⎥⎦

z0

z
(1.10)

e3

e3(0)
e2

ϕ
e2(0)

y
y0

Hình 1.4
21

Ma trận quay quanh trục y0 (hình 1.5)

⎡ cos (ψ ) 0 sin (ϕ ) ⎤
⎢
⎥
A y 0 (ψ ) = ⎢ 0
1
0 ⎥
⎢⎣ − sin (ψ ) 0 cos (ϕ ) ⎥⎦

z

z0
(1.11)

e3(0)

e3
e1(0)

ψ

x0
x

e1
Hình 1.5
Ma trận quay quanh trục z0 (hình 1.6)

⎡cos (θ ) − sin (θ ) 0 ⎤
⎢
⎥
A z 0 (θ ) = ⎢ sin (θ ) cos (θ ) 0 ⎥
⎢⎣ 0
0
1 ⎥⎦

y0

y
(1.12)

e2

e2(0)
e1

x
θ

e1(0)

x0

Hình 1.6
1.1.4 Định nghĩa các tọa độ thuần nhất
a) Tọa độ vật lý và tọa độ thuần nhất
Vị trí của điểm P ở trong hệ tọa độ không gian ba chiều được xác định bở vector sau

r
r
r
r
rP = xPe1 + yPe2 + zPe3
Các tọa độ xP, yP, zP gọi là các tọa độ vật lý của điểm P trong không gian 3 chiều.
Ta ký hiệu
h

r = [ x y z ]T

(1.13)

Giả sử σ là một đại lượng vô hướng khác không tùy ý. Khi đó tọa độ thuần nhất của
điểm p trong không gian 4 chiều được định nghĩa bở hệ thức
h

r = [σ x σ y σ z σ ]T

(1.14)

22


z0
P(x,y,z)

e3

z

R0
e1

O

e2

x

y0

y
x0
Hình 1.7: Tọa độ điểm trong R3
Trong kỹ thuật, người ta thường chọn σ=1. Khi đó tọa độ thuần nhất bốn chiều của
điểm p được mở rộng từ các tọa độ vật lý ba chiều của điểm P bằng cách thêm vào
các thành phần thứ tư như sau
h

r = [ x y z 1]T

(1.15)

Trong (1.15), 3 số hạng đầu tiên là tọa độ vật lý của điểm P, tọa độ thứ 4 là một
tham số hình thức chọn là 1
Chú ý: khi điểm P chuyển động trong mặt phẳng Oxy tọa độ thuần nhất của nó có
dạng
h

r = [ x y 1]T

b) Ý nghĩa của khái niệm tọa độ thuần nhất
Cho f ( x, y, z ) là một đa thức có dạng

f ( x, y, z ) = x3 y + 3x 2 z + 4 x 2 y − 2 xz + 5 y = 0

(1.16)

Đa thức (1.16) không phải là một hàm thuần nhất. Thực hiện phép biến đổi tọa độ

( x, y, z ) → (ξ ,η ,ζ ,σ )
ξ = σ x,η = σ y, ζ = σ z

(1.17)

Phương trình (1.16) có dạng
23


f ( x, y , z ) =

ξ 3η
ξ 2ζ
ξ 2η
ξζ
η
+
3
+

4
−2 2 +5 =0
4
3
3
σ
σ
σ
σ
σ

(1.18)

Từ (1.18) suy ra

ξ 3η + 3ξ 2ζσ + 4ξ 2ησ − 2ξζσ 2 + 5ησ 3 = 0
Biểu thức (1.19) là hàm thuần nhất bậc 4 của các biến thuần nhất

(1.19)

(ξ ,η,ζ ,σ )

Như vậy, bằng cách đưa vào khái niệm tọa độ thuần nhất, ta có thể biển đổi một đa
thức không thuần nhất của các tọa độ vật lý thành một đa thức thuần nhất của các
tọa độ thuần nhất
1.1.5 Biến đổi phép cộng vector trong không gian vật lý 3 chiều thành phép nhân
ma trận trong không gian thuần nhất 4 chiều
Nhờ khái niệm tọa độ thuần nhất trong không gian bốn chiều ta có thể chuyển bài
toán cộng ma trận cột trong không gian ba chiều sang bài toán nhân trong không
gian 4 chiều.

r r

Ví dụ cụ thể là a, b là hai vector trong không gian 3 chiều

⎡ a1 ⎤
⎡b1 ⎤
a = ⎢⎢ a2 ⎥⎥ , b = ⎢⎢b2 ⎥⎥
⎢⎣ a3 ⎥⎦
⎢⎣b3 ⎥⎦
Ta có

⎡ a1 ⎤ ⎡b1 ⎤ ⎡ a1 + b1 ⎤
a +b = ⎢⎢ a2 ⎥⎥ + ⎢⎢b2 ⎥⎥ = ⎢⎢ a2 + b2 ⎥⎥
⎢⎣ a3 ⎥⎦ ⎢⎣b3 ⎥⎦ ⎢⎣ a3 + b3 ⎥⎦

(1.20)

Ta chuyển phép cộng thành phép nhân ma trận như sau

⎡ a1 + b1 ⎤ ⎡1
⎢ a + b ⎥ ⎢0
⎢ 2 2⎥ = ⎢
⎢ a3 + b3 ⎥ ⎢0
⎢
⎥ ⎢
⎣ 1 ⎦ ⎣0

0 0 a1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
1 0 a2 ⎥ ⎢b2 ⎥

⎥⎢ ⎥
0 1 a3 ⎥ ⎢ b3 ⎥
⎥⎢ ⎥
0 0 1 ⎦⎣1⎦

(1.21)

24


1.1.6 Phép biển đổi ma trận thuần nhất và ma trận biến đổi thuần nhất
Xét

vật

rắn

B

gắn

với

hệ

z0

R1 = {Ox1 y1z1} chuyển động trong hệ

P

quy chiếu cố định R0 = {Ox0 y0 z0} .

z1

Lấy một điểm A nào đấy của vật rắn B

uP

rp

và gắn chặt vào vật rắn hệ quy chiếu

A
rA

Axyz. Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc

y1

R0

x1

vật rắn B. Trong hệ tọa độ vật lý R0 ta
có

y0
x0

Hình 1.8

r r r
rP = rA + uP

(1.22)

trong hệ quy chiếu R0 (1.22) có dạng

rP( ) = rA( ) + u(P )
0

⎡ a11
Gọi A = ⎢ a21
⎢
⎣⎢ a31

0

0

a12
a22
a32

(1.23)

a13 ⎤
a23 ⎥
⎥

a33 ⎦⎥

là ma trận Cosin chỉ hướng của hệ quy chiếu R1 đối với hệ quy chiếu R0
Ta có hệ thức

u(P ) = Au(P )
0

1

(1.24)

Từ (1.13) và (1.24) ta được

rP( ) = rA( ) + Au(P )
0

0

1

(1.25)

hay

⎡ xP( 0) ⎤ ⎡ x(A0) ⎤ ⎡ a
a
⎢ ( 0) ⎥ ⎢ ( 0) ⎥ ⎢ 11 12
⎢ yP ⎥ = ⎢ y A ⎥ + ⎢ a21 a22
⎢ (0) ⎥ ⎢ (0) ⎥ ⎢ a

a
⎣⎢ z P ⎦⎥ ⎣⎢ z A ⎦⎥ ⎣ 31 32

()
a13 ⎤ ⎡u Px ⎤
⎢ (1) ⎥
a23 ⎥ ⎢u Py
⎥
⎥
⎢
(1) ⎥
a33 ⎥⎦ ⎢u Pz
⎣ ⎦⎥
1

(1.26)

Nếu sử dụng hệ tọa độ thuần nhất, phương trình (1.26) có thể viết dưới dạng

25