Lập lịch thanh toán dự án sử dụng mô hình cân bằng nash và thuật toán di truyền

MỤC LỤC
MỤC LỤC ............................................................................................................................. 1
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................................ 3
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................................. 4
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .................................................................................... 5
DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................................ 6
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................................... 6
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH TRONG LÝ THUYẾT
TRÒ CHƠI VÀ THUẬT TOÁN DI TRUYỀN ..................................................................... 3
1.1. Tổng quan về lập lịch thanh toán dự án ...................................................................... 3
1.2. Lý thuyết trò chơi và cân bằng Nash .......................................................................... 4
1.2.1. Giới thiệu lý thuyết trò chơi ................................................................................. 4
1.2.2. Các loại trò chơi ................................................................................................... 4
1.2.3. Mô hình cân bằng Nash ....................................................................................... 5
1.3. Thuật toán di truyền .................................................................................................... 5
1.3.1. Khái niệm ............................................................................................................. 5
1.3.2. Các toán tử di truyền ............................................................................................ 6
1.3.3. Các bước của thuật toán di truyền ....................................................................... 7
1.4. Kết hợp thuật toán di truyền và cân bằng Nash .......................................................... 8
1.5. Tiểu kết chương 1 ..................................................................................................... 10
CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN VÀ CÂN BẰNG NASH
TRONG LẬP LỊCH THANH TOÁN DỰ ÁN .................................................................... 11
2.1. Mô tả bài toán ........................................................................................................... 11
2.2. Mô hình hóa trò chơi và cân bằng Nash trong lập lịch thanh toán ........................... 12
2.2.1. Mạng dự án ........................................................................................................ 12
2.2.2. Cách thức mô hình hóa việc thanh toán dự án ................................................... 13
2.2.3. Tối ưu hóa mục tiêu ........................................................................................... 17
2.3. Thuật toán di truyền và giải pháp cân bằng Nash ..................................................... 18
2.3.1. Mô hình chung của thiết kế thuật toán di truyền cho bài toán lập lịch thanh toán
dự án ............................................................................................................................ 18

2.3.2. Thiết kế thuật toán di truyền cho chiến lược thứ nhất ....................................... 23
2.3.3. Thiết kế thuật toán di truyền cho chiến lược thứ hai ......................................... 25
2.4. Tiểu kết chương 2 ..................................................................................................... 28
CHƯƠNG 3: THỬ NGHIỆM THỰC TẾ VÀ ĐÁNH GIÁ ................................................ 29
3.1. Kịch bản mô phỏng ................................................................................................... 29
3.2. Các tham số của thuật toán di truyền ........................................................................ 29
3.3. Bộ dữ liệu đầu vào .................................................................................................... 29
3.4. Đánh giá kết quả ....................................................................................................... 41


3.5. Tiểu kết chương 3 ..................................................................................................... 47
CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................... 48
4.1. Kết luận ..................................................................................................................... 48
4.2. Kiến nghị................................................................................................................... 50
4.3. Hướng phát triển của đề tài ....................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 52
PHỤ LỤC ............................................................................................................................ 53


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi muốn gửi lời biết ơn chân thành tới PGS.TS. Huỳnh Quyết
Thắng, người trực tiếp hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi về thời gian, sự giúp đỡ
tận tình về kiến thức, sự chỉ dẫn, định hướng và tài liệu tham khảo quý báu.
Tiếp theo, tôi xin cảm ơn các thầy cô trong Viện Công nghệ thông tin và
Truyền thông – Đại học Bách khoa Hà Nội đã giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho
tôi trong suốt thời gian qua.
Tôi cũng xin cảm ơn anh Trịnh Bảo Ngọc đã tư vấn, giúp đỡ và hỗ trợ tôi
trong quá trình thực hiện đề tài này.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã chia sẻ, động viên tôi trong học tập và thời
gian thực hiện nghiên cứu đề tài này.

Trong luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những chỗ thiếu sót, tôi mong
nhận được những lời góp ý, chỉ bảo từ thầy cô để có thể hoàn thiện đề tài của mình
tốt hơn.

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2016
Người thực hiện

Nguyễn Thị Thu Bích


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn Thạc sĩ “Lập lịch thanh toán dự án sử dụng mô hình cân bằng
Nash và thuật toán di truyền”, chuyên ngành Kỹ thuật Máy tính là công trình của
cá nhân tôi. Các nội dung nghiên cứu và kết quả trình bày trong luận văn là trung
thực, rõ ràng. Các tài liệu tham khảo, nội dung trích dẫn đã ghi rõ nguồn gốc.
Ngày 19 tháng 04 năm 2016
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thu Bích


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

Chú thích

1.

AOA

Activity-On-Arrow

Công việc trên mũi tên

2.

AON

Activity-On-Node

Công việc trên nút

3.

GA

Genetic algorithm

Thuật toán di truyền

4.

NPV

Net Presnet Value

Giá trị hiện tại của dòng tiền thuần

5.

NST

Nhiễm sắc thể


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Sơ đồ cấu trúc thuật toán di truyền .............................................................8
Hình 1.2: Mô hình chiến thuật Nash GA ....................................................................9
Hình 2.1: Mô hình mạng AON .................................................................................13
Hình 2.2: Mô hình mạng AOA .................................................................................13
Hình 2.3: Sự tương tác giữa nhà thầu và nhà đầu tư .................................................14
Hình 3.1: Sơ đồ mạng dự án 1 ..................................................................................30
Hình 3.2: Sơ đồ mạng dự án 2 ..................................................................................35
Hình 3.3: Kết quả chạy chương trình của dự án 1 ....................................................43
Hình 3.4: Kết quả chạy chương trình của dự án 2 ....................................................46
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1: Mạng dự án 1 ............................................................................................32
Bảng 3.2: Bảng thông số các hoạt động của mạng dự án 1 ......................................34
Bảng 3.3: Mạng dự án 2 ............................................................................................38
Bảng 3.4: Bảng thông số các hoạt động của mạng dự án 2 ......................................41
Bảng 3.5: Lịch thanh toán ban đầu của dự án 1 ........................................................42
Bảng 3.6: Lịch thanh toán tối ưu theo phần mềm của dự án 1 .................................42
Bảng 3.7: Lịch thanh toán ban đầu của dự án 2 ........................................................44
Bảng 3.8: Lịch thanh toán tối ưu theo phần mềm của dự án 2 .................................45

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thực tế bất kỳ một dự án nào được coi là thành công kể từ khi bắt đầu
đến lúc hoàn thành dự án đều có sự đóng góp không nhỏ của việc quản lý dự án.
Trong đó, lập lịch thanh toán dự án là một vấn đề quan trọng và quyết định chất
lượng của dự án. Tuy nhiên công việc lập lịch thanh toán thường gặp khó khăn do
sự bất đồng giữa chủ đầu tư và nhà thầu. Do đó, quá trình ra quyết định trong lập kế
hoạch thanh toán dự án đều phải đáp ứng yêu cầu của cả hai bên là chủ đầu tư và
nhà thầu. Thông thường, chủ đầu tư luôn mong muốn việc thanh toán tất cả khoản
tiền cho dự án được thực hiện muộn nhất tức là khi dự án được hoàn thành, trong
khi đó mong muốn từ phía nhà thầu lại ngược lại, họ muốn các khoản thanh toán
nên thực hiện ngay từ đầu khi bắt đầu dự án. Bởi vậy, để giải quyết vấn đề này cần
phải có một phương án phù hợp nhất cho yêu cầu của cả hai bên, đảm bảo lợi ích
cho cả nhà đầu tư và nhà thầu trong suốt quá trình thực hiện dự án. Xuất phát từ lý
do đó mà mục đích của đồ án này là nghiên cứu ứng dụng của thuật toán di truyền
và mô hình cân bằng Nash vào trong công tác lập lịch thanh toán dự án nhằm đưa ra
những giải pháp tối ưu trong công tác lập lịch và cân bằng lợi ích cho chủ đầu tư dự
án và nhà thầu mà họ mong muốn.
2. Mục tiêu của đề tài
Đề tài tập trung nghiên cứu sử dụng mô hình cân bằng Nash và thuật toán di truyền
trong lập lịch thanh toán dự án.
Để đạt được mục tiêu trên, đề tài tập trung vào các nhiệm vụ cụ thể như sau:
- Nghiên cứu về lý thuyết trò chơi và mô hình cân bằng Nash;
- Nghiên cứu về thuật toán di truyền và sự kết hợp thuật toán di truyền và cân bằng
Nash;
- Ứng dụng thuật toán di truyền và mô hình cân bằng Nash vào lập lịch thanh toán dự
án phần mềm và đánh giá các kết quả nhận được.
3. Phạm vi nghiên cứu
1

Trong luận văn này tôi xin nghiên cứu đến các vấn đề sau:
- Cơ sở lý luận của lý thuyết trò chơi và mô hình cân bằng Nash;
- Tổng quan về thuật toán di truyền;
- Lập lịch thanh toán dự án sử dụng mô hình cân bằng Nash và thuật toán di truyền.
4. Phương pháp nghiên cứu
a. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:
-

Nghiên cứu tổng quan về lý thuyết trò chơi và cân bằng Nash.

-

Tìm hiểu về thuật toán di truyền.

-

Sự kết hợp thuật toán di truyền và cân bằng Nash

b. Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm:
Ứng dụng mô hình cân bằng Nash và thuật toán di truyền vào lập lịch thanh toán dự
án phần mềm.
5. Kết quả
Nghiên cứu ứng dụng từ việc kết hợp thuật toán di truyền cùng mô hình cân bằng
Nash trong lý thuyết trò chơi vào việc tối ưu hóa lịch thanh toán dự án, đảm bảo cân bằng
những yêu cầu của chủ đầu tư và nhà thầu.
Xây dựng một mô hình thực nghiệm trong quản lý lập lịch thanh toán dự án, đưa ra
những giải pháp tối ưu trong lịch trình thanh toán của dự án.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Với sự kết hợp mô hình cân bằng Nash và thuật toán di truyền sẽ tối ưu hóa trong

công việc lập lịch thanh toán dự án mà vẫn đảm bảo được lợi ích của chủ đầu tư và nhà
thầu.
7. Bố cục luận văn
Bố cục luận văn được chia làm 4 chương như sau:
Chương 1: Tổng quan về mô hình cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi và thuật toán
di truyền.
Chương 2: Xây dựng thuật toán di truyền và cân bằng Nash trong lập lịch thanh toán dự
án.
Chương 3: Thử nghiệm thực tế và đánh giá.
Chương 4: Kết luận và kiến nghị.

2


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH TRONG LÝ
THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ THUẬT TOÁN DI TRUYỀN
1.1. Tổng quan về lập lịch thanh toán dự án
Lập lịch thanh toán dự án là một kế hoạch thanh toán chi tiết của một dự án
mà chủ đầu tư cần thực hiện. Mục đích của việc lập lịch thanh toán là tạo ra một
quy trình thanh toán tương ứng với mỗi công việc trong dự án đã hoàn thành. Số lần
thanh toán sẽ phụ thuộc vào quy mô của dự án, số lượng công việc cần thực hiện và
những ưu đãi của chủ đầu tư đối với nhà thầu. Mỗi giai đoạn thanh toán là phần
trăm số tiền dự kiến đầu tư cần trả tương ứng với một hoặc một số các công việc
cần hoàn thành hay chính là các mốc của dự án. Việc thanh toán phải được tương
đương với giá trị công việc hoàn thành. Những giá trị các công việc này do chủ đầu
tư yêu cầu và được tóm tắt trong việc phân bổ ngân sách.
Việc lập lịch thanh toán thường gặp khó khăn xuất phát từ sự bất đồng giữa
chủ đầu tư và nhà thầu. Các chủ đầu tư muốn thực hiện việc thanh toán vào cuối dự
án tức là khi bàn giao tất cả các công việc đã hoàn thành, nhưng nhà thầu lại muốn
các khoản tiền đầu tư cần thanh toán ngay lúc đầu. Vậy một lịch thanh toán phù hợp

là phải cân bằng cả hai nhu cầu trên và giữ cho công việc được thực hiện đúng tiến
độ. Việc lập lịch thanh toán cần một lịch trình các công việc cụ thể hay là một tiến
trình triển khai dự án và để tránh các xung đột trong việc lập lịch thanh toán thì tiến
độ thanh toán phải phản ánh sát giá trị thực tế của công việc hoàn thành.
Đã có nhiều thuật toán được sử dụng để giải quyết bài toán lập lịch thanh toán
như: thuật toán tham lam, các thuật toán heuristic, thuật toán tìm kiếm cục bộ, thuật
toán Simulated Annealing, thuật toán Tabu Search, thuật toán di truyền…Tuy nhiên
hầu hết các thuật toán đều có không gian tìm kiếm khá lớn. Thuật toán di truyền có
lợi ích là làm giảm không gian tìm kiếm, hội tụ về lời giải toàn cục và tối ưu đa mục
tiêu trong bài toán lập lịch thanh toán.
Một số bài báo nước ngoài đã nghiên cứu và cho thấy kết quả khả quan khi sử
dụng cân bằng Nash và thuật toán di truyền như:
3


- "A Preference-Based Bi-Objective Approach to the Payment Scheduling
Negotiation Problem with the Extended r-Dominance and NSGAII” của tác giả
Wei-neng Chen và Jun Zhang.
-. "Nash genetic algorithms: examples and applications" của tác giả M.

Sefrioui J và J. Periaux.
-. "Scheduling of activities to maximize the net present value of projects” của
tác giả Yanf KK, Talbot FB, Patterson JH.
1.2. Lý thuyết trò chơi và cân bằng Nash
1.2.1. Giới thiệu lý thuyết trò chơi
Lý thuyết trò chơi là một ngành chuyên nghiên cứu về việc đưa ra quyết định
chiến lược. Lý thuyết trò chơi được mô tả như một lý thuyết trong toán học, nghiên
cứu tình huống trong đó người chơi sẽ hành động theo các cách khác nhau để tối ưu
hóa lợi ích của mình. Kết quả sẽ phụ thuộc vào quyết định của tất cả người chơi,
trong đó mỗi người chơi sẽ cố gắng dự đoán sự lựa chọn của những người chơi còn

lại để có thể đưa ra lựa chọn tốt nhất cho mình. Một vấn đề quan trọng là lý thuyết
trò chơi chính là phương pháp tiếp cận để đưa ra các quyết định nhằm giải quyết
một vấn đề nào đó. Điều này sẽ xác định xác suất thành công khi cho trước một
không gian chiến lược.
1.2.2. Các loại trò chơi
a. Trò chơi có tổng bằng không và trò chơi có tổng khác không:
Trò chơi có tổng bằng không là trò chơi mà tổng điểm của các người chơi
bằng không, số lợi ích của người này thu được bằng thiệt hại từ người chơi khác.
Trò chơi có tổng khác không là loại trò chơi mà khi lợi ích của người chơi
không nhất thiết thu được từ thiệt hại của người chơi khác hay lợi ích của người
chơi này không nhất thiết phải tương ứng với thiệt hại của người chơi kia.
b. Trò chơi thông tin hoàn hảo và trò chơi thông tin không hoàn hảo:
Trò chơi thông tin hoàn hảo là trò chơi mà người chơi biết được tất cả các
nước đi của đối thủ đã thực hiện và là bài toán con của trò chơi tuần tự.
4


Trò chơi thông tin không hoàn hảo là trò chơi mà khi người chơi không biết
đầy đủ thông tin về các nước đi của người chơi khác.
1.2.3. Mô hình cân bằng Nash
Một trò chơi bao gồm ba yếu tố như: một tập hợp các người chơi; một tập hợp
các hành động (hay chiến lược) có sẵn cho mỗi người chơi và một tập các kết quả
thưởng phạt tương ứng. Các kết quả thưởng phạt này tương ứng với mỗi hành động
chiến lược của người chơi đã lựa chọn. Một mô hình cân bằng Nash cơ bản là một
tập các hành động với các kết quả thưởng phạt nhằm đảm bảo không có bất cứ
người chơi nào có thể có kết quả thưởng phạt cao hơn bằng việc làm sai lệch các lựa
chọn có sẵn [6].
Định nghĩa cơ bản của cân bằng Nash là: Nếu tồn tại một tập hợp các chiến
lược cho một trò chơi với đặc tính là không có một đối thủ nào có thể hưởng lợi
bằng cách thay đổi chiến lược hiện tại của mình khi các đối thủ khác không thay

đổi, tập hợp các chiến lược đó cùng kết quả tương ứng nhận được tạo nên cân bằng
Nash.
Cân bằng Nash trong game cộng tác với 2 người chơi với 2 chiến lược khác
nhau và người này biết hành động của người kia, ở trạng thái cả 2 đều tối ưu được
lợi ích của mình với trạng thái tương ứng của đối thủ thì khi đó ta được trạng thái
cân bằng Nash. Như vậy bằng việc luân phiên thay đổi kế hoạch của mình dựa trên
kế hoạch của đối thủ để đến khi cả hai không thể tối ưu được nữa, khi đó cả 2 đều
đạt được lợi ích.
1.3. Thuật toán di truyền
1.3.1. Khái niệm
Thuật toán di truyền (Genetic algorithm – GA) là một phương pháp tìm kiếm
tối ưu mô phỏng quá trình tiến hóa của tự nhiên, thuộc lớp thuật toán tiến hóa và sử
dụng các kỹ thuật như kế thừa, đột biến, lai ghép, chọn lọc.
Trong thuật toán di truyền, từ một quần thể gồm các cá thể tương ứng với một
tập các “lời giải cho bài toán” và để đạt tới một lời giải tối ưu là một quá trình tiến
5


hóa nhằm tạo ra các thế hệ tốt hơn. Mỗi cá thể lời giải được xem như một nhiễm sắc
thể chứa các gen (thành phần của lời giải) có thể bị thay đổi. Quá trình tiến hóa
được bắt đầu từ một quần thể ngẫu nhiên các cá thể và quá trình tiến hóa được tiến
hành qua các thế hệ vòng lặp. Trong mỗi thế hệ, độ thích nghi của mỗi cá thể được
đánh giá lại và độ thích nghi thường được lấy từ giá trị hàm mục tiêu ban đầu. Quá
trình lựa chọn cá thể để tiến hành lai ghép, đột biến là một quá trình lựa chọn ngẫu
nhiên dựa trên mức độ thích nghi của cá thể, từ đó hình thành nên thế hệ mới. Quá
trình tiến hóa sẽ dừng lại khi đạt số thế hệ xác định hoặc thỏa mãn điều kiện dừng
cho trước [9].
Thuật toán di truyền sử dụng một số thuật ngữ của ngành di truyền học như:
Nhiễm sắc thể, Quần thể, Gen… Nhiễm sắc thể (NST) được tạo thành từ các Gen
(được biểu diễn của một chuỗi tuyến tính). Mỗi gen mang một số đặc trưng và có vị

trí nhất định trong NST. Mỗi NST sẽ biểu diễn một lời giải của bài toán.
1.3.2. Các toán tử di truyền
a. Toán tử chọn lọc:
Toán tử chọn lọc (hay tái sinh) thường là toán tử đầu tiền áp dụng trong
một quần thể. Toán tử chọn lọc là hình thức chọn lọc cá thể tốt nhất và có dạng như
một tổ hợp lai ghép. Toán tử chọn lọc thường được sử dụng chính là để chọn lọc các
cá thể có độ thích nghi phù hợp tương ứng với điều kiện đặt ra của bài toán.
b. Toán tử lai ghép:
Toán tử lai ghép chính là quá trình tạo NST mới trên cơ sở các NST cha
mẹ bằng cách ghép một đoạn trên NST cha mẹ với nhau được một cá thể mới để
đưa vào quần thể [10].
Thế hệ cha mẹ:

Thế hệ con:

a

b

c

d

e

f

a

b

c

j

k

l

g

h

j

j

k

l

g

h

j

d

e

f

c. Toán tử đột biến:
6


Toán tử đột biến là cá thể con mang một số đặc tính không có trong mã di
truyền của cha mẹ hay một đoạn mã di truyền đã bị thay đổi tức là khác với cá thể
cha mẹ. Toán tử di truyền được thực hiện bằng cách chọn ngẫu nhiên một đoạn mã
di truyền trong quần thể rồi tạo ra một số k ngẫu nhiên trong khoảng từ 1 đến m với
điều kiện 1 ≤ k ≤ m rồi thay đổi mã thứ k và đưa vào quần thể để tham gia quá trình
tiến hóa ở thế hệ tiếp theo [10].
a

b

c

d

e

f

a

b

c

m

n

o

1.3.3. Các bước của thuật toán di truyền
Thuật toán di truyền lại là một phương thức giải quyết vấn đề bài toán bằng
cách sử dụng mô hình di truyền tiến hóa, tìm kiếm các giải pháp gần đúng nhằm tối
ưu hóa và tìm kiếm các vấn đề [9].
Bởi vậy, quy trình cơ bản của thuật toán di truyền bắt đầu bằng bước khởi tạo
một quần thể ban đầu là các chuỗi nhiễm sắc thể gồm các gen tương ứng với lời giải
của bài toán. Các nhiễm sắc thể này sẽ được tính độ thích nghi thông qua hàm thích
nghi hay độ phù hợp của lời giải. Nếu độ thích nghi của các nhiễm sắc thể này chưa
thỏa mãn điều kiện dừng của bài toán thì sẽ được tiến hành lai ghép và đột biến tạo
ra nhiễm sắc thể mới. Các nhiễm sắc thể mới được tạo ra sẽ được tính lại độ thích
nghi và nếu chưa thỏa mãn thì sẽ quay lại các bước sinh sản nhằm tạo ra một lời
giải phù hợp nhất với bài toán. Thuật toán sẽ kết thúc khi thỏa mãn các điều kiện
dừng cho trước. Các bước của thuật toán được thể hiện bằng sơ đồ sau [9]:

7


Bắt đầu

Nhận các tham số
của bài toán

Khởi tạo quần thể

ban đầu

Tính giá trị thích nghi

Điều kiện
dừng

Sinh sản

Lai ghép

Lựa chọn giải pháp tốt
nhất

Đột biến

Kết
thúc

Hình 1.1: Sơ đồ cấu trúc thuật toán di truyền
1.4. Kết hợp thuật toán di truyền và cân bằng Nash
Một vấn đề đặt ra về trạng thái cân bằng Nash chính là việc tìm ra nó không
đơn giản. Nhưng bằng việc kết hợp cân bằng Nash với thuật toán di truyền, bài toán
đã trở nên dễ dàng hơn.
Ta có thể thấy rằng trong lý thuyết trò chơi, mỗi người chơi có một tập các
chiến lược, khi các bên đều đạt được lợi ích nhất định thì trò chơi sẽ ở trạng thái
cân bằng Nash. Nếu xem tập các chiến lược của người chơi như một tập quần thể
lời giải tương ứng, chiến lược tối ưu được tìm dựa trên những người chơi khác xem
như cách tạo thế hệ mới trong thuật toán di truyền, dựa trên ý tưởng này ta có sự kết
hợp giữa thuật toán di truyền và cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi.

8


Tối ưu

P1XYP2

P1 ~ Quần thể 1. P2 ~ Quần thể 2

Thế hệ k-1

Tối ưu Xk-1
Cố định Y từ

Tối ưu Yk-1
Cố định X từ
người chơi 1

người chơi 2
Gửi
Yk-1

Gửi
Xk-1
Thế hệ k

Thế hệ k+1

Tối ưu Xk
Cố định Y từ

người chơi 2

Tối ưu Xk+1
Cố định Y từ
người chơi 2

Tối ưu Yk
Cố định X từ
người chơi 1
Gửi
Xk

Gửi
Yk

Tối ưu Yk+1
Cố định Y từ
người chơi 2

Hình 1.2: Mô hình chiến thuật Nash GA
Phương pháp kết hợp thuật toán di truyền và cân bằng Nash đã được mô tả
theo sơ đồ trên có thể được hiểu chi tiết trong bài toán 2 người chơi như sau: Hai
người chơi P1, P2 có tập các chiến lược tương ứng là X,Y, cũng là 2 quần thể lời
giải của 2 người chơi [8].
Ký hiệu s = XY là mục tiêu đồng thời của cả 2 người chơi. Theo lý thuyết cân
bằng Nash, người chơi 1 tối ưu s bằng việc giữ nguyên chiến lược Y của người chơi
2 và chỉ tối ưu chiến lược X của mình. Ngược lại, khi người chơi 2 tối ưu s thì chỉ
tối ưu trên tập chiến lược Y của mình và giữ nguyên X [8].
Giả thiết ở thế hệ thứ k-1, tập các chiến lược tối ưu của cả hai lần lượt là Xk-1,
Yk-1. Ở thế hệ thứ k, người chơi P1 tìm ra tập chiến lược tối ưu Xk bằng việc đánh

9


giá s = XkYk-1. Tại cùng thời điểm, người chơi P2 tìm ra Yk bằng việc đánh giá s =
Xk-1Yk [8].
Sau bước tối ưu, người chơi P1 gửi các giá trị tốt nhất Xk vừa tìm được cho P2
và ngược lại. Các giá trị Xk,Yk này lại được tiếp tục sử dụng cho thế hệ k+1. Trạng
thái cân bằng quần thể tương ứng với việc cả 2 người chơi đều không thể tối ưu hơn
được phương án của mình. Chú ý là quá trình tối ưu có thể được thực hiện tuần tự
hoặc tiến hành song song [8].
1.5. Tiểu kết chương 1
Chương này đã tập trung nghiên cứu những kiến thức cơ bản về lập lịch thanh
toán dự án, mô hình cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi và thuật toán di truyền.
Từ kết quả nghiên cứu này cho ta thấy rằng bản chất của bài toán lập lịch thanh toán
chính là một mô hình trò chơi gồm hai đối thủ có thông tin hoàn hảo và là trò chơi
có tổng khác không. Sự kết hợp cả thuật toán di truyền và cân bằng Nash sẽ đưa ra
một lời giải tối ưu cho bài toán được quyết định thông qua hàm thích nghi. Đây
cũng là cơ sở để tác giả đi vào xây dựng mô hình ứng dụng thuật toán di truyền và
mô hình cân bằng Nash vào lập lịch thanh toán dự án trong chương 2.

10


CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN VÀ CÂN BẰNG
NASH TRONG LẬP LỊCH THANH TOÁN DỰ ÁN
2.1. Mô tả bài toán
Bài toán lập lịch thanh toán dự án là một bài toán tối ưu đa mục tiêu. Bài toán
cũng là một mô hình trò chơi thông tin đầy đủ và có tổng khác không gồm hai đối
thủ là chủ đầu tư và nhà thầu. Giá trị tổng số tiền cần thanh toán tại mỗi giai đoạn

của dự án luôn lớn hơn không. Mô hình cân bằng Nash là kết quả mà bài toán cần
đạt đến chính là cân bằng lợi ích cho chủ đầu tư và nhà thầu cũng định hướng cách
gải quyết cho bài toán lập lịch thanh toán. Việc áp dụng giải thuật di truyền bằng
việc mô phỏng các khoản cần thanh toán trong mỗi giai đoạn và các công việc cần
thực hiện trên nhiễm sắc thể được lai ghép và đột biến sẽ tạo ra một không gian tìm
kiếm lời giải tối ưu cho bài toán.
Lịch thanh toán dự án gồm nhiều process. Một process trong dự án là một
mảng việc /tiến trình trong một dự bao gồm các activities hay còn gọi là các task.
Mỗi process này gồm một hay nhiều các hoạt động hay activities cần thực hiện
trong dự án được thể hiện trên các nút của mô hình mạng dự án.
Trong việc thanh toán các khoản tiền của dự án thì cả nhà thầu và chủ đầu tư
đều muốn tối đa lợi nhuận hoạt động tài chính và giá trị NPV (Net Presnet Value Giá trị hiện tại dòng tiền thuần) của họ. Ngân sách bao gồm tỉ suất lợi nhuận được
thỏa mãn bởi hai bên. Các nhà thầu đáp ứng các chi phí cho công việc và bằng việc
sử dụng các khoản thanh toán của ngân sách của chủ đầu tư. Tiền tích lũy của các
nhà thầu mang giá trị âm nếu giả sử nhà thầu được vay vốn với một lãi xuất vay vồn
lớn hơn lãi xuất chiết khấu thường được sử dụng để tính toán NPV. Tiến độ thanh
toán tối ưu nhất với nhà thầu là có được tổng số thanh toán một lần khi bắt đầu dự
án. Sau khi nhận được tổng số tiền trả ban đầu, các nhà thầu sẽ cố gắng giảm thiểu
chi phí của mình bằng cách lập lịch trình công việc theo cách thức sao cho dòng
chảy tiền mặt cao hơn. Để tính toán NPV của chủ đầu tư, ta giả định rằng ngân sách
ban đầu là có sẵn và NPV của tất cả các khoản giải ngân bởi chủ đầu tư phải được
trừ vào khoản tiền này. Tiến độ thanh toán tối ưu nhất của chủ đầu tư là việc thanh
11


toán một lần duy nhất khi dự án đã được hoàn thành. Sau đó, chủ đầu tư sẽ không
phải lo lắng về lịch trình công việc mà chỉ quan tâm đến thời hạn dự án. Tiến độ
thanh toán dự án tối ưu cho cả nhà thầu và nhà đầu tư được gọi là giải pháp lý tưởng
cho cả hai tức là có một lịch trình thanh toán tương ứng với các công việc đã hoàn
thành của dự án.

Cả hai lịch trình thanh toán và lịch trình hoạt động có ảnh hưởng đáng kể tới
NPV của chủ đầu tư và nhà thầu. Cả chủ đầu tư và nhà thầu đều có ý định muốn tối
đa hóa NPV của riêng mình nhưng gia tăng NPV của người này lại thường gây ra
sự sụt giảm NPV của người khác và đây chính là những điều cần giải quyết trong
bài toán lập lịch thanh toán dự án đảm bảo cả lợi ích của nhà đầu tư và nhà thầu
trong suốt quá trình thực hiện dự án.
Sự phối hợp cả Lý thuyết trò chơi và Giải thuật di truyền để dưa ra mô hình
giải quyết bài toán, cụ thể là điều chỉnh hệ thống gen của thuật toán di truyền thỏa
mãn mô hình Win-Win của Lý thuyết trò chơi. Những Activities cần thực hiện và số
tiền cần thanh toán tương ứng sẽ được biểu diễn trên gen của thuật toán.
2.2. Mô hình hóa trò chơi và cân bằng Nash trong lập lịch thanh toán
2.2.1. Mạng dự án
Mạng dự án là một phương pháp mà tính cốt lõi của nó là dùng lý thuyết trò
chơi có hướng để xác định đường đi trong mạng, từ khởi điểm khởi đầu dự án đến
thời điểm kết thúc dự án, qua một số công việc và các mối quan hệ giữa các công
việc này. Một mạng dự án còn thể hiện mối quan hệ qua một số các quyền ưu tiên
(thứ bậc) của hoạt động tham gia trong dự án [7].
Có hai dạng mạng dự án thường gặp là AON (Activity-on-node: công việc
trên nút) và AOA (Activity-on-arrow: công việc trên mũi tên).

12


B

1
A

2
5

3
4
C

6

D

E

Hình 2.1: Mô hình mạng AON
Trong kiểu mạng dự án AON thì mỗi sự kiện được đặt trên mũi tên và các nút
thể hiện các công việc cần làm còn các sự kiện của dự án được thể hiện trên các mũi
tên.
Trong kiểu mạng dự án AOA thì mỗi sự kiện được đặt trên nút dự án, mỗi
công việc được đặt trên mũi tên.
2

A
1

B
F

C
E
3

4

G
5

Hình 2.2: Mô hình mạng AOA
2.2.2. Cách thức mô hình hóa việc thanh toán dự án
Các vấn đề trong việc điều phối tiến độ thanh toán dự án được thể hiện qua
các nút công việc trong mô hình mạng dự án AON. Giả định rằng các điều khoản
thanh toán trong hợp đồng dự án được thể hiện trong các giai đoạn khác nhau và
việc thanh toán dự án được thực hiện tại một nút của một mạng lưới hoạt động nơi
mà sẽ được hoàn thành từ một hay nhiều hoạt động. Dự án sẽ được bắt đầu tại nút
công việc đầu tiên và sẽ kết thúc tại nút công việc cuối cùng. Vì vậy, trong việc đưa
ra các quyết định lập tiến độ thanh toán dự án thì giao thức lý tưởng nhất cho chủ
13


đầu tư là việc chỉ phải thanh toán số tiền một lần cho tất cả khi dự án kết thúc.
Trong trường hợp này thì giá trị hiện tại của dòng tiền là tối thiểu. Tuy nhiên giao
thức có lợi nhất cho nhà thầu là có thể có được các khoản tiền thanh toán cho dự án
khi dự án mới bắt đầu. Trong trường hợp này, giá trị dòng tiền hiện tại của nhà đầu
tư lại đạt mức tối đa.

Chủ đầu tư

Số tiền cần thanh toán

Thời hạn thanh toán

Nhà thầu
Hình 2.3: Sự tương tác giữa nhà thầu và nhà đầu tư

Vì vậy, vấn đề của việc tối ưu hóa tiến độ thanh toán dự án có thể được mô
hình hóa thành một dạng trò chơi với thông tin đầy đủ được đại diện bởi các tập
chiến lược như sau [1]:
G = {𝑆𝑜 , 𝑆𝑐 , 𝐹𝑜 , 𝐹𝑐 }
Trong đó:
 𝑆𝑜 : Tập các chiến lược của chủ đầu tư.
 𝐹𝑜 : Sự chênh lệch chi phí so với khoản đầu tư tối ưu của chủ đầu tư.
 𝑆𝑐 : Tập các chiến lược của nhà thầu hay nhóm phát triển dự án.
 𝐹𝑐 : Lợi ích ròng của nhà thầu.
Để xây dựng một lịch tiến độ thanh toán dự án thì chủ đầu tư phải đưa ra một
danh sách các khoản thanh toán như sau:
Payment list: (𝑝𝑎𝑦1 ,𝑝𝑎𝑦2 , ...,𝑝𝑎𝑦𝑁 )
Trong biểu thức này, payi là phần trăm ngân sách mà chủ đầu tư định trả cho
nhà thầu tại sự kiện i. Danh sách các khoản cần thanh toán phải đáp ứng các ràng
buộc sau:
14


∑𝑁
𝑖=1 𝑝𝑎𝑦𝑖 = 1

(2.1)

Trước khi xác định các chi phí, xác định lợi ích của chủ đầu tư và nhà thầu thì
trước hết cần phải xác định được tỷ lệ chiết khấu. Bởi giá trị tiền mặt có thể bị thay
đổi sau một khoảng thời gian nhất định nào đó do lạm phát, biến động tỷ giá và chi
phí cơ hội. Như vậy, có thể thấy rằng giá trị của khoản tiền dự kiến ban đầu sẽ suy
giảm sau một thời gian nhất định trong khi số tiền này có thể sẽ được mang đi đầu
tư để thu lợi nhuận. Nên tỷ lệ chiết khấu sẽ là giá trị để tính giá trị tiền bị hao hụt do
chi phí cơ hội và suy ra giá trị lợi nhuận ròng sẽ được tính như sau:

∆𝑖 = 𝐵𝑖 − 𝐶𝑖 tại 𝑡𝑖

(2.2)

Trong đó:
 ∆𝑖 : là lợi ích ròng.
 Bi : là doanh thu thuần.
 Ci : là chi phí cho các giai đoạn của dự án trong khoảng thời gian ti.
Để tính lợi ích ròng trong thời gian bắt đầu dự án t0 thì cần phải sử dụng tỷ lệ
chiết khấu để tính giá trị dòng tiền bị sụt giảm như sau:
∆𝑖0 =

𝐵𝑖 − 𝐶𝑖
( 1+𝑟 )𝑡𝑖 −𝑡0

tại 𝑡0

(2.3)

Trong đó, r là lãi suất chiết khấu và ∆𝑖0 là lợi ích ròng trong thời gian ti so với
lợi ích ròng trong thời gian t0. Thông thường khi chọn t0 = 0 ta sẽ có:
∆𝑖0 =

𝐵𝑖 − 𝐶𝑖
( 1 + 𝑟 ) 𝑡𝑖

(2.4)

Nếu dự án được chia thành nhiều giai đoạn công việc và từ các công thức tính
lợi nhuận ở trên thì lợi ích ròng sẽ được tính theo công thức sau:

𝑁

𝐹= ∑

𝐵𝑖 − 𝐶𝑖

𝑡𝑖
𝑖=0 ( 1+𝑟 )

𝑁

= ∑

𝑁

𝐵𝑖

𝑡𝑖
𝑖=0 ( 1+𝑟 )

− ∑

15

𝐶𝑖

𝑡𝑖
𝑖=0 ( 1+𝑟 )

(2.5)

Bởi vì r << 1 nên ta dùng chuỗi Taylor của 𝑒 𝑥 để tính gần đúng trường hợp
này như sau:
𝑁

𝑁

𝐵𝑖

𝐹= ∑
𝑖=0

( 1+𝑟 )𝑡𝑖

𝑁

− ∑

𝐶𝑖
𝑡𝑖

𝑖=0 ( 1+𝑟 )

𝑁

≈ ∑ 𝐵𝑖 . 𝑒
𝑖=0

−𝑟.𝑡𝑖

− ∑ 𝐶𝑖 . 𝑒

(2.6)
−𝑟.𝑡𝑖

= 𝐹1 − 𝐹2

𝑖=0

F1 là hàm lợi ích còn F2 là hàm chi phí, từ đó sẽ tính được hàm thỏa dụng như
sau:
−𝑟.𝑡𝑖
−𝑟.𝑡𝑖
F = ∑𝑁
− ∑𝑁
𝑖=0 𝐵𝑖 . 𝑒
𝑖=0 𝐶𝑖 . 𝑒

(2.7)

Đối với chủ đầu tư:
Từ công thức trên, ta thấy rằng phương án thanh toán tốt nhất đối với chủ đầu
tư là thanh toán các khoản tiền khi dự án hoàn thành. Bởi vậy, giá trị 𝑡𝐹𝑖𝑛𝑖𝑠ℎ là lớn
nhất mà 𝑡𝐹𝑖𝑛𝑖𝑠ℎ chính là thời gian để hoàn thành toàn bộ dự án. Giá trị nhỏ nhất đối
với chủ đầu tư tại t0 = 0 sẽ là:
𝑈
−𝑟.𝑡𝐹𝑖𝑛𝑖𝑠ℎ
𝑡𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠ℎ ≈ 𝑈. 𝑒
(1+𝑟)

(2.8)

Các trường hợp khác về các khoản chi phí để tối ưu khoản đầu tư cho chủ đầu
tư là F0 sẽ được tính như sau:
𝑁

𝐹0 = ∑
𝑖=1

𝑝𝑎𝑦𝑖
. 𝑈. 𝑒 −𝑟.𝑡𝑖 − 𝑈. 𝑒 −𝑟.𝑡𝐹𝑖𝑛𝑖𝑠ℎ
100

(2.9)

Bởi vậy cần giảm thiểu F0 để giảm các khoản chi phí mà chủ đầu tư phải trả.
Đối với nhà thầu:
Đối với nhà thầu (hay nhóm phát triển dự án) có thể dễ dàng thấy được họ
muốn các khoản thanh toán được thực hiện càng sớm càng tốt để tối đa hóa lợi
nhuận ròng. Vì vậy, lợi nhuận ròng của nhà thầu sẽ được tính bằng công thức sau:

16


𝑁

𝑁

𝑝𝑎𝑦𝑖

𝐹𝑐 = ∑
. 𝑈. 𝑒 −𝑟.𝑡𝑖 − ∑ 𝐶𝑖 . 𝑒 −𝑟.𝑡𝑖
100
𝑖=0

(2.10)

𝑖=0

Vì lý do này mà để đáp ứng được yêu cầu của nhà thầu thì cần tối đa hóa giá
trị hàm 𝐹𝑐 .
Như vậy, để tìm được phương án tối ưu đáp ứng được cả yêu cầu của chủ đầu
tư và nhà thầu thì việc sử dụng thuật toán di truyền sẽ tìm kiếm được kết quả tối ưu
và đạt được cân bằng Nash cho mô hình bài toán lập lịch thanh toán hay còn là mô
hình trò chơi gồm hai người chơi là chủ đầu tư và nhà thầu.
2.2.3. Tối ưu hóa mục tiêu
Trong quá trình thanh toán dự án, chủ đầu tư xác định tiến độ thanh toán được
đưa ra trong danh sách cần thanh toán với nhà thầu từ đó sẽ xác định được lịch trình
hoạt động cụ thể của danh sách công việc và danh sách chế độ tương ứng. Khi cả
chủ đầu tư và nhà thầu muốn tối ưu hóa NPV của mình và đạt được lợi ích tối đa,
đó là lý do mà họ hợp tác, đàm phán với nhau để đưa ra quyết định cuối cùng cho
lịch trình thanh toán và lịch trình công việc tương ứng. Nếu lịch trình công việc
không được tối ưu hóa tốt thì nhà thầu sẽ phải thay đổi lịch trình công việc nhằm
nâng cao giá trị NPV để có lợi cho mình. Với một lịch trình thanh toán nhất định,
vấn đề tối ưu hóa NPV của chủ đầu tư chỉ là việc điều phối giải quyết các ràng buộc
tài nguyên với tiền chiết khấu ròng. Để thuận tiện cho việc đưa ra quyết định, cần
có một giải pháp dựa trên sự khác biệt giữa giá trị giới hạn NPV của nhà thầu và
NPV thực tế tương ứng với lịch trình công việc. Giả sử với giải pháp x với một lịch
trình hoạt động được đánh giá như theo các bước sau [7]:
𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟/𝑃𝑆

Bước 1: Đánh giá các ràng buộc trên 𝑁𝑃𝑉𝑜

của NPV chủ đầu tư khi

lịch trình thanh toán PS được cố định. Các ràng buộc trên thu được từ việc:
- Bỏ qua tất cả các hạn chế về tài nguyên, nhân lực.
- Giả sử tất cả các sự kiện, biến cố xảy ra sớm nhất có thể để các khoản
thanh toán xảy ra càng sớm càng tốt.
17


- Chi phí xảy ra càng muộn càng tốt
- Giả sử mọi công việc được thực hiện theo cách thức mà chi phí tốn kém là
thấp nhất.
𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟/𝑃𝑆

Bước 2: Tính toán sự khác biệt giữa các ràng buộc 𝑁𝑃𝑉𝑜

và NPV thực

tế của đẩu tư là NPVo
𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟/𝑃𝑆

OD(x) = 𝑁𝑃𝑉𝑜

 NPVo

(2.11)

Nếu giá trị mức tối ưu hóa OD(x) là nhỏ thì có nghĩa là lịch trình công việc
trong giải pháp x cũng được tối ưu hóa. Nếu không, lịch trình công việc trong x
không tối ưu hóa, do đó x sẽ không được lựa chọn [7].
2.3. Thuật toán di truyền và giải pháp cân bằng Nash
Thuật toán di truyền là một công cụ hiệu quả cho các vấn đề tối ưu hóa tổ hợp.
Nó được áp dụng để xây dựng mô hình hóa giải quyết các mô hình trò chơi với
thông tin đầy đủ, tối ưu hóa tiến độ thanh toán dự án.
2.3.1. Mô hình chung của thiết kế thuật toán di truyền cho bài toán lập lịch
thanh toán dự án
a) Các ràng buộc của bài toán
Mô hình giải quyết bài toán lập lịch thanh toán phải thỏa mãn một số yêu cầu
ràng buộc sau:
 Một trạng thái của dự án được hoàn thành khi tất cả các hoạt động ràng
buộc với nó phải được hoàn thành.
 Việc chuyển đổi trạng thái dự án được thực hiện khi các trạng thái dự
án ràng buộc trước đó đã được hoàn thành.
b) Lược đồ mã hóa
Trong việc tối ưu việc thanh toán dự án, cả tiến độ thanh toán và tiến độ hoạt
động của dự án cũng cần phải được tối ưu. Để biểu diễn các quyết định được tối ưu
thì ta thiết kế một giải pháp để xem xét vấn đề này:
 Payment list: (𝑝𝑎𝑦1 ,𝑝𝑎𝑦2 , ..,𝑝𝑎𝑦𝑁 )
18


 Activity list: (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑁 )
Để đạt được yêu cầu mong muốn như ở trên ta phải sử dụng hàm thích nghi
FAdaptability như sau:
𝐹𝐴𝑑𝑎𝑝𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 = 𝐹𝑐 − 2𝐹𝑜

(2.12)

Bởi vì 𝐹0 > 0 nên 𝐹𝐴𝑑𝑎𝑝𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 đạt một giá trị tối đa khi hàm thích nghi của
nhà thầu là 𝐹𝑐 đạt giá trị tối đa và hàm thích nghi của chủ đầu tư 𝐹𝑜 đạt giá trị tối
𝑁

𝑝𝑎𝑦𝑖

thiểu. Ta nhân đôi 𝐹0 để đảm bảo rằng ∑

𝑖=0 100

. 𝑈. 𝑒 −𝑟.𝑡𝑖 không bị hạn chế khi

tính toán hàm thích nghi. Bởi vậy, ta suy ra công thức tính hàm thích nghi như sau:
𝐹𝐴𝑑𝑎𝑝𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 = 2. 𝑈. 𝑒 −𝑟.𝑡𝐹𝑖𝑛𝑖𝑠ℎ

𝑁

𝑁

𝑖=0

𝑖=0

𝑝𝑎𝑦𝑖
−∑
. 𝑈. 𝑒 −𝑟.𝑡𝑖 – ∑ 𝐶𝑖 . 𝑒 −𝑟.𝑡𝑖
100
𝑁

= 2. 𝑈. 𝑒 −𝑟.𝑡𝐹𝑖𝑛𝑖𝑠ℎ − ∑

(

𝑖=0

𝑝𝑎𝑦𝑖
100

. 𝑈 + 𝐶𝑖 ) . 𝑒 −𝑟.𝑡𝑖

(2.13)

Do đó, chúng ta cần phải tìm ra lịch thanh toán dự án đúng tiến độ hoạt động
để tối đa hàm thích nghi 𝐹𝐴𝑑𝑎𝑝𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 và là hàm chọn lọc.
c) Mô hình Nhiễm sắc thể
Trong một điều kiện đơn giản ta phân tích một dự án gồm 10 nút. Vì vậy để
đồng thời tìm được một kết quả tối ưu cho cả nhà thầu và nhà đầu tư thì chúng ta sẽ
chọn 1 Nhiễm sắc thể gồm 20 gen. Trên NST này có 10 gen đầu tiên đại diện cho
ngân sách cho từng giai đoạn của dự án, 10 gen tiếp theo là số lượng công việc phải
làm ở mỗi đoạn của dự án đối với nhà thầu. Tất nhiên có những nhiệm vụ quan
trọng phải được ưu tiên bằng cách xác định thứ tự ưu tiên cho hoạt động này.
Nguyên tắc của công việc này là phải đảm bảo cho các Nhiễm sắc thể mà có tổng
giá trị 10 gen đầu tiên bằng 100 và tổng giá trị của 10 gen cuối bằng tổng số tác vụ
sẽ được thực hiện bởi nhà thầu. Ví dụ:
5

5

15

10

10

15

10

10

15

5

1

3

3

3

2

2

1

2

2

1

Trong ví dụ này thì cho ta thấy là nhà thầu có 20 nhiệm vụ (tổng của 10 gen
cuối) để hoàn thành dự án này đúng với tiến độ thanh toán. Cụ thể:
19