Các tiếp cận giải bài toán ra quyết định theo hướng mờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

THÁI THỊ NGUYỆT

CÁC TIẾP CẬN GIẢI BÀI TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH
VỚI THÔNG TIN MỜ

Chuyên ngành: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN ĐÌNH KHANG

Hà Nội - Năm 2012


MỤC LỤC

Chương 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH 9 
1.1 Ra quyết định và người ra quyết định ............................................................ 9
1. 2 Quá trình ra quyết định............................................................................... 10 
1. 3 Ra quyết đinh đa mục tiêu và ra quyết định đa thuộc tính .......................... 13 
1. 3.1 Tiêu chuẩn, mục tiêu và thuộc tính ....................................................... 13 
1.3.2 Bài toán ra quyết định đa mục tiêu ....................................................... 14 
1.3.3 Bài toán ra quyết định đa thuộc tính ...................................................... 15 

Chương 2. LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ KHOẢNG MỜ ......... 18 

2.1 Tập mờ.......................................................................................................... 18 
2.1.1 Định nghĩa.............................................................................................. 18 
2.1.2 Các khái niệm cơ bản:............................................................................ 19 
2.2 Số mờ............................................................................................................ 20 
2.3. Biến ngôn ngữ ............................................................................................. 21 
2.4. Khoảng mờ .................................................................................................. 22 
2.4.1. Các phép toán trên khoảng.................................................................... 23 
2.4.2. Tập khoảng mờ và các phép toán ......................................................... 24 
2.5. Các phép toán số học mờ. ........................................................................... 24 
2.5.1 Nguyên lý mở rộng ................................................................................ 24 
2.5.2. Đại số α-cut ........................................................................................... 25 
3.6 Sắp xếp các số mờ ........................................................................................ 28 

Chương 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP MAUT GIẢI BÀI TOÁN
RA QUYẾT ĐỊNH ĐA THUỘC TÍNH. ................................... 30 
3.1 Kỹ thuật AHP ............................................................................................... 30 
3.1.1 Phương pháp trị riêng. ........................................................................... 32 
4.1.2 Phương pháp trung bình hình học dựa trên số mờ (Geometric Mean
Method) ........................................................................................................... 36 


4.1.3. Phương pháp quy hoạch tuyến tính ...................................................... 39 
3.1.4 Phương pháp ước lượng khoảng của trọng số bằng phương pháp xấp
xỉ trên .............................................................................................................. 42 
3.2 Kỹ thuật Simple Additive Weighting ........................................................... 49 
3.2.1 Kỹ thuật Simple Additive Weighting truyền thống ............................... 49 
3.2.2 Kỹ thuật Simple Additive Weighting mờ. ................................................ 51 

Chương 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP OUTRANKING GIẢI
BÀI TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH ĐA THUỘC TÍNH ............... 62 

4.1 Phương pháp Topsis ..................................................................................... 62 
4.2 Phương pháp interval-value fuzzy Topsis .................................................... 65 

Chương 5: KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN.................................... 72 
5.1. Các kết quả đạt được trong luận văn ........................................................... 72 

Phụ lục ........................................................................................ 73 
1.  Tính toán trọng số theo EM ......................................................................... 73 
2.  Tính toán trọng số theo GMM ..................................................................... 74 


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn tốt nghiệp Thạc sỹ này là công trình nghiên
cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trần Đình
Khang. Các kết quả trong luận văn tốt nghiệp là trung thực, không phải sao chép
toàn văn của bất kỳ công trình nào khác. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về
nội dung của quyển luận văn này.


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MCDM

Ra quyết định đa tiêu chuẩn (Multiple Criteria Decision Making)

MADM

Ra quyết định đa thuộc tính (Multiple Attribute Decision Making)

MODM

Ra quyết định đa mục tiêu (Multiple Objective Decision Making)

WSM

Weighted Sum Model

TOPSIS

Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution

SAW

Simple Additive Weight

AHP

Analytic Hierarchy Process

ELECTRE ELimination and Choice Expressing Reality
EM

Phương pháp vector trị riêng (Eigenvector Method)

GMM

Phương pháp trung bình hình học (Geometric Mean Method)

IVFS

Tập mờ giá trị khoảng (Interval-Valued fuzzy set)

IFS

Tập mờ định tính (Institutionistic Fuzzy Set)


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1

Bảng tỉ lệ Saaty

Bảng 3.2

R.I theo kích thước ma trận

Bảng 3.3

Bảng tương quan so sánh từng đôi của các biến ngôn ngữ sử dụng
số mờ

Bảng 3.4

Bảng so sánh cặp các thuộc tính theo hướng thông tin mờ

Bảng 3.5

Bảng các véc tơ trọng số khác nhau tương ứng với mức α-cut khác
nhau

Bảng 3.6

Ma trận quyết định cho ví dụ 3.2.1

Bảng 3.7

Ma trận quyết định cho ví dụ 3.2.1 sau khi được chuẩn hóa

Bảng 3.8

Bảng Biểu diễn giá trị độ hài lòng của khách hàng cho các phương
án


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1

Các giai đoạn trong quá trình ra quyết định

Hình 1.2

Ma trận quyết định

Hình 2.1

Hàm liên thuộc biểu diễn các biến ngôn ngữ

Hình 3.1

Hệ thống phân cấp của bài toán MADM

Hình 3.2

Hàm liên thuộc của các biến ngôn ngữ

Hình 3.3

Vị trí của hai số mờ không tương đương và tương đương


MỞ ĐẦU
Bài toán ra quyết định đa tiêu chuẩn (MCDM) là một lĩnh vực nghiên cứu
thiết thực được ra đời từ những năm 1970. Đã có nhiều tổ chức liên quan ra đời
nhằm thúc đẩy nghiên cứu như “International Society on Multi-criteria Decision
Making”, “Euro Working Group on MCDA”

và “INFORMS Section on

MCDM” và đã đạt được nhiều thành công cả về lý thuyết và ứng dụng thực tế.
Các phương pháp giải quyết bài toán MCDM đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực khác nhau như: phân tích kinh tế, quy hoạch đô thị và dự báo….
MCDM đề cập tới vấn đề cấu trúc và giải quyết các bài toán ra quyết
định và lập kế hoạch trong đó bao gồm nhiều tiêu chuẩn. Thông thường, không
tồn tại duy nhất một giải pháp tối ưu cho những bài toán như vậy và cần phải sử
dụng thông tin ưu tiên của người ra quyết định để xếp hạng các phương án. Có
hai lớp bài toán MCDM chính được phân biệt dựa trên tính định nghĩa rõ ràng
hay ngầm định của lời giải là bài toán MODM và bài toán MADM. Bài toán
MADM bao gồm một số hữu hạn các phương án được phát biểu rõ ràng từ đầu
của quá trình ra quyết định. Mỗi phương án được biểu diễn bởi giá trị hoặc mức
thực thi trên nhiều tiêu chuẩn. Bài toán đặt ra là tìm kiếm phương án tốt nhất

hoặc một tập hợp các phương án tốt nhất cho người ra quyết định. Trong bài
toán MODM, các phương án không được định nghĩa trước một cách tường minh,
số phương án là không hữu hạn hoặc không đếm được (khi các biến quyết định
là liên tục) hoặc đếm được nhưng rất lớn (khi các biến quyết định là rời rạc). Lời
giải của bài toán được tìm ra nhờ giải các mô hình toán học. Trong khuôn khổ
luận văn này, tôi chọn và trình bày các phương pháp ra quyết định trong lớp các
bài toán MADM.
Như đã đề cập trước đó, bài toán MCDM thường yêu cầu người dùng đưa
ra thông tin ưu tiên của mình để xếp hạng các phương án, tuy nhiên không phải


lúc nào thông tin đưa ra của người ra quyết định cũng chắc chắn, đầy đủ và rõ
ràng. Lý thuyết mờ ra đời năm 1965 bởi Zadeh và từ đó được công nhận như
một giải pháp kỹ thuật để biểu diễn sự không chắc chắn trong quá trình nhận
thức của con người. Những năm qua đã có nhiều ứng dụng lý thuyết mờ thành
công trong các bài toán MCDM và MCDM cũng được xem là một trong những
ngành mà lý thuyết tập mờ tìm thấy phạm vi ứng dụng rộng rãi. Vì vậy, tôi chọn
đề tài “Các tiếp cận giải bài toán ra quyết định theo hướng mờ” làm đề tài
nghiên cứu cho luận văn của mình. Luận văn trình bày hệ thống về các kỹ thuật
ra quyết định đa thuộc tính khi đã biết các trọng số trên các thuộc tính. Trên cơ
sở các kỹ thuật cơ bản giải quyết bài toán MADM với thông tin rõ, luận văn
trình bày các phương pháp giải quyết bài toán với thông tin mờ, bao gồm thông
tin của ma trận quyết định và thông tin ưu tiên được đưa ra bởi người ra quyết
định. Các phương pháp này đòi hỏi các kỹ thuật xử lý với thông tin mờ như: biểu
diễn thông mờ bằng số mờ, khoảng mờ; các phép toán trên số mờ, khoảng mờ;
các kỹ thuật xếp hạng (ranking) và chuẩn hóa. Từ những đặc điểm đó, luận văn
chia thành các chương như sau:
Chương 1 tập trung trình bày tổng quan về ra quyết định, phân loại các
mô hình ra quyết định.
Chương 2 trình bày về lý thuyết tập mờ, khoảng mờ, các phép toán trên

số mờ và khoảng mờ, các kỹ thuật xếp loại số mờ.
Chương 3 trình bày các phương pháp ra quyết định MAUT với các thông
tin mờ
Chương 4 trình bày các phương pháp ra quyết định Outranking với các
thông tin mờ.
Chương 5 trình bày tóm tắt về các nội dung đã thực hiện trong luận văn.


Chương 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản của vấn đề ra quyết định, các
những các đặc trưng của quá trình ra quyết định, phân biệt bài toán ra quyết định
đa mục tiêu và bài toán ra quyết định đa thuộc tính.

1.1 Ra quyết định và người ra quyết định
Mỗi tổ chức có các mục tiêu và mục tiêu đó đạt được thông qua sử dụng
các tài nguyên như con người, tài chính, vật liệu, tri thức và thực hiện các chức
năng quản lý như lập kế hoạch, tổ chức, điều hành và kiểm soát. Các chức năng
này được thực hiện thông qua quá trình liên tục ra các quyết định, mỗi quyết
định là một lựa chọn hợp lý trong số các phương án. Người ra quyết định là
người quản lý ở các mức khác nhau, từ quản trị dự án tới giám đốc điều hành và
có thể là cá nhân hoặc tập thể.
Bài toán ra quyết định đang trở nên phức tạp và khó khăn do số lượng các
lựa chọn ngày càng tăng lên. Sự xuất hiện của công nghệ thông tin và các hệ
thống truyền thông, đặc biệt là sự ra đời Internet và các máy tìm kiếm của nó
giúp cho con người dễ dàng tìm kiếm thông tin và đưa ra nhiều lựa chọn hơn.
Thứ hai, chi phí sai sót có thể rất lớn vì sự phức tạp của cơ cấu hoạt động, sự tự
động hóa và phản ứng chuỗi mà một lỗi có thể gây tác động ở nhiều nơi, cả
chiều dọc và ngang của một tổ chức. Thứ ba, có sự thay đổi liên tục trong một
môi trường biến động và các yếu tố tác động ngày càng không chắc chắn bao
gồm cả nguồn thông tin và chính thông tin. Quan trọng hơn, sự thay đổi nhanh

chóng của môi trường quyết định yêu cầu các quyết định được thực hiện nhanh
hơn. Những lý do này đặt ra yêu cầu phải tăng hỗ trợ về mặt phương pháp và kỹ
thuật để giúp đưa ra các quyết định chất lượng tốt.


Vậy xét về mặt phương pháp, có thể đưa ra định nghĩa về ra quyết định như sau:
Định nghĩa: “Ra quyết định là một nghiên cứu về việc xác định và lựa
chọn các phương án dựa trên các giá trị và các quan hệ ưu tiên của người ra
quyết định. Ra quyết định có nghĩa rằng có nhiều phương án được xem xét
nhưng ta chỉ chọn một phương án phù hợp nhất với mục đích mong muốn”[11]

1. 2 Quá trình ra quyết định
Quá trình ra quyết định theo Simon (1977) bao gồm ba giai đoạn: thu
thập thông tin, thiết kế và lựa chọn. Giai đoạn thứ tư là giai đoạn thực hiện được
thêm vào sau đó (hình 1).


Hình 1.1: Các giai đoạn trong quá trình ra quyết định [1]
Quá trình ra quyết định bắt đầu từ giai đoạn thu thập thông tin, giai đoạn
này sẽ xem xét thông tin thực tế, xác định vấn đề và phát biểu bài toán. Trong
giai đoạn thiết kế, một mô hình đại diện cho hệ thống được xây dựng bằng cách
đưa ra các giả định đơn giản hóa thực tế và mối liên hệ giữa các biến. Mô hình
sau đó được xác nhận và các tiêu chuẩn được thiết lập để đánh giá phương án.
Thường thì quá trình xây dựng mô hình xác định các phương án và ngược lại.
Giai đoạn lựa chọn sẽ lựa chọn một giải pháp được đề xuất cho mô hình. Giải
pháp này được kiểm tra để xác định tính thỏa mãn của nó. Nếu giải pháp hợp lệ
thì chúng ta chuyển sang giai đoạn thực thi.


Tùy theo bài toán ra quyết định mà một hoặc một số giai đoạn sẽ được tập

trung hơn, đòi hỏi chi tiết, giai đoạn con hoặc nhiều kỹ thuật hỗ trợ hơn. Các giai
đoạn sẽ được chia thành 9 bước ra như sau:
Bước 1: Xác định bài toán: Xác định phạm vi bài toán, điều kiện ban
đầu và các tiêu chuẩn mong muốn.
Bước 2: Phân tích yêu cầu: Yêu cầu là các điều kiện mà một giải pháp
của bài toán phải thỏa mãn. Phát biểu theo hình thức toán học, yêu cầu là các
ràng buộc miêu tả một tập các lời giải khả thi của bài toán ra quyết định.
Bước 3: Thiết lập mục tiêu:Giai đoạn thiết kế sẽ bắt đầu từ bước 3 đến
bước 6. Bước này sẽ xác định các mục tiêu. Trong toán học, đích là phát biểu
các mục tiêu mong muốn. các mục tiêu này có thể xung đột nhau do hoàn cảnh
khách quan của bài toán ra quyết định.
Bước 4: Đưa ra phương án: Các mục tiêu đạt được được sử dụng để đưa
ra các phương án nhưng các phương án phải thỏa mãn yêu cầu. Nếu số lượng
phương án là giới hạn, chúng ta có thể kiểm tra từng phương án để loại bỏ
phương án không phù hợp. Nếu số lượng phương án là vô hạn, tập hợp lời giải
được xem như tập các lời giải thỏa mãn ràng buộc theo hình thức toán học của
yêu cầu.
Bước 5: Định ra tiêu chuẩn: Để lựa chọn phương án tốt nhất, chúng ta
đánh giá các phương án trên các mục tiêu. Ngoài ra, cần có các tiêu chí để so
sánh, phân biệt các phương án dựa trên mục tiêu và đích.
Bước 6: Lựa chọn công cụ hoặc phương pháp ra quyết định: Việc lựa
chọn một phương pháp hoặc công cụ thích hợp phụ thuộc vào bài toán cụ thể và
ưu tiên của người ra quyết định. Nguyên tắc là phương pháp càng đơn giản càng
tốt. Tuy nhiên, bài toán quyết định phức tạp có thể đòi hỏi những phương pháp


phức tạp. Ví dụ, trong một bài toán ra quyết định nhóm và ngôn ngữ được dùng
để diễn đạt mục tiêu của từng cá nhân thì phương pháp AHP mờ sẽ phù hợp hơn.
Bước 7: Đánh giá phương án dựa trên tiêu chuẩn: Trong bước này, sử
dụng các công cụ và phương pháp đã xác định ở bước 6, đánh giá dựa trên mục

tiêu và áp dụng các tiêu chuẩn trên các mục tiêu này, một quyết định thử nghiệm
sẽ được chọn ra
Bước 8: Xác nhận lại lời giải: Kiểm tra lại tính đúng đắn của lời giải,
xem lời giải có thỏa mãn yêu cầu và mục tiêu của bài toán hay không.
Bước 9: Tiến hành thực thi: Bước này sẽ áp dụng lời giải có được vào
bài toán ra quyết định

1. 3 Ra quyết đinh đa mục tiêu và ra quyết định đa thuộc tính
Các quyết định trong thế giới thực thường phải xem xét nhiều tiêu chuẩn
xung đột hoặc không tương xứng. Đặc biệt, nhiều bài toán ra quyết định ở mức
chiến lược, chẳng hạn như bài toán lập kế hoạch, đòi hỏi xem xét nhiều mục tiêu
hoặc thuộc tính mâu thuẫn nhau. Phần này sẽ giới thiệu các mô hình ra quyết
định đa mục tiêu và đa thuộc tính.
1. 3.1 Tiêu chuẩn, mục tiêu và thuộc tính
Ra quyết định đa tiêu chuẩn (MCDM) đề cập đến việc ra quyết định xét
đến nhiều tiêu chuẩn xung đột nhau. Bài toán MCDM có các đặc điểm chung
sau đây:
-

Nhiều tiêu chuẩn: mỗi vấn đề có nhiều tiêu chuẩn, có thể là mục tiêu hoặc
các thuộc tính.

-

Tính xung đột: Các tiêu chuẩn thường xung đột nhau


-

Các đơn vị không tương xứng: Các tiêu chuẩn thường có các đơn vị đo

khác nhau

-

Thiết kế/lựa chọn: Lời giải cho bài toán MCDM có thể đến từ việc thiết
kế lời giải tốt nhất hoặc lựa chọn phương án tốt nhất từ tập các phương
án.
Có hai loại tiêu chuẩn: Mục tiêu và thuộc tính. Do đó có hai lớp bài toán

MDCM khác nhau đó là bài toán ra quyết định đa mục tiêu (MODM) và bài toán
ra quyết định đa thuộc tính (MADM)
Sự khác biệt chính giữa MODM và MADM là MODM là bài toán trên
không gian quyết định liên tục, chủ yếu được biểu diễn bởi các mô hình quy
hoạch toán học với một số hàm mục tiêu còn MADM tập trung trên không gian
quyết định rời rạc.
Một số định nghĩa trong bài toán MCDM:
Tiêu chuẩn: Là các chuẩn đánh giá hoặc các luật để kiểm tra tính chấp
nhận được của phương án, thông thường là mục tiêu hoặc thuộc tính.
Mục tiêu: Là mong muốn của người ra quyết định, chỉ ra chiều hướng mà
người ra quyết định mong muốn đạt tới.
Thuộc tính: Là đặc điểm, chất lượng hoặc tham số thực hiện của lựa chọn.
Trong bài toán MADM, các phương án được miêu tả qua các thuộc tính này.
1.3.2 Bài toán ra quyết định đa mục tiêu
Bài toán ra quyết định đa mục tiêu được xem là dạng liên tục của bài
toán ra quyết định.


Mô hình MODM gồm một vector của các biến quyết định, các mục tiêu
và các ràng buộc. Người ra quyết định cố gắng để cực đại hóa (hoặc giảm thiểu
hóa) các hàm mục tiêu. Bởi bài toán này hiếm khi có lời giải duy nhất nên người

ra quyết định sẽ lựa chọn một lời giải từ tập các phương án. Bài toán MODM có
thể phát biểu như sau[1]:
(MODM)

(1.1)

Trong đó f(x) là n hàm mục tiêu xung đột nhau, g(x)≤ b là m ràng buộc
và x là vecto n chiều các biến quyết định, xRn.
Quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) là một trong những hình thức
quan trọng để mô tả MODM, trong đó các hàm mục tiêu và ràng buộc là tuyến
tính.
(MOLP)

(1.2)

Trong đó C là ma trận hàm mục tiêu k×n và A là ma trận ràng buộc m×n,
b là vecto m chiều bên phải và x là vecto n chiều các biến quyết định, xRn.
Có hai phương pháp chủ yếu giải bài toán MODM là phương pháp trọng
số (weighted method) và phương pháp quy hoạch mục tiêu (goal programming
method).
1.3.3 Bài toán ra quyết định đa thuộc tính
Bài toán ra quyết định đa thuộc tính là bài toán lựa chọn, đánh giá các
phương án có sự ưu tiên trên một tập phương án có sẵn được đặc trưng bởi nhiều
thuộc tính, thường là mâu thuẫn nhau. Đặc điểm chính của bài toán MADM là
tập các phương án được xác định trước cùng với giá trị của các thuộc tính.


Phát biểu bài toán:
[1]

(1.3)

Trong đó, A= (A1, A2, A3, …, Am) là các phương án, C=(C1, C2, C3,…,Cn)
là các thuộc tính (còn gọi là tiêu chuẩn). Thông tin của bài toán được cho dưới
dạng ma trận X=(xij )m×n như sau:

X=

(1.4)

Hình 1.2. Ma trận quyết định
Trong đó, xij , i=1,…,m, j= 1,…,n, là đánh giá hay giá trị của phương án
thứ i theo thuộc tính j; wj là trọng số của thuộc tính Cj. Các giá trị ai, i=1..m
được sử dụng trong phương pháp MAUT, tương ứng là giá trị xếp loại phương
án, ai càng lớn thì khả năng thực thi của phương án cáng tốt.
Có hai lớp phương pháp chính giải bài toán MADM đó là các phương
pháp dựa trên Multi-attribute Utility Theory (MAUT) và các phương pháp
Outranking.
Các phương pháp MAUT dựa trên kỹ thuật tích hợp các thuộc tính vào một hàm
(hàm tích hợp), sau đó tối ưu hóa hàm đó. Lý thuyết này cho phép bù trừ giữa
các tiêu chuẩn, nghĩa là sự tăng lợi ích trên trên một tiêu chí có thể bù đắp những
mất mát trên tiêu chí khác (Keeney và Raiffa (1976)).


Khái niệm của outranking đã được đề xuất bởi Roy (1968). Ý tưởng cơ bản như
sau. Phương án Ai xếp trên Aj nếu Ai thực hiện tốt hơn hoặc bằng như Aj xét trên
phần lớn thuộc tính và chấp nhận được nếu xét trên các thuộc tính còn lại. Sau
khi xếp loại từng cặp phương án, những đánh giá này có thể tổng hợp thành một
bảng xếp loại một phần hoặc trên toàn bộ các phương án. Khác với các phương
pháp MAUT có thể đưa ra phương án tốt nhất là phương án cho giá trị hàm tích

hợp tối ưu, bảng xếp loại một phần nhằm đưa ra một tập con các phương án,
trong đó phương án tốt nhất có thể được tìm thấy bằng cách áp dụng các phương
pháp tiếp theo.
Có thể kể tên một số phương pháp MAUT như AHP, SAW và một số phương
pháp outranking như TOPSIS, PROMETE, ELECTRE.


Chương 2. LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ KHOẢNG MỜ
Tập mờ được đưa ra bởi Zadeh vào năm 1965, cung cấp một công cụ toán
học mới để giải quyết với thông tin không chắc chắn. Kể từ đó, lý thuyết tập mờ
nhanh chóng phát triển và có nhiều ứng dụng thành công trong thực tế. Chương
này sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản của tập mờ, quan hệ mờ, số mờ, biến
ngôn ngữ, các phép toán trên số mờ, sắp xếp số mờ được sử dụng trong các
chương còn lại.

2.1 Tập mờ
2.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1: Gọi X là tập cơ sở, một tập mờ

trên X được định nghĩa

thông qua một hàm liên thuộc như sau:
(2.1.1)

Giá trị của
đó,

thể hiện mức độ liên thuộc thành phần của x vào . Do

càng gần 1 thì độ liên thuộc của x vào

càng lớn.

Một tập rõ hoặc tập thông thường A có thể được xem là một tập mờ trên
X với hàm liên thuộc như sau:
(2.1.2)
Tập mờ
x và

có thể được biểu diễn bởi một tập các cặp có thứ tự của phần tử

như sau:


(2.1.3)
Khi X là một tập đếm được hoặc hữu hạn thì tập mờ

được biểu diễn

như sau:
(2.1.4)
Khi X là một tập hữu hạn có các phần tử x1, x2 ,x3 … xm thì tập mờ

biểu

diễn về mặt toán học như sau:
(2.1.5)
Khi X là vô hạn và không đếm được, tập mờ

biểu diễn về mặt toán học

như sau:
(2.1.6)
Trong các biểu thức trên, các dấu ∑, / , ∫ chỉ đơn thuần là ký hiệu, không
phải là phép lấy tổng, chia, tích phân.
2.1.2 Các khái niệm cơ bản:
Định nghĩa 2.1.2: Gọi

là tập mờ trên X. Miền hỗ trợ của tập mờ , ký hiệu

supp( ) là một tập được cho như sau:
(2.1.7)
Định nghĩa 2.1.3: Gọi

là tập mờ trên X. Chiều cao của tập mờ

, ký hiệu

hgt( ), được định nghĩa như sau:
(2.1.8)


Định nghĩa 2.1.4. Một tập mờ

là rỗng trên X, ký hiệu là

Định nghĩa 2.1.5. Một lát cắt α (α-cut) của tập mờ

nếu

trên X là một tập rõ

được định nghĩa như sau:
(2.1.9)
Định nghĩa 2.1.6. Một tập mờ

trên X gọi là chính tắc nếu chiều cao của nó là

1 và không chính tắc nếu chiều cao bé hơn 1.

2.2 Số mờ
Định nghĩa 2.2.1. Một tập mờ

trên R được gọi là một số mờ nếu thỏa mã các

điều kiện sau:
là chính tắc, nghĩa là tồn tại một x0R sao cho

(1)
;
(2)
(3)

là khoảng đóng với mọi α[0,1], ký hiệu [
Miền giá trị của

]

là giới hạn.

Định nghĩa 2.2.2 Số mờ tam giác (triangular fuzzy numbers).
Một số mờ

trên tập R là số mờ tam giác nếu hàm liên thuộc

định

nghĩa như sau:

(2.2.1)

Với -∞ < a ≤b ≤ c < +∞.


Số mờ
Gọi

có thể được ký hiệu (a,b,c).
= (a1,b1,c1) và

= (a2,b2,c2) là các số mờ. Theo nguyên lý mở rộng [4],

các phép toán thực hiện trên số mờ được biểu diễn như sau:
 Phép cộng, ⊕:
⊕

= (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2).

 Phép trừ,
= (a1 + c2, b1 + b2, c1 + a2),

 Phép nhân, :
k⊗
⊗

= (ka2, kb2, kc2), k ∈ R, k ≥ 0,
≅ (a1a2, b1b2, c1c2) a1 ≥ 0, a2 ≥ 0,

 Phép chia, :
=

≅ (1/c1, 1/b1, 1/a1), a1 > 0,

 ≅ (a1/c2, b1/b2, c1/a2), a1 ≥ 0, a2 > 0.

2.3. Biến ngôn ngữ
Trong môi trường ra quyết định, có hai hình thức sắp xếp ưu tiên thể hiện
đánh giá chủ quan của người ra quyết định được sử dụng đó là số mờ và biến
ngôn ngữ. Biến ngôn ngữ là những biến thể hiện bằng từ hoặc câu trong ngôn
ngữ tự nhiên hoặc do con người định nghĩa.
Ví dụ, các biến ngôn ngữ đánh giá tốc độ xe “rất chậm (VS)”, ”chậm
(S),” “trung bình(M)” “nhanh (F),” “rất nhanh (VF)” được biểu diễn thông qua
số mờ tam giác như hình vẽ sau:


Hình 2.1. Hàm liên thuộc biểu diễn các biến ngôn ngữ[4].
Biến ngôn ngữ được sử dụng đưa ra các đánh giá xếp loại từ người ra
quyết định. Hơn nữa, biến ngôn ngữ cũng được sử dụng để đo lường mức đạt
được của giá trị thực thi trên các tiêu chuẩn hoặc thuộc tính. Bởi vì các biến
ngôn ngữ được định nghĩa thông qua số mờ hoặc hoặc khoảng mờ mà chúng ta
có thể làm việc trên số mờ để giải quyết bài toán đa thuộc tính trong hoàn cảnh

thông tin không chắc chắn.

2.4. Khoảng mờ
Trong logic cổ điển, chỉ có hai giá trị chân lý là đúng và sai, tương ứng
với biểu diễn trên máy tính là 1 hoặc 0. Để biểu diễn sự không chắc chắn, Zadeh
đã tạo ra logic mờ sử dụng giá trị liên thuộc nằm trong khoảng [0,1]. Logic mờ
đã được sử dụng thành công trong nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong lĩnh vực tính
toán và điều khiển.
Logic mờ diễn tả sự không chắc chắn thông qua một giá trị thực nằm
trong khoảng [0,1]. Tuy nhiên, trong một số hoàn cảnh, người ta mong muốn
không đưa ra một giá trị chính xác nằm trong khoảng [0,1] mà là những giá trị
chung chung hơn, cụ thể nằm trong khoảng nào đó.
Ví dụ, khi chuyên gia không chắc chắn vì một điều gì đó, chuyên gia đó
cũng có thể không chắc chắn về mức độ liên thuộc của nó. Mức độ liên thuộc có


thể phân biệt nếu giá trị cách biệt nhau như 0.6 và 0.7 nhưng lại khó để chắc
chắn mức độ liên thuộc là 0.6 hay 0.61. Do đó, có một cách là chuyên gia không
diễn tả mức độ liên thuộc là một số thực mà thay vào đó là một khoảng mờ. Giải
pháp là thực hiện tính toán trên khoảng mờ nhằm giảm thiểu lỗi của chuyên gia.
2.4.1. Các phép toán trên khoảng.
Gọi X=[a,b] và Y=[c,d] là các khoảng, các phép toán số học trên khoảng
được định nghĩa như sau:
 Phép cộng:
X + Y = [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]
 Phép đảo ngược:
Nếu X = [a, b] thì: - X = [-b, -a]
 Phép trừ:
X - Y = X + (-Y) = [a, b] + [-d, -c] = [a - d, b - c]
 Phép nhân:

X. Y = [a, b]. [c, d] = [min{ac, bc, ad, bd}, max{ac, ad, bc, bd}]
 Phép lấy nghịch đảo:
Gọi X = [a, b], sao cho [0,0] ∉ X thì: X-1 = 1/X = [1/b, 1/a]
 Phép chia:
X/Y = X.1/Y = [a, b]. [1/d, 1/c] = [min{a/d, b/d, a/c, b/c}, max {a/d, b/d,
a/c, b/c}], nếu 0 ∉ [c, d]


2.4.2. Tập khoảng mờ và các phép toán
Gọi A là tập khoảng mờ, A được định nghĩa như sau:
(x)) / x ∈ R và

A= {(x,

(x) ∈ I[0,1]},

(3.4.1)
trong đó,

chỉ mức độ liên thuộc vào tập khoảng mờ A và I[0,1] là tập

các khoảng nằm giữa 0 và 1, I[0,1] = { [a, b] ∈ IR / 0 ≤ a ≤ b ≤ 1}, IR là tập các
khoảng trong R.
Gọi A and B là các tập khoảng mờ với with

(x) = [a1, a2] and

(x)=[b1,b2].
Phép giao := {(x, [max(a1,b1), max(a2,b2)])}
Phép hợp := {(x, [min(a1,b1), min(a2,b2)])}

Phép bù := {(x, [1-a2, 1-a1])}

2.5 Các phép toán số học mờ.
Các phép toán số học mờ gồm phép cộng, trừ, nhân, chia trên các số mờ.
Các phép toán này dựa trên nguyên tắc mở rộng và toán học α-cut, những phần
sau trình bày về những phép toán số học mờ dựa trên hai phần này
2.5.1 Nguyên lý mở rộng
Gọi

,

là hai số mờ và z là một sự kiện. Hàm liên thuộc cho 4 phép

toán cơ bản của hai số mờ

,

định nghĩa là:
(2.5.1)