(Demo) Tài liệu Toán Dành cho Chuyên Lý

Chuyên đề 1. Vecto
Chuyên đề 2. Hệ trục tọa độ
Chuyên đề 3. Công thức lượng giác
Chuyên đề 4. Tọa độ phẳng
Chuyên đề 5. Hàm bậc hai và hàm số tổng quát
Chuyên đề 6. Giới hạn
Chuyên đề 7. Đạo hàm và ứng dụng
Chuyên đề 8. Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
Chuyên đề 9. Hàm số mũ – Hàm số Logarit và ứng dụng


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Bộ tài liệu các em đang đọc là tâm huyết do E.T.C biên soạn, biên tập và tổng
hợp dành riêng cho các em học sinh lớp 10 Chuyên Lý với mục đích giúp các em
học tốt các kiến thức Toán có liên quan và phục vụ trực tiếp cho việc giải các bài tập
Vật lý Chuyên, nâng cao,…
Để bộ tài liệu phát huy được hết giá trị mà nó mang lại, E.T.C khuyên các em
nên sử dụng tài liệu kết hợp với bộ sách giáo khoa và sách bài tập (cơ bản hoặc
nâng cao) do Nhà xuất bản Giáo dục ban hành.
E.T.C mong rằng, bộ tài liệu Toán này sẽ giúp được các em tiếp cận được với
kiến thức Vật lý một cách nhanh nhất, dễ dàng nhất.
Trong quá trình sử dụng tài liệu, nếu có khó khăn trong việc tự học, tự làm
bài tập hay có những ý kiến đóng góp cho E.T.C nói chung và bộ tài liệu nói riêng
các em hãy liên lạc trực tiếp với E.T.C qua các kênh thông tin, liên lạc sau:
Facebook:

www.facebook.com/etcgroup.edu.vn

Website:

www.etcgroup.edu.vn
www.tochucgiaoducetc.xyz

Mail:



Hotline:

0964 595 404 – 0966 868 747 – 0946 595 404

Bên cạnh đó, E.T.C có các nhóm học tối đa 5 học sinh hoặc gia sư tại nhà, nếu
các em có mong muốn tham gia học, hãy liên hệ tới E.T.C.
E.T.C cảm ơn các em học sinh đã tin tưởng!
Ban biên tập

2
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÀN CHUYÊN ĐỀ
1. Vecto là một đoạn thẳng có hướng.
• Vecto có điểm đầu (gốc) là A và điểm
cuối (ngọn) là B ta ký hiệu vecto đó là
! !"
AB .
• Đường thẳng AB (đường thẳng d ) là
! !"

giá của vecto AB .
• Một vecto xác định nào đó có thể ký hiệu bằng một chữ in thường với
! ! ! ! ! !
mũi tên như: a , b , u, v , x , y ,…
• Vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vecto-không.
! """! """!
Ký hiệu: 0 , AA , XX ,…
2. Các vecto cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
• Vecto-không cùng phương với mọi vecto.
!!" !!!" !!" !!!"
• Các vecto AB , CD , EF , GH là các vecto cùng phương.
3. Các vecto cùng phương thì chúng cùng hướng
hoặc ngược hướng.
• Vecto-không cùng hướng với
mọi vecto.

!!" !!"
• Các vecto AB , EF là hai vecto

cùng hướng.
!!" !!"
Ký hiệu AB ↑↑ EF .
!!" !!!"
• Các vecto AB , GH là hai vecto ngược hướng.
!!" !!!"
Ký hiệu AB ↑↓ GH .
4. Độ lớn (độ dài) của một vecto là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối
của vecto đó.

!

!
• Ký hiệu: a là độ lớn (độ dài) của vecto a .
! !"
!!"
• AB = AB = BA = BA .

3
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

•

!
0 = 0.

5. Các vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
! !
!
!
• Ký hiệu: a = b ta nói hai vecto a và b bằng nhau.
6. Hai vecto đối nhau nếu cùng có cùng độ dài và ngược hướng.
!
!
• Vecto a và −a là hai vecto đối nhau.
! !"
! !"
• Vecto AB và −AB là hai vecto đối nhau.
! !"

!!"
• Vecto AB và BA là hai vecto đối nhau.
!
!
!
!
! !
!
!
• Vecto a và b thỏa mãn a ↑↓ b và a = b nên a và b là hai vecto đối
nhau.
7. Tích của một số với một vecto
!
!
Với số thực k và vecto a ta có ka là một vecto thỏa mãn:
! !
!
!
• Với k > 0 ta có ka ↑↑ a và ka = k . a .
! !
!
!
• Với k < 0 ta có ka ↑↓ a và ka = k . a .
! !"
!!!"
Hai đường thẳng AB và CD song song khi và chỉ khi AB = kCD .
! !"
!!!"
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = kAC .
! " "!

! ""!
8. Quy tắc tính tổng (cộng) hai vecto a = AB và b = BC :
! ! ""! ""! """!
a + b = AB + BC = AC
• Phép cộng hai vecto có tính chất giao hoán, kết hợp
như phép cộng các số.
• Tổng của một vecto với vecto-không bằng chính
vecto đó.
9. Quy tắc hình bình hành

!!" !!!" !!!"
ABCD là hình bình hành ta có AB + AD = AC .

10. Quy tắc trung điểm

M là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có:
!!!" !!!" "
• MA + MB = 0 .
!!!" !!"
!!!"
OA
+
OB
=
2OM
• Với điểm O bất kỳ ta có
4
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn

TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

11. Quy tắc trọng tâm

G là trọng tâm của ΔABC ta có:
!!!" !!" !!!" "
• GA + GB + GC = 0
!!!" !!" !!!"
!!!"
• Với điểm O bất kỳ ta có OA + OB + OC = 3OG
! """!
! " "!
12. Quy tắc hiệu của hai vecto a = OA và b = OB :
! ! """! ""! ""!
a − b = OA −OB = BA
13. Định lý Menelaus
Cho ΔABC , các điểm M, N, P lần lượt nằm trên các đường AB, BC, CA .
Ba điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi

MA NB PC
.
.
= 1.
MB NC PA

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Vấn đề 1.
Xác định một vecto từ điểm cho trước.
Xác định sự cùng phương, hướng của các vecto.
Xác định các vecto bằng nhau.

Xác định các vecto đối nhau.
Sử dụng kiến thức trong lý thuyết 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD .
a) Chỉ ra các đoạn thẳng được tạo ra từ bốn đỉnh của hình bình hành.
b) Chỉ ra các vecto được tạo ra từ bốn đỉnh của hình bình hành.
c) Chỉ ra các vecto cùng phương.
d) Chỉ ra các vecto cùng chiều.
e) Chỉ ra các vecto ngược chiều.
f) Chỉ ra các vecto có độ lớn bằng nhau.
g) Chỉ ra các vecto bằng nhau.
h) Chỉ ra các vecto đối nhau.
Lời giải.
a) Các đoạn thẳng được tạo ra từ bốn điểm A ,

B , C , D là: AB , AC , AD , BC , BD , CD .
b) Các vecto được tạo ra từ bốn điểm A , B , C ,
5
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

!!!"
! !"
!!!"
AA ,
AB ,
AC ,
D
là:

!!!" !!!" !!" !!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
BD , CA , CB , CC , CD , DA , DB , DC , DD .

!!!"
AD

,

!!"
BA

,

!!"
BB

,

!!"
BC

,

c) Ta có ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AD//BC .
!!!" !!" !!" !!!" !!" !!" !!!" !!!"
• Do AB//CD nên ta có các vecto AA , BB , CC , DD , AB , BA , DC , CD
cùng phương.

!!!" !!" !!" !!!" !!!" !!!" !!" !!"
• Do AD//BC nên ta có các vecto AA , BB , CC , DD , AD , DA , BC , CB

cùng phương.
!!!" !!" !!" !!!" !!" !!!"
d) Các vecto AA , BB , CC , DD , AB , DC cùng chiều.
!!!" !!" !!" !!!" !!" !!!"
Các vecto AA , BB , CC , DD , BA , CD cùng chiều.
!!!" !!" !!" !!!" !!!" !!"
Các vecto AA , BB , CC , DD , AD , BC cùng chiều.
!!!" !!" !!" !!!" !!!" !!"
Các vecto AA , BB , CC , DD , DA , CB cùng chiều.
!!!" !!" !!" !!!" !!!"
Các vecto AA , BB , CC , DD , AC cùng chiều.
!!!" !!" !!" !!!" !!!"
Các vecto AA , BB , CC , DD , CA cùng chiều.
!!!" !!" !!" !!!" !!!"
Các vecto AA , BB , CC , DD , BD cùng chiều.
!!!" !!" !!" !!!" !!!"
Các vecto AA , BB , CC , DD , DB cùng chiều.
!!" !!!"
!!" !!!"
e) Các vecto ngược chiều với AB , DC là BA , CD .
!!!" !!"
!!!" !!"
Các vecto ngược chiều với AD , CB là DA , BC .
!!!"
!!!"
Các vecto ngược chiều với AC là CA .
!!!"
!!!"
Các vecto ngược chiều với BD là DB .

!!!" !!" !!" !!!"
f) Các vecto AA , BB , CC , DD là các vecto có cùng độ lớn bằng 0.
!!!" !!!"
Các vecto AC , CA là các vecto có cùng độ lớn.
!!!" !!!"
Các vecto BD , DB là các vecto có cùng độ lớn.
Ta có ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AD = BC .
!!" !!!" !!" !!!"
• Do AB = CD nên AB , DC , BA , CD là các vecto có cùng độ lớn.
!!!" !!" !!!" !!"
• Do AD = BC nên AD , CB , DA , BC là các vecto có cùng độ lớn.
!!" !!!" !!" !!!" !!!" !!" !!!" !!"
g) AB = DC ; BA = CD ; AD = BC ; DA = CB
!!" !!!"
!!" !!!"
h) Các vecto đối của AB , DC là BA , CD .
6
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

!!!" !!"
!!!" !!"
Các vecto đối của AD , CB là DA , BC .
!!!"
!!!"
Các vecto đối của AC là CA .
!!!"
!!!"

Các vecto đối của BD là DB .

Vấn đề 2.
Xác định điểm, vecto từ các quy tắc tổng, hiệu, nhân với một số.
Ví dụ. Cho ΔABC .
a) Dựng điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành.
!!!" 1 !!!"
!!!" !!!" "
b) Dựng điểm M và N lần lượt thỏa mãn MB + MC = 0 và AN = AD .
2
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
c) Tính NC + MC ; AM + CD ; AD + NC .
Lời giải.

!!" !!!"
⎧⎪AB//CD
a) Để ABCD là hình bình hành thì ⎪⎨
hay BA = CD .
⎪⎪⎩AB = CD
!!!"
!!!" !!"
Do đó, điểm D là điểm cuối (ngọn) của vecto CD thỏa mãn CD = BA .

!!!" !!!" "
b) Điểm M thỏa mãn MB + MC = 0 , theo quy tắc trung điểm ta có M là trung
điểm của BC .

!!!" 1 !!!"
Điểm N thỏa mãn AN = AD , theo quy
2

tắc nhân vecto với một số thực ta có N là
!!!"
!!!"
điểm cuối của vecto AN thỏa mãn AN
!!!"
cùng chiều với AD do đó N nằm trên
đường thẳng AD cùng phía với điểm D so
1
với A và AN = AD . Suy ra N là trung điểm của AD .
2
!!!" !!!"
c) Tính NC + MC :
7
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Vì

M là trung điểm của BC nên MC = BC .
2
N là trung điểm của AD nên AN = AD .
2
ABCD là hình bình hành nên BC = AD và BC//AD .
!!!" !!!"
Suy ra MC = AN và MN //AN do đó NC = AM
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
Ta có NC + MC = AM + MC = AC .
!!!" !!!"

Tính AM + CD :
!!!" !!!" !!!" !!!" !!!"
AM + CD = NC + CD = ND
!!!" !!!"
Tính AD + NC :
!!!" !!!" !!!" !!!"
AD + NC = AD + AM
!!!" !!!"
!!"
Cách 1. Áp dụng quy tắc trung điểm ta có AD + AM = 2AI với I là trung
!!!" !!!"
!!"
điểm của DM , do đó AD + NC = 2AI với I là trung điểm của DM .
!!!" !!!" !!"
Cách 2. Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có AD + AM = AE với E là đỉnh
của hình bình hành ADEM .
Vấn đề 3.
Xác định và tính độ dài (độ lớn) của vecto
Ví dụ: Cho ΔOBC vuông cân tại O có OB = OC = a . Dựng và tính độ dài của các
vecto sau:
!!" !!!"
a) OB + OC
!!" !!!"
b) OB −OC
! !"
!!!"
c) 3OB + 4OC
11 !!" 3 !!!"
OB − OC
d)

4
7
Lời giải.
!!" !!!"
!!"
a) OB + OC = 2OI với I là trung điểm của BC .
!!" !!!"
!!"
OB + OC = 2OI = 2OI

O

ΔOBC vuông cân tại O có OB = OC = a , OI

là đường cao cũng là đường trung tuyến, ta

8
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

BC
OB 2 + OC 2 a 2
=
=
có: OI =
.
2
2

2
!!" !!!" a 2
Vậy OB + OC =
.
2
!!" !!!" !!"
!!" !!!"
!!"
b) OB −OC = CB ⇔ OB −OC = CB = CB = a 2 .
!!" !!!"
Vậy OB −OC = a 2 .
! !"
! !"
!!"
!!!"
c) Dựng OE = 3OB và OF = 4OC .
⇒ OE = 3OB = 3a

và OF = 4OC = 4a
! !"
!!!" !!" !!"
!!!"
3OB + 4OC = OE + OF = 2OM với

M là trung điểm của EF .
! !"
!!!"
!!!"
3OB + 4OC = 2OM = 2OM .
ΔOEF vuông

tại O , OM là

đường trung tuyến ứng với cạnh

EF
OE 2 + OF 2
=
=
huyền EF , ta có: OM =
2
2
! !"
!!!" 5a
Vậy 3OB + 4OC =
.
2
!!!" 11 !!"
!!" 3 !!!"
d) Dựng OD = OB và OE = OC
4
7
11
11
⇒ OD = OB = a
4
4
3
3
và OE = OC = a

7
7
11 !!" 3 !!!" !!!" !!" !!!"
OB − OC = OD −OE = ED
4
7
!!!"
11 !!" 3 !!!"
OB − OC = ED = ED
4
7
2

(3a)

2

+ ( 4a)

2

2

=

5a
.
2

2

⎛ 11 ⎞ ⎛ 3 ⎞
a 6073
.
= OD + OE = ⎜⎜ a⎟⎟⎟ + ⎜⎜ a⎟⎟⎟ =
⎝⎜ 4 ⎠ ⎜⎝ 7 ⎠
28
2

2

9
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Vấn đề 4.
Biểu diễn một vecto qua hai vecto không cùng phương.
Ví dụ: Cho ΔOAB có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh OA, OB . Biểu diễn
!!!" !!!!" !!!" !!!"
!!!" !!"
các vecto OM , MN , AN , MB theo hai vecto OA , OB .
Lời giải.

!!!" 1 !!!" 1 !!!"
! !"
• Vì M là trung điểm của OA nên ta có OM = OA = OA + 0OB .
2
2

!!!!" !!!" !!!" 1 !!" 1 !!!"
• MN = ON −OM = OB − OA .
2
2
!!!" !!!" !!!" 1 !!" !!!"
• AN = ON −OA = OB −OA .
2
!!!" !!" !!!" !!" 1 !!!"
• MB = OB −OM = OB − OA .
2

Vấn đề 5.
Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vecto.
Ví dụ: Cho ΔABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:
!!!" !!!" !!!"
!!!" !!!"
2 MA + MB + MC = 3 MB + MC .
Lời giải.

!!" !"
! !!" "
• Lấy điểm I thỏa mãn IA + IB + IC = 0 ta có I là trọng tâm ΔABC .
!"
! !!" "
• Lấy điểm J thỏa mãn JB + JC = 0 ta có J là trung điểm của BC .
!!!" !!!" !!!" !!!" !!" !!!" !"
! !!!" !!"
!!!" !!" !"
! !!"
• MA + MB + MC = MI + IA + MI + IB + MI + IC = 3MI + IA + IB + IC

!!!" "
!!!"
= 3MI + 0 = 3MI
!!!" !!!" !!!" !"
! !!!" !!"
!!!" !"
! !!"
!!!" "
!!!"
• MB + MC = MJ + JB + MJ + JC = 2MJ + JB + JC = 2MJ + 0 = 2MJ
!!!" !!!" !!!"
!!!" !!!"
!!!"
!!!"
• 2 MA + MB + MC = 3 MB + MC ⇔ 2 3MI = 3 2MJ ⇔ 2.3MI = 3.2MJ

(

(

)

)

⇔ MI = MJ

• Vì I , J là các điểm cố định đã xác được theo cách dựng. Điểm M thỏa mãn
MI = MJ nên M luôn nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng IJ .

Vậy tập hợp điểm M là trung trực của IJ .

10
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho ΔABC .

!!!" 1 !!!"
a) Dựng điểm M thỏa mãn MC = MB .
3
!!!"
! !"
!!!"
b) Phân tích vecto AM theo hai vecto AB và AC .
!!!"
!!!"
!!"
c) Biểu diễn vecto AG theo các vecto CA và CB , biết G là trọng tâm ΔABC .
!!!"
d) Gọi CK là đường phân giác trong của ΔABC . Biểu diễn vecto CK theo các
!!!" !!"
vecto CA , CB .
!!!" !!!" !!" !!"
Bài 2. Cho lục giác đều ABCDEF . Hãy biểu diễn các vecto AC , AD , AF , EF theo các
! !"
! !"
vecto AB và AE .
Bài 3. Cho hình thang ABCD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Qua O

! !"
!!!"
AB
kẻ MN //AB (
là đáy của hình thang, M ∈ AD , N ∈ BC ). Đặt AB = a, DC = b .
! !"
!!!"
!!!!" bAB + aDC
Chứng minh rằng: MN =
.
a+b
!!!" !!!" !!!" !!!"
Bài 4. Cho ΔABC đều cạnh a. Tính AB + AC ; AB − AC .
!!!" !!!" !!!"
Bài 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB + AC + AD .
!!!" !!!" !!!"
Bài 6. Cho ΔABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA ,HB ,HC .
!!!" !!!"
Bài 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ AB + AD ,
!!!" !!!" !!!" !!!"
AB + AC , AB − AD .
Bài 8. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
!!" !"
! !!" "
a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = 0 .
!!!" !!" !!!"
!!"
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI .
Bài 9. Cho ΔABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là
tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh:

!!!"
!!!"
a) AH = 2OM
!!!" !!!" !!!"
!!!"
b) HA + HB + HC = 2HO
!!!" !!" !!!" !!!"
c) OA + OB + OC = OH .
Bài 10. Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt có các trọng tâm là G và G′.
11
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

!!!!" !!!" !!!"
!!!"
′
′
′
a) Chứng minh AA + BB + CC = 3GG′ .

b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 11. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng
!!!"
!!!"
!!!"
1
2
minh: AM = AB + AC .

3
3
Bài 12. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N
!!!"
!!!"
là điểm thuộc AC sao cho CN = 2NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
!!!"
!!!"
!!!"
1
1
a) AK = AB + AC
4
6
!!!"
!!!"
!!!"
1
1
b) KD = AB + AC
4
3
Bài 13. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng
minh rằng:
!!!"
!!" !!!"
1
a) AM = OB −OA
2
!!!"

!!!" !!"
1
b) BN = OC −OB
2
!!!!"
!!!" !!"
1(
c) MN = OC −OB)
2
Bài 14. Cho ΔABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
!!!"
!!!"
!!!"
2
4
a) AB = − CM − BN
3
3
!!!"
!!!"
!!!"
4
2
b) AC = − CM − BN
3
3
!!!!"
!!!"
!!!"
1

1
c) MN = BN − CM .
3
3
Bài 15. Cho ΔABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
!!!"
!!!"
!!!"
!!!"
!!!" !!!"
2
1
1(
a) Chứng minh: AH = AC − AB và CH = − AB + AC ) .
3
3
3
!!!!"
!!!"
!!!"
1
5
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH = AC − AB .
6
6
!!!"

"

!!!"

"

Bài 16. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a, AD = b . Gọi I là trung điểm của CD,
12
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

!"
! !!!"
! !
G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI , AG theo a, b .
!!!"

!!!"

Bài 17. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ BC và BD theo các vectơ
!!!"
!!!"
AB và AF .

Bài 18. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích
!!!" !!!" !!!"
!!!"
vectơ AM theo các vectơ OA,OB,OC .

Bài 19. Cho ΔABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P
!!!"

!!!" !!!"
!!!" !!!" !!!" "
sao cho MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = 0 .
!!!" !!!"
!!!" !!!"
a) Tính PM ,PN theo AB, AC

b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Bài 20. Cho ΔABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
!!!" !!!" !!!!" "
a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = 0
!!!" !!!" !!!"
!!!"
!!!!"
!
!
"
"
b) Đặt BB1 = u,CC1 = v . Tính BC ,CA, AB theo u và v .

Bài 21. Cho ΔABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên
cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC.
!!" !!!"
!!!"
!!!"
a) Tính AI , AF theo AB và AC .

!!!"
!!"
!!!"

b) Gọi G là trọng tâm ΔABC. Tính AG theo AI và AF .

Bài 22. Cho ΔABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
!!!"

!!!" !!!"

"

a) Chứng minh: HA − 5HB + HC = 0 .
!!!"

"

!!!"

"

!!!" !!!"

!

!

b) Đặt AG = a, AH = b . Tính AB, AC theo a và b .
Bài 23. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng
minh:

!!!" !!" !!!"
a) AC − BA = AD ;

!!!" !!!"
b) Nếu AB + AD =

!!!" !!!"
AB + AD = AC
!!" !!!"
CB −CD thì ABCD là hình chữ nhật.

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

13
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn