Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc vô hạn)

Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc
vô hạn)


Mục lục
1

2

Dãy số thực

1

1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Ý nghĩa thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3

Biên của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.4

Dãy số thực đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.4.2

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.5

Dãy số thực bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.6

Giới hạn của một dãy số thực

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.6.1

Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.6.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.6.3

Một số giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.7

Vô cùng bé, vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.8

Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.9

am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.10 Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Đại số sơ cấp

4

2.1

Ký hiệu đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1

Biến số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Đánh giá biểu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.3

Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.4

Tính chất của đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.5

Tính chất của bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Giải các phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.1

Phương trình tuyến tính với một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.2

Phương trình tuyến tính với hai biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.3

Phương trình bậc hai

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.4

Phương trình số mũ và phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3.5

Phương trình căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3.6

Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3.7

Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác

9

2.3

i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


ii

MỤC LỤC
2.3.8

Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình . . . . . . . . . . . . .

9

2.4

Chú thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.5

Đọc thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.6

Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.6.1

Văn bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.6.2

Hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.6.3

Giấy phép nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12


Chương 1

Dãy số thực
Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc vô hạn) gồm nhiều số từ x 1 , x 2 ,…x. Tập hợp các số này có thứ
liệt kê các số thực theo một thứ tự nào đó.
tự, nghĩa là có số đầu tiên (x 1 ), số thứ 2 (x 2 ) và các số
tiếp theo.

1.1 Định nghĩa

1.3 Biên của dãy

eo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một
ánh xạ a: N → R , trong đó N là tập hợp số tự nhiên, Cho dãy (xn )n≥1 . Tập hợp các giá trị của dãy:
hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một
số tự nhiên m nào đó. Khi đó thay cho a(n) ta dùng ký
hiệu a.
(x1 , x2 , x3 , · · · ) = (xn ; n = 1, 2, 3, · · · )
được gọi là biên của dãy đó.

a = a(n)

Biên này không có thứ tự. Ví dụ, cho dãy (−1)n n≥1 ,
có biên là {−1,1}. Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và −1.

Nếu X là hữu hạn ta có dãy hữu hạn:
a,…, a.

1.4 Dãy số thực đơn điệu

Ngược lại nó được xem là vô hạn.

1.4.1 Định nghĩa

a0 , a1 ,…, a,…

Cho dãy số thực (xn )n≥1 với x là các số thực. Nó là

Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn
với các phần tử từ thứ m trở đi là bằng nhau.

• Không tăng khi và chỉ khi xn ≥ xn+1 với mọi
n≥1.

Khi bắt đầu từ phần tử an0 dãy thường được ký hiệu:

• Không giảm khi và chỉ khi xn ≤ xn+1 với mọi
n≥1.

(xn )n≥n0 với x là phần tử thứ n.
Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử a1
.

Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy
đó là dãy đơn điệu.
Ví dụ, với dãy (2n )n≥1 , ta có 2n+1 = 2n .2 . Do 2 > 1
nên 1.2n < 2.2n , hay 2n < 2n+1 . Suy ra (2n )n≥1 là
dãy tăng.

(xn )n≥1 với x là phần tử thứ n

Sau đây sẽ chủ yếu đề cập đến các dãy số thực vô
hạn. Nhiều định nghĩa và kết quả dưới đây có thể mở
rộng cho dãy các phần tử trong không gian metric hoặc 1.4.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
không gian topo.
Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không
là dựa vào đạo hàm của hàm số tương ứng.
(
)
1.2 Ý nghĩa thực tế
Ví dụ như cho dãy ln(n)
. Xét hàm số:
n
n≥1

Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua
quá trình thu thập dữ liệu. Các dữ liệu thu thập có thể

f (x) =

1

ln(x)
x

với x ≥ 1


2

CHƯƠNG 1. DÃY SỐ THỰC

Lấy đạo hàm của nó, ta thu được:
1 − ln(x)
ln′ (x)x − (x)′ ln(x)
=
f (x) =
x2
x2
Đạo hàm này nhỏ hơn không
( khi
) x > e. Điều này xảy
ln(n)
ra với mọi n > 2, nên dãy
là dãy giảm.
n
′

n≥3

1.5 Dãy số thực bị chặn
Dãy (xn )n≥1 bị ặn trên khi và chỉ khi tồn tại T ở đó
xn ≤ T , với mọi n ≥ 1 . Số T được gọi là giá trị chặn
trên.
Ngược lại, dãy (xn )n≥1 bị ặn dưới khi và chỉ khi tồn
tại D ở đó xn ≥ D , với mọi n ≥ 1 . Số D được gọi là
giá trị chặn dưới.

1.6.1 Các định lý cơ bản
1. Nếu dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn.
2. Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.
3. Nếu limn→∞ xn = a, limn→∞ yn = b và xn ≤
yn , ∀n ∈ N thì a ≤ b .
4. Nếu limn→∞ xn = limn→∞ yn = a và xn ≤
zn ≤ yn , ∀n ∈ N thì limn→∞ zn = a .
5. Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó
bị chặn trên (dưới).

1.6.2 Tính chất
Nếu các dãy (x) và (y) hội tụ và

Nếu một dãy có cả hai tính chất trên thì dãy đó được
gọi là dãy bị chặn.
Ví dụ, dãy (3n )n≥1 bị chặn dưới bởi 3 vì nó luôn có giá
trị dương lớn hơn hoặc bằng 3.

1.6 Giới hạn của một dãy số thực

limn→∞ xn = L1 and limn→∞ yn = L2
thì

lim (xn + yn ) = L1 + L2

n→∞

lim (xn yn ) = L1 L2
Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo n→∞
sát một số dãy số thực, có thể tiến “rất gần” một số nào
và (nếu L2 khác 0)
đó. Chẳng hạn, xét dãy số thực:
2, 32 , 43 , . . . , n+1
n ,...
lim (xn /yn ) = L1 /L2

hay
2, 1 +

n→∞
1
2, 1

+

1
3, . . . , 1

+

1
n, . . .

Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số n1 trở nên nhỏ 1.6.3 Một số giới hạn cơ bản
tuỳ ý, do đó số hạng thứ n của dãy 1 + n1 có thể tiến
gần đến 1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý. Người ta diễn đạt lim 1 = 0 if p > 0
n→∞ np
điều đó bằng định nghĩa sau
Đinh nghĩa
Cho dãy số thực (x) và một số thực x. Khi đó nếu:
∀ ϵ > 0, ∃ n0 ∈ N , ∀ n > n0 , |xn − x| <
ϵ .
thì x được gọi là giới hạn của dãy (x). Khi đó ta cũng
nói dãy (x) hội tụ.
Giới hạn của dãy thường được ký hiệu:
lim xn = x

n→∞

.
Hoặc
lim xn = x (khi n → ∞)

lim an = 0 if |a| < 1

n→∞

1

lim n n = 1

n→∞

1

lim a n = 1 if a > 0

n→∞

1.7 Vô cùng bé, vô cùng lớn
• Nếu một dãy số có giới hạn là 0 thì nó được gọi là
một vô cùng bé.
• Nếu: ∀ M > 0, ∃ n0 ∈ N , ∀ n > n0 , |xn | >
M ; . thì dãy xn được gọi là vô cùng lớn. Khi đó ta
cũng viết:
lim xn = ∞

n→∞


1.10. LIÊN KẾT NGOÀI

1.8 Xem thêm
• Dãy Farey
• Dãy ue-Morse
• Dãy Fibonacci
• Cấp số cộng
• Cấp số nhân
• Dãy (toán học)

1.9 Tham khảo
1.10 Liên kết ngoài

(bằng tiếng Anh)
• e On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

3


Chương 2

Đại số sơ cấp
y

những thuật ngữ riêng. Ví dụ, biểu thức 3x2 − 2xy + c
có những thành tố sau:

3
2
1
−3

y=

−2

−1

x2−x−2

0

1

2

3

x

−1
1: số
mũ, 2: hệ số, 3: số hạng, 4: toán tử, 5: hằng số, x, y :
các biến số

−2
−3

Một hệ số là một giá trị số nhân với biến số (toán tử
được bỏ qua), số hạng là một hạng thức, một nhóm các
Đồ thị phẳng (đường cong parabol màu đỏ) của phương trình hệ số, biến số, hằng số và số mũ được phân tách với
đại số y = x2 − x − 2
những số hạng khác bằng các dấu cộng và trừ.[3] Các
biến số và hằng số thường được biểu diễn bằng các chữ
Đại số sơ cấp bao gồm những khái niệm cơ bản của đại cái. eo quy ước, các chữ cái ở đầu của bảng chữ cái (ví
số, một phân nhánh của toán học. Đại số sơ cấp thường dụ a, b, c ) thường dùng để biểu diễn các hằng số và các
được dạy ở cấp trung học cơ sở và được xây dựng dựa chữ cái ở cuối bảng chữ cái (ví dụ x, y and z ) thường
trên những hiểu biết về số học. Trong khi số học liên được dùng để biểu diễn các biến số.[4] Chúng thường
quan tới những con số cụ thể,[1] đại số giới thiệu những được viết bằng chữ nghiêng.[5]
con số không có giá trị cố định, được gọi là các biến Các phép tính đại số hoạt động giống các phép tính
số.[2] Việc sử dụng biến số đòi hỏi phải sử dụng ký hiệu trong số học,[6] ví dụ như cộng, trừ, nhân, chia và lũy
đại số và hiểu các quy tắc chung của các phép tính được thừa[7] và được áp dụng cho các biến số và số hạng đại
sử dụng trong số học. Khác với đại số trừu tượng, đại số. Biểu tượng thể hiện phép nhân thường được bỏ qua,

số sơ cấp không quan tâm tới cấu trúc đại số ngoài số và được ngầm hiểu khi không có khoảng trống giữa hai
thực và số phức.
biến số và số hạng, hoặc khi một số hạng được sử dụng.
Ví dụ, 3 × x2 được viết thành 3x2 , và 2 × x × y có thể
được viết thành 2xy .[8] .

Việc sử dụng các biến số để biểu hiện các con số cho
phép biểu diễn chính xác mối quan hệ chung giữa
những con số, do đó giúp giải quyết bài toán rộng hơn.
Phần lớn các kết quả định lượng trong khoa học và toán
học thường được biểu diễn dưới dạng phương trình đại
số.

ường các số hạng với số mũ cao nhất được viết về
bên trái, ví dụ, x2 sẽ được viết về bên trái của x . Khi
một số hạng là một, số một thường được bỏ qua (ví dụ
1x2 được viết thành x2 ).[9] Cũng như vậy, khi số mũ
là một (ví dụ 3x1 được viết thành 3x ).[10] . Khi số mũ
là không, kết quả luôn là 1 (ví dụ x0 luôn được viết lại
2.1 Ký hiệu đại số
thành 1).[11] Tuy nhiên 00 , là một số không xác định,
không được xuất hiện trong biểu thức, và cần phải chú
Ký hiệu đại số miêu tả cách đại số được biểu hiện. Nó ý khi rút gọn các biểu thức trong đó các biến số xuất
tuân theo một vài quy tắc và quy ước nhất định, và có xuất hiện dưới dạng số mũ.
4


2.2. CÁC KHÁI NIỆM

2.2 Các khái niệm

2.2.1

Biến số

5
• Các biểu thức có thể đưa các nhân tử ra ngoài. Ví
dụ, 6x5 + 3x2 , chia cả hai số hạng với 3x2 ta có
thể viết thành 3x2 (2x3 + 1)

Đại số sơ cấp xây dựng và mở rộng số học[12] bằng cách 2.2.3
giới thiệu các chữ cái được gọi là biến số để thể hiện
những số chung (không xác định). Điều này đem lại
một vài lợi ích:

Phương trình

1. Biến số đại diện o những số ưa biết giá trị.
Ví dụ, nếu nhiệt độ ngày hôm nay, T, là 20 độ cao
hơn nhiệt độ ngày hôm qua, Y, thì bài toán có thể
được biểu diễn dưới dạng toán học là T = Y + 20
.[13]
1. Biến số o phép ta biểu diễn những bài toán
ung,[14] mà không cần phải cụ thể hóa giá trị
của những con số có liên quan.Ví dụ, người ta có
thể nêu cụ thể 5 phút bằng với 60 × 5 = 300 giây.
Một cách mô tả chung hơn bằng đại số có thể miêu
tả số giây, s = 60 × m , trong đó m là số phút.
1. Biến số o phép miêu tả những mối quan hệ
toán học giữa những con số có thể dao động.[15]
Ví dụ, mối quan hệ giữa chu vi, c, và đường kính,

d, của một đường tròn có thể được biểu diễn là
π = c/d .
1. Biến số o phép mô tả một vài tính ất của
toán học. Ví dụ, một tính chất cơ bản của phép
cộng là tính giao hoán, trong đó nêu rõ rằng trật
tự của các số được cộng không quan trọng. Tính
giao hoán có thể được thể hiện dưới dạng đại số là
(a + b) = (b + a) .[16]

2.2.2

Đánh giá biểu thức

Hình động mô tả Định lý Pythago đối với tam giác vuông, trong
đó thể hiện mối quan hệ đại số giữa cạnh huyền, và hai cạnh
còn lại của một tam giác.

Một phương trình mô tả hai biểu thức là bằng nhau
bằng cách sử dụng biểu tượng của đẳng thức, = (dấu
bằng).[18] Một trong những phương trình nổi tiếng nhất
mô tả định luật Pytago liên quan đến chiều dài các cạnh
của một tam giác vuông.[19]

Những biểu thức đại số có thể được đánh giá và rút gọn,
dựa trên những tính chất cơ bản của các phép tính số c2 = a2 + b2
học (cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa). Ví dụ,
Phương trình này thể hiện rằng c2 , đại diện cho bình
• Các số hạng cộng có thể được rút gọn bằng cách phương cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông), bằng
sử dụng hệ số. Ví dụ, x + x + x có thể được rút tổng (phép cộng) bình phương hai cạnh còn lại, được
đại diện bằng các chữ cái a và b

gọn thành 3x (trong đó 3 là hệ số)
Phương trình là một sự xác nhận rằng hai biểu thức có
cùng giá trị và bằng nhau. Một vài phương trình đúng
với tất cả các giá trị của các biến số liên quan (ví dụ
a + b = b + a ); những phương trình như vậy được
• Cũng giống như các số hạng được cộng với gọi là đồng nhất thức. Những phương trình điều kiện
nhau,[17] ví dụ, 2x2 + 3ab − x2 + ab được viết đúng với một số giá trị của các biến số liên quan (ví dụ
thành x2 + 4ab , bởi các số hạng x2 được cộng lại x2 − 1 = 8 chỉ đúng khi x = 3 hoặc x = −3 ). Những
với nhau, các số hạng ab cũng được cộng lại với giá trị của các biến làm cho phương trình đó đúng chính
nhau.
là nghiệm của phương trình và có thể tìm thấy thông
• Các số trong ngặc có thể được nhân với số bên qua giải phương trình.
ngoài bằng cách sử dụng tính phân phối. Ví dụ, Một dạng phương trình khác gọi là bất đẳng thức. Các
x(2x+3) có thể được viết thành (x×2x)+(x×3) bất đẳng thức được dùng để chỉ ra rằng một vế của
, và có thể được viết thành 2x2 + 3x
phương trình lớn, hoặc nhỏ hơn, vế còn lại. Các biểu
• Các số hạng nhân có thể được rút gọn bằng cách
sử dụng số mũ. Ví dụ, x × x × x có thể được biểu
diễn là x3


6

CHƯƠNG 2. ĐẠI SỐ SƠ CẤP

tượng được sử dụng cho bất đẳng thức là: a > b , trong
đó > có nghĩa là 'lớn hơn', và a < b trong đó < có
nghĩa là 'nhỏ hơn'. Cũng giống như phương trình đẳng
thức tiêu chuẩn, các số của bất đẳng thức có thể được
cộng, trừ, nhân, chia. Trường hợp ngoại lệ duy nhất là

khi nhân và chia với một số âm, dấu bất đẳng thức phải
được đổi ngược lại.

Phương trình tương đương: 2x + 4 = 12 , trong đó x là
số tuổi của con trai tôi

2.2.4

Dạng thức chung của phương trình tuyến tính với một
biến số, có thể được viết là: ax + b = c

Tính chất của đẳng thức

Để giải dạng phương trình này, ta sử dụng kỹ thuật
cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế của phương trình với
cùng một số nhằm tách ly biến số sang một bên của
phương trình. Một khi biến số đã được tách biệt, vế
còn lại của phương trình chính là giá trị của biến số.[23]
Nghiệm của phương trình này là như sau:

eo định nghĩa, đẳng thức tuân thủ theo một số "quan
Cũng theo quy trình như vậy (trừ cho cả hai vế cho b
hệ tương đương", bao gồm (a) phản xạ (ví dụ b = b ),
và chia cho a ) đáp số của phương trình là x = c−b
a
đối xứng (ví dụ nếu a = b thì b = a ), và bắc cầu (ví dụ
[20]
nếu a = b và b = c thì a = c ) trong đó:
• Nếu a = b và c = d thì a + c = b + d và ac = bd ; 2.3.2
• Nếu a = b thì a + c = b + c ;

• Nêu hai ký hiệu là bằng nhau thì một bên có thể
thay thế cho bên còn lại

2.2.5

Tính chất của bất đẳng thức

Mối quan hệ 'nhỏ hơn' < và 'lớn hơn' > có tính chất
bắc cầu:[21]
• Nếu a < b và b < c thì a < c ;
• Nếu a < b và c < d thì a + c < b + d ;
• Nếu a < b và c > 0 thì ac < bc ;
• Nếu a < b và c < 0 thì bc < ac .

Phương trình tuyến tính với hai biến
số

Một phương trình tuyến tính với hai biến số có nhiều
(vô số) nghiệm. Ví dụ:
Bài toán: Tôi nhiều hơn con tôi 22 tuổi. Vậy chúng tôi
bao nhiêu tuổi?
Phương trình tương đương: y = x + 22 trong đó y là
tuổi của tôi và x là tuổi của con trai tôi.
Một mình phương trình này không đủ để giải bài toán.
Nếu ta biết tuổi của người con trai, thì phương trình sẽ
không phải là phương trình có hai biến chưa biết giá trị
nữa, và bài toán trở thành phương trình tuyến tính với
một biến số.
Để giải phương trình tuyến tính hai biến số đòi hỏi phải
có hai phương trình liên quan đến nhau. Ví dụ, nếu bài

toán cũng cho biết rằng:

Chú ý rằng bằng cách nghịch đảo phương trình, chúng Giờ ta có hai phương trình tuyến tính, mỗi phương
ta có thể đảo dấu < và > ,[22] , ví dụ
trình có hai biến chưa biết, nó cho phép ta tạo ra một
phương trình tuyến tính với một biến, bằng cách trừ
một phương trình cho phương trình còn lại (gọi là
• a < b tương đương với b > a
phương pháp khử):[24]
Nói cách khác, con trai tôi 12 tuổi, và tôi già hơn con
trai tôi 22 tuổi. Vậy tuổi của tôi là 34. Trong 10 năm,
con trai tôi sẽ là 22 tuổi và tuổi tôi sẽ gấp đôi tuổi con
Phần dưới đây sẽ trình bày các ví dụ về vài phương trai, là 44 tuổi.
trình đại số thường gặp

2.3 Giải các phương trình đại số

2.3.1

2.3.3 Phương trình bậc hai
Phương trình tuyến tính với một
biến số
Phương trình bậc hai là phương trình có một số hạng

với số mũ là 2, ví dụ, x2 ,[25] và không có số hạng nào
với số mũ cao hơn. Nhìn chung, phương trình bậc hai có
thể biểu diễn dưới dạng ax2 +bx+c = 0 ,[26] trong đó a
khác không (nếu a bằng không thì đây là phương trình
tuyến tính chứ không còn là bậc hai). Bởi vậy phương
trình bậc hai phải chứa số hạng ax2 , số hạng được biết

đến là số hạng bậc hai. Do a ̸= 0 , chúng ta có thể
Bài toán: Nếu bạn tăng gấp đôi tuổi con trai tôi và cộng chia cho a và sắp đặt lại phương trình thành dạng tiêu
thêm 4, kết quả sẽ là 12. Vậy con trai tôi bao nhiêu tuổi? chuẩn.
Phương trình tuyến tính được gọi như vậy, bởi khi
chúng được vẽ đồ thị, chúng sẽ thể hiện một đường
thẳng (tuyến tính có nghĩa là đường thẳng). Phương
trình đơn giản nhất là phương trình có một biến số.
Chúng chỉ có các hằng số và một biến số duy nhất mà
không có số mũ. Ví dụ, xem xét:


2.3. GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

7

x2 + px + q = 0
Trong đó p = b/a và q = c/a . Giải phương trình này,
bằng một quá trình gọi là phần bù bình phương, sẽ dẫn
đến công thức bậc hai

x=

−b ±

√

b2 − 4ac
,
2a

Trong đó, dấu "±" biểu thị rằng cả

x=

−b +

√

b2 − 4ac
2a

và

x=

−b −

√
b2 − 4ac
2a

là nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương trình bậc hai có thể giải bằng cách sử dụng
phân tích nhân tử. Một ví dụ của phân tích nhân tử:

Đồ thị của hàm logarit cơ số 2 cắt trục x (trục hoành) tại 1 và đi
qua các điểm có tọa độ (2, 1), (4, 2), và (8, 3). Ví dụ, log2 (8) =
3, bởi vì 23 = 8. Đồ thị tiệm cận gần với trụ y, nhưng không cắt
nó.

thì trừ 1 cho cả hai vế của phương trình, rồi chia cả hai
vế cho 3 chúng ta có

x2 + 3x − 10 = 0.
2x−1 = 3

Cũng tương đương với:

Do đó
(x + 5)(x − 2) = 0.

x − 1 = log2 3
Phương trình này tuân thủ theo đúng tính chất tích
của không với cả x = 2 hoặc x = −5 là nghiệm của Hoặc
phương trình, bởi rõ ràng một trong hai nhân tử phải
bằng không. Tất cả các phương trình bậc hai đều có hai
nghiệm trong hệ số phức, nhưng không cần có nghiệm x = log2 3 + 1.
nào trong hệ số thực. Ví dụ,
Phương trình lôgarit là phương trình dạng loga (x) = b
với a > 0 , trong đó nghiệm là
x2 + 1 = 0
X = ab .
không có nghiệm số thực nào bởi không có số nào bình
Ví dụ, nếu
phương lại bằng −1.

2.3.4

Phương trình số mũ và phương trình 4 log5 (x − 3) − 2 = 6
lôgarit

Phương trình số mũ là phương trình có dạng a = b
với a > 0 ,[27] nghiệm của phương trình là
x

thì ta cộng 2 cho cả hai vế của phương trình, sau đó là
chia cho 4, chúng ta có
log5 (x − 3) = 2

X = loga b =

ln b
ln a

Do đó

khi b > 0 . Các kỹ thuật trong đại số sơ cấp được sử
2
dụng để viết lại phương trình đã cho ở trên trước khi đi x − 3 = 5 = 25
đến đáp số. Ví dụ nếu
Từ đó ta rút ra được
3 · 2x−1 + 1 = 10

x = 28.


8

CHƯƠNG 2. ĐẠI SỐ SƠ CẤP

2.3.5

Phương trình căn thức

Phương
trình căn thức là phương
dấu căn,
√
√ trình có một√
x , bao gồm cả căn bậc ba, 3 x và căn bậc n, n x . Cần
nhớ √
rằng căn bậc n có thể viết lại theo dạng số mũ, bởi
1
thế n x tương
đương với x n . Kết hợp với số mũ bình
√
2
thường, thì x3 (căn bậc hai của x lập phương) có thể
3
viết lại thành x 2 .[28] Vậy nên√dạng thức chung của
phương trình căn thức là a = n xm (tương đương với
m
a = x n ) trong đó m và n là số nguyên, và có nghiệm
là

{
x=2
y = 3.
Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất
để giải hệ phương trình này; y có thể được giải trước x

.
Phương pháp thay thế

Ví dụ, nếu

Một cách khác để giải cùng một hệ phương trình tuyến
tính là phương pháp thay thế

(x + 5)2/3 = 4,

{
4x + 2y
2x − y

thì
√
x + 5 = ±( 4)3
x + 5 = ±8
x = −5 ± 8
x = 3, −13

2.3.6

Hệ phương trình tuyến tính

= 14
= 1.

Ta có thể tìm y bằng cách sử dụng một trong hai
phương trình. Sử dụng phương trình thứ hai

2x − y = 1
Trừ 2x cho hai vế của phương trình

Có những phương pháp khác nhau để giải một hệ các
phương trình tuyến tính với hai biến số

2x − 2x − y = 1 − 2x
−y = 1 − 2x

Phương pháp khử

và nhân hai vế với −1:

Một ví dụ về giải phương trình tuyến tính với phương
pháp khử
y = 2x − 1.
{

4x + 2y
2x − y

= 14
= 1.

Nhân các số hạng của phương trình thứ hai cho 2

ay giá trị y vào phương trình đầu tiên của hệ phương
trình gốc:
4x + 2(2x − 1) = 14

4x + 4x − 2 = 14
8x − 2 = 14

4x + 2y = 14
4x − 2y = 2.

Cộng 2 vào hai vế của phương trình:

Cộng hai phương trình lại ta có
8x − 2 + 2 = 14 + 2
8x = 16

8x = 16
Rồi rút gọn

Rút gọn thành

x = 2.

x=2

Khi ta đã biết x = 2 thì ta có thể tìm ra y = 3 bằng Sử dụng giá trị này vào một trong hai phương trình,
cách thay 2 cho x vào một trong hai phương trình đầu. ta có thể đạt được nghiệm tương tự với phương pháp
Nghiệm của hai phương trình sẽ là
trước


2.3. GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

{

9

{
x=2
y = 3.

4x + 2y = 12
−2x − y = −6

Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất Tách y trong phương trình thứ hai
để giải hệ phương trình này; y có thể được giải trước x
.
y = −2x + 6

2.3.7

Các dạng hệ phương trình tuyến tính Và thế giá trị này vào phương trình thứ nhất của hệ
phương trình
khác

Hệ phương trình vô nghiệm
Trong ví dụ trên, ta có thể tìm ra đáp số. Tuy nhiên, có
những hệ phương trình không có đáp số. Một ví dụ
{

x+y =1
0x + 0y = 2

4x + 2(−2x + 6) = 12

4x − 4x + 12 = 12
12 = 12
Đẳng thức thì đúng nhưng lại không đưa ra giá trị của
x . ực ra, ta có thể dễ dàng nhận ra rằng (bằng cách
điền vào giá trị x ) với bất cứ x nào ta cũng đều có đáp
số miễn là y = −2x + 6 . Vì thế phương trình này có
vô số nghiệm

Phương trình thứ hai trong hệ phương trình không có
đáp số. Vì thế, hệ phương trình này không giải được.
Tuy nhiên, không phải hệ phương trình không đáp số 2.3.8
nào cũng dễ nhận ra. Ví dụ như hệ phương trình dưới
đây
{

Mối quan hệ giữa tính giải được và
tính bội của hệ phương trình

Cho bất cứ một hệ phương trình nào, luôn có mối quan
hệ giữa tính bội và tính giải được của hệ phương trình
4x + 2y = 12
−2x − y = −4

Nếu một phương trình là bội của phương trình còn lại,
thì hệ phương trình tuyến tính là bất định, có nghĩa là
hệ phương trình có vô số nghiệm. Ví dụ:

Khi ta thử giải hệ phương trình này (dùng phương pháp
thay thế như nêu ở trên), phương trình thứ hai, sau khi
{

cộng vào cả hai vế và nhân với −1 ta có:

y = −2x + 4
Và thế giá trị vào phương trình đầu tiên

4x + 2(−2x + 4) = 12
4x − 4x + 8 = 12
8 = 12

x+y =2
2x + 2y = 4

có vô số nghiệm ví dụ như (1, 1), (0, 2), (1.8, 0.2), (4, −2),
(−3000.75, 3002.75), và nhiều cặp nghiệm khác
Nhưng khi tính bội chỉ là thuộc một phần riêng (ví dụ
vế bên trái của phương trình là bội, còn vế bên phải
thì không hoặc không nhân với cùng một số) thì hệ
phương trình đó không giải được. Ví dụ:
{

x+y =2
Kết quả là không còn lại biến số nào, và đẳng thức
4x + 4y = 1
không đúng. Điều này có nghĩa là phương trình đầu
tiên không thể đưa ra một đáp số với giá trị tìm được
Phương trình thứ hai đem tới kết quả x + y = 14
trong phương trình thứ hai
đối nghịch với phương trình thứ nhất. Khi giải một
hệ phương trình tuyến tính, ta nên kiểm tra xem một
phương trình có phải là bội của phương trình còn lại

Hệ phương trình vô số nghiệm
không. Nếu nó là bội của phương trình còn lại, hệ
Có những phương trình có vô số đáp án, khác với hệ phương trình đó không xác định được một cách cụ thể.
phương trình chỉ có hai nghiệm (cặp giá trị x và y ). Ví Nếu nó chỉ bội một phần, hệ phương trình không có lời
dụ
giải.


10
Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong các phần ở trên, điều
này không có nghĩa là các phương trình phải là bội của
nhau để có lời giải; nói cách khác, tính bội trong một
hệ phương trình tuyến tính không phải là điều kiện cần
thiết để có thể giải được phương trình.

2.4 Chú thích
[1] H.E. Slaught and N.J. Lennes, Elementary algebra, Publ.
Allyn and Bacon, 1915, page 1 (republished by Forgoen
Books)
[2] Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding
Elementary Algebra With Geometry: A Course for
College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005,
ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 2
[3] Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Introductory
Algebra: An Applied Approach, Publisher Cengage
Learning, 2010, ISBN 1439046042, 9781439046043, page
78
[4] William L. Hosch (editor), e Britannica Guide to
Algebra and Trigonometry, Britannica Educational
Publishing, e Rosen Publishing Group, 2010, ISBN

1615302190, 9781615302192, page 71
[5] James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for
Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998,
ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E.
Gentle page 183]
[6] Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra:
containing the rudiments of science for schools and
academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page
7
[7] Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards,
Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach,
Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X,
9780618851959, 1114 pages, page 6
[8] Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng,
“Algebraic notation”, in Mathematics Maers Secondary
1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd,
ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68

CHƯƠNG 2. ĐẠI SỐ SƠ CẤP
[13] Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding
Elementary Algebra With Geometry: A Course for
College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005,
ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 48
[14] Lawrence S. Leff, College Algebra: Barron’s Ez-101 Study
Keys, Publisher: Barron’s Educational Series, 2005, ISBN
0764129147, 9780764129148, 230 pages, page 2
[15] Ron Larson, Kimberly Nolting, Elementary Algebra,
Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275,
9780547102276, 622 pages, page 210
[16] Charles P. McKeague, Elementary Algebra, Publisher:

Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217,
9780840064219, 571 pages, page 49
[17] Andrew Marx, Shortcut Algebra I: A ick and Easy Way
to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores,
Publisher Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880,
9781419552885, 288 pages, page 51
[18] Mark Clark, Cynthia Anfinson, Beginning Algebra:
Connecting Concepts rough Applications, Publisher
Cengage Learning, 2011, ISBN 0534419380,
9780534419387, 793 pages, page 134
[19] Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Elementary and
Intermediate Algebra, Publisher Cengage Learning,
2012, ISBN 1111567689, 9781111567682, 1163 pages,
page 493
[20] Douglas Downing, Algebra the Easy Way, Publisher
Barron’s Educational Series, 2003, ISBN 0764119729,
9780764119729, 392 pages, page 20
[21] Ron Larson, Robert Hostetler, Intermediate Algebra,
Publisher Cengage Learning, 2008, ISBN 0618753524,
9780618753529, 857 pages, page 96
[22] Chris Carter, Physics: Facts and Practice for A Level,
Publisher Oxford University Press, 2001, ISBN
019914768X, 9780199147687, 144 pages, page 50
[23] Slavin, Steve (1989). All the Math You'll Ever Need. John
Wiley & Sons. tr. 72. ISBN 0-471-50636-2.
[24] Cynthia Y. Young, Precalculus, Publisher John Wiley
& Sons, 2010, ISBN 0471756849, 9780471756842, 1175
pages, page 699

[9] David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra,

Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597,
9780470185599, 304 pages, page 72

[25] Mary Jane Sterling, Algebra II For Dummies,
Publisher: John Wiley & Sons, 2006, ISBN 0471775819,
9780471775812, 384 pages, page 37

[10] John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus,
Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899,
9780766861893, 1613 pages, page 31

[26] Sharma/khaar, e Pearson Guide To Objective
Mathematics For Engineering Entrance Examinations,
3/E, Publisher Pearson Education India, 2010, ISBN
8131723631, 9788131723630, 1248 pages, page 621

[11] Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwiers, Algebra for
College Students, Publisher Cengage Learning, 2010,
ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222
[12] omas Sonnabend, Mathematics for Teachers: An
Interactive Approach for Grades K-8, Publisher: Cengage
Learning, 2009, ISBN 0495561665, 9780495561668, 759
pages, page xvii

[27] Aven Choo, LMAN OL Additional Maths Revision Guide
3, Publisher Pearson Education South Asia, 2007, ISBN
9810600011, 9789810600013, page 105
[28] John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus,
Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899,
9780766861893, 1613 pages, page 525

2.5. ĐỌC THÊM

2.5 Đọc thêm
• Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770.
English translation Tarquin Press, 2007, ISBN
978-1-899618-79-8, online digitized editions 2006,
or on Google Books: Elements of algebra –
Leonhard Euler, John Hewle, Francis Horner,
Jean Bernoulli, Joseph Louis Lagrange, 1822.
• Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell
University Library Historical Math Monographs.
• Redden, John. Elementary Algebra. Flat World
Knowledge, 2011

11


12

CHƯƠNG 2. ĐẠI SỐ SƠ CẤP

2.6 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh
2.6.1

Văn bản

• Dãy số thực Nguồn: Người đóng góp:
Vietbio, Trung, Nhanvo, Chobot, VietLong, Newone, DHN-bot, Ctmt, Hoàng Cầm, Qbot, Vutrung lhp, Tnt1984, TuHan-Bot, Cheers!bot, AlphamaBot, Boehm, TuanminhBot, Ganatuiyop và 7 người vô danh

• Đại số sơ cấp Nguồn: />Người đóng góp: Parkjunwung, Earthandmoon, Cheers!-bot, AlphamaBot, Mbtl, Earthshaker, Addbot, itxongkhoiAWB và 2 người
vô danh

2.6.2

Hình ảnh

• Tập_tin:Algebraic_equation_notation.svg Nguồn: />notation.svg Giấy phép: CC BY-SA 3.0 Người đóng góp: PC generated image Nghệ sĩ đầu tiên: Iantresman / Iantresman tại Wikipedia
Tiếng Anh
• Tập_tin:Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg Nguồn: />plot_with_ticks.svg Giấy phép: CC BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra Nghệ sĩ đầu tiên: Krishnavedala
• Tập_tin:Polynomialdeg2.svg Nguồn: Giấy phép:
Public domain Người đóng góp: <a href='//commons.wikimedia.org/wiki/File:Polynomialdeg2.png' class='image'>alt='Polynomialdeg2.png' src=' width='233' height='179'
data-file-width='233' data-file-height='179' /></a> Nghệ sĩ đầu tiên: Original hand-drawn version: N.Mori
• Tập_tin:Pythagorean_theorem_-_Ani.gif Nguồn: />Ani.gif Giấy phép: CC BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra (Original text: I (AmericanXplorer13 (talk))
created this work entirely by myself.) Nghệ sĩ đầu tiên: AmericanXplorer13 (talk)

2.6.3

Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0