Ánh xạ tuyến tính liên lục trên không gian HILBERT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐÀO THỊ VÂN

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Sơn La, năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Giải Tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn: THS. ĐOÀN THỊ CHUYÊN

Sơn La, năm 2017


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới cô Đoàn Thị Chuyên và
thầy Vũ Việt Hùng, những người đã định hướng nghiên cứu và hướng

dẫn tận tình em, giúp đỡ em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên
em có nghị lực hoàn thành khóa luận này.
Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của
các thầy cô giáo trong Khoa Toán-Lý-Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ
bộ môn Giải tích, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên
lớp K54-ĐHSP Toán. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của
quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành đề tài
này. Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ
quý báu nói trên.
Sơn La, tháng 5 năm 2017
Người thực hiện
Sinh viên: ĐÀO THỊ VÂN


Mục lục
Mở đầu

3

1

Kiến thức chuẩn bị về không gian Hilbert

6

1.1

Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . .

6

1.1.1

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

. . . .

7

1.2.1

Toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Không gian Hilbert và toán tử trong không gian Hilbert . . .

12

1.3.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2

Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . .

13

1.3.3

Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert . . . . .

14

Ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.1

Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.2

Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng . . . . . . . . . . .

17

1.4.3

Định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5

Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục . . . .

19

1.6

Phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3

1.4

2

Toán tử và phổ của toán tử trong không gian Banach

Toán tử trong không gian Hilbert

21

2.1

Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Các kết quả quan trọng về hạt nhân và miền giá trị của toán tử 28

1


2.3

Mối quan hệ giữa một số toán tử thông dụng . . . . . . . . .

33

2.4

Phổ của một số toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . .

35

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41

2


MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN
Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không
gian vectơ được trang bị thêm một cấu trúc topo phù hợp và các toán tử
tuyến tính liên tục giữa chúng. Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử
đã dẫn đến việc nghiên cứu các đại số topo, một đối tượng khác của giải
tích hàm. Các kết quả và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngành
khác nhau như lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo
hàm riêng, lý thuyết của bài toán cực trị và biến phân, phương pháp tính, lý
thuyết biểu diễn,... Ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ
các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm,..., đến nay
giải tích hàm tích lũy được những thành tựu quan trọng và nó đã trở thành
chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học.
Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm:
- Không gian vectơ topo lồi địa phương. Đây có lẽ là loại không gian tổng

quát nhất trong giải tích hàm (các không gian Frechet, định chuẩn, Banach,
Hilbert là các trường hợp riêng quan trọng của các không gian vectơ topo).
- Các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian (còn gọi là đồng
cấu). Hai trường hợp đặc biệt quan trọng là các phiếm hàm tuyến tính liên
tục(dạng tuyến tính liên tục) và các tự đồng cấu.
- Giống như các không gian, ta có các đại số tương ứng. Các đại số này dựa
trên mô hình của đại số các tự đồng cấu, vì thế nên lý thuyết tổng quát về
các đại số còn được gọi là lý thuyết đại số toán tử. Chú ý là khác với các
không gian, các đại số thường chỉ wets trên trường số phức. Điều này là
tự nhiên vì các tự đồng cấu chỉ có thể nghiên cứu ”tốt” khi trường cơ sở là
đóng đại số. Ngoài ra, dựa trên các tự đồng cấu tự liên hợp người ta định
nghĩa một lớp một đại số định chuẩn rất quan trọng các C∗ - đại số, không
có sự tương ứng với các không gian.
Ngày nay, nghiên cứu một số toán tử tuyến tính trong không gian định
3


chuẩn được nghiên cứu nhiều trong giải tích hàm. Với mong muốn tìm
hiểu bộ môn Giải tích hàm cũng như những ứng dụng đẹp của bộ môn
trong sự phát triển toán học nói chung và trong giải tích hàm nói riêng.
Với những lý do trên, em đã chọn khóa luận ”Ánh xạ tuyến tính liên tục trên
không gian Hilbert” thuộc Bộ môn Giải tích hàm để làm đề tài nghiên cứu
cho mình nhằm góp phần vào việc nâng cao hiệu quả học tập môn học Giải
tích hàm nói riêng và môn toán nói chung.
2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu tính chất của một số toán tử tuyến tính trong không gian
Banach, không gian Hilbert, phổ của toán tử.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu lý thuyết các tính chất cơ bản của toán tử tuyến tính trong

không gian Banach, không gian Hilbert, phổ của toán tử.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu và nghiên cứu và trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản
toán tử tuyến tính trong không gian Banach, không gian Hilbert, phổ của
toán tử.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminar
với tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn khóa luận từ đó tổng hợp kiến thức và
trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoàn
thành khóa luận.
6. TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA KHÓA LUẬN
6.1. Tính mới mẻ của khóa luận
Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong giải tích hàm. Đồng
thời đây cũng là một vấn đề còn chưa được tiếp cận nhiều đối với các bạn
sinh viên ĐHSP Toán hiện nay.

4


6.2. Hướng phát triển của khóa luận
- Nghiên cứu tính chất của một số toán tử và toán tử tuyến tính liên tục
trong không gian Banach, không gian Hilbert.
- Nghiên cứu các tính chất về phổ của các toán tử trong không gian
không gian Banach, không gian Hilbert.
7. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN
Đề tài đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản đầy đủ về các tính chất cơ bản
của toán tử tuyến tính trong không gian Banach, không gian Hilbert, phổ
của toán tử.
8. CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Với mục đích như vậy đề tài này được chia thành 2 chương với những
nội dung chính sau đây:
Chương 1: Nội dung chương này em trình bày một số kiến thức quan
trọng của giải tích hàm như các khái niệm về không gian định chuẩn, không
gian Banach, không gian thương, không gian hữu hạn chiều... Ba nguyên
lí cơ bản của giải tích hàm: Nguyên lí bị chặn đều, Định lí ánh xạ mở và
đồ thị đóng, Định lí Hahn - Banach cùng với các kết quả liên quan được sử
dụng cho chứng minh chương 2.
Chương 2: Trình bày nội dung chính của đề tài, trình bày các định nghĩa
và các tính chất cơ bản nhất của toán tử tuyến tính trong không gian
Banach, không gian Hilbert. Ngoài ra còn trình bày phổ của toán tử compact cùng với một số ví dụ của chúng.

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị về không gian
Hilbert
Trong chương này, trước hết em trình bày một số kiến thức quan trọng của
giải tích hàm như không gian định chuẩn, không gian Banach,không gian
Hilbert, toán tử liên hợp,..., ba nguyên lí cơ bản của giải tích hàm cùng vói
một số kết quả quan trọng phục vụ chương 2.

1.1
1.1.1

Không gian định chuẩn và không gian Banach
Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1. Hàm ρ xác định trên không gian vector E được gọi là một
chuẩn trên E nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau:
1) ρ( x ) > 0 với mọi x ∈ E và ρ( x ) = 0 ⇒ x = 0,
2) ρ(λx ) = |λ|ρ( x ) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E,
3) ρ( x + y)

ρ( x ) + ρ(y) với mọi x, y ∈ E.

Khi ρ thỏa mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện:
1’) ρ( x )

0 với mọi x ∈ E, thì ρ được gọi là một nửa chuẩn trên E.

Định nghĩa 1.2. Không gian vector E cùng với chuẩn ρ xác định trên E
được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Một không gian tuyến tính định chuẩn thường gọi ngắn gọn là không
gian định chuẩn.

6


Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn ρ thì với mỗi x ∈ E ta viết
ρ( x ) = || x || và gọi số || x || là chuẩn của vector x.
1.1.2

Không gian Banach

Định nghĩa 1.3. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không
gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian
metric đầy.

Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian định chuẩn E được gọi là:
a) Tập bị chặn nếu: sup{|| x || x ∈ X } < +∞.
b) Tập hoàn toàn bị chặn nếu: Với mọi ε > 0 tồn tại tập hữu hạn A ⊂ E
sao cho

(∀ x ∈ X )(∃y ∈ A)| x − y < ε ⇔⊂

B(y, ε).
y∈ A

Tập con hữa hạn A ⊂ E thỏa mãn b) được gọi là một ε- lưới hữu hạn của
X.
c) Tập compact nếu: mọi dãy { xn } ⊂ X có một dãy con { xnk } hội tụ tới
một phần tử x ∈ X.

1.2
1.2.1

Toán tử và phổ của toán tử trong không gian Banach
Toán tử trong không gian Banach

Định nghĩa 1.5. Giả sử E là không gian định chuẩn. Ta gọi không gian liên
hợp topo E = L( E, K) của E là không gian liên hợp thứ nhất của E. Không
gian liên hợp của E được kí hiệu là E và gọi là không gian liên hợp thứ
hai của E. Như vậy:
E = ( E ) = L( E , K).
Mệnh đề 1.1. Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ:
ηE : E → E

7

xác định bởi công thức:
ηE ( x )( f ) = f ( x ), x ∈ E, f ∈ E
là đơn cấu giữ nguyên chuẩn từ E vào E . Nói cách khác ηE là phép nhúng đẳng
cự không gian E vào E .
Chứng minh. Trước hết, dễ dàng kiểm tra thấy ηE là toán tử tuyến tính.
Mặt khác, với mỗi x ∈ E, x = 0, theo hệ quả của Định lý Hahn-Banach ta
có
ηE ( x ) =

sup

ηE ( x )( f ) =

f ∈ E , f ≤1

sup

| f ( x )| = x .

f ∈ E, f ≤1

Suy ra ηE bảo toàn chuẩn, do đó nó là đơn cấu tuyến tính liên tục và là phép
nhúng đẳng cự E vào E .
Định nghĩa 1.6. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn và
f ∈ L( E, F ). Khi đó toán tử tuyến tính f : F → E xác định bởi
f (u) = u ◦ f , u ∈ F , được gọi là toán tử liên hợp thứ nhất của f . Toán tử
f = ( f ) : E → F được gọi là toán tử liên hợp thứ hai của f .
Mệnh đề 1.2. Nếu f ∈ L( E, F ) thì f ∈ L( E , F ) và|| f || = || f ||. Đồng thời,

η F ◦ f = f ◦ ηE . Ở đó ηE : E → E là phép nhúng đẳng cự E vào không gian liên
hợp thứ hai E của E, η F : F → F là phép nhúng đẳng cự F vào không gian liên
hợp thứ hai F của F.
Mệnh đề 1.3. Nếu f , g : E → F là các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không
gian định chuẩn E và F thì với mọi α, β ∈ K ta có:

(α f + βg) = α f + βg .
Chứng minh. Thật vậy, với mọi u ∈ F ta có
α f + βg) (u) = u ◦ (α f + βg) = αu ◦ f + βu ◦ g = α f (u) + βg (u)

= (α f + βg )(u)

8


Mệnh đề 1.4. a) Nếu f ∈ L( E, F ), g ∈ L( F, G ) thì ( g ◦ f ) = f ◦ g .
b) (1E ) = 1E .
Mệnh đề 1.5. Giả sử E và F là các không gian Banach và f ∈ L( E, F ). Khi đó
f : E → F là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f : F → E là đẳng cấu. Đồng thời ta có

( f ) −1 = ( f −1 ) .
Chứng minh. Giả sử f : E

F, khi đó tồn tại f −1 ∈ L( F, E). Do f −1 ◦ f = 1E ,

f ◦ f −1 = 1F nên ta có
f ◦ ( f −1 ) = ( f −1 ◦ f ) = (1 E ) = 1 E ;

( f −1 ) ◦ f = ( f ◦ f −1 ) = (1 F ) = 1 F
Suy ra f : F → E là đẳng cấu và ( f )−1 = ( f −1 ) .

Ngược lại, giả sử f : F → E là đẳng cấu. Do f = ( f ) nên theo chứng
minh ở trên suy ra f : E → F là đẳng cấu.Do f | E = f nên f : E → Im f
là đẳng cấu. Suy ra Im f là không gian Banach và do đó là không gian con
đóng của F. Ta sẽ chứng minh rằng Im f = F.
Thật vậy, giả sử Im f = F theo Hệ quả của Định lý Hahn-Banach, tồn tại
v ∈ F , v = 0 sao cho v | Im f = 0. Suy ra f (v) = v ◦ f = 0.
Do f là đơn ánh nên từ f (v) = 0 suy ra v = 0. Điều này trái với giả thiết
v = 0.
Vậy Im f = F và f : E

F.

Định nghĩa 1.7. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến
tính f : E → F được gọi là toán tử compact nếu f ( B[0; 1]) là tập compact
trong F. Ở đó
B[0, 1] = { x ∈ E : || x ||

1}.

Mệnh đề 1.6. Giả sử E vào F là các không gian định chuẩn. Khi đó đối với toán
tử tuyến tính f : E → F, các khẳng định sau là tương đương:
a) f là toán tử compact.
b) Nếu A là tập bị chặn trong E thì f ( A) là tập compact tương đối trong F.
9


c) Với mọi dãy bị chặn { xn } ⊂ E, tồn tại một dãy con { xnk } để { f ( xnk )} hội
tụ trong F.
Mệnh đề 1.7. Nếu f , g là các toán tử compact từ không gian định chuẩn E đến
không gian định chuẩn F thì α f + βg cũng là toán tử compact.

Mệnh đề 1.8. Nếu f ∈ L( E, F ), g ∈ L( F, G ) ở đây E, F, G là các không gian định
chuẩn , thì g ◦ f : E → G là compact nếu f hoặc g là compact.
Định lý 1.1. Nếu { f n } ∈ L( E, F ) là dãy các toán tử compact từ không gian
Banach E vào không gian Banach F hội tụ tới f trongL( E, F ) thì cũng là toán
tử compact.
Định lý 1.2. (Schauder) Cho E, F là các không gian tuyến tính định chuẩn và
f ∈ L( E, F ). Khi đó:
a) Nếu f là toán tử compact thì toán tử liên hợp f : F → E của f cũng là toán
tử compact.
b) Nếu F là không gian Banach và toán tử liên hợp f : F → E là toán tử compact
thì f là toán tử compact.
Định nghĩa 1.8. Cho E, F là các không gian định chuẩn và f : E → F là ánh
xạ tuyến tính. Ta nói f là toán tử hữu hạn chiều nếu Im f là không gian con
hữu hạn chiều của F.
Mệnh đề 1.9. Mọi toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều đều là toán tử
compact.
Mệnh đề 1.10. Cho f ∈ L( E, F ) với E, F là các không gian Banach. Khi đó f là
toán tử hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu tồn tại u1 , ..., un ∈ E và y1 , ..., yn ∈ F để
n

f (x) =

∑ u j (x)y j , x ∈ E.

j =1

1.2.2

Phổ của toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.9. Giả sử E là không gian định chuẩn và f ∈ L( E) là toán tử
trong E. Ta nói số λ ∈ K là một giá trị chính quy của f nếu toán tử λ1E − f
10


là khả nghịch trong L( E). Trái lại, λ được gọi là giá trị phổ của f .
Tập tất cả các giá trị chính quy của f được kí hiệu là s( f ) và tập các giá trị
phổ của f dược kí hiệu là σ( f ).
Sau đây là các định lý cơ bản về đặc trưng phổ của một toán tử tuyến
tính liên tục giữa các không gian Banach.
Định lý 1.3. Cho E là không gian Banach trên trường K, khi đó, tập hợp phổ σ( f )
của f ∈ L( E) là tập compact trong K và hàm λ → (λ − f )− 1 giải tích trên tập
s( f ) các giá trị chính quy của f . Ngoài ra nếu K = C thì σ( f ) = φ.
Định nghĩa 1.10. Cho E là không gian Banach và f ∈ L( E). Ta gọi số

r f = sup{|λ| : λ ∈ σ( f )}
là bán kính phổ của toán tử tuyến tính f .
Định lý 1.4. Cho E là không gian Banach phức và f ∈ L( E). Khi đó bán kính phổ
của f là:
1

r f = lim || f n || n .
n→∞

Mệnh đề 1.11. Cho E là không gian Banach và A ∈ L( E). Khi đó
σ ( A) = σ( A ), ở đó A là toán tử liên hợp của A.
Một vấn đề về phổ của toán tử compact trong không gian Banach thực
hoặc không gian Banach phức E.

Định lý 1.5. Cho E là không gian Banach và A ∈ L( E) là toán tử compact. Khi

đó với mỗi λ ∈ K, λ = 0 thì Nλ := ker (λ − A) là không gian con hữu hạn chiều
và Rλ = Im(λ − A) là không gian con đóng của E.
Định nghĩa 1.11. Số λ ∈ K gọi là giá trị riêng của toán tử A ∈ L( E) nếu tồn
tại x ∈ E, x = 0 để Ax = λx. Vectơ x như vậy gọi là vectơ riêng của A ứng
với giá trị riêng λ. Không gian Nλ := ker (λ − A) gọi là không gian riêng
của giá trị riêng λ.
11


Mệnh đề 1.12. Nếu λ là giá trị riêng của toán tử A ∈ L( E) thì λ là giá trị phổ
của A. Hơn nữa, nếu dimE < ∞ thì tập các giá trị phổ của A chính là tập các giá
trị riêng của A.
Chứng minh. Trước hết, nếu λ là giá trị riêng của A thì tồn tại x ∈ E, x = 0
sao cho Ax = λx, suy ra (λ − A)( x ) = 0, chứng tỏ toán tử λ − A không phải
là đơn ánh nên không thể là đẳng cấu, tức không khả nghịch trong L( E)
theo định nghĩa, λ ∈ σ( A).
Ta thấy, số λ không phải là giá trị riêng của A thì λ − A ∈ L( E) là đơn
cấu và nếu dimE < ∞ thì đơn cấu đó chính là đẳng cấu nên λ ∈
/ σ ( A ).
Định lý 1.6. Cho E là không gian Banach và A ∈ L( E) là toán tử compact. Khi
đó, nếu số λ = 0 là giá trị phổ của A thì λ là giá trị riêng của A.
Hệ quả 1.1. Nếu E là không gian Banach vô hạn chiều và A ∈ L( E) là toán tử
compact thì tập phổ σ( A) của A chỉ gồm số 0 và tất cả các giá trị riêng của A.
Định lý 1.7. Cho E là không gian Banach và A ∈ L( E) là toán tử compact. Khi đó
tập phổ σ( A) chỉ gồm một số hữu hạn hay đếm được các giá trị. Trong trường hợp
σ( A) gồm một số đếm được các giá trị có thể viết thành dãy σ ( A) = {λn }n∈N∗
với |λ1 |

1.3
1.3.1

...

|λn |

... và lim λn = 0.
n→∞

Không gian Hilbert và toán tử trong không gian Hilbert
Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.12. Không gian vectơ E cùng với một tích vô hướng ., . đã
cho trên E được gọi là Không gian tiền Hilbert. Nếu với chuẩn sinh bởi tích
vô hướng mà E là không gian Banach thì không gian tiền Hilbert đó được
gọi là không gian Hilbert.

12


1.3.2

Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert

Cho E là không gian Hilbert, theo định lý Riesz, tồn tại song ánh bảo tồn
chuẩn θ E : E → E và thỏa mãn:

(θ E x )(y) = y, x với mọi x, y ∈ E và ||θ E x || = || x ||với mọi x ∈ E.
Dễ dàng kiểm tra thấy rằng:
θ E ( x + y ) = θ E ( x ) + θ E ( y ),
θ E (λx ) = λθ E ( x )

với mọi x, y ∈ E, λ ∈ C. Với các tính chất trên ta nói θ E : E → E là phép đẳng
cấu phản tuyến tính.
Bây giờ cho A : E → F là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert E
vào không gian Hilbert F. Xét E và F như các không gian Banach ta có ánh
xạ liên hợp A : E → F xác định bởi A ( f ) = f ◦ A với mọi f ∈ F . Khi E, F
là các không gian Hilbert, nhờ biểu đồ sau:

E
θE

A /



E

/
A

F


θF

F

Ở đó, do θ E : E → E và θ F : F → F là các phép đẳng cấu phản tuyến tính
bảo toàn chuẩn nên ta có thể thay toán tử liên hợp A : F → E của A bởi
toán tử.
A∗ = θ E−1 ◦ A ◦ θ F : F → E.

Và vẫn gọi A∗ là toán tử liên hợp của toán tử A : E → F. Từ định nghĩa của
θ E , θ F và của A ta có: Với a ∈ E, θ E ( a) = f a ∈ E xác định bởi :
θ E ( a)( x ) − f a ( x ) = x, a = x, θ E−1 ( f a ) , x ∈ E.
Từ đó ta có các nhận xét sau:
a) Ax, y = x, A∗ y với mọi x ∈ E, y ∈ F.
Thật vậy: theo định nghĩa ta có :
13


x, A∗ y = x, (θ E−1 A θ F )(y) = [ A θ F (y)]( x )

.

= [θ F (y)]( Ax ) = Ax, y với mọi x ∈ E, y ∈ F
b)(λA)∗ = λA∗ với mọi λ ∈ K.
Thật vậy, với mọi x ∈ E, y ∈ F, do a) ta có:
x, (λA)∗ y = (λA) x, y = λ Ax, y = λ x, A∗ y = x, (λA∗ )y .
Suy ra (λA)∗ = λA∗ .
c) NếuA, B : E → F, C : F → G là các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các
không gian Hilbert thì

( A + B)∗ = A∗ + B∗ và (C ◦ A)∗ = C ∗ ◦ A∗ .
Thật vậy, với mọi x ∈ E, y ∈ F ta có:
x, ( A + B)∗ y = ( A + B) x, y = Ax + Bx, y

= Ax, y + Bx, y = x, A∗ y + x, B∗ y = x ( A∗ + B∗ )y
Do đó ( A + B)∗ = A∗ + B∗ . Tương tự, với mọi x ∈ E, y ∈ G ta có:
x, (C ◦ A)∗ y = (C ◦ A) x, y = C ( Ax ), y

= Ax, C ∗ y = x, ( A∗ ◦ C ∗ )y

suy ra (C ◦ A)∗ = A∗ ◦ C ∗ .
d) Nếu A là đẳng cấu thì A∗ là đẳng cấu và

( A ∗ ) − 1 = ( A −1 ) ∗ .
1.3.3

Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.13. Cho E là không gian Hilbert và A ∈ L( E). Ta nói A là
toán tử tự liên hợp nếu A = A∗ .
Mệnh đề 1.13. Nếu A, B ∈ L( E) là toán tử tự liên hợp thì A + B và λA, (λ ∈ R)
cũng là toán tử tự liên hợp. Ngoài ra, nếu AB = BA thì AB là toán tử tự liên hợp.
14


Chứng minh. Ta có ( A + B)∗ = A∗ + B∗ = A + B và (λA)∗ = λA∗ = λA. Với
x, y ∈ E ta có :

( AB) x, y = Bx, A∗ y = x, ( BA)y = x, ( AB)y .
Suy ra AB là toán tử tự liên hợp.
Mệnh đề 1.14. Giả sử A ∈ L( E) là tự đẳng cấu. Khi đó A là toán tử tự liên hợp
nếu và chỉ nếu A−1 là toán tử tự liên hợp.
Chứng minh. Thật vậy, do ( A−1 )∗ = ( A∗ )−1 nên nếu A là toán tử tự liên hợp
thì A−1 là toán tử tự liên hợp vì :
A−1 x, y = x, ( A−1 )∗ y = x, A−1 y
với mọi x, y ∈ E. Ngược lại, nế A−1 tự liên hợp thì theo chứng minh trên ta
có A = ( A−1 )−1 tự liên hợp.
Định lý 1.8. Cho E là không gian Hilbert. Khi đó toán tử A ∈ L( E) là toán tử tự
liên hợp khi và chỉ khi Ax, x ∈ R với mọi x ∈ E.
Chứng minh. Nếu A tự liên hợp thì Ax, x = x, Ax = Ax, x nên

Ax, x ∈ R với mọi x ∈ E.
Ngược lại, giả sử Ax, x ∈ R với mọi x ∈ E. Từ các đẳng thức sau:




 A ( x + y ), x + y

= Ax, x + Ax, y + Ay, x + Ay, y




 A( x + iy), x + iy

= Ax, x − i Ax, y + i Ay, x + Ay, y

Suy ra




 Ax, y + Ay, x



−i Ax, y + i Ay, x

= A( x + y), x + y − Ax, x − Ay, y

= 2s ∈ R

= A( x + iy), x + iy − Ax, x − Ay, y

= 2t ∈ R

Giải hệ phương trình này với các ẩn là Ax, y và Ay, x ta được:

15






 Ax, y

= s + it




 Ay, x

= s − it

Nhưng ta có s − it = Ay, x = y, A∗ x = A∗ x, y . Suy ra A∗ x, y = Ax, y
với mọi x, y ∈ R nên A = A∗ , tức là A là toán tử tự liên hợp.
Hệ quả 1.2. a) Giả sử A là toán tử tự liên hợp. Khi đó σ( A) ⊂ R.
b) Nếu p : E → E là toán tử chiếu trực giao thì p là toán tử tự liên hợp.

Chứng minh. a) Nếu A là tự liên hợp thì Ax, x ∈ R với mọi x ∈ E nên
σ( A) ⊂ n( A) = { Ax, x : x ∈ E} ⊂ R.
⊥

b) Nếu p là phép chiếu trực giao thì E = Im p ⊕ ker p nên mỗi x ∈ E đều
biểu diễn duy nhất dưới dạng x = y + z ∈ E với y ∈ Im p, z ∈ ker p. Khi đó
px, x = p(y + z), y + z = py, y + py, z = y, y + y, z = y

2

∈ R.

Vì px, x ∈ R với mọi x ∈ E nên p là toán tử tự liên hợp.

1.4

Ba nguyên lý cơ bản của Giải tích hàm

Trong mục này trình bày ba định lí quan trọng xem như những nguyên lí
của Giải tích hàm. Đó là nguyên lí bị chặn đều, định lí ánh xạ mở và đồ thị
đóng và quan trọng nhất phải kể đến định lí Hahn- Banach và một số hệ
quả quan trọng của nó.
1.4.1

Nguyên lý bị chặn đều

Định lý 1.9. (Nguyên lý bị chặn đều). Mọi nửa chuẩn liên tục trên không gian
Banach E nếu bị chặn điểm thì bị chặn đều.
Chứng minh. Cho { pα }α∈ J là họ nửa chuẩn liên tục, bị chặn điểm trên không
gian Banach E:

C ( x ) = sup{ pα ( x ) : α ∈ J } < +∞ với mọi x ∈ E.
16


Với mỗi n

1 đặt

An = { x ∈ E : pα ( x )

1
p−
α ((− ∞; n ]).

n với mọi α ∈ J } =
α∈ J

Do pα : E → R liên tục và mỗi khoảng (−∞; n] là tập đóng trong R nên
1
p−
α ((− ∞; n ]) đóng trong E, do đó An =

α∈ J

1
p−
α ((− ∞; n ]) là tập đóng trong

E. Mặt khác nếu x ∈ E thì theo giả thiết C ( x ) < +∞ nên tồn tại số tự nhiên
n ∈ N để C ( x )

n, khi đó x ∈ An . Như vậy E =

tồn tại n0 ∈ N và x0 ∈ An0 để

n ∈N

An . Theo định lý Baire,

B( x0 , r ) = x0 + B(0, r ) + B(0, r ) ⊂ An0 với r > 0 nào đó.
Suy ra, với mọi x ∈ E, || x ||
1
Pα ( x ) = pα (rx )
r

1 và với mọi α ∈ J ta có:
1
[ pα ( x0 + rx ) + pα ( x0 )]
r

n0 + C ( x0 )
.
r

Vậy
sup || pα ||
α∈ J

n0 + C ( x0 )
< +∞.

r

Chứng tỏ họ { pα : α ∈ J } bị chặn đều. Định lý được chứng minh.
1.4.2

Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng

Định nghĩa 1.14. Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa các không gian metric X
và Y. Ta nói f là ánh xạ mở nếu ảnh f ( G ) của mọi tập mở G trong X là tập
mở trong Y.
Định lý 1.10. (Định lý ánh xạ mở). Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f : E → F
từ không gian Banach E lên không gian Banach F đều là ánh xạ mở.
Định lý 1.11. (Định lý đồ thị đóng). Mọi ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng giữa
các không gian Banach đều liên tục.
Chứng minh. Cho f : E → F là ánh xạ tuyến tính có đồ thị đóng từ không
gian Banach E vào không gian Banach F. Do E × F là không gian Banach
và Γ( f ) là đóng trong E × F nên Γ( f ) cũng là không gian Banach. Xét các
17


ánh xạ tuyến tính liên tục
p : Γ( f ) → E

( x, f ( x )) → x
và
q : Γ( f ) → F

( x, f ( x )) → x
Rõ ràng p là song ánh tuyến tính liên tục từ Γ( f ) lên E. Vì mọi song ánh
tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach đều là đẳng cấu nên ánh xạ

p−1 : E → Γ( f ) : x → ( x, f ( x )) là liên tục. Do tính liên tục của p−1 và q và
do f = q ◦ p−1 , suy ra f liên tục.
1.4.3

Định lý Hahn-Banach

Định lí Hahn - Banach thực.
Định lý 1.12. Giả sử F là không gian vector con của không gian vector thực E và
p là nửa chuẩn trên E. Khi đó đối với phiếm hàm tuyến tính f : F → R thỏa mãn
f (x)

p( x ) với mọi x ∈ F

đều tồn tại phiếm hàm tuyến tính f : E → R sao cho
fˆ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ F và fˆ( x )

p( x ) với mọi x ∈ E.

Định lí Hahn - Banach phức.
Định lý 1.13. (Hahn-banach). Giả sử F là không gian vector con của không gian
vector phức E và p là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính
phức f : F → C thỏa mãn

| f ( x )|

p( x ) với mọi x ∈ F.

Sau đây là một số hệ quả quan trọng của các định lí Hahn - Banach:

18

Hệ quả 1.3. Giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn ( thực hoặc
phức ) E và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F. Khi đó tồn tại phiếm hàm
tuyến tính liên tục fˆ trên sao cho
fˆ| F = f và || fˆ|| = || f ||.
Hệ quả 1.4. Giả sử F là không gian con đóng của không gian định chuẩn E và
x◦ ∈ E\ F. Khi đó tồn tại f ∈ E để
f | F = 0, || f || = 1 và f ( x◦ ) = dist( x◦ , F ) = in f {|| x◦ − y|| : y ∈ F }.
Hệ quả 1.5. Giả sử E là không gian định chuẩn và x ∈ E, x = 0. Khi đó tồn tại
f ∈ E để
f ( x ) = || x || và || f || = 1.

1.5

Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.15. Giả sử E và F là hai không gian vector trên cùng một
trường K. Ánh xạ T : E → F gọi là tuyến tính nếu:
T (αx + βy) = αT ( x ) + βT (y), ∀ x, y ∈ E, ∀α, β ∈ K.
Định nghĩa 1.16. Cho E là không gian định chuẩn xn → x◦ gọi là hội tụ
mạnh ⇔ || xn − x◦ || −→ 0.
Định nghĩa 1.17. Cho không gian định chuẩn E, f là ánh xạ. xn → x◦ gọi là
hội tụ yếu ⇔ Với mọi f liên tục, f ( xn ) −→ f ( x◦ ).
Định lý sau cho phép ta khẳng định L( E, F ) là một không gian định
chuẩn.
Định lý 1.14. L( E; F ) là không gian định chuẩn với chuẩn || f || xác định bởi công
thức:

|| f || = sup{|| f ( x )|| : x ∈ E, || x ||

1}.

Ngoài ra, nếu F là không gian Banach thì L( E, F ) cũng là không gian Banach.

19


Định nghĩa 1.18. Cho E là không gian định chuẩn trên trường K. Ta kí hiệu
E = L( E, K) và gọi E là không gian liên hợp tôpô của E. Mỗi phần tử của
E gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E.
Định lý 1.15. Không gian định chuẩn E là đầy nếu mọi chuỗi trong nó hội tụ
tuyệt đối là hội tụ.

1.6

Phép chiếu trực giao

Định nghĩa 1.19. Cho E là không gian Hilbert. Toán tử p ∈ L( E) được gọi
là toán tử chiếu trực giao nếu
a) p2 = p, (p là toán tử chiếu);
b)px ⊥ y − py với mọi x, y ∈ E, (p là toán tử trực giao).
Nhận xét 1.1. a) Im p là không gian con đóng của E và px = x với mọi
x ∈ Im p.
b) Nếu p là toán tử chiếu khác không thì p = 1.
c) Nếu p : E → E là phép chiếu trực giao thì 1 − p cũng là phép chiếu
trực giao.
d) ker p = Im (1 − p) và Im p = ker (1 − p).
Định lý 1.16. Nếu F là không gian con đóng của không gian Hilbert E thì tồn tại
phép chiếu trực giao từ E lên F.

Hệ quả 1.6. Nếu F là không gian con đóng bất kỳ của không gian Hilbert E thì
E = E ⊕ ⊥ F⊥ .

20


Chương 2

Toán tử trong không gian Hilbert
Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về ánh xạ tuyến tính liên tục
giữa các không gian Hilbert. Chúng được gọi là toán tử, các đối tượng này
được gọi là "Lý thuyết toán tử". Những kí hiệu trong lý thuyết toán tử như
sau.

2.1

Một số kí hiệu

Nếu H1 và H2 là các không gian Hilbert, thì không gian Banach

L (H1 ,H2 ) = {T : H1 → H2 , T là ánh xạ tuyến tính liên tục}
được kí hiệu là B (H1 , H2 ). Trong trường hợp chỉ có một không gian Hilbert

H thì không gian L (H,H) được kí hiệu là B (H).
Giả sử T ∈ B (H1 , H2 ) và S ∈ B (H2 , H3 ), thì tích S ◦ T ∈ B (H1 , H3 ) và kí
hiệu là ST.
Chúng ta biết rằng B(H) là một Banach đại số. Đại số Banach chính là công
cụ giúp ta nghiên cứu về toán tử bị chặn. Chủ đề chung của phần này là
nghiên cứu các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn, ánh xạ T : H → H,
và tính chất đại số của T là một phần tử của đại số Banach B (H). Một số

khái niệm khác liên quan đến các toán tử tuyến tính bị chặn được định
nghĩa dựa vào đại số Banach. Chẳng hạn, T ∈ B(H), chúng ta kí hiệu phổ

21


của nó trong B(H) bởi SpecH ((T) và
SpecH ((T) = {λ ∈ C : T − λI : H → H không khả nghịch}
và bán kính của phổ được định nghĩa như sau
radH (T) = max{|λ| : λ ∈ SpecH (T)}.
Chúng tôi bắt đầu một kết quả quan trọng, mà chúng tôi cần những điều
sau

Bổ đề 2.1. Cho X và Y là không gian vector định chuẩn. Trang bị cho X × Y một
tôpô tích. Đối với ánh xạ dạng nửa song tuyến tính φ : X × Y → C, các khẳng
định sau là tương đương:
(i) φ liên tục;
(ii) φ liên tục tại (0; 0);
(iii) sup{|φ( x, y)| : ( x, y) ∈ X × Y , x , y ≤ 1} < ∞;
(iv) Tồn tại một hằng số C ≥ 0, sao cho

|φ( x, y)| ≤ C · x · y
Hơn nữa, số trong (iii) bằng
min{C ≥ 0 : |φ( x, y)| ≤ C · x · y , ∀( x, y) ∈ X × Y }

(2.1)

Chứng minh. (i)⇒(ii) là hiển nhiên.
(ii)⇒(iii). Giả sử φ liên tục tại (0; 0). Chúng ta sẽ chứng minh (iii) bằng
phản chứng. Giả sử với mỗi n ≥ 1, n ∈ Z, các vector xn ∈ X ,

yn ∈ Y , x , y ≤ 1, sao cho

|φ( xn , yn )| ≥ n2 .
Lấy vn =

1
1
1
xn , wn = yn , ta có vn , wn ≤ , ∀n ≥ 1, khi đó
n
n
n
lim (vn , wn ) = (0; 0), trong X × Y

n→∞

22