c2 toanmath com đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2017 2018 môn toán trường THPT chuyên đh sư phạm hà nội (vòng 2)

Bộ giáo dục đo tạo
Trờng đại học s phạm h nội

cộng ho xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc

Đề chính thức
THI TUYN SINH
VO TRNG TRUNG HC PH THễNG CHUYấN NM 2017
Mụn thi: Toỏn
( Dựng riờng cho hc sinh chuyờn Toỏn v chuyờn Tin)
Thi gian : 150 phỳt
Cõu 1. (1.5 im)
Cho cỏc s dng a,b,c,d . Chng minh rng trong 4 s

1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
;b ;c ;d Cú ớt nht mt s khụng nh hn 3.
b c
c d
d a
a b
Cõu 2. (1.5 im)Gii phng trỡnh :
a2

x

2

2 x 4 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2017
2

2

2

2

Cõu 3. (3.0 im)
1.Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a,b,c,d tha món a 2 b3 ;c3 d 4 ; a d 98
1
1
2.Tỡm tt c cỏc s thc x sao cho trong 4 s x 2; x 2 2 2; x ; x cú ỳng
x
x
mt s khụng phi l s nguyờn.
Cõu 4. (3im) Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R v mt im M nm ngoi (O) .K hai tip
tuyn MA, MB ti ng trũn (O) ( A, B l hai tip im). Trờn on thng AB ly im C (C
khỏc A, C khỏc B). Gi I; K l trung im MA, MC .ng thng KA ct ng trũn (O) ti
im th hai D.
1. Chng minh KO 2 KM 2 R 2
2.Chng minh t giỏc BCDM l t giỏc ni tip.
3.Gi E l giao im th hai ca ng thng MD vi ng trũn (O) v N l trung
im KE ng thng KE ct ng trũn (O) ti im th hai F. Chng minh rng bn
im I, A, N, F cựng nm trờn mt ng trũn.
Cõu 5. (1.0 im)
A

Xột hỡnh bờn : Ta vit cỏc s 1, 2,3,4,..9 vo
v trớ ca 9 im trong hỡnh v bờn sao cho
mi s ch xut hin ỳng mt ln v tng
ba s trờn mt cnh ca tam giỏc bng 18.

Hai cỏch vit c gi l nh nhau nu b s
vit cỏc im (A;B;C;D;E;F;G;H;K) ca
mi cỏch l trựng nhau. Hi cú bao nhiờu
cỏch vit phõn bit ? Ti sao?

F

G

H

E

K

B
D

--------------Ht------------H v tờn thớ sinh:..S bỏo danh:.
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.

C


Vòng 2
Câu 1. (1.5 điểm)
Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì
1 1
1 1
1 1

1 1
P  a 2    b2    c2    d 2    3
b c
c d
d a
a b
Mặt khác
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
P  a 2    b2    c2    d 2    a 2  b2  c2  d 2  2     
b c
c d
d a
a b
a b c d 
1 1 1
4
2 1
Do 4  a 2  b 2  c 2  d 2    a  b  c  d  ;    

a b c d abcd

a  b  c  d 
P

a  b  c  d  .
16

16
16
16


 33
 12
.
abcd abcd
abcd abcd
4
4
Trái điều giả sử suy ra có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.
2

2

Câu 2. (1.5 điểm)Giải phương trình

x

 2 x   4  x  1  x 2   x  1   x 2  x   2017
2

2

2

2

2

ĐKXĐ x  R

x

 2 x   4  x  1  x 2   x  1   x 2  x   2017
2

2

2

2

2

 x 4  2 x3  4 x 2  4 x 2  8 x  8  x 2  x 2  2 x  1  x 4  2 x3  x 2  2017


x

2

 2x  2 
2

x

2

 x  1  2017  x 2  2 x  2  x 2  x  1  2017  x  2016
2

Câu 3. (3.0 điểm)
1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a 2  b3 ;c3  d 4 ; a  d  98
1
1
2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số x  2; x 2  2 2; x  ; x  có đúng
x
x
một số không phải là số nguyên.
Hướng dẫn
1.Giả sử a  p1x1 . p2x2 . p3x3 .... pnxn trong đó p1; p2 ;..., pn là các số nguyên tố x1; x2 ;...; xn  N

Tượng tự d  q1y .q 2y .q 3y ....q ny trong đó q1; q2 ;...,q n là các số nguyên tố y1; y 2 ;...; y n  N
Ta có a,d >1
Vì
1

2

3

n

a 2  p12 x1 . p22 x2 . p32 x3 .... pn2 xn  b3  2 x1 , 2 x2 , 2 x3 ,..., 2 x3  3  x1 , x2 , x3 ,..., x3  3  a  x 3 ,  x  Z  

Chứng minh tương tự d  y 3 ,( y  Z  ) từ giả thiết

a  d  98  x 3  y 3  98   x  y   x 2  xy  y 2   98 vi a  d  x  y  0

 x  y

2

 x 2  2 xy  y 2  x 2  xy  y 2  x  y  x 2  xy  y 2

 x  y  1
x  y  1
x  y 1
 2


 yZ  xZ


2
2
2
2
 x  xy  y  98
3 y  3 y  97  0
 y  1   y  1 y  y  98

Hoặc


 y  3


x  y  2
x  y  2
 x  y  2
 x  5



 2


2
2
2
2
  y  5  0
 y  2    y  2  y  y  49
 x  xy  y  49
 y  2 y  15  0

  x  3  0
 x  5; y  3

Vậy a  53  125; d  33  27; b  25; c  81
1
x

1
1
1
nguyên ta có x   x   2 x  Z  x  Q suy ra x  2; x 2  2 2

x
x
x
1
1
đều không là số hữu tỷ do vậy một trong hai số x  ; x  không là số nguyên khi đó
x
x
2
2
x  2; x  2 2  Z  x  2  x  2 2  Z

2.Nếu x  ; x 

Đặt



x  2  a,( a  Z )  x 2  2 2  a  2



2

 2 2  a 2  2  2 2  a  1  Z

 2 2  a  1  Z  a  1  0  a  1

Thử lại đúng vậy x  2  1
Câu 4. (3điểm)

A
E
I
D
M

H L
K

Q

N

F
P

O
C
B


a) Ta có IM = IA và KM = KC  IK là đường trung bình AMC  IK / / AC .
AC = AB ( 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M) và OA = OB = R  OM là trung trực của AB
 OM  AB  IK  OM . Gọi IK cắt OM tại H .Áp dụng định lý py ta go ta có cho
các tam giác vuông MHI ; KHO; MHK , OHI ta có
MI 2  MH 2  HI 2 ;KO 2  KH 2  HO 2 ; MK 2  MH 2  HK 2 ;O I 2  KH 2  HO 2 suy ra
MI 2  KO 2  MK 2  IO 2  KO 2  KM 2  IO 2  MI 2  IO 2  IA2  OA2  R 2 ( vì IM = IA)
Vậy : KO 2  KM 2  R 2
b) Nối KO cắt đường tròn tại Q, P.Ta có KM = KC

Suyra KO 2  KM 2  R 2  KO 2  KC 2  R 2 
KC 2  KO 2  OP 2  ( KO  OP )( KO  OP )  KQ.KP

Ta lại có KQ.KP =
  KAC
  DBM

KD.KA  KC 2  KD.KA  CKD ∽ AKD (c. g , c )  DCK
Vậy tứ giác MDCB nội tiếp.
  MAK
  EMK
 vì MKD ∽ AKM ( c. g.c )
c) Gọi L là trung điểm của KD ta có AEM
 AE//KM
Mặt khác ta có KF .KE  KD.KA  KF .KN  KL.KA  ANFL nội tiếp
  LNF
  MEK
  FMK
 (vì KF .KE  KD. KA  KC 2  KM 2 ) hay
Suy ra LAF
  KMF
  tugiacMKFA nội tiếp  AFN
  AMK
  AIN
  I , A, N .F cùng thuộc một
KAF
đường tròn
Câu 5. (1.0 điểm)
A

F

G

H

E

K

B
D

C

Ta thấy có 2 số la 9 và 8 trong dãy 1,2,3,4,..,9 tổng 2 số với 1 bằng 18 ta thấy tại điểm
A ( tương tự B,C) không thể điền số 1 vì nếu trái lại thì B,F phải điền cặp 8,9 ;tại C,E
điền cặp 8,9
Điều này vô lí .Tương tự tại D,E,F cũng không thể điền số 1 vậy số 1 được điền tại H,
G,K
Xét trường hợp số 1 được điền tại G ( tương tự tại H,K) khi đó E điền số 8 ,F điền số 9
( hoặc ngược lại).Giả sử tại A điền a;C điền c, D điền d, K điền k ,tại H điền k+1,
tại B điền c +1. khi đó a,d;c; c+1,k,k+1 phân biệt thuộc 2,3, 4,5,6,7
Khi đó


a  c  9

 d  k  9  d  3;5;7 thu d  7(thoa man)
 d  2c  17



Vậy a=4;c=5;k=2 có 3.2=6 (cách)