Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Bình Thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề này có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (5 điểm)

1 3
2
x   m  1 x 2   6m  3 x  .
3
3
Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên khoảng  4;  ?

a) Cho hàm số y 

b) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x 2  4 x  3  m .
Bài 2. (3 điểm)
Cho các số dương x, y,z . Chứng minh rằng:

x2
y2
z2
x yz
xy
yz

zx
.






2
yz zx x y
x y yz zx
Bài 3. (4 điểm)

1 3 5 2n  1
.
2 4 6 2n  2

a) Tìm lim un với un  . . ...

b) Cho dãy số  vn  định bởi v1  1 và vn1 

1  v n2  1
vn

với mọi n  1 .

Tìm công thức tính vn theo n.
Bài 4. (4 điểm)
Trong một buổi tiệc có 10 chàng trai, mỗi chàng trai dẫn theo một cô gái.
a) Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi thành một hàng ngang sao cho các cô gái ngồi cạnh

nhau, các chàng trai ngồi cạnh nhau và có một chàng trai ngồi cạnh cô gái mà anh ta dẫn theo ?
b) Ký hiệu các cô gái là G1 , G2 ,..., G10 . Xếp hết 20 người ngồi thành một hàng ngang sao
cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1. Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái sang phải là G1 , G2 ,..., G10 .
2. Giữa G1 và G2 có ít nhất 2 chàng trai.
3. Giữa G8 và G9 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 3 chàng trai.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy ?
Bài 5. (4 điểm)
Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và M là một điểm nằm trong tam
giác. Gọi A1 , B1 , C1 là các điểm đối xứng với điểm M lần lượt qua các đường thẳng AI , BI , CI .
Chứng minh rằng các đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy.
-------------- HẾT ------------Giám thị không giải thích gì thêm.
Ho ̣ và tên thı́ sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH - Năm học 2016 – 2017
LỜI GIẢI TÓM TẮT
Bài 1. (5 điểm)
a) TXĐ: D = 

ĐIỂM

y /  x 2  2  m  1 x   6m  3

0,25
0,5

Hàm số đồng biến trên khoảng  4;  khi và chỉ khi

0,5

x 2  2  m  1 x   6m  3  0 x  4

m

5
2

0,75

b) Vẽ đúng đồ thị (C): y  x 2  4 x  3

0,75

Đường thẳng y  m luôn vuông góc với Oy.
Dựa vào đồ thị, ta có:
PT vô nghiệm khi và chỉ khi m  0
PT có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m  0 hoặc m  1
PT có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m  1
PT có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0  m  1
Bài 2. (3 điểm)
Ta có:
y2
zx
x2
yz
z2
x y

 y,


 x,

z
zx
4
yz
4
x y
4
x2
y2
z2
x yz
Nên:



yz zx x y
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  z
Ta có:
x  y 2 xy y  z 2 yz z  x 2 zx
,
,



2
zx

x y
2
2
yz
x yz
xy
yz
zx
Nên:



2
x y yz zx
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  z
Bài 3. (4 điểm)

0,25

1 3 5 2n  1
1
. . ...

n  1
2 4 6 2n  2
3n  4
1 3 5 2n  1
1
Mà lim
0

 0 nên lim . . ...
2 4 6 2n  2
3n  4

a) Bằng quy nạp ta chứng minh được

b) Dự đoán vn  tan



n  1.

2n1
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp.

Bài 4. (4 điểm)

0,5
0,5
0,5
0,5

0,25 x 3
0,5
0,25
0,25 x 3
0,5
0,25
1,0

0,5 x 2
0,5
1,5


a) Có 2x10!x9! cách.

2,0

b) Giả sử có 20 chỗ ngồi được đánh số thứ tự từ trái sang phải là 1, 2, ..., 20.
Gọi x1 là số chàng trai được xếp bên trái G1 , x2 là số chàng trai được xếp ở giữa
G1 và G2 , x3 là số chàng trai được xếp ở giữa G2 và G3 , ..., x10 là số chàng trai
được xếp ở giữa G9 và G10 , x11 là số chàng trai được xếp bên phải G10 .
Bộ số  x1 , x2 ,..., x11  hoàn toàn xác định vị trí các cô gái và:
1) x1  x2  ...  x11  10
2) x2  2
3) 1  x9  3
Đổi biến y2  x2  2 ta có: x1  y2  x3  ...x 8  x10  x11  8  x9 .
Trong đó các ẩn không âm và 1  x9  3
Sử dụng kết quả bài toán chia kẹo Euler ta được số bộ  x1 , x2 ,..., x11  là:

0,25

C169  C159  C149  18447
Vậy có 18447.10! cách xếp thỏa đề.

0,25

0,25
0,25x4

0,25

Bài 5. (4 điểm)

Xét trường hợp M nằm trong góc BAI .
Gọi M a , M b , M c lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC , CA, AB .


Bằng biến đổi góc, ta chứng minh được M
AA  M
AA nên AA là đường trung
c

1

b

1

1

trực của đoạn M b M c .
Trường hợp M nằm trong góc CAI hoặc M nằm trên AI ta cũng chứng minh
được AA1 là đường trung trực của đoạn M b M c .
Chứng minh tương tự, ta được BB1 là đường trung trực của đoạn M a M c và CC1
là đường trung trực của đoạn M a M b .
Vậy AA1 , BB1 , CC1 đồng quy.

0,5
1,5

0,5
1,0
0,5