Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2016 2017 THPT chuyên lê quý đôn

Phan Hòa Đại
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016-2017

BÌNH ĐỊNH
Đề chính thức

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
Môn thi: Toán ( ĐỀ CHUNG )


Bài 1: (1,5 đ) Cho biểu thức: T  


1. Rút gọn T
2. Tìm các giá trị của x để

Ngày thi: 06/6/2016
Thời gian làm bài: 120’
x 1
x 1  
x 

 . x x 
 ( Với x > 0 ; x ≠ 1)
x 1
x  1  
x

1
T  2 x  13
2

Bài 2: (1,5 đ) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy
Bài 3: (2 đ) Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong
3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì hoàn thành được ¼ công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn
thành công việc trong bao lâu?
Bài 4: (4 đ) Cho đường tròn tâm O và dây AB không phải là đường kính. Vẽ đường kính CD vuông góc
với AB tại K ( D thuộc cung nhỏ AB).M là một điểm thuộc cung nhỏ BC ( M không trùng với B và C).
DM cắt AB tại F.
a) CM tứ giác CKFM nội tiếp.
b) Chứng minh: DF.DM=AD2
c) Tia CM cắt đường thẳng AB tại E. Chứng tỏ rằng tiếp tuyến tại M của (O) đi qua trung điểm của EF.
d) Chứng minh:

FB KF

EB KA

x  2016
x  2017

x 1
x 1
---*--HƯỚNG DẪN GIẢI
x 1
x 1  
x 


 . x x 
 ( Với x > 0 ; x ≠ 1)
x 1
x  1  
x

Bài 5: (1 đ) : Tìm GTLN của biểu thức: A 


Bài 1: ( 2 đ) Cho biểu thức: T  


a)Rút gọn T:Với x > 0 ; x ≠ 1

 x 1
x 1  
x 
T

 . x x 

 x 1

x

1
x






 
2

x 1 

x 1

.x


x 1

2



x x 

4 x
. x  x  1  4x
x 1

1
T  2 x  13  2x  2 x  13  2x  2 x  13  0 Đặt x  t  0 , ta được
2

1 3 3

(TM § K)
 t1 
1 3 3
28  6 3 14  3 3
2
2
pt: 2t -2t-13=0 ....  
 x
x

(TM § K)
2
4
2

1 3 3
(Lo¹i)
t 2 

2

b)Với x > 0 ; x ≠ 1, ta có

Bài 2: (1,5 đ) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy (1)
*Cách 1:2 Dựa vào điều 2kiện nghiệm
của
pt bậc hai:
2
2
2

2
2

(1)  2y x  x  y  1  x  2y  xy  x  xy  2y x  x  2y  y  1  0  x  x(2y 2  y  1)  2y 2  y  1  0
§ Æt 2y 2  y  a  x 2  x(a  1)  (a  1)  0(*)

Xem (*) là pt bậc 2 ẩn x, đk cần pt(1) có nghiệm x nguyên :  là số chính phương
   k 2 ( k  N)  (a  1)2  4(a  1)  k 2  a 2  2a  5  k 2  (a  1)2  k 2  4  (a  1  k)(a  1  k)  4


Phan Hòa Đại
Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định
Vì a  Z và k  N nên a-1-k  a-1+k và a-1-k ; a-1+k có cùng tính chẵn -lẻ nên chỉ có 1 trường hợp:
a  1  k  2
a  k  1 a  1


 TM § K 

a  1  k  2
a  k  3
k  2

-Với a=1 thì 2y2-y=1 2y2-y-1=0 (**) , pt (**) có dạng a+b+c=0 nên có 2 nghiệm:y1=1 (TMĐK)
; y2=

c
1
  (loại)
a

2


a  1  k 2 1  1  22
x


2
 1
2
2

Với a=1; k=2 thì pt (*) có hai nghiệm:
(TMĐK)
2
2

a 1 k
11 2
x1 

0

2
2

Vậy pt(1) có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (2;1)
*Cách 2: Đưa về pt tích:
2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy (1)  x2-2y2x+xy+2y2 -x-y=1  x(-2y2+y+x)-(-2y2+y+x)=1
 (-2y2+y+x)(x-1)=1

 x  2

   y  1
 x  1  1
 x  2
 x  2
 x  2

1






y

(Lo¹i)


2
2
2
2
 
y  1
 2y  x  y  1
 2y  2  y  1
 2y  y  1  0







 x  0
 x  0
x  1  1
x0
x0
 
 
 



 2y2  x  y  1  2y 2  0  y  1  2y 2  y  1  0
y  1
 y  1

 
   y  1 (Lo¹i)
  
2

Vậy pt(1) có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (2;1)
Bài 3: Gọi thời gian làm riêng xong công việc của người thợ thứ nhất là x ( giờ), của người thợ thứ hai là
y (giờ) . ĐK: x ,y > 16
Trong 1 giờ: + Người thợ thứ nhất làm được:

1
(CV)
x

1
(CV)
y
1
+ Cả hai người thợ làm được:
(CV)
16
1 1 1
Ta được pt: + =
(1)
x y 16
3
Người thợ thứ nhất làm trong 3 giờ được: (CV)
x
6
Người thợ thứ hai làm trong 6 giờ được: (CV)
y
1
Cả hai người thợ làm được: (CV)
4
3 6 1
Ta được pt:   (2)
x y 4

+ Người thợ thứ hai làm được:

Phan Hòa Đại

Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định

1 1 1
 x  y  16
x  24

Từ (1) và (2) ta được hệ pt: 
........................ giải hpt ta được: 
(TMĐK)
y

48
3
6
1

  
 x y 4

Vậy thời gian làm riêng xong công việc của người thợ thứ nhất là 24 giờ, của người thứ hai là 48 giờ.
C
Bài 4: (4 đ)
3
a) CM tứ giác CKFM nội tiếp.
CD  AB => CKF = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Lại có CMF =900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Suy ra CKF + CMF =1800 => Tứ giác ABEF nội tiếp được.

b) CMR: DF.DM=AD2.
A
Ta có: DKF  DMC  900 Lại có : D1 chung
=> DKF

DMC  g.g 

M

3
1

2

O
2
1

DF CD


 DF.DM  DK.CD(1)
DK DM

K

1

F

2
B

I

E

1

0
Lại có: DAC  90 0 ( góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn (O)); AKC  90
=>  ACD vuông tại A có
D
2
đường cao AK nên: AD =DK.CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra DF.DM=AD2
c. Chứng minh: Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) đi qua trung điểm của EF:

Gọi giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M với AE là I.
-Ta có: M 2  M 3  900 ( vì OMI  90 0 ), E 2  M 3  900 ( vì CKE  90 0 ), lại có C 3  M 3 ( Vì OC=OM =>

 OMC cân tại C) suy ra E 2  M 2 =>  IME cân tại I => IM=IE (3)
0
-Ta có: M 2  IMF  DME  900 , E 2  F 2  900 ( vì DME  90 ) , mà E 2  M 2 (c.mt) =>  IMF cân tại I =>
IM=IF (4)
Từ (3) và (4) suy ra IE=IF =>Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) đi qua trung điểm của EF
FB KF
d) CMR:

EB KA

Ta có: A1  M1 ( góc nội tiếp cùng chắn cung DB) và F1  F 2 ( đối đỉnh)
FB FD

 FB.FA  FM.FD(5)
FM FA
Ta có DKF  MMF   900  và F1  F 2 ( đối đỉnh)

=> ADF

MBF  g.g  

FM FK

 FE.FK  FM.FD(6)
FE FD
FB FK
FB
FK
FB FK
Từ (5) và (6) suy ra: FB.FA=FE.FK =>





FE FA
FE  FB FA  FK
EB KA

=> FKD

FME  g.g  

Bài 5: (1 đ) : ĐK: x  2017 A 

x  2016
x  2017


x 1
x 1

Theo BĐT Cô –Si cho hai số không âm, ta có:

 x  2016 .2017   x  2017 .2016
 x  1 . 2017
 x  1 . 2016


Phan Hòa Đại

A

x  2016  2017

2.  x  1 . 2017

Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định



x  2017  2016

2.  x  1 . 20176



x 1

2.  x  1 . 2017



1 1
1 
 


2  2016
2.  x  1 . 20176
2017 
x 1

1  2016
2017  2017 2016  2016 2017 2017 2016  2016 2017
 A  




2  2016
2017 
2.2016.2017
8132544
2017  x  2016
 x  4033 (TMĐK)
2016  x  2017

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
Vậy Amax=

2017 2016  2016 2017
khi x=4033
8132544