Bài giảng toán cao cấp cơ sở toán học ths nguyễn văn phong

CƠ SỞ TOÁN HỌC
Nguyễn Văn Phong

Toán cao cấp - MS: MAT1006
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 27


Nội dung
1

LOGIC
Khái niệm
Các phép toán
Tương đương logic
Hệ quả logic

2

TẬP HỢP
Khái niệm
Quan hệ giữa các tập hợp
Các phép toán trên tập hợp

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 27


Khái niệm
Các phát biểu (khẳng định) hoặc đúng, hoặc sai nhưng
không thể vừa đúng vừa sai. Các mệnh đề đúng được gọi
là có chân trị đúng và các mệnh đề sai có chân trị sai.
- Ký hiệu: p, q, r , . . . : chỉ các mệnh đề
- Ký hiệu: 1: Chân trị đúng; 0: Chân trị sai
Ví dụ.
p : "4 là số nguyên tố" - là mệnh đề có chân trị 0
q : "1 + 1 = 3" - là mệnh đề có chân trị 0
r : "x > 2" - không là mệnh đề
t : "2 là số chẵn" - là mệnh đề có chân trị 1
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

2 / 27


Các phép toán
Phép phủ định. Phủ định của mệnh đề p, ký hiệu p¯ và
đọc là không p, có chân trị là 1 khi p có chân trị là 0

Bảng chân trị
p p¯
0 1
1 0

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

3 / 27


Các phép toán
Phép nối liền (phép hội). Mệnh đề p ∧ q, đọc là p và
q, chỉ có chân trị 1 khi p và q cùng có chân trị 1.
Bảng chân trị
p
0
0
1
1

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

q p∧q
0
0
1

0
0
0
1
1

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

4 / 27


Các phép toán
Phép nối rời (phép tuyển). Mệnh đề p ∨ q, đọc là p
hay q, chỉ có chân trị 0 khi p và q cùng có chân trị 0.
Bảng chân trị
p
0
0
1
1

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

q p∨q
0
0
1
1

0
1
1
1

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

5 / 27


Các phép toán
Phép kéo theo. Mệnh đề p → q, đọc là p kéo theo q,
(hay nếu p thì q), chỉ có chân trị 0 khi p có chân trị 1
và q có chân trị 0.
Bảng chân trị
p
0
0
1
1
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

q p→q
0
1
1
1
0

0
1
1
Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

6 / 27


Các phép toán
Phép kéo theo hai chiều. Mệnh đề
(p → q) ∧ (q → p), ký hiệu là p ↔ q, đọc là p nếu và chỉ
nếu q, chỉ có chân trị 1 khi cả p và q có cùng chân trị.
Bảng chân trị
p
0
0
1
1
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

q p→q q→p p↔q
0
1
1
1
1
1
0

0
0
0
1
0
1
1
1
1
Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

7 / 27


Định nghĩa.

Dạng mệnh đề. Là một mệnh đề phức hợp (hay gọi là
một biểu thức mệnh đề) được thành lập bằng cách kết
hợp từ các biến mệnh đề đơn giản p, q, r , . . . và các phép
toán.
- Ký hiệu: A, B, C , . . .
- Ví dụ: Dạng mệnh đề: A(p, q, r ) := [(p → q) ∧ r ]

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

8 / 27


Định nghĩa.

Hằng đúng. Một dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng
(chân lý), ký hiệu là 1, nếu nó luôn có chân trị 1 bất
chấp chân trị của các biến mệnh đề tạo thành nó.
Hằng sai. Một dạng mệnh đề được gọi là hằng sai (mâu
thuẫn), ký hiệu là 0, nếu nó luôn có chân trị 0 bất chấp
chân trị của các biến mệnh đề tạo thành nó.

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

9 / 27


Tương đương logic
Định nghĩa. Hai dạng mệnh đề A và B được gọi là
tương đương logic, ký hiệu A ⇔ B, nếu dạng mệnh đề
A ↔ B là hằng đúng.
Ví dụ. Với các dạng mệnh
ta có
p q p∨q A
0 0

0
1
0 1
1
0
1 0
1
0
1 1
1
0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

đề A = (p ∨ q), B = p¯ ∧ q¯,
p¯
1
1
0
0

q¯
1
0
1
0

Cơ Sở Toán Học

B A↔B
1

1
0
1
0
1
0
1
Toán cao cấp - MS: MAT1006

10 / 27


Tương đương logic
Định lý
Cho
1.
2.
3.
4.

p, q, r là các mệnh đề, ta có:
(¯
p ) ⇔ p (luật phủ định đôi)
(p ∨ q) ⇔ p¯ ∧ q¯; (p ∧ q) ⇔ p¯ ∨ q¯ (luật De Morgan)
p ∨ q ⇔ q ∨ p; p ∧ q ⇔ q ∧ p (luật giao hoán)
p ∨ (q ∨ r ) ⇔ (p ∨ q) ∨ r ;
p ∧ (q ∧ r ) ⇔ (p ∧ q) ∧ r (luật kết hợp)
5. p ∨ (q ∧ r ) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r );
p ∧ (q ∨ r ) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) (luật phân bố)
6. p ∨ p ⇔ p; p ∧ p ⇔ p (luật luỹ đẳng)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

11 / 27


Tương đương logic

Định lý
Cho
7.
8.
9.
10.

p, q, r là các mệnh đề, ta có:
p ∨ 0 ⇔ p; p ∧ 1 ⇔ p (luật trung hoà)
p ∨ p¯ ⇔ 1; p ∧ p¯ ⇔ 0 (luật về phần tử bù)
p ∨ 1 ⇔ 1; p ∧ 0 ⇔ 0 (luật thống trị)
p ∨ (p ∧ q) ⇔ p; p ∧ (p ∨ q) ⇔ p (luật hấp thụ)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

12 / 27


Tương đương logic

Định lý
Cho
i)
ii)
iii)
iv)

p, q, r là các mệnh đề, ta có:
(p → q) ⇔ (¯
q → p¯) (phép chứng minh đảo đề)
(p → q) ⇔ p ∧ q¯ (phép chứng minh phản ví dụ)
p ⇔ (¯
p → 0) (phép chứng minh phản chứng)
[p → (q ∨ r )] ⇔ [(p ∨ q¯) → r ]

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

13 / 27

Hệ quả logic
Định nghĩa. Dạng mệnh đề B được gọi là hệ quả logic
của dạng mệnh đề A, ký hiệu A ⇒ B, nếu dạng mệnh đề
A → B là hằng đúng.
Ví dụ. Với các dạng
có
p
0
0
1
1
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

mệnh đề A = p ∧ q, B = p ∨ q, ta
q
0
1
0
1

A
0
0
0
1

B A→B
0
1
1

1
0
1
1
1

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

14 / 27


Hệ quả logic
Định lý
Cho
i)
ii)
iii)
iv)
v)

p, q, r là các mệnh đề, ta có:
[(p → q) ∧ p] ⇒ q (phép khẳng định)
[(p → q) ∧ q¯] ⇒ p¯ (phép phủ định)
[(p → q) ∧ (q → r )] ⇒ (p → r ) (tam đoạn luận)
[(p ∨ q) ∧ p¯] ⇒ q (tam đoạn luận rời)
[(p → r ) ∧ (q → r )] ⇒ [(p ∨ q) → r ] (chứng minh
theo trường hợp)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

15 / 27


Khái niệm
Sự gom góp các đối tượng có cùng tính chất với
nhau cho ta hình ảnh về tập hợp.
Các đối tượng được gọi là các phần tử của tập hợp.
Ký hiệu: A, B, C , . . . chỉ các tập hợp
Nếu a là một phần tử của A, ký hiệu a ∈ A. Ngược
lại nếu a không là phần tử của A, ký hiệu a ∈
/ A.
Tập rổng, ký hiệu ∅, là tập không có phần tử nào cả.
Tập hợp có thể được xác định bằng nhiều cách như:
Liệt kê, Biểu thức mệnh đề, giản đồ Venn.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

16 / 27


Ví dụ

A = {2, 4, 6, 8}
A = x ∈ R p(x) = x 2 − 2x + 9 ≥ 0

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

17 / 27


Quan hệ giữa các tập hợp
Tập con. Tập hợp A được gọi là một tập con của tập
hợp B, ký hiệu A ⊂ B , khi mọi phần tử của A đều là
phần tử của B, nghĩa là
∀x, x ∈ A → x ∈ B
Quy ước: ∅ ⊂ A, ∀A

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

18 / 27


Quan hệ giữa các tập hợp

Hai tập bằng nhau. Tập hợp A và B được gọi là bằng
nhau, ký hiệu A = B , khi mọi phần tử của A đều là
phần tử của B và ngược lại nghĩa là
∀x, x ∈ A ↔ x ∈ B

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

19 / 27


Các phép toán trên tập hợp
Với A, B là các tập con của tập X , ta có
Phép lấy phần bù. Phần bù của A trong X , ký hiệu
¯ là tập con của X bao gồm các phần tử
CX A hay A,
không thuộc về A.
¯ = {x ∈ X |x ∈
A
/ A}

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

20 / 27


Các phép toán trên tập hợp
Với A, B là các tập con của tập X , ta có
Phép lấy phần hội. Phần hội của A với B, ký hiệu
A ∪ B, là tập con của X gồm các phần tử thuộc về A
hay thuộc về B.
A ∪ B = {x ∈ X |x ∈ A ∨ x ∈ B }

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

21 / 27


Các phép toán trên tập hợp
Với A, B là các tập con của tập X , ta có
Phép lấy phần giao. Phần giao của A với B, ký hiệu
A ∩ B, là tập con của X gồm các phần tử thuộc về A và
thuộc về B.
A ∩ B = {x ∈ X |x ∈ A ∧ x ∈ B }

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

22 / 27


Các phép toán trên tập hợp
Với A, B là các tập con của tập X , ta có
Phép lấy phần hiệu. Phần phần của A với B, ký hiệu
A\B, là tập con của X gồm các phần tử thuộc về A và
không thuộc về B.
A\B = {x ∈ X |x ∈ A ∧ x ∈
/ B}

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

23 / 27


Một số tính chất
Với A, B, C là các tập con của tập X , ta có

Định lý
¯ =A
i) A
ii) A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A
iii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C );

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
iv) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C );
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
¯ ∩ B;
¯ (A ∩ B) = A
¯ ∪B
¯
v) (A ∪ B) = A
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cơ Sở Toán Học

Toán cao cấp - MS: MAT1006

24 / 27