LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: Một số tính chất của phũ phẳng (bao gồm full file latex)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỌ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
PHỦ PHẲNG
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
GS.TS. Lê Văn Thuyết

HUẾ, 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết
quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Họ tên tác giả
Phan Thọ.

i


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, GS.TS Lê Văn Thuyết, đã tận

tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt khóa luận này.
Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán, trường
Đại học Sư phạm Huế đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập tại khoa.
Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô giáo và
bạn bè trong suốt thời gian tôi làm khóa luận.
Huế, Ngày 21 tháng 7 năm 2015
Học viên thực hiện
Phan Thọ.

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Một số khái niệm cơ bản về môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Hàm tử Hom và Hàm tử Tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và môđun phẳng . . . . . . . . .

13

1.4. Môđun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5. Vành Coherent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.6. Giới hạn thuận - Giới hạn nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.7. Sơ đồ pushout, pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Chương 2. Phủ của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1. Khái niệm phủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2. Một số tính chất của phủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Chương 3. Một số tính chất của phủ phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2. Tính chất của phủ phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.3. Các định lý quan trọng của phủ phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

1


BẢNG KÍ HIỆU
MR

M là R-môđun phải

RM

M là R-môđun trái

E(M )

Bao nội xạ của môđun M

P (M )

Phủ xạ ảnh của môđun M

P E(M )

Bao nội xạ thuần túy của môđun M

L⊥

Lớp trực giao phải

⊥

Lớp trực giao trái

L

N ≤M

N là môđun con của M

N
N là môđun con thực sự của M

N ≤e M

N là môđun con cốt yếu (lớn) của M

N ≤⊕ M

N là hạng tử trực tiếp của M

N

N là môđun con đối cốt yếu (bé) của M

M

N ≤max

N là môđun cực đại của M

M (I)

Tổng trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M

MI

Tích trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M

M∗

HomR (MR , R)

2


MỞ ĐẦU
Lý thuyết vành và môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã và đang
được phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Một trong các

hướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu “phủ phẳng” của môđun.
Trước hết, chúng tôi xin đề cập đến môđun nội xạ. Khái niệm môđun nội xạ được
Bear giới thiệu vào năm 1940. Tiêu chuẩn Baer về môđun nội xạ phát biểu rằng: “Một
R-môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mọi iđêan I của vành R, và với mọi đồng cấu
R-môđun β : I −→ E thì tồn tại đồng cấu R-môđun α : R −→ E sao cho: αi = β ,
với i là đồng cấu bao hàm.”.
Từ khái niệm nội xạ ban đầu, nhiều khái niệm và kết quả mới đã được hình thành
và nghiên cứu. Chẳng hạn, Eckmann và Schopf đã chứng minh được sự tồn tại của
các bao nội xạ của môđun trên bất kỳ vành kết hợp R và Matlis nghiên cứu định lý
cấu trúc của môđun nội xạ trên vành Noetherian. Các khái niệm môđun nội xạ và
bao nội xạ đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết vành và môđun, và đã có
một tác động rất lớn về đại số đồng điều và đại số giao hoán.
Tiếp theo, khái niệm của một môđun phẳng được giới thiệu bởi J.P.Serre trong
bài báo [10] nổi tiếng của ông năm 1956. Trong đó, môđun phẳng định nghĩa như
sau: một R-môđun phải B được gọi là môđun phẳng nếu hàm tử B ⊗R − là hàm tử
khớp. Tức là với mọi dãy khớp ngắn các R-môđun trái:
0

G

f

M

G

N

g

G

G

P

0

thì dãy cảm sinh tương ứng từ hàm tử B ⊗R −
0

G

B ⊗R M

1⊗R f

G

B ⊗R N

1⊗R g

G

B ⊗R P

G

0

là dãy khớp.
Tại thời điểm đó, khái niệm phủ xạ ảnh đối ngẫu với bao nội xạ bắt đầu được
nghiên cứu. Trong đó, bao nội xạ của R-môđun M kí hiệu là E(M ) được định nghĩa là
môđun nội xạ E bé nhất chứa M , một số sách còn định nghĩa: đơn cấu α : M −→ E
được gọi là bao nội xạ của môđun M nếu E là môđun nội xạ và α là đơn cấu cốt yếu
(tức là Imα≤e E). Còn phủ xạ ảnh của môđun M kí hiệu là P (M ) được định nghĩa
3


là : môđun xạ ảnh P và toàn cấu β : P −→ M gọi là phủ xạ ảnh của môđun M nếu
P là môđun xạ ảnh và β là toàn cấu đối cốt yếu (tức là Kerβ

P ).

Trong năm 1959 ở Đại học Chicago đã có luận án của H. Bass và sau đó là bài
báo [4] nghiên cứu về phủ xạ ảnh của một môđun. Ông đặc trưng lớp vành R trong
đó mỗi môđun có một phủ xạ ảnh và đó chính là vành hoàn chỉnh. Ông đã chứng
minh rằng mỗi phủ xạ ảnh cũng là phủ phẳng (mặc dù Bass đã không sử dụng thuật
ngữ này).
Điều này mặc nhiên đặt ra câu hỏi là :“mỗi môđun có một phủ phẳng hay không? ”.
Câu hỏi này đã không được trả lời tường minh cho đến năm 1981 [8]. Trong công
trình của E. Enochs thì chỉ chứng minh rằng nếu một môđun có một tiền phủ phẳng,
thì nó có một phủ phẳng. Điều này làm tăng thêm động lực cho việc nghiên cứu các
vấn đề này. Tuy nhiên, việc này rất khó và tiến triển rất chậm cho đến năm 1995, J.
Xu trong [11] đã chứng minh rằng phủ phẳng tồn tại trên vành Nơte giao hoán có
chiều Krull hữu hạn. Tác phẩm của ông đã giúp cho nhiều người biết đến vấn đề này,
và đóng góp vào việc tìm ra giải pháp cho việc chứng minh giả thuyết trên. Vấn đề
này quan trọng đến mức khi nói đến đối ngẫu về sự tồn tại của bao nội xạ, người ta
có lúc đã nghĩ đến phủ phẳng. Mãi cho đến năm 2001, L. Bican, R. El Bashir và E.

Enochs trong [14] đã chứng minh được giả thuyết trên là đúng.
Với lý do như trên và mong muốn tìm hiểu thêm về “phủ phẳng” , hơn nữa được
sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết, tôi đã mạnh dạn chọn
đề tài “Một số tính chất của phủ phẳng” để tiến hành nghiên cứu với hi vọng có
thể tìm hiểu sâu hơn về các tính chất của chúng và mục tiêu là nêu ra các bước của
việc giải quyết giả thuyết trên.
Mục tiêu của luận văn là trình bày, làm rõ một số tính chất của phủ phẳng. Đặc
biệt, tập trung chứng minh được tính chất “mọi môđun đều có một phủ phẳng”. Nội
dung nghiên cứu của luận văn là về một số tính chất của phủ phẳng. Dự kiến với
mục tiêu và nội dung này, luận văn được chia là hai chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun, môđun nội xạ, môđun xạ
ảnh, môđun phẳng, môđun Ext, vành coherent, giới hạn thuận, giới hạn ngược,. . . .
Chương 2: Trình bày định nghĩa và một số đặc điểm, tính chất, ví dụ của phủ
phẳng. Các định lý quan trọng của phủ phẳng,. . . .
4


Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày khó
tránh khỏi các sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để luận văn được hoàn thiện hơn.

Huế, Ngày 21 tháng 7 năm 2015
Học viên thực hiện
Phan Thọ.

5


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MÔĐUN
Trong chương này chúng tôi chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun,

môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun phẳng, môđun Ext, vành coherent, giới hạn
thuận, giới hạn ngược,. . . .
Hầu hết các kiến thức được trình bày trong chương này được trích chủ yếu từ
[1], [2], [3] theo cách tóm tắt lại những kết quả chính. Do đó, một số chứng minh các
Bổ đề, Mệnh đề, Định lý không trình bày lại. Nếu các độc giả muốn tham khảo các
chứng minh có thể xem trong những tài liệu đã nêu ở trên.
Trong suốt luận văn này, vành được nhắc đến luôn là vành kết hợp có đơn vị
1 = 0, các R-môđun đều unita và khi nói đến môđun ta hiểu là môđun phải.

1.1. Một số khái niệm cơ bản về môđun
1.1.1. Đồng cấu môđun
Định nghĩa 1.1.1. (Đồng cấu). Cho hai R-môđun M, N . Một đồng cấu R-môđun
từ M vào N là một ánh xạ φ thỏa mãn các điều kiện
φ(x + y) = φ(x) + φ(y)
φ(rx) = rφ(x)
với mọi x, y ∈ M, r ∈ R.
Một đồng cấu R-môđun được gọi đơn giản là một đồng cấu nếu không cần thiết phải
chỉ rõ vành cơ sở.
Định nghĩa 1.1.2. (Đơn cấu, toàn cấu). Cho M, N là hai R-môđun phải, đồng
cấu φ : M −→ N được gọi là đơn cấu (toàn cấu) nếu nó là đơn ánh (tương ứng toàn
ánh). Đồng cấu φ gọi là đẳng cấu nếu nó vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu.
Định nghĩa 1.1.3. (Ảnh, hạt nhân). Đối với một đồng cấu môđun φ : M −→ N ,
ta kí hiệu
Imφ = φ(M ),
Kerφ = {x ∈ M |φ(x) = 0} = φ−1 (0)
6


và gọi Imφ, Kerφ lần lượt là ảnh và hạt nhân của φ.
Định nghĩa 1.1.4. (Đối nhân, đối ảnh). Cho M, N là hai R-môđun phải và f là

đồng cấu R-môđun từ M vào N . Ta gọi
Coker (f ) = N/Im (f ) , Coim (f ) = M/Ker (f )
tương ứng là đối nhân và đối ảnh của f .
Cho MR và kí hiệu HomR (MR , R) là tập gồm tất cả các đồng cấu R-môđun từ
MR → R R .
Mệnh đề 1.1.1 ([1], Mệnh đề 3.1.8). HomR (MR , R) cùng với hai phép toán cộng và
nhân môđun xác định như sau trở thành R-môđun trái
(α + β)(m) := α(m) + β(m),
(rα)(m) := rα(m),
với mọi m ∈ M , r ∈ R và α, β ∈ HomR (MR , R).
Định nghĩa 1.1.5. (Môđun đối ngẫu). R-môđun trái HomR (MR , R) và gọi là
môđun đối ngẫu của môđun MR , kí hiệu là M ∗ , các phần tử của M ∗ gọi là các dạng
tuyến tính trên M . Môđun đối ngẫu của M ∗ , kí hiệu: M ∗∗ = HomR (M ∗ , R), là một
R-môđun phải và được gọi là môđun song đối ngẫu của M .
Tiếp theo, ta có các định lý về đồng cấu và đẳng cấu
Định lý 1.1.2 ([1], Mệnh đề 3.2.1). (Định lý về đồng cấu) Mỗi đồng cấu của
các môđun phải α : A −→ B đều có thể phân tích được α = α ν, trong đó đồng cấu
ν : A −→ A/Ker(α) là toàn cấu chính tắc, còn α là đơn cấu xác định bởi
α : A/Ker (α) −→ B
a + Ker (α) −→ α (a)
Đơn cấu α là đẳng cấu khi và chỉ khi α là toàn cấu.
Hệ quả 1.1.3 ([1], Hệ quả 3.2.2). Cho α : AR −→ BR là đồng cấu R-môđun. Khi
đó: A/Ker(α) ∼
=Im(α).
7


Định lý 1.1.4 ([1], Định lý 3.2.3). (Định lý thứ nhất về đẳng cấu) Nếu B ≤ AR
và C ≤ AR thì (B + C) /C ∼
= B/B ∩ C.

Định lý 1.1.5 ([1], Định lý 3.2.4). (Định lý thứ hai về đẳng cấu) Nếu C ≤
B ≤ AR thì A/B ∼
= (A/C) / (B/C).

1.1.2. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các môđun
Trong lí thuyết môđun, ta không chỉ nghiên cứu môđun đã cho nhờ sự phân tích nó
thành những môđun đơn giản mà còn xây dựng những môđun mới từ các môđun đã
cho. Đó chính là các cấu trúc của tích trực tiếp và tổng trực tiếp các môđun.
Định nghĩa 1.1.6. (Tích trực tiếp). Cho một họ những R-môđun phải {Ai }i∈I
với I = ∅. Khi đó tích Descartes

Ai = {(ai )i | ai ∈ Ai } cùng với phép cộng và
i∈I

phép nhân vô hướng theo thành phần:
(ai )i∈I + (bi )i∈I = (ai + bi )i∈I ;
r(ai )i∈I = (rai )i∈I
là một R-môđun phải, gọi là tích trực tiếp của họ {Ai }i∈I .
Ai = AI .

Trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu
i∈I

Định nghĩa 1.1.7. (Giá hữu hạn) Họ (ai )i∈I ∈

Ai được gọi là có giá hữu hạn
i∈I

nếu ai = 0 tất cả trừ một số hữu hạn.
Định nghĩa 1.1.8. (Tổng trực tiếp ngoài). Môđun con S của

Ai với
i∈I

S = {(ai )i∈I ∈

Ai | (ai )i∈I có giá hữu hạn } được gọi là tổng trực tiếp ngoài của
i∈I

họ {Ai }i∈I , được kí hiệu là

Ai .
i∈I

Ai = A(I) .

Trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu
i∈I

Với mỗi j ∈ I, đồng cấu ηj : Aj −→

Ai xác định bởi aj −→ (ai )i∈I =
i∈I

(..., 0, aj , 0, ...) là một phép nhúng.
Định nghĩa 1.1.9. (Tổng trực tiếp trong). Một R-môđun phải M được gọi là
tổng trực tiếp trong của họ {Mi }i∈I những môđun con của nó nếu
M=

Mj ) = 0, ∀ i ∈ I.

Mi và Mi
i∈I

j∈I,j=i

8


Định nghĩa 1.1.10. (Hạng tử trực tiếp). Một môđun con K của M được gọi là
hạng tử trực tiếp của M , kí hiệu K ≤⊕ M nếu tồn tại một môđun con H của M sao
cho K ⊕ H = M . Khi đó H được gọi là môđun con phụ của K trong M .
Phần tử e ∈ R được gọi là một lũy đẳng của R nếu e2 = e.

1.1.3. Môđun con cốt yếu và đối cốt yếu
Định nghĩa 1.1.11. (Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu).
1) Một môđun con K của môđun M được gọi là cốt yếu (lớn) trong M , kí hiệu
K ≤e M , nếu K ∩ X = 0 với mỗi môđun con X = 0 của M .
2) Một môđun con K của môđun M được gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M , kí
hiệu K

M , nếu K + X = M với X là môđun con của M thì X = M .

Định nghĩa 1.1.12. (Đơn cấu cốt yếu, toàn cấu đối cốt yếu).
1) Đơn cấu f : K −→ M được gọi là cốt yếu nếu Im(f ) ≤e M .
2) Toàn cấu g : M −→ N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(g)

M.

Sau đây là các tính chất của môđun con cốt yếu và đối cốt yếu.

Mệnh đề 1.1.6 ([1], Mệnh đề 2.1.9). Cho M là R-môđun phải và K ≤ N ≤ M ,
H ≤ M . Lúc đó
1) K ≤e M ⇐⇒ K ≤e N và N ≤e M .
2) H ∩ K ≤e M ⇐⇒ H ≤e M và K ≤e M .
Mệnh đề 1.1.7 ([1], Mệnh đề 2.1.10). Cho M là R-môđun phải và K ≤ N ≤ M ,
H ≤ M . Lúc đó
1) N

M ⇐⇒ K

2) H + K

M và N/K

M ⇐⇒ H

M và K

M/K.
M.

9


1.1.4. Dãy khớp
Định nghĩa 1.1.13. (Dãy khớp). Một dãy các R-môđun phải và các R-đồng cấu
môđun
ϕi−1

ϕi

· · · −→ Mi−1 −→ Mi −→ Mi+1 −→ · · ·
được gọi là khớp, nếu tại mọi Mi (không kể hai đầu mút, nếu có) thỏa mãn điều kiện:
Im (ϕi−1 ) = Ker (ϕi )
Dãy khớp các R-môđun phải :
0 −→ M −→ N −→ P −→ 0
được gọi là dãy khớp ngắn.
Định nghĩa 1.1.14. (Sơ đồ giao hoán). Một biểu đồ các R-môđun phải được gọi
là giao hoán nếu hợp thành bất kì các R-đồng cấu môđun trong sơ đồ sao cho cùng
gốc và cùng ngọn thì bằng nhau, nói riêng, tam giác
A
γ

ϕ

 ~

G

B

ψ

C
được gọi là giao hoán nếu γ = ψϕ.
Hình vuông
A
γ



C

ϕ

β

G

G

B


ψ

D

gọi là giao hoán nếu βγ = ψϕ.
Bổ đề 1.1.8 ([1], Bổ đề 6.2.1). Cho f : M −→ N và f : N −→ M là các đồng cấu Rmôđun sao cho f ◦f = 1N . Khi đó f là toàn cấu, f là đơn cấu và M = Kerf ⊕Imf .
Định nghĩa 1.1.15. (Dãy khớp chẻ ra).
1) Nếu f : M −→ N và f : N −→ M là các đồng cấu R-môđun sao cho f ◦f = 1N ,
thì chúng ta nói rằng f là toàn cấu chẻ ra, còn f là đơn cấu chẻ ra.

10


2) Một dãy khớp ngắn
f

g

0 −→ M1 −→ M −→ M2 −→ 0
được gọi là chẻ ra nếu f là đơn cấu chẻ ra, còn g là toàn cấu chẻ ra.
Định nghĩa 1.1.16. (Dãy khớp thuần túy). Một dãy khớp ngắn các R-môđun
trái
0 −→ M −→ N −→ P −→ 0
được gọi là khớp thuần túy nếu với mọi R-môđun phải A, ta có dãy khớp
0 −→ A ⊗R M −→ A ⊗R N −→ A ⊗R P −→ 0
Trong trường này M được gọi là môđun con thuần túy của N .
Tiếp theo ta có một định lý để kiểm tra một môđun con thuần túy.
Định lý 1.1.9 ([3], Định lý 3.65). Cho λ : A −→ A là đơn cấu R-môđun. Khi đó, A
là môđun con thuần túy của A nếu và chỉ nếu, cho bất kì sơ đồ giao hoán với F0 , F1
là các R-môđun tự do hữu hạn sinh thì tồn tại một ánh xạ F0 −→ A là cho sơ đồ
sau giao hoán:
G

F1
0

G

 ~

A

λ

G

F0


A

1.2. Hàm tử Hom và Hàm tử Tenxơ
1.2.1. Hàm tử Hom
Định nghĩa 1.2.1. Cho N là R-môđun. Xét tương ứng :
F = HomR (−, N ) : Mod(R) −→ Mod(R)
Với mỗi R-môđun M thì F (M ) = HomR (M, N ).
Với mỗi đồng cấu R-môđun f : M1 −→ M2 thì
F (f ) = HomR (f, N ) : HomR (M2 , N ) −→ HomR (M1 , N )
α −→ f ∗ (α) = αf
Lúc đó; F là được gọi là hàm tử Hom đối với biến thứ nhất.
11


Định nghĩa 1.2.2. Cho M là R-môđun. Xét tương ứng :
F = HomR (M, −) : Mod(R) −→ Mod(R)
Với mỗi R-môđun N thì F (N ) = HomR (M, N ).
Với mỗi đồng cấu R-môđun f : N1 −→ N2 thì
F (f ) = HomR (M, f ) : HomR (M, N1 ) −→ HomR (M, N2 )
α −→ f∗ (α) = f α
Lúc đó; F là được gọi là hàm tử Hom đối với biến thứ hai.
Nhận xét 1. Hàm tử HomR (M, −) là hàm tử hiệp biến, còn hàm tử HomR (−, N )
là hàm tử phản biến.
Mệnh đề 1.2.1 ([3], Theorem 2.9). Hàm tử HomR (M, −) và HomR (−, N ) là các
hàm tử khớp trái với mọi R-môđun M, N .
Nhận xét 2. Hàm tử HomR (M, −) và HomR (−, N ) nói chung là không khớp phải.

1.2.2. Hàm tử Tenxơ
Định nghĩa 1.2.3. Cho N là R-môđun. Xét tương ứng :
F = − ⊗ N : Mod(R) −→ Mod(R)
Với mỗi R-môđun M thì F (M ) = M ⊗ N .
Với mỗi đồng cấu R-môđun f : M1 −→ M2 thì
F (f ) = f ⊗ N : M1 ⊗ N −→ M2 ⊗ N
x ⊗ y −→ f (x ⊗ y) = f (x) ⊗ y

∀x ∈ M1 , y ∈ N

Lúc đó; F là được gọi là hàm tử Tenxơ đối với biến thứ nhất.
Định nghĩa 1.2.4. Cho M là R-môđun. Xét tương ứng :
F = M ⊗ − : Mod(R) −→ Mod(R)
Với mỗi R-môđun N thì F (N ) = M ⊗ N .
Với mỗi đồng cấu R-môđun f : N1 −→ N2 thì
F (f ) = M ⊗ f : M ⊗ N1 −→ M ⊗ N2
x ⊗ y −→ f (x ⊗ y) = x ⊗ f (y)
Lúc đó; F là được gọi là hàm tử Tenxơ đối với biến thứ hai.
12

∀x ∈ M, y ∈ N1


Nhận xét 3. Hàm tử Tenxơ M ⊗ − và − ⊗ N là hàm tử hiệp biến.
Mệnh đề 1.2.2 ([3], Theorem 2.10). Hàm tử Tenxơ M ⊗ − và − ⊗ N là các hàm tử
khớp phải với mọi R-môđun M, N .
Nhận xét 4. Hàm tử M ⊗ − và − ⊗ N nói chung là không khớp trái.

1.3. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và môđun phẳng
Định nghĩa 1.3.1. (Môđun nội xạ). Một môđun E được gọi là nội xạ nếu với

mỗi R-đơn cấu α : N → M , với mỗi R-đồng cấu β : N → E đều tồn tại R-đồng cấu
γ : M → E sao cho β = γ ◦ α. Tức là, ta có biểu đồ sau giao hoán:
G

0

N
β

 }

α G

M

γ

E

Bổ đề 1.3.1 (Tiêu chuẩn Baer). Một R-môđun E là nội xạ khi và chỉ khi với mọi
iđêan I của vành R, và với mọi đồng cấu R-môđun β : I −→ E thì tồn tại đồng cấu
R-môđun α : R −→ E sao cho: αi = β , với i là đồng cấu bao hàm.
G

0

I

β

 

GR

i
α

E

Bổ đề 1.3.2 ([1], Bổ đề 3.4.13). Nếu D là Z-môđun chia được (nội xạ), thì ER =
HomZ (R, D) là R-môđun nội xạ phải.
Mệnh đề 1.3.3 ([1], Mệnh đề 3.4.14). Đối với mỗi môđun tồn tại đơn cấu vào môđun
nội xạ.
Định nghĩa 1.3.2. (Nội xạ thuần túy). Một R-môđun trái E được gọi là nội xạ
f

thuần túy nếu với mọi dãy khớp thuần túy các R-môđun trái 0 −→ M −→ N −→
P −→ 0 và với mỗi đồng cấu R-môđun β : M −→ E thì tồn tại đồng cấu R-môđun
γ : N −→ E sao cho sơ đồ sau giao hoán:
0

G

M
β

 ~

f

GN
γ

E

13

G

P

G0


Ví dụ 1. Mọi môđun nội xạ là môđun nội xạ thuần túy.
Định nghĩa 1.3.3. (Môđun tự do). Một môđun F được gọi là tự do nếu nó đẳng
cấu với tổng trực tiếp R(I) của |I| bản sao của R; một cách tương đương, F có một
cơ sở {xi |i ∈ I}; nghĩa là F =

xi R và

i∈I

n
i=1 xi ri

= 0, ri ∈ R cho ta ri = 0, với

mọi i = 1, . . . , n.
Định lý 1.3.4 ([1], Định lý 5.2.1). Mọi R-môđun phải M đều là ảnh toàn cấu của

một R-môđun phải tự do nào đó. Nếu M hữu hạn sinh thì M là ảnh toàn cấu của
một R-môđun phải tự do với cơ sở hữu hạn.
Định nghĩa 1.3.4. (Môđun xạ ảnh). Một môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với
mỗi R-toàn cấu α : M → N , với mỗi R-đồng cấu β : P → N đều tồn tại R-đồng cấu
γ : P → M sao cho β = α ◦ γ.
P
γ

M

~

α

G



β

N

G

0

Định lý 1.3.5 ([3], Theorem 3.12). Nếu P là R-môđun xạ ảnh và β : B −→ P là
toàn cấu thì B = kerβ ⊕ P với P ∼
= P.
Hệ quả 1.3.6 ([3],Theorem 3.13). Nếu A là một môđun con của môđun B với B/A

là xạ ảnh thì A là một hạng tử trực tiếp của B. Mọi dãy khớp ngắn 0 −→ A −→
B −→ P −→ 0, với P xạ ảnh là chẻ ra.
Định lý 1.3.7 ([1], Định lý 3.4.7). Một môđun P là R-môđun xạ ảnh nếu và chỉ nếu
P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một R-môđun tự do nào đó.
Định nghĩa 1.3.5. (Môđun phẳng). Một môđun B được gọi là phẳng nếu với mọi
đơn cấu R-môđun f : M −→ N thì đồng cấu cảm sinh 1 ⊗ f : B ⊗ M −→ B ⊗ N là
đơn cấu.
Bổ đề 1.3.8 ([2], Lemma 19.14). R-môđun trái M là phẳng nếu và chỉ nếu M ∗ =
HomZ (M, Q/Z) là nội xạ.
Nhận xét 5.

(i) Tổng trực tiếp của các môđun xạ ảnh là môđun xạ ảnh, và tích

trực tiếp của các môđun nội xạ là môđun nội xạ.
14


(ii) Môđun tự do =⇒ môđun xạ ảnh =⇒ môđun phẳng. Tuy nhiên, chiều ngược lại
nói chung không đúng.
Trong phần giới thiệu chúng tôi đã nhắc đến định nghĩa bao nội xạ, bây giờ chúng
tôi sẽ trình bày định nghĩa tổng quát cho khái niệm bao.
Định nghĩa 1.3.6. (Bao). Cho X là lớp các R-môđun trái và M là R-môđun trái.
Một R-môđun X ∈ X được gọi là X -bao của M nếu có một R-đồng cấu ϕ : M −→ X
thỏa:
(1) Với mọi đồng cấu ϕ : M −→ X với X ∈ X thì tồn đồng cấu f : X −→ X
sao cho ϕ = f ϕ.
ϕ

M
ϕ


~

G

X

f

X
(2) Nếu f : X −→ X là tự đồng cấu thỏa ϕ = f ϕ thì f phải là một tự đẳng cấu.
M

ϕ

GX

ϕ

 ~

f

X
Nhận xét 6.

(i) Trong định nghĩa bao, nếu chỉ có riêng (1) thì ta gọi ϕ : M −→ X

là một X -tiền bao.

(ii) Trong định nghĩa của bao, nếu thay X là lớp các R-môđun trái bởi lớp các
R-môđun nội xạ, lớp các R-môđun nội xạ thuần túy. . . thì ta được các khái
niệm bao nội xạ, bao nội xạ thuần túy. . ..
(iii) Bao nội xạ của R-môđun M được kí hiệu là E(M ), còn bao nội xạ thuần túy
của R-môđun M được kí hiệu là P E(M ).
Đối ngẫu với khái niệm bao là khái niệm phủ. Khái niệm tổng quát của phủ chúng
tôi sẽ trình bày trong các chương tiếp theo. Còn bây giờ, chúng tôi chỉ nhắc lại khái
niệm phủ xạ ảnh là một trường hợp đặc biệt của phủ.
π

Định nghĩa 1.3.7. (Phủ xạ ảnh). Một toàn cấu P −→ M −→ 0 được gọi là phủ
xạ ảnh của môđun M nếu P là xạ ảnh và Ker(π)
được kí hiệu là P (M ).
15

P . Phủ xạ ảnh của môđun M


Ví dụ 2.

ι

1) ZZ −→ QZ là bao nội xạ đối với ZZ vì ι là đơn cấu còn QZ là nội xạ

(chia được), ngoài ra ZZ ≤e QZ vì với mọi q ∈ Q, q = 0, q = p/r, ∃r ∈ Z sao cho
r = 0, rq = p ∈ Z.
2) Không phải mọi môđun đều có phủ xạ ảnh, ví dụ Z2 không có phủ xạ ảnh. Dĩ
nhiên có thể thấy f : Z −→ Z2 là toàn cấu tự nhiên, nhưng Kerf = 2Z không
phải đối cốt yếu của Z, vì 2Z + 3Z = Z nhưng 2Z = Z.
Tiếp theo, chúng tôi có các kết quả liên quan đến bao nội xạ và phủ xạ ảnh.

Mệnh đề 1.3.9 ([1], Mệnh đề 3.5.3). Cho M là R-môđun phải. Giả sử p : P −→ M
là phủ xạ ảnh của M . Nếu Q là xạ ảnh và q : Q −→ M là toàn cấu thì Q có phân
tích Q = P ⊕ P sao cho
1) P ∼
= P.
2) P ≤Ker(q).
3) (q|P ) : P −→ M là một phủ xạ ảnh đối với M .
Chứng minh. Do Q là xạ ảnh nên ta có sơ đồ giao hoán sau:
b

g

P

Q

h 

~
p

G

q

M

G0



0
Ta có p là toàn cấu đối cốt yếu và ph = q là toàn cấu nên h là toàn cấu. Vì P là xạ
ảnh nên h là chẻ ra, nghĩa là tồn tại đơn cấu g : P −→ Q sao cho hg = 1P và từ đó
Q = Im(g)⊕ Ker(h). Đặt P = Im(g) và P = Ker(h). Ta có ngay 1) do g là đơn cấu.
Ngoài ra 2) đúng vì ph = q. Ta có M = q(Q) = p(Im(g)⊕Ker(h))= q(Im(g))= q(P ),
vì vậy
P

( q|P )G

M

G

0

là khớp, và nó là một phủ xạ ảnh vì từ qg = phg = p và Ker(qg) = g −1 (Ker(q)).
Ta có Ker((q|P )) = g(Ker(p)) là một môđun con đối cốt yếu của p(P ) = P . Vậy 3)
đúng.
Tương tự, ta có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề trên
16


Mệnh đề 1.3.10 ([1], Mệnh đề 3.5.3). Cho M là R-môđun phải. Giả sử ι : M −→ E
là bao nội xạ của M . Nếu Q là nội xạ và q : M −→ Q là đơn cấu thì Q có phân tích
Q = E ⊕ E sao cho
1) E ∼
= E.
2) Im(q) ≤ E .

3) q : M −→ E là một bao nội xạ đối với M .
Mệnh đề 1.3.11 ([1], Mệnh đề 3.5.4). Mọi môđun đều có một bao nội xạ. Nó duy
nhất và sai khác một phép đẳng cấu.
Chứng minh. Cho M là R-môđun phải. Tồn tại Q nội xạ mà M ≤ Q. Đặt tập
Γ = {N ≤ Q| M ≤e N }
Áp dụng bổ đề Zorn ta có phần tử cực đại E của tập này. Gọi E là Q-phần bù của
E (lúc đó E là cực đại với tính chất E ∩ E = 0) thì (E ⊕ E ) /E ≤e Q/E . Ta có
E ⊕ E = Q.
Thật vậy, lấy g : (E ⊕ E ) /E −→ E là đẳng cấu. Ta có sơ đồ giao hoán với dãy
và hàng đều khớp.
Qy g
g

0

G (E

⊕ Ey ) /E

h

G Q/E

0
Vậy h là đơn cấu, do đó M ≤e E = Im(g) = h((E ⊕ E ) /E ) ≤e h(Q/E ). Suy ra
M ≤e h(Q/E ). Do tính cực đại của E, ta có h((E ⊕ E ) /E ) = h(Q/E ). Và do h là
đơn cấu nên (E ⊕ E ) /E = Q. Từ đó E là nội xạ. Vậy ta có thể nhúng M −→ E là
bao nội xạ của M . Tính duy nhất là do mệnh đề 1.3.10
Mệnh đề 1.3.12 ([1], Mệnh đề 3.5.5). Giả sử π1 : P −→ M và π2 : Q −→ M là các
phủ xạ ảnh của M . Khi đó tồn tại một đẳng cấu φ : P −→ Q sao cho π2 φ = π1 .

Chứng minh. Theo tính chất xạ ảnh của P , thì tồn tại đồng cấu φ : P −→ Q sao
cho π2 φ = π1 . Ta để ý rằng Ker(π1 )

P , Ker(π2 )
17

Q. Từ đó ta có Ker(φ)

P


và φ là toàn cấu. Nhưng vì Q là xạ ảnh nên φ là toàn cấu chẻ ra, nghĩa là Ker(φ) là
hạng tử trực tiếp của P và do đó Ker(φ) = 0. Vậy, φ là một đẳng cấu.
Từ mệnh đề trên, chúng tôi thấy rằng nếu phủ xạ ảnh của môđun tồn tại thì nó
là duy nhất sai khác một phép đẳng cấu. Từ đó, chúng tôi cũng phỏng đoán rằng
nếu phủ của môđun tồn tại thì nó là duy nhất sai khác một phép đẳng cấu. Để làm
rõ phỏng đoán này chúng tôi sẽ làm rõ trong chương kế tiếp.

1.4. Môđun Ext
1.4.1. Phức - Đồng cấu nối
Định nghĩa 1.4.1. (Phức, phức đối xích).
1) Phức các R-môđun là dãy các R-môđun và dãy các đồng cấu
G

(X∗ ) · · ·

Mi+1

di+1

G

Mi

di G

G

Mi−1

···

sao cho Im(di+1 ) ⊆ Ker(di ), với mọi i ∈ Z. Lúc đó : Hi (X∗ ) = Ker(di )/Im(di+1 )
được gọi là đồng điều thứ i của dãy (X∗ ).
2) Phức đối xích của các R-môđun là dãy các R-môđun và dãy các đồng cấu
G

(X ∗ ) · · ·

Mi−1 d

i−1

G

di G

Mi

G

Mi+1

···

sao cho Im(di−1 ) ⊆ Ker(di ), với mọi i ∈ Z. Lúc đó : Hi (X ∗ ) = Ker(di )/Im(di−1 )
được gọi là đối đồng điều thứ i của dãy (X ∗ ).
Định nghĩa 1.4.2. (Đồng cấu phức). Cho hai phức:
(X)
(Y )

···
···

G

Xi+1

di+1

G

Xi

fi+1
fi

di+1
GY
GY

i+1
i



di G

Xi−1

di



GY

G

···

fi−1

i−1

G

···

và họ các đồng cấu R-môđun : f = (fi )i∈Z : X −→ Y , tức là fi : Xi −→ Yi . Lúc đó,
f : X −→ Y được gọi là đồng cấu phức từ X vào Y nếu : fi .di+1 = di+1 .fi+1 , với mọi
i ∈ Z.

18


Định nghĩa 1.4.3. (Dãy khớp ngắn giữa các phức). Cho các phức A, B, C :
0
(A)
(B)

0



dn+1

···

G

···

fn+1
dn+1
GB
G
n+1

An+1



G

An



(C)

G

···

Cn+1

dn+1



dn G

An−1

dn



fn



Bn

gn+1



0

G

G



G



Cn−1



0

G

···
G

···

Bn−1
gn−1

dn

Cn

···

fn−1

gn



G



0

0

và các đồng cấu phức :
f = (fn ) : A −→ B
g = (gn ) : B −→ C
Khi đó, dãy đồng cấu phức
f

g

0 −→ A −→ B −→ C −→ 0
được gọi là dãy khớp ngắn giữa các phức nếu :
fn

gn

0 −→ An −→ Bn −→ Cn −→ 0
là dãy khớp ngắn với mọi n ∈ Z.
Định lý 1.4.1 ([3], Theorem 6.2). Cho dãy khớp ngắn các phức :
f

g

0 −→ A −→ B −→ C −→ 0
Khi đó, với mọi n, tồn tại đồng cấu:
∂n : Hn (C) −→ Hn−1 (A)
−1
.dn .gn−1 (z ) + Bn−1 (A)
z + Bn (C) −→ fn−1

trong đó Bn (C) = Im(dn+1 ), Bn−1 (A) = Im(dn ).
Định nghĩa 1.4.4. (Đồng cấu nối). Cho dãy khớp ngắn các phức:
0

G

A

f

GB

g

G

C

G

0

Ánh xạ ∂n : Hn (C) −→ Hn−1 (A) được xác định trong định lý 1.4.1 được gọi là đồng
cấu nối của dãy khớp trên.
19


1.4.2. Giải thức tự do - giải thức xạ ảnh - giải thức nội xạ
Định nghĩa 1.4.5. (Giải thức tự do - xạ ảnh - nội xạ). Cho M là một R-môđun
1) Nếu có 1 dãy khớp các R-môđun :
G

(F) : · · ·

F2

d1 G

d0 G

F1

G

GM

π

F0

0

và các Fi là các R-môđun tự do với i ≥ 0 thì ta nói (F) là giải thức tự do của
M.
2) Nếu có 1 dãy khớp các R-môđun :
G

(P) : · · ·

P2

d1 G

d0 G

P1

π

P0

G

G

M

0

và các Pi là các R-môđun xạ ảnh với i ≥ 0 thì ta nói (P) là giải thức xạ ảnh
của M .
3) Nếu có 1 dãy khớp các R-môđun :
(E) : 0

G

GE

M

d0 G

0

E1

d1 G

E2

d2 G

···

và các Ei là các R-môđun nội xạ với i ≥ 0 thì ta nói (E) là giải thức nội xạ của
M.
Định lý 1.4.2 ([3], Theorem 3.8, 3.28). Cho M là một R-môđun. Khi đó
1) Luôn tồn tại giải thức tự do của M .
2) Luôn tồn tại giải thức nội xạ của M .
Chứng minh.
1) Giả sử X là tập sinh của môđun M . Gọi F0 = R(X) là môđun tự do và π :
F0 −→ M là toàn cấu. Với mọi x ∈ M thì x =

ai xi , gọi S = (exi )xi ∈X là
xi ∈X

cơ sở của F0 . Lúc đó, π

ai exi

=

xi ∈X

ai xi .
xi ∈X

Nếu Ker(π) = 0 thì ta được dãy :
0

GF

π
0

20

G

M

G

0


là giải thức tự do của M (lúc đó M là môđun tự do)
Nếu Ker(π) = 0 thì ta gọi X1 là tập sinh của Ker(π) và đặt F1 = R(X1 ) là
R-môđun tự do
d0

F1
π1

G

F0

Y

5

π

G

π

GM

G

M

0

i0

Ker(π)
5

0

Gọi d0 = i0 .π1
• Nếu Ker(d0 ) = 0 thì ta được dãy :
G

0

d0 G

F1

F0

G

0

là giải thức tự do của M .
• Nếu Ker(d0 ) = 0 thì dãy
G

···

d1 G

F2

d0 G

F1

π

F0

G

G0

M

là giải thức tự do của M .
2) Giả sử M là R-môđun. Gọi E 0 = E(M ) là bao nội xạ của M . Ta có, dãy
G

0
với

G E0

M

là đơn cấu

Nếu Im( ) = E 0 thì dãy
G

0

G

M

G

E0

0

là giải thức nội xạ của M (M là nội xạ).
Nếu Im( ) = E 0 thì gọi E 1 = E(E 0 /Im( )), thì ta có dãy
0

GM

G

trong đó, p0 là toàn cấu chính tắc,
Gọi d0 =

1

p0

G E 0 /Im (

E0
1

)

là phép nhúng .

.p0 ta được dãy:
0

GM

21

1

G

E0

d0 G

E1

G

E1


• Nếu Im( 1 ) = E 1 thì dãy :
G

0

G

M

d0 G

E0

G

E1

0

là giải thức nội xạ của M
• Nếu Im( 1 ) = E 1 thì tiếp tục quá trình này ta thu được dãy:
0

G

M

d0 G

G E0

E1

d1 G

G

E2

···

là giải thức nội xạ của M .
Nhận xét 7.

(i) Do giải thức tự do luôn tồn tại nên giải thức xạ ảnh luôn tồn tại.

(ii) Trong chứng minh tồn tại giải thức tự do, nếu ta gọi X là hệ sinh tối tiểu của
M , X1 là hệ sinh tối tiểu của Ker(π),. . . thì giải thức tự do thu được gọi là giải
thức tự do tối tiểu. Tương tự, giải thức nội xạ được xây dựng trong chứng minh
(2) của định lý 1.4.2 được gọi là giải thức nội xạ tối tiểu.
(iii) Hai giải thức tự do tối tiểu của cùng một môđun M ( tương ứng hai giải thức
nội xạ tối tiểu) đều đẳng cấu với nhau.

1.4.3. Môđun Ext
Định nghĩa 1.4.6. (Môđun Ext). Cho M là R-môđun, xét giải thức xạ ảnh tối
tiểu của M :
(P)

d

d

1
0
· · · −→
P1 −→
P0 −→ M −→ 0

Với mỗi môđun N , áp dụng hàm tử HomR (−, N ) lên giải thức (P), ta được :
d∗

d∗

0
1
(P∗ :) 0 −→ HomR (P0 , N ) −→
HomR (P1 , N ) −→
···

là một phức đối xích các R-môđun. Khi đó
ExtiR (M, N ) = Ker(d∗i )/Im(d∗i−1 ) , ∀i ∈ Z
được gọi là môđun Ext thứ i của M, N .
Nhận xét 8.

(i) ExtiR (M, N ) là các R-môđun.

(ii) ExtiR (M, N ) = 0 nếu i < 0.
22