KHÓA LUẬN: MÔ HÌNH HÓA VỚI PHẦN MỀM CASYOPÉE ĐỂ HỖ TRỢ MỘT TIẾP CẬN THỰC NGHIỆM HÀM SỐ Ở PHỔ THÔNG

1
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯƠNG THỊ XUÂN MỸ
MÔ HÌNH HÓA VỚI PHẦN MỀM
CASYOPÉE ĐỂ HỖ TRỢ MỘT TIẾP
CẬN THỰC NGHIỆM HÀM SỐ Ở
PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN
Chuyên ngành: LL & PPDH Toán
Giảng viên hướng dẫn: TS Trần Kiêm Minh

Huế, Khóa học: 2009 – 2013


Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CÁM ƠN

Trong thời gian học tập tại khoa Toán trường ĐHSP Huế, tôi đã tham gia làm
khóa luận tốt nghiệp dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Kiêm Minh. Được tham gia
làm khóa luận tốt nghiệp là niềm vinh dự, tự hào của bản thân tôi, không những
vậy đây cũng là một khó khăn, thử thách đòi hỏi phải tập trung, đầu tư thời gian
nhiều. Bằng sự nỗ lực, phấn đấu không ngừng học hỏi, tôi đã hoàn thành khóa luận
tốt nghiệp này. Khóa luận này được hoàn thành không thể không kể đến công lao
của người thầy đã hướng dẫn tôi. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thành cảm
ơn sự nhiệt tình, tận tụy chỉ bảo, hướng dẫn và động viên của thầy đã giúp tôi trong
thời gian qua.

Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành cám ơn các thầy cô trong khoa Toán đã
chỉ bảo, dạy dỗ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin cám ơn sự giúp
đỡ của bạn bè tôi, các thầy cô giáo và các học sinh trường THPT Phú Lộc, đặc biệt
cám ơn gia đình yêu quý đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được hoàn thành khóa
luận này.
Trong thời gian nghiên cứu có hạn, mặc dù đã cố gắng nhưng có lẽ không
tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong được nhận sự đóng góp của quý thầy cô và
bạn bè.
Tôi xin cám ơn tất cả.

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài ....................................... 2
3. Nội dung của đề tài ................................................................................ 2
4. Cấu trúc của khóa luận ......................................................................... 3
Chương 1. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ DẠY VÀ HỌC HÀM SỐ Ở
PHỔ THÔNG ................................................................................................ 4
1.1 Sơ lược về lịch sử hàm số .................................................................... 4
1.1.1 Thời cổ đại: Các bảng số tương ứng ................................................ 4
1.1.2 Thời Trung đại: Xuất hiện biểu diễn bằng đồ thị ........................... 4
1.1.3 Thời kì hiện đại: Xuất hiện các biểu thức đại số và hình thức hóa

khái niệm hàm số ....................................................................................... 5
* Thế kỉ XVI- XVII................................................................................ 5
* Thế kỉ XVII- XIX................................................................................ 6
1.1.4 Những ghi nhận ................................................................................ 8
1.2 Hàm số trong chương trình và sách giáo khoa Pháp - Việt ............... 9
1.2.1 Hàm số trong chương trình sách giáo khoa Pháp ....................... 9
1.2.2 Hàm số trong chương trình sách giáo khoa Việt Nam.................. 13
1.3 Nghiên cứu về dạy và học hàm số ..................................................... 18
Chương 2. KHUNG LÍ THUYẾT SỬ DỤNG ............................................ 23

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

2.1 Phân bậc hoạt động về hàm số trong môi trường công nghệ .......... 23
2.2 Chu trình mô hình hóa hàm .............................................................. 25
Chương 3. MÔI TRƯỜNG PHẦN MỀM CASYOPÉE ............................ 28
3.1 Giới thiệu phần mềm và một số chức năng ...................................... 28
3.2 Mô hình hóa với Casyopee ................................................................ 33
Chương 4. THỰC NGHIỆM ...................................................................... 35
4.1 Mục tiêu của thực nghiệm ................................................................. 35
4.2 Nội dung của thực nghiệm ................................................................ 35
4.2.1 Giới thiệu phần mềm Casyopée cho học sinh phổ thông .......... 35
4.2.2 Tiến hành hoạt động ................................................................... 35
4.3 Phân tích tiên nghiệm ............................................................................ 36
Chương 5. KẾT QUẢ .................................................................................. 47

5.1 Phân tích bài làm của học sinh ......................................................... 48
5.1.1 Phiếu học tập số 1 ....................................................................... 48
5.1.2 Phiếu học tập số 2 ....................................................................... 55
5.1.3 Phiếu học tập số 3 ....................................................................... 60
5.2 Phân tích bảng hỏi ............................................................................. 71
5.3 Kết luận .............................................................................................. 78
5.4 Đóng góp của khóa luận và hướng phát triển của đề tài ................. 79
Tài liệu tham khảo ...................................................................................... 81
PHỤ LỤC..................................................................................................... 83

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


1
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Học Toán đã khó khăn nhưng dạy Toán còn vất vả hơn nhiều. Làm thế nào
để học sinh hiểu, nắm bắt và giải quyết các vấn đề Toán học thật sự là điều đáng
quan tâm. Một trong những biện pháp đó là sử dụng những công nghệ mới, đặc
biệt là các môi trường phần mềm.
Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin, các môi
trường phần mềm dành cho việc dạy học Toán được sử dụng phổ biển trong nhà
trường. Những phần mềm này tạo ra môi trường học tập tích cực, giúp cải tiến khả
năng mô hình toán học, tăng khả năng hình thành các khái niệm toán học và thúc
đẩy hoạt động của học sinh. Việc sử dụng phần mềm sẽ giúp đem lại cái nhìn trực

quan, sinh động và từ quan sát học sinh sẽ phát hiện, dự đoán và định hướng lời
giải. Vì vậy sự hỗ trợ của máy tính điện tử và các phần mềm là cần thiết trong dạy
học hiện đại.
Hàm số là khái niệm quan trọng trong toán học cũng như trong các khoa học
thực nghiệm khác. Chủ đề hàm số trong chương trình phổ thông là một chủ đề khó
để lĩnh hội đối với học sinh. Ngày nay, trong chương trình Toán THPT của nhiều
nước tiên tiến trên thế giới như Pháp, Mỹ... chủ đề hàm số chiếm một vai trò quan
trọng. Hàm số được giới thiệu như là mô hình của các quan hệ phụ thuộc giữa các
đại lượng biến thiên trong một tình huống xuất phát từ các lĩnh vực ứng dụng hay
từ thực tế.
Casyopée1 là một môi trường phần mềm mã nguồn mở miễn phí đang được
phát triển và thiết kế đặc biệt dành cho việc dạy và học chủ đề hàm số ở phổ thông.

1

Có thể tải phần mềm tại địa chỉ: />
Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


2
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

Casyopée có hai cửa sổ chính là cửa sổ hình học động và cửa sổ đại số. Phần mềm
này là khá mới mẻ đối với trường phổ thông. Điểm mạnh của Casyopée là khả
năng kết nối hai cửa sổ này bằng thẻ Geometric Caculations. Cụ thể, Casyopée cho
phép dựng các hình hình học động, khảo sát mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại
lượng hình học (độ dài, diện tích...), chọn một đại lượng làm biến và đại lượng kia

làm giá trị hàm để khảo sát mối quan hệ phụ thuộc hàm của chúng. Tiếp theo,
Casyopée cho phép mô hình hóa mối quan hệ phụ thuộc hàm này bằng một hàm
số đại số và xuất ra trong cửa sổ đại số.
Những đặc trưng trên của môi trường phần mềm Casyopée sẽ hỗ trợ học sinh
như thế nào trong việc tiếp cận khái niệm hàm số? Hoạt động của học sinh trong
các kiểu biểu diễn hàm số khác nhau của Casyopée (hình học, đồ thị, đại số) giúp
học sinh hiểu được khái niệm hàm số như thế nào? Xuất phát từ những lí do trên,
để hỗ trợ việc học chủ đề hàm số ở trường phổ thông, tôi chọn đề tài: “Mô hình
hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở phổ
thông”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
 Đề tài hướng đến việc phân tích tiềm năng của phần mềm Casyopée đối với việc
học chủ đề hàm số ở phổ thông. Cụ thể, đề tài sẽ phân tích một tiếp cận hàm số
thông qua mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc hình học.


Các tình huống học tập với sự hỗ trợ của phần mềm Casyopée sẽ được phân tích
nhằm làm rõ những tiềm năng của cách tiếp cận này.
3. Nội dung của đề tài
Nội dung của đề tài bao gồm:

 Sơ lược về lịch sử khái niệm hàm số.

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


3
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

 Tìm hiểu phần mềm Casyopée.
 Thiết kế các tình huống học tập chủ đề hàm số với phần mềm Casyopée.
 Thực nghiệm.
 Phân tích việc sử dụng Casyopée bởi học sinh.
4. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận gồm có ba phần, tài liệu tham khảo và phụ lục.
I.

Mục lục

II.

Nội dung
A. Phần mở đầu
B. Phần nội dung
Chương 1. Tổng quan nghiên cứu về dạy và học hàm số ở phổ thông
Chương 2. Khung lý thuyết sử dụng
Chương 3. Môi trường phần mềm Casyopée
Chương 4. Thực nghiệm
Chương 5. Kết quả

III.

Tài liệu tham khảo

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông

4
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

Chương 1. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ DẠY VÀ HỌC HÀM
SỐ Ở PHỔ THÔNG
1.1 Sơ lược về lịch sử hàm số
1.1.1 Thời cổ đại: Các bảng số tương ứng
Đây là bước đầu tiên của khái niệm hàm số. Ngay từ những năm 2000 trước công
nguyên, những nhà toán học Babylon đã sử dụng một cách rộng rãi các bảng bình
phương, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay bảng căn bậc ba trong hệ lục thập
phân. Còn người Hy Lạp thì đã thiết lập các bảng sin. Những bảng này xuất hiện
chủ yếu từ nhu cầu giải quyết các vấn đề của toán học (đo đạc hình học, nghiên
cứu các đường cong,...) hay của các ngành khoa học tự nhiên (vật lý, thiên văn
học...). Tại thời điểm này, ý tưởng về hàm số có nguồn gốc từ cuộc sống và thực
hành nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho tính toán. Như vậy, ở thời kì này, khái niệm
hàm số chưa có tên, chưa có định nghĩa. Nó chỉ xuất hiện như một công cụ ngầm
ẩn cho việc giải quyết các bài toán thuộc về thiên văn học, toán học. Trong đó, các
quan hệ phụ thộc lẫn nhau giữa hai đại lượng chủ yếu lấy giá trị trong các tập hợp
hữu hạn và rời rạc. Yếu tố đầu tiên của khái niệm hàm số được ưu tiên đề cập là
tính “phụ thuộc” giữa hai đại lượng, mặc dù đặc tính phụ thuộc này không xuất
hiện tường minh. Tương tự, đặc trưng tương ứng và đặc trưng biến thiên của các
đại lượng chỉ thể hiện một cách ngầm ẩn. Như vậy, khái niệm “biến” - yếu tố cơ
bản cấu thành khái niệm hàm số chưa xuất hiện. Hơn nữa, sự phụ thuộc giữa hai
đại lượng chỉ được mô tả dưới hình thức các bảng số.
1.1.2 Thời Trung đại: Xuất hiện biểu diễn bằng đồ thị
Tại thời điểm này các khái niệm chung về đại lượng biến thiên và hàm số được thể
hiện đồng thời dưới hình thức hình học và cơ học. Cũng giống như Thời cổ đại,

từng trường hợp cụ thể của sự phụ thuộc giữa hai đại lượng được mô tả bằng lời
Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


5
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

nói hoặc bởi một đồ thị mà không phải bởi một công thức. Vào thời điểm đó, các
chuyển động được nghiên cứu hoặc theo cách định tính bằng cách mô tả bằng lời
chiều biến thiên hoặc bằng cách nghiên cứu một vài giá trị riêng lẽ của hiện tượng
và có xu hướng che đậy đi mặt biến thiên liên tục. Cho đến giữa thế kỷ thứ XIV,
các dạng biểu diễn đồ thị đầu tiên bắt đầu xuất hiện. Các nghiên cứu về sự phụ
thuộc giữa hai đại lượng, đặc biệt là các đại lượng liên quan đến chuyển động như:
vận tốc, quãng đường, thời gian,…Các chuyển động này được nghiên cứu chủ yếu
về mặt định tính bằng cách mô tả chiều biến thiên nhưng không đi tới các quan hệ
số lượng. Tính phụ thuộc giữa các đại lượng được mô tả bằng lời, nhưng chủ yếu
bằng các bảng số hoặc bằng các hình hình học. Chẳng hạn, N.Oresme (1323 –
13820) đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động (vận tốc) theo thời gian
bằng một hình hình học. Như vậy, ngoài nghiên cứu về tính phụ thuộc giữa các đại
lượng, thời kì này bắt đầu có những nghiên cứu rõ nét hơn về đặc trưng biến thiên,
biểu diễn bằng đồ thị và bằng hình hình học. Điều này đánh dấu một bước tiến về
khái niệm hàm số như là biến phụ thuộc. Tuy nhiên, bản thân thuật ngữ “biến
thiên” và khái niệm biến chưa xuất hiện một cách rõ ràng.
1.1.3 Thời kì hiện đại: Xuất hiện các biểu thức đại số và hình thức hóa khái
niệm hàm số
* Thế kỉ XVI- XVII
Trong giai đoạn này, việc gia tăng mạnh mẽ những phép tính toán học và đặc biệt

sự ra đời của các kí hiệu chữ đóng vai trò quyết định đối với sự phát triển sau này
của lí thuyết các hàm số.
Cũng như Oresme, Galileo (1564 - 1642) quan tâm chủ yếu vào nghiên cứu các
chuyển động và như vậy là các đại lượng như vận tốc, gia tốc, khoảng cách bắt đầu
xuất hiện. Tuy nhiên, ông cố gắng đi tìm những kết quả nhờ vào đo đạc và thực

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


6
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

nghiệm chứ không dựa duy nhất trên tư duy thuần túy như Oresme. Đây là điểm
khác biệt cơ bản cho phép ông đi vào nghiên cứu định lượng các hiện tượng. Mục
tiêu nghiên cứu các chuyển động theo cách định lượng của Galileo đã đóng góp
lướn vào sự tiến triển của khái niệm hàm số. “Việc khảo sát một quan hệ giữa hai
đại lượng biến thiên là vấn đề có tính cơ bản trong việc đi đến khái niệm hàm số”.
(Malik, 1980, p.490).
Descartes (1596 – 1650) là người nêu lên một cách rõ ràng hơn cái gọi là “phụ
thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên”. Hình học giải tích của Descartes đã
dẫn đến xem xét các đường cong như là quỹ đạo hoặc quỹ tích của các điểm. Ý
tưởng giới thiệu hàm số bằng phương pháp giải tích được phát triển bởi Descartes
trong tác phẩm nổi tiếng của ông “Hình học” được xuất bản năm 1637. Với hình
học này, các đường cong được mô tả bởi các công thức được đưa vào trong các
nghiên cứu. Ta sẽ thấy rõ sự xuất hiện cách biểu diễn sự phụ thuộc giữa hai đại
lượng biến thiên: “Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng khác nhau đối
với đường 𝑦 ta cũng có vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường 𝑥, và như

vậy ta có vô hạn các điểm khác nhau, nhờ vào đó ta mô tả được đường cong mong
muốn” (Descartes, 1637, trích dẫn của Youschkevitch, 1976, p.52). Trong mô tả
này của Descartes, ta thấy những yếu tố chủ yếu của khái niệm hàm số đã hiện
diện rõ ràng hơn : Những “đường 𝑥”, “đường 𝑦” - đó là những biến và giá trị của
chúng phụ thuộc nhau. Tuy nhiên, các thuật ngữ “hàm số”, “phụ thuộc”, “biến
thiên” vẫn chưa xuất hiện tường minh. Như vậy, ở giai đoạn này, khái niệm hàm
số mất dần đi các đặc tính cơ học và hình học.
* Thế kỉ XVII- XIX
Dần dần, khái niệm hàm số được hình thức hóa trong thời gian này. Trong nhiều
định nghĩa hàm số được đề xuất, chúng tôi nhận thấy có một sự tham chiếu tường

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


7
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

minh đến các vấn đề quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng và trình bày dựa trên
mô tả hình học hoặc đồ thị. Điều này hàm ý một quan niệm động và “đồng biến
thiên”. Bây giờ chúng tôi sẽ giới thiệu một vài quan niệm và định nghĩa hàm số.
Bernoulli (1718):
“Ta gọi hàm số của một đại lượng biến thiên là một đại lượng được tạo ra
theo một cách nào đó từ đại lượng biến thiên này và từ các hằng số.” (trích
dẫn trong Youschkevitch, 1976, p.60).
Euler (1707 –1783):
“Một hàm số của một đại lượng biến thiên là một biểu thức giải tích được
tạo thành theo một cách thức nào đó từ chính đại lượng biến thiên này và

các số hay các đại lượng không đổi…Một hàm số của một biến cũng là một
đại lượng biến thiên.” (trích dẫn Youschkevitch, 1976, p. 61).
Như vậy, ngoài khái niệm “hàm số”, các khái niệm “đại lượng không đổi”, “đại
lượng biến thiên” cũng chính thức được nêu lên. Đặc biệt, đặc trưng biến thiên
luôn được nhấn mạnh, đặc trưng phụ thuộc và đặc trưng tương ứng được ngầm ẩn.
Theo Euler, “đại lượng không đổi” hay “hằng”(constante) là một đại lượng xác
định luôn lấy một và chỉ một giá trị, trong khi “đại lượng biến thiên” là đại lượng
được đưa vào như một tập hợp các số. Chúng ta có thể suy ra một nhận xét rằng
trong thế kỷ XVII và XVIII, một hàm số được xem như là một biểu thức giải tích
biểu diễn cho một mối quan hệ giữa các biến. Cho đến giữa thế kỷ XIX với sự
đóng góp từ Fourier, Lobachevsky và Dirichlet, các khái niệm về hàm số khá gần
với định nghĩa hiện đại của hàm số đã được xây dựng.
Fourier (1821) phát biểu :
“ Tổng quát, hàm số 𝑓(𝑥) biểu diễn một dãy các giá trị có thứ tự mà mỗi
phần tử đã được lấy tùy ý.” (trích dẫn Youschkevitch, 1976, trang 77).

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


8
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

Lobachevsky (1834):
“ Hàm số của 𝑥 là một số được cho với mỗi 𝑥 và biến thiên dần dần cùng
với 𝑥. Giá trị của hàm số có thể được cho bằng một biểu thức giải tích hoặc
bằng một điều kiện làm phương tiện để thử tất cả các số và chọn một trong
chúng hoặc cuối cùng, sự phụ thuộc có thể tồn tại nhưng còn chưa được

biết.” (trích dẫn Youschkevitch, 1976, trang 77).
Dirichlet (1837):
“Gọi 𝑎 và 𝑏 là hai giá trị cố định, 𝑥 là một đại lượng biến thiên giữa 𝑎 và
𝑏. Nếu tương ứng với mỗi 𝑥 đều có một giá trị xác định 𝑦 = 𝑓(𝑥) và 𝑦 biến
thiên một cách liên tục khi chính 𝑥 biến thiên một cách liên tục từ 𝑎 đến 𝑏,
thì ta nói 𝑦 là một hàm số liên tục trên khoảng (𝑎 ; 𝑏). Theo quan điểm hình
học, nếu xem 𝑥 và 𝑦 như là hoành độ và tung độ của một điểm sao cho mỗi
giá trị của 𝑥 thuộc khoảng được xét đều tương ứng với một và chỉ một giá
trị của 𝑦 thì sự liên tục của hàm số sẽ xảy ra đồng thời với việc đường cong
liền một khoảng.” (trích dẫn trong Falcade, 2006, trang 75).
Như vậy, tất cả các định nghĩa trên đều thể hiện một cách rõ ràng sự rời bỏ tư tưởng
đồng nhất hàm số với một biểu thức giải tích ở thời kì trước. Ở thời kì này, hàm số
được biểu diễn bằng bảng số, đồ thị, công thức hoặc tổng quát hơn là bằng một
phương tiện nào đó cho phép xác định sự tương ứng giữa hai đại lượng.
1.1.4 Những ghi nhận
Sau khi phân tích tóm tắt quá trình phát triển khái niệm hàm số qua các giai đoạn
chính, chúng tôi rút ra một vài ghi nhận ban đầu:
* Ghi nhận đầu tiên liên quan đến các mặt sinh thái và lịch sử của khái niệm hàm
số. Ý tưởng về hàm số xuất phát từ những tình huống thực tế liên quan mật thiết
đến đời sống con người. Khái niệm hàm số xuất hiện nhằm mục đích mô hình hóa

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


9
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

các tình huống vật lý. Các bài toán dẫn đến sự phát triển khái niệm hàm số xuất
phát từ các lĩnh vực ứng dụng và từ cuộc sống thực tế như vật lý ( chuyển động,
vận tốc), vũ trụ học, thời tiết, cơ học...
* Ghi nhận thứ hai về mặt tri thức luận là chính các mối quan hệ phụ thuộc là
những cái được biểu hiện cơ bản của khái niệm hàm số. Đó là các quan hệ phụ
thuộc động giữa hai đại lượng biến thiên.
1.2 Hàm số trong chương trình và sách giáo khoa Pháp - Việt
1.2.1 Hàm số trong chương trình sách giáo khoa Pháp
Trong chương trình của Pháp cũng như hầu hết các nước khác, hàm số đóng một
vai trò rất quan trọng.
Tại Pháp, kể từ lớp sáu, học sinh đã nghiên cứu mối quan hệ giữa các đại lượng
(khối lượng, diện tích, chiều dài, khoảng cách, thời gian). Đến lớp chín, khái niệm
hàm số được xem như là một “quy tắc tương ứng” được hình thành. Ở lớp 10, chủ
đề hàm số là một phần quan trọng trong chương trình. Học sinh sẽ sử dụng hàm số
để giải quyết các bài toán có liên quan, điều này giúp họ khám phá về các hàm số
mới và các tính chất của hàm số. Đây cũng là một cơ hội để huy động và phát triển
các năng lực của học sinh liên quan đến tính toán, sử dụng máy tính cầm tay và
các phần mềm khác nhau như: bảng tính, phần mềm hình học động, phần mềm tính
toán hình thức.
Chương trình hàm số trong sách giáo khoa lớp 10 ở Pháp đề cập đến một số vấn
đề sau:
Khái niệm hàm số; đồ thị hàm số; hàm số tăng, hàm số giảm; hàm số đạt cực đại,
cực tiểu trên một khoảng; biến đổi giữa các biểu thức đại số; hàm số tuyến tính,
hàm số afin, hàm số bạc hai; hàm số ngược; bất phương trình và hàm số lượng
giác.

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông

10
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

Bộ sách lớp 10 Seconde, Collection math’x, Didier được viết theo chương trình
năm 2009 đề cập đến chủ đề hàm số qua sáu chương:

Chương 1 nói về “ Mô hình hóa bởi một hàm số”. Các hoạt động trong chương này
chủ yếu nhấn mạnh các bài tập và các vấn đề liên quan đến đồng biến thiên và phụ
thuộc giữa hai đại lượng. Như tên chương cho thấy, đây là phương pháp tiếp cận
đầu tiên khái niệm hàm số và các khái niệm liên quan (tập xác định, ảnh và tạo
ảnh, đường cong biểu diễn) bằng cách nhấn mạnh sự mô hình hóa hàm các hiện
tượng thực tế, các tình huống xuất phát từ lĩnh vực ứng dụng bằng cách đưa ra các
tình huống khác nhau về quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng, đồng thời minh
họa các quan hệ này bởi một đồ thị, một bảng giá trị hoặc một quy trình tính toán.
Chúng ta có thể nhận thấy rằng, xuyên suốt chương này, các hàm số sẽ được xem

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


11
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

xét dưới khía cạnh các quan hệ phụ thuộc và đa biểu diễn. Trước khi đưa ra một
định nghĩa hàm số, sách giáo khoa nhấn mạnh một nhận xét về khả năng mô hình
hóa mối quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên: “Hai đại lượng có thể biến thiên

cùng nhau. Mối quan hệ này có thể được thể hiện bằng một bảng dữ liệu, một công
thức hoặc một đồ thị (đường cong). Trong một vài trường hợp, chúng ta có thể mô
hình hóa mối liên hệ này bằng một hàm số. Sau đó, sách giáo khoa đưa ra ba ví dụ
để minh họa các cách khác nhau cho một hàm số: một bảng giá trị, một đồ thị, hoặc
một công thức. Mục đích là để mô hình hóa một mối quan hệ phụ thuộc hình học
giữa hai đại lượng liên quan. Thông qua việc giải quyết vấn đề, yêu cầu học sinh
xác định các biến và thiết lập các hàm số. Đối với các ví dụ và bài tập có lời giải,
chúng tôi nhận thấy rằng sách giáo khoa đặc biệt nhấn mạnh đến việc mô hình hóa
mối quan hệ giữa các hàm số, cũng như đến các khái niệm biến và tập xác định.
Đây là một ví dụ:
Đoạn [𝐴𝐵] có độ dài 8𝑐𝑚. Với mỗi điểm 𝑀 thuộc
đoạn [𝐴𝐵], ta dựng hình vuông 𝐴𝑀𝐸𝐹 và hình vuông
𝑀𝐵𝐺𝐻 về cùng phía đối với đường thẳng 𝐴𝐵
1. Xác định diện tích của hình tạo bởi hai hình vuông
khi 𝐴𝑀 = 3𝑐𝑚, 𝐴𝑀 = 6𝑐𝑚.
2. Biểu diễn bởi một công thức mối lien hệ giữa 𝐴𝑀 và
diện tích của phần hình này.
3. Mô hình hóa tình huống này bằng hàm số 𝑓. Chỉ rõ
biến và tập xác định của 𝑓

Phần “ Bài tập thực hành” và “ Bài tập” hướng đến củng cố và tìm hiểu sâu hơn
khái niệm hàm số, khái niệm biến và tập xác định thông qua các tình huống rất đa
dạng xuất phát từ các lĩnh vực ứng dụng như hình học, cuộc sống thực tế, kinh tế,
thời tiết...Mục đích là kết nối mỗi tình huống với mỗi hàm số, kết nối các biểu diễn

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


12

Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

khác nhau của một hàm số và chuyển mối liên hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng
thành một công thức đại số hoặc tiền đại số.
Sách giáo khoa đặc biệt khuyến khích việc sử dụng các công cụ công nghệ để giải
quyết các tình huống và bài toán. Các công nghệ được khuyến khích sử dụng rất
đa dạng: máy tính cầm tay, phần mềm hình học động, bảng tính excel, phần mềm
tính toán hình thức.
Chương 2 đề cập đến chiều biến thiên hàm số và hàm số affine. Chương này nói
về hàm số đồng biến và hàm nghịch biến, bảng biến thiên của hàm số, giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số, sự biến đổi hàm số affine, khảo sát về hàm số bậc
nhất dạng 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, với 𝑎 và 𝑏 là hệ số thực. Các tình huống học tập cũng
xuất phát từ các lĩnh vực thực tế, học sinh được yêu cầu để khám phá các giá trị
cực trị và chứng minh kết qủa.
Chương 3 tập trung vào các biểu thức đại số, khái niệm của phương trình và
phương trình tương đương, giải phương trình. Ở đây, hàm số được sử dụng như
một công cụ hữu ích để tăng cường việc học tập đại số, đặc biệt là phương trình
đại số.
Chương 4 trình bày các hàm số tham chiếu (các hàm số cơ bản thường gặp). Học
1

sinh được học hàm số bậc hai 𝑦 = 𝑥 2 , hàm số nghịch đảo 𝑦 = , hàm đa thức bậc
𝑥

hai 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, các hàm số đơn ứng 𝑦 =

𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑

.

Chương 5 tập trung vào các nghiên cứu về bất phương trình và khảo sát sự biến
thiên. Các bài học đầu tiên trình bày phương pháp đồ thị giải một phương trình.
Tiếp đến sách giáo khoa trình bày phương pháp đại số để giải quyết các bài toán
bất phương trình bằng cách sử dụng khái niệm về bất phương trình tương đương.
Bài học thứ ba tập trung vào phương pháp để nghiên cứu sự biến thiên của hàm
số.
Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


13
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

Chương 6 cuối cùng nói về hàm số lượng giác.
1.2.2 Hàm số trong chương trình sách giáo khoa Việt Nam
Đến lớp 10 học sinh vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số. Ở đây sách giáo khoa
giới thiệu lại khái niệm hàm số một cách chính xác hơn có đề cập đến tập xác định
của hàm số, đồng thời đưa ra các khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến,
hàm số chẵn, hàm số lẻ và giới thiệu một phương pháp nghiên cứu hàm số là khảo
sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của chúng.
Khái niệm hàm số đã được giới thiệu trong chương trình toán lớp 7. Vì vậy, ở đây,
sách giáo khoa Đại số 10 không xuất phát từ ví dụ mà giới thiệu ngay định nghĩa
và cho ví dụ minh họa. Sách giáo khoa lớp 10 trình bày về hàm số như một khái
niệm toán học mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên theo quan
điểm hiện đại và chặt chẽ hơn đó là dùng lý thuyết tập hợp mà không theo quan

điểm ánh xạ. Tuy nhiên theo chương trình lớp 10 cần đưa ra khái niệm tập xác định
của hàm số, vì vậy trong định nghĩa có đưa vào tập hợp xác định và định nghĩa này
đã làm nổi bật đặc trưng tương ứng của hàm số. Sách giáo khoa Đại số 10 nâng
cao dùng thuật ngữ “quy tắc tương ứng” để định nghĩa khái niệm hàm số. Ở đây,
sách giáo khoa không định nghĩa quy tắc tương ứng mà xem đây là một khái niệm
cơ bản. Sau khi trình bày định nghĩa, sách giáo khoa đưa ra các ví dụ về hàm số
trong thực tế đó là các hàm số cho bằng bảng, nhằm khuyến khích học sinh tự tìm
các ví dụ về hàm số trong thực tiễn giúp học sinh thấy được ý nghĩa thực tiễn của
khái niệm này.

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


14
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 1:
Bảng dưới đây trích từ trang web của Hiệp hội liên doanh Việt Nam - Thái Lan
ngày 26 - 10 - 2005 về thu nhập bình quân đầu người (TNBQĐN) của nước ta
từ năm 1995 đến năm 2004.
Năm
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2004
TNBQĐN 200
(tính theo
USD)

282

295

311

339

363

375

394

564

Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa thu nhập bình quân đầu người (kí hiệu là
𝑦) và thời gian 𝑥 (tính bằng năm).
Với mỗi giá trị 𝑥 ∈ 𝐷 = {1995,1996, 1997, 1998, 2000, 2001, 2002, 2004}
có một giá trị duy nhất y.
Vậy ta có một hàm số. Tập hợp 𝐷 là tập xác định của hàm số này.
Các giá trị 𝑦 = 200; 282; 295; … được gọi là các giá trị của hàm số, tương
ứng, tại 𝑥 = 1995; 1996; 1997; …
Hoạt động 1: Hãy tìm một ví dụ thực tế về hàm số.
Về cách cho hàm số, sách giáo khoa Đại số 10 trình bày ba cách cho hàm số: hàm
số cho bằng bảng, hàm số cho bằng biểu đồ và hàm số cho bằng công thức. Trong
các sách giáo khoa Toán thường chỉ xét các hàm số được cho bằng công thức. Tuy
nhiên, trong thực tiễn thì thường gặp các hàm số cho bởi bảng hoặc biểu đồ. Sách
giáo khoa Đại số 10 nâng cao chỉ giới thiệu hàm số được cho bởi biểu thức mà
không nói tới các cách cho khác. Điều này có thể gây cho học sinh hiểu lầm rằng
hàm số phải được cho bằng một biểu thức. Trong phần này, sách giáo khoa đã đưa

ra các ví dụ thực tế về hàm số và qua ví dụ củng cố khái niệm tập xác định (TXĐ),
khái niệm giá trị của hàm số. Đối với sách giáo khoa Việt Nam, hệ thống biểu diễn
bằng công thức đại số được ưu tiên so với cách biểu diễn bằng đồ thị và bảng giá
trị.
Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


15
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

Về đồ thị hàm số, sách giáo khoa lớp 10 chỉ nhắc lại và minh họa bằng những ví
dụ cụ thể. Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến cũng đã được trình bày trong
sách giáo khoa Toán 9. Ở đây, đặc trưng biến thiên tiếp tục được đề cập và trở
thành đặc trưng cơ bản nổi bật được xem xét, sách giáo khoa đã chính thức đưa
vào thuật ngữ “sự biến thiên của hàm số” và điểm mới ở đây là sách giáo khoa đưa
ra bảng biến thiên để tổng kết kết quả xét chiều biến thiên của hàm số.
Khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến được nhắc lại một cách khái
quát. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến
thiên. Nhìn vào bảng đó học sinh có thể thấy được một cách trực quan sự thay đổi
phụ thuộc lẫn nhau của biến số và hàm số trên các khoảng xác định của nó. Cụ thể,
nhìn vào bảng học sinh có thể hình dung một cách sơ bộ dạng của đồ thị hàm số,
đồ thị hàm số đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào.
Tính chẵn, lẻ của hàm số cũng giúp nhận dạng đồ thị của hàm số. Như vậy, các
hàm số được xem xét một cách tổng quát về tính chất chẵn lẻ, tính chất biến thiên
và đồ thị. Và ở đây, đặc trưng tương ứng và đặc trưng phụ thuộc được ngầm ẩn
trong quá trình khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Ở đây, học sinh đã thực sự được tiếp
xúc một cách tường minh với sự chuyển đổi các đối tượng từ dạng tĩnh sang dạng

biến thiên. Việc nghiên cứu đặc trưng biến thiên của hàm số không chỉ thuận tiện
trong khảo sát hàm số mà còn tạo cơ sở để sau này đưa vào các khái niệm giới hạn,
đạo hàm... của hàm số. Sách giáo khoa cũng đưa ra các ví dụ về khảo sát các hàm
số cụ thể để rèn luyện cho học sinh kỹ năng xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm
số. Như vậy, ở lớp 10 các vấn đề về hàm số được trình bày khá đầy đủ, khái quát.
Đồng thời, do thực hiện chương trình phân ban nên sách giáo khoa Đại số lớp 10
cũng được phân thành hai ban gồm sách giáo khoa Đại số 10 dành cho ban cơ bản
và sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao dành cho ban khoa học tự nhiên. Cách trình

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


16
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

bày các vấn đề về hàm số của hai quyển có sự khác nhau và phù hợp với trình độ
của học sinh. Sách giáo khoa Đại số 10 trình bày các vấn đề một cách trọng tâm,
cơ bản, đơn giản hóa vấn đề, chẳng hạn các định lý chỉ nêu để học sinh nắm được
mà không trình bày chứng minh. Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao có phần đi
sâu hơn nhằm giúp học sinh hiểu được bản chất từ đó nắm vững kiến thức, chẳng
hạn một số định lý có trình bày chứng minh.
Trong chương trình Đại số và Giải tích 11, sách giáo khoa trình bày các loại hàm
số cụ thể như: hàm số lượng giác, hàm số với đối số tự nhiên (Dãy số). Từ đó sách
giáo khoa giới thiệu về các loại phương trình lượng giác. Đồng thời, học sinh được
làm quen với một loại các khái niệm mới để nghiên cứu hàm số như khái niệm giới
hạn, tính liên tục, đạo hàm của hàm số. Các khái niệm này đều liên quan chặt chẽ
tới đặc trưng biến thiên của hàm số. Đặc trưng biến thiên của hàm số vẫn là đặc

trưng cơ bản được xem xét, nghiên cứu trong quá trình khảo sát hàm số, và trong
quá trình đó, các đặc trưng tương ứng và phụ thuộc vẫn được củng cố có khi tường
minh có khi chỉ ngầm ẩn.
Đối với hàm số lượng giác, để vẽ chính xác đồ thị của nó, cần thiết phải dựa vào
các tính chất biến thiên, tuần hoàn; tính chẵn, lẻ. Việc trình bày và nghiên cứu kỹ
các tính chất và đồ thị của hàm số lượng giác có ý nghĩa quan trọng, tạo cơ sở cho
việc trình bày phương trình lượng giác. Trong chương III, sách giáo khoa trình bày
về khái niệm dãy số và nghiên cứu hai dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số
nhân. Thực chất, dãy số chính là hàm số với biến số tự nhiên. Phần này được trình
bày tương tự nhau ở sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 và sách giáo khoa Đại
số và Giải tích 11 nâng cao. Ở đây, hàm số cũng được củng cố cả ba đặc trưng
khoa học luận của nó trong đó đặc trưng biến thiên được đề cập đến tường minh

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


17
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

qua định nghĩa về dãy số tăng và dãy số giảm. Còn các đặc trưng tương ứng và
phụ thuộc được đề cập một cách ngầm ẩn qua các cách cho dãy số.
Tiếp tục chương đạo hàm ở lớp 11, chương I, sách giáo khoa Giải tích 12 trình bày
ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số. sách giáo khoa nhắc
lại định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến và giới thiệu định lý cho phép
sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số (có trình bày chứng minh
định lý). Đến đây, học sinh đã biết thêm một phương pháp mới đơn giản hơn để
xét sự biến thiên của hàm số. Với phương pháp này, học sinh có thể khảo sát sự

biến thiên của nhiều loại hàm số khác nhau và sự biến thiên của các hàm số được
biểu diễn trên các bảng biến thiên. Các bảng này còn cho biết điểm cực đại, cực
tiểu của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Như vậy, đặc trưng
biến thiên được nghiên cứu để khảo sát những tính chất khác của hàm số, những
điểm đặc biệt của đồ thị hàm số. Và sự biến thiên của hàm số trở thành phương
tiện trung gian để suy ra các tính chất của hàm số một cách nhanh chóng và trực
quan dựa vào bảng biến thiên. Ta thấy, hàm số ở đây chỉ được nghiên cứu về đặc
trưng biến thiên, còn các đặc trưng tương ứng và phụ thuộc đều được ngầm ẩn.
Như vậy, ở đây các hàm số cũng được xem xét, nghiên cứu thiên về đặc trưng biến
thiên của chúng thông qua việc khảo sát và vẽ đồ thị. Ngoài ra, tính chất biến thiên
và đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit còn được vận dụng vào việc giải các
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và loragit.
Sau khi tìm hiểu về chương trình sách giáo khoa Pháp và Việt Nam, tôi rút ra một
số nhận xét sau:
 Sách giáo khoa Việt Nam đưa ra định nghĩa trước sau đó đưa ra ví dụ minh
họa trong khi sách giáo khoa Pháo có các hoạt động và ví dụ trước, sau đó
đi đến định nghĩa.

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


18
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

 Các ví dụ ở sách giáo khoa 10 Việt Nam vẫn mang đặc trưng “ tương ứng”
hơn là nhấn mạnh tính “ đồng biến thiên” liên tục giữa hai đại lượng.
 Quan điểm mô hình hóa không được đề cập ở sách giáo khoa Việt Nam

trong khi được trình bày khá rõ ở sách giáo khoa Pháp.
 Các tình huống và ví dụ ở sách giáo khoa 10 Việt Nam sơ sài, nghèo nàn.
Bài tập chủ yếu tập trung vào tính toán các giá trị hàm số tại các điểm qua
một biểu thức.
 Kiểu nhiệm vụ mô hình hóa các quan hệ phụ thuộc được ưu tiên trong sách
giáo khoa Pháp. Điều này phù hợp với đặc trưng tri thức luận và lịch sử của
khái niệm hàm số.
1.3 Nghiên cứu về dạy và học hàm số
Hàm số đóng một vai trò quan trọng trong toán học và khoa học thực nghiệm, nó
là cần thiết cho việc mô hình hóa các quá trình động từ lĩnh vực ứng dụng. Vì vậy
có không ít các công trình nghiên cứu về dạy và học hàm số. Tôi xin tóm tắt các
quan điểm chính dưới đây thông qua một số nghiên cứu để làm nổi bật tính phức
tạp của khái niệm và hàm số.
Từ quan niệm “quy trình – đối tượng” đến khía cạnh “đồng biến thiên” của
hàm số
Từ đầu những năm 1990, hầu hết các nghiên cứu liên quan đến quan niệm về hàm
số dựa trên sự phân biệt hai quan niệm chủ đạo mà học sinh chấp nhận khi học
hàm số: quan niệm “quy trình” và quan niệm “đối tượng” (Sfard, 1991). Quan niệm
quy trình (process view) về hàm số được đặc trưng bởi sự tập trung chú ý đến kết
quả của các hoạt động tính toán sau một dãy các phép tính, trong khi quan niệm
đối tượng (object view) dựa trên sự khái quát hóa các quan hệ phụ thuộc giữa các
cặp giá trị vào-ra (imput-output) của các đại lượng.

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


19
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

Khảo sát sâu hơn tính đối ngẫu quy trình – đối tượng trong việc hiểu hàm số của
học sinh, các nhà nghiên cứu giáo dục Toán gợi ý rằng việc hiểu hàm số của học
sinh có thể được xem xét khi chuyển từ chú trọng trên các hành động và quy trình
đến cái nhìn định hướng đối tượng được đặc trưng bởi sự chú ý nhiều hơn đến cấu
trúc, sự hợp thành các tính chất và sự chuyển thành (reification) các đối tượng toán
học. Theo hướng này, từ những năm 1990, một số tiếp cận được phát triển để mô
tả các quan niệm định hướng đối tượng về hàm số đã nhấn mạnh khía cạnh “đồng
biến thiên” của hàm số (Thompson, 1994). Điểm mấu chốt của một quan niệm
đồng biến thiên liên quan đến việc hiểu cách thức trong đó các biến (biến độc lập)
và giá trị hàm (biến phụ thuộc) thay đổi cũng như sự kết hợp giữa các thay đổi này.
Suy luận đồng biến thiên bao gồm việc kết hợp hai đại lượng biến thiên, đồng thời
quan tâm đến cách mà chúng thay đổi liên quan đến mỗi đại lượng. Điều này kéo
theo sự thay đổi trong cách hiểu một biểu thức từ cách nhìn giá trị vào-giá trị ra có
tính đơn lẻ đến cách nhìn động hơn có thể được mô tả như là chạy qua một dải liên
tục các số (“running through a continuum of numbers”, Thompson, 1994, trang
26). Tuy nhiên, quan niệm động về biến thiên này dường như không rõ ràng đối
với học sinh vì nó chủ yếu chú ý đến sự biến thiên đồng thời giữa các đại lượng ở
các mức độ khác nhau trong một dãy có thứ tự, và vì vậy đòi hỏi cần thiết phải có
các tình huống có thể mang lại cho học sinh cơ hội để suy nghĩ về bản chất đồng
biến thiên của hàm số trong việc mô hình hóa các sự kiện động. Các tình huống
như vậy minh họa việc trải nghiệm và khám phá các mô hình về quan hệ phụ thuộc
với sự hỗ trợ của công nghệ có thể giúp học sinh như thế nào trong việc hiểu ý
nghĩa của quá trình đồng biến thiên.
Hiểu ý niệm về biến (biến độc lập)
Một khó khăn đặc biệt trong việc hiểu khái niệm hàm số là hiểu ý niệm về biến.

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông

20
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

Thompson (1994, trang 6) chỉ ra rằng hình ảnh nổi bậc được gợi lên bởi từ “hàm
số” ở học sinh liên quan đến hai biểu thức rời nhau được liên kết bởi dấu “=”. Với
mục đích chỉ ra khó khăn của học sinh để phát triển việc hiểu cấu trúc của biểu
thức hình thức của các quan hệ hàm và vai trò của các ký hiệu đặc biệt trong đó,
tác giả mô tả một ví dụ về công thức tính tổng 𝑆𝑛 = 12 + 22 + ⋯ + 𝑛2 đưa ra bởi
một học sinh như là câu trả lời. Học sinh đó viết 𝑓(𝑥) =

(𝑛)(𝑛+1)(2𝑛+1)
6

và không

có học sinh nào tìm thấy chỗ sai trong công thức này vì dường như nó khớp với
hình ảnh về hàm số của học sinh. Ở đây học sinh quan niệm hàm số bao gồm hai
thành phần phân biệt mà không có liên quan gì với nhau ở mức độ cấu trúc và với
các đối tượng hay đại lượng hiện tại.
Các tình huống học tập mà chúng tôi xây dựng một phần hướng đến việc giúp học
sinh hiểu hơn về khái niệm biến. Chẳng hạn, việc mô hình hóa tự động với phần
mềm Casyopée giúp học sinh tập trung vào việc thành lập các thành phần của một
hàm số (biến, giá trị hàm) hơn là vào việc tính toán công thức đại số của hàm số.
Vai trò của biểu tượng
Nhiều nghiên cứu giáo dục Toán đều có chung thừa nhận rằng vấn đề biểu tượng
(symbolism) về hàm số là một khó khăn chủ yếu đối với học sinh. Cách nhìn của

học sinh về các biểu thức hình thức có thể đơn thuần chỉ là một tương ứng các giá
trị vào-ra. Slavit (1997) chỉ ra vai trò then chốt của biểu tượng được xem xét trong
các dạng khác nhau như đồ thị hay phương trình trong sự phát triển của khái niệm
hàm số và gợi ý về sự cần thiết đối với việc khảo sát ý niệm về hàm số của học
sinh trong các ngữ cảnh khác nhau chẳng hạn như ngữ cảnh hình học. Thậm chí
khi học sinh đạt được những thành thạo cơ bản về biểu tượng hình thức đại số, việc
kết hợp sự thành thạo này với việc hiểu cấu trúc của công thức đại số của một hàm
số cũng là quan trọng và đặc biệt được hướng đến khi hàm số đó xuất phát từ ngữ

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông


21
Trương Thị Xuân Mỹ

Khóa luận tốt nghiệp

cảnh ứng dụng. Hầu hết học sinh không có khả năng trong việc hiểu kết hợp này.
Chứng cứ về điều này được đưa ra trong ngữ cảnh về phương trình. Ví dụ, Van der
Kooij (2010, trang 122) cho rằng hầu hết học sinh trung học phổ thông có khả năng
𝑙

tính toán về phương trình con lắc 𝑇 = 2𝜋√ nhưng lại không hiểu ý nghĩa của
𝑔

phương trình tổng quát 𝑦 = 2√𝑥. Kieran (2007) cho biết về thành tích thấp của
học sinh các nước khi giải một bài toán đưa ra bởi chương trình đánh giá TIMSS2
liên quan đến hình thành hoặc lý giải các công thức để mô tả một hiện tượng phụ
thuộc vào một đại lượng biến thiên. Các tình huống học tập đưa ra ở phần sau sẽ

cho thấy Casyopée có thể hỗ trợ làm tương thích dạng biểu tượng hình thức và
thao tác động các đối tượng toán học cũng như quan hệ phụ thuộc giữa chúng như
thế nào.
Tiếp cận hàm số bằng mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc
Hàm số rõ ràng là một khái niệm phức tạp, cả từ quan điểm nhận thức luận và quan
điểm dạy học. Điều này được thể hiện thông qua một số nghiên cứu trình bày ở
trên. Tính phức tạp của nó cũng đòi hỏi một cách tiếp cận hàm số phù hợp hơn để
giúp học sinh hiểu sâu sắc khái niệm này.
Minh (2012a) xem xét các hàm số như mô hình các quan hệ phụ thuộc giữa các
đại lượng trong lĩnh vực ứng dụng. Mô hình hóa hàm cho phép kết nối lĩnh vực
ứng dụng này với các phạm vi khác và các hệ thống biểu diễn khác của hàm số.
Minh (2012a) cho rằng các hoạt động dựa trên việc nghiên cứu sự phụ thuộc giữa
các đại lượng cho phép học sinh hiểu hàm số như là mô hình các quan hệ phụ
thuộc. Tác giả xem xét các hoạt động này trong một môi trường phần mềm tích
hợp đa biểu diễn, hình học động và đại số.

Mô hình hóa với phần mềm Casyopée để hỗ trợ một tiếp cận thực nghiệm hàm số ở
phổ thông