LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: HỆ SỐ HILBERT VÀ ĐỘ SÂU CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ KIỀU MY

HỆ SỐ HILBERT VÀ ĐỘ SÂU CỦA MÔĐUN
PHÂN BẬC LIÊN KẾT

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. CAO HUY LINH

Huế, Năm 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu
ghi trong Luận văn là trung thực.

Hoàng Thị Kiều My

ii


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu, xin gửi đến TS. Cao Huy Linh lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tình
giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt quá trình Thầy giảng dạy tại lớp Cao học
K22 và nhất là trong quá trình tôi hoàn thành Luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy, cô khoa Toán của Trường
Đại học Sư phạm Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổ
ích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Huế.
Chân thành cảm ơn các Anh, Chị học viên Cao học khóa 22, đặc biệt là các
Anh, Chị chuyên ngành Đại số và lý thuyết số và cũng như tất cả bạn bè của tôi
đã luôn hỗ trợ tôi suốt quá trình tôi học tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn Bố, Mẹ và toàn thể gia đình tôi-những người đã
động viên tôi rất nhiều và cũng là động lực giúp tôi hoàn thành Luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng Luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong các thầy cô giáo cùng các bạn đánh giá, góp ý để Luận văn
được hoàn chỉnh hơn.

Hoàng Thị Kiều My

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Mở đầu

3

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

5

1.1
1.2
1.3
1.4

Chiều của vành và môđun . . . . . .
Vành các thương và địa phương hóa
Dãy chính quy và độ sâu . . . . . . .
Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số
1.4.1 Iđêan m-nguyên sơ . . . . . .
1.4.2 Hệ tham số và iđêan tham số

1.5
1.6

1.7
1.8
1.9

Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vành và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . .
Độ dài của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm Hilbert, hệ số Hilbert và chỉ số Hilbert của môđun
Hàm tử xoắn và đối đồng điều địa phương . . . . . . . .

1.9.1
1.9.2
1.10 Chỉ số
1.10.1
1.10.2

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

Hàm tử xoắn . . . . . . . . . . .
Đối đồng điều địa phương . . . .
chính quy Castelnuovo-Mumford
Chỉ số chính quy . . . . . . . . .
Hàm Hilbert và chỉ số chính quy

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

. 5
. 7
. 9
. 11
. 11
. 12

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
phân bậc
. . . . . .

13
15
16
17
19

.
.
.

.
.

19
20
21
21
22

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

2 HỆ SỐ HILBERT VÀ ĐỘ SÂU CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC
LIÊN KẾT
24
2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . 24
2.2
2.3
2.4

Mối liên hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của môđun
phân bậc liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Dãy các phần tử siêu bề mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Tính không dương của hệ số Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1


2.4.1
2.4.2
2.5
2.6

Tính không dương của hệ số Chern . . . . . . . . . . . . . 32

Tính không dương của hệ số Hilbert của iđêan tham số . . 36

d-dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của
môđun phân bậc liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Kết luận
47
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2


MỞ ĐẦU
Hàm Hilbert là một trong những khái niệm cơ bản của lĩnh vực Đại số giao
hoán và có nhiều liên hệ mật thiết với các bất biến khác như số mũ rút gọn, chỉ
số Hilbert, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Việc nghiên cứu hàm Hilbert
sẽ cho chúng ta nhiều thông tin về cấu trúc của vành và môđun tương ứng.
Cho (R, m) là vành địa phương. Giả sử M là một R-môđun chiều d và I
là iđêan định nghĩa của M . Khi đó hàm số Hilbert-Samuel, hay gọi tắt là hàm
Hilbert, của M ứng với iđêan I là một hàm số học được xác định bởi:
HI : Z −→ N0
n −→ HI (n) :=


 R (M/I n+1 M ) nếu n ≥ 0
nếu n < 0,

0

trong đó, R (M/I n+1 M ) là độ dài của môđun M/I n+1 M . Samuel đã chứng minh
rằng tồn tại một đa thức PI (x) với hệ số hữu tỉ bậc d sao cho HI (n) = PI (n) với
n đủ lớn.
Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert (hay Hilbert-Samuel) của M ứng
với iđêan I và nó có thể được viết dưới dạng:
PI (n) = e0 (I)

n+d
d

n+d−1
d−1

− e1 (I)

+ · · · + (−1)d ed (I).

Các hệ số ei = ei (I), i = 0, 1, . . . , d được gọi là hệ số Hilbert của M ứng với iđêan
I . Đặc biệt, hệ số e0 (I) được gọi là số bội và hệ số e1 (I) được gọi là số Chern.
Mục đích chính của Luận văn là nghiên cứu hệ số Hilbert của môđun M
ứng với iđêan tham số. Từ đó khảo sát một số cấu trúc của môđun M đang xét.
Năm 2008, Vasconcelos [16] đã đưa ra giả thuyết về tính âm của hệ số
Chern như sau: Cho I là iđêan tham số của vành địa phương Noerther (R, m).
Khi đó e1 (I) < 0 nếu và chỉ nếu R là không Cohen-Macaulay. Giả thuyết này đã
được nhóm nghiên cứu của Goto [8] chứng minh trọn vẹn vào năm 2010. Verma
[17] cũng đã có một vài kết quả về tính dương của hệ số Chern. Trong thời gian
gần đây thì việc nghiên cứu các hệ số Hilbert e2 trở đi cũng đã được các nhà
Toán học quan tâm. Năm 2012, Lori Mccune [13] đã chứng minh một số tính
chất về tính không dương của các hệ số Hilbert với giả thiết độ sâu của vành

R và vành phân bậc liên kết GI (R) lớn hơn hoặc bằng d − 1 (d là chiều của R).
Năm 2013, Linh-Trung [1] đã giảm nhẹ giả thiết độ sâu của vành phân bậc liên
kết lớn hơn hoặc bằng d − 2. Sau đó, Linh-Trung [2] đã chứng minh được mối
3


quan hệ giữa tính triệt tiêu của các hệ số ei và độ sâu của vành phân bậc liên
kết trong trường hợp I là iđêan tham số sinh bởi d dãy:
ei = 0 nếu và chỉ nếu depth(GI (R)) ≥ d − i + 1.

Kết quả chính của Luận văn sẽ là tổng quan lại các kết quả liên quan đến
hệ số Hilbert của iđêan tham số mà chủ yếu các kết quả liên quan đến hai bài
báo [1], [2]. Từ đó chúng tôi sẽ mở rộng các kết quả này trên môđun.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài: "Hệ số Hilbert
và độ sâu của môđun phân bậc liên kết" để nghiên cứu với hy vọng có
thể làm phong phú hơn một số kết quả trong vấn đề này.
Phương pháp mà chúng tôi sử dụng hoàn toàn tương tự như phương pháp
của Linh-Trung [1], [2]. Trở ngại chính mà chúng tôi gặp phải là nhiều tính chất,
sự kiện chưa được phát biểu trên môđun.
Luận văn chia làm hai chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một
số kiến thức cơ bản của đại số giao hoán làm nền tảng cho các chứng minh ở
chương sau. Trong chương 2, chúng tôi trình bày kết quả chính, nêu lên mối
quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của môđun phân bậc
liên kết.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình
bày khó tránh khỏi các sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để Luận văn được
hoàn thiện hơn.

4

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số
giao hoán như: Chiều của vành và môđun, vành nhân tử hóa và địa phương hóa,
dãy chính quy và độ sâu, iđêan nguyên sơ và iđêan tham số, vành và môđun phân
bậc, hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc, chỉ số Hilbert, đối đồng
điều địa phương, độ dài của môđun, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford,
vành và môđun Cohen-Macaulay. Các kiến thức này được trình bày nhằm mục
đích tham khảo cho các nội dung của chương sau. Hầu hết các kiến thức được
trình bày trong chương này được trích dẫn từ các tài liệu theo cách tóm tắt lại
những kết quả chính. Do đó, một số chứng minh các Bổ đề, Mệnh đề, Định lý
không trình bày lại. Nếu các độc giả muốn tham khảo các chứng minh có thể
xem trong những tài liệu đã được nêu cụ thể khi trích dẫn.

1.1

Chiều của vành và môđun

Cho R là một vành giao hoán. Với mỗi dãy giảm (thực sự) các iđêan nguyên
tố của vành R
p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr
ta gọi r là độ dài của dãy. Chúng ta có định nghĩa chiều (Krull) của vành và
môđun như sau:
Định nghĩa 1.1.1. (1) Cho R là một vành. Ta định nghĩa chiều của vành R là
độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là dimR.
Tức là
dimR := sup d | ∃ p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr là dãy các iđêan nguyên tố của R .
(2) Cho M là một R-môđun. Ta định nghĩa chiều của môđun M là
dim R M := dimR/annR (M )

5


trong đó annR (M ) = {r ∈ R |rM = 0}. Ta cũng kí hiệu dimR thay cho dim R M
trong trường hợp không có sự nhầm lẫn về vành R.
Nhận xét 1.1.2. (1) Mỗi iđêan nguyên tố của vành thương R/annR (M ) có dạng
p/annR (M ) với p là iđêan nguyên tố của R chứa annR (M ). Do đó, chiều của vành
R/annR (M ) là độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của R chứa
annR (M ). Từ đó suy ra dimM ≤ dimR.
(2) Cho M là một R−môđun có chiều d và N là R−môđun con của M . Khi

đó, do annR (N ) ⊇ annR (M ) nên dimN = dimR/annR (N ) ≤ dimR/annR (M ) = d.
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có dimM/N ≤ d.
Ví dụ 1.1.3. (1) Xét vành các số nguyên Z. Mỗi iđêan nguyên tố khác (0) của
Z có dạng pZ với p là một số nguyên tố. Hơn nữa, không tồn tại iđêan nguyên
tố nào chứa thực sự pZ. Do đó, một dãy giảm các iđêan nguyên tố của Z có độ
dài lớn nhất phải có dạng
pZ ⊃ (0)
Vậy dim Z = 1.
(2) Xét R = k [x1 , x2 , . . . , xn ] là vành các đa thức n biến trên trường k . Ta có
thể chứng minh được:
(x1 , x2 , . . . , xn ) ⊃ (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ⊃ . . . ⊃ (x1 ) ⊃ (0)

là một dãy giảm cực đại các iđêan nguyên tố của R. Do đó, dimR = n.
Trong phần cuối của mục này, chúng tôi trình bày khái niệm độ cao của một
iđêan và mối liên hệ của nó với chiều của vành.
Định nghĩa 1.1.4. Cho R là một vành giao hoán khác không và p là iđêan
nguyên tố của R. Khi đó, ta định nghĩa độ cao của p, kí hiệu ht(p) như sau:
ht(p) = sup n ∃ p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = p là dãy các iđêan nguyên tố của R

.

Nhận xét 1.1.5. Từ các định nghĩa chiều của vành và độ cao của một iđêan
nguyên tố ta dễ dàng suy ra được các tính chất sau:
(1) Nếu p1 ⊆ p2 thì ht(p1 ) ≤ ht(p2 ). Hơn nữa, dấu "=" xảy ra nếu và chỉ nếu
p1 = p2 .
(2) Nếu dimR là hữu hạn thì
dimR = sup ht(p) | p là iđêan nguyên tố của R
= sup ht(m) | m là iđêan cực đại của R
6


Định nghĩa 1.1.6. Cho I là iđêan của vành giao hoán R. Khi đó, độ cao của
iđêan I được định nghĩa như sau:
ht(I) = min ht(p) p là iđêan cực đại của R chứa I

.

Cho I là iđêan của vành R. Ta gọi iđêan nguyên tố p của R là iđêan nguyên tố
tối tiểu của I nếu p chứa I và không tồn tại iđêan nguyên tố nào nằm giữa thực
sự I và p. Ta kí hiệu tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của I là Min(I ). Chúng ta
có định lí quan trọng về độ cao của iđêan sau đây:
Định lý 1.1.7 ([4], Corollary 11.16). (Krull’s generalized principal ideal theorem). Cho R là một vành Noether và I = (x1 , . . . , xn ) là iđêan thực sự của R.
Khi đó, ht(p) ≤ n với mọi p ∈ M in(I).
Từ định lý trên và định nghĩa về độ cao của iđêan ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.8. Cho R là một vành Noether và I = (x1 , . . . , xn ) là iđêan thực sự
của R. Khi đó, ht(p) ≤ n.

1.2

Vành các thương và địa phương hóa

Có thể nói vành các thương và địa phương hóa một vành là một trong những
khái niệm hết sức quan trọng trong đại số giao hoán. Thông qua việc nghiên
cứu các tính chất địa phương hóa của một vành ta có thể suy ra được phần nào
đó tính chất toàn cục của vành.
Cho R là một vành giao hoán. Một tập con S của R được gọi là tập nhân
đóng nếu 1 ∈ S và ∀s, t ∈ S suy ra st ∈ S .
Trên tập R × S ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau:
(a, s) ∼ (b, t) ⇔ ∃u ∈ S : (at − bs) u = 0.

Dễ dàng kiểm tra quan hệ trên là một quan hệ tương đương. Ta kí hiệu lớp
tương đương của mỗi quan hệ của mỗi phần tử (a, s) ∈ R × S dưới dạng phân
thức a/s và tập thương của R × S theo quan hệ ∼ là:
S −1 R = {a/s |a ∈ R, s ∈ S } .

Trên tập thương S −1 R ta định nghĩa hai phép toán như sau:
(a, s) + (b, t) = (at + bs) /st,
(a, s) . (b, t) = (ab/st) .
7


Khi đó, tập S −1 R cùng với hai phép toán trên trở thành một vành giao hoán có
đơn vị 1S −1 R = s/s (s ∈ S) và mọi phần tử s/t với s, t ∈ S là khả nghịch. Vành
S −1 R được gọi là vành các thương của R ứng với S .

Cho M là một R-môđun và S là một tập nhân đóng với phép nhân của R.
Trên tập M × S ta xét quan hệ tương đương:
(x, s) ∼ (y, t) ⇔ ∃u ∈ S : u (xt − ys) = 0

Khi đó tập thương S −1 M = {x/s |x ∈ M, s ∈ S } cùng với hai phép toán
(x, s) + (y, t) = (xt + ys/st) ,
(x, s) . (y, t) = (ay/st) .

là một S −1 R-môđun. Môđun S −1 M cũng được gọi là môđun các thương của M
trên S .
Ví dụ 1.2.1. (1) Cho R là một miền nguyên. Khi đó, tập S := R \ {0} là một
tập nhân đóng của R. Do đó, ta có vành các thương của R ứng với S là
S −1 R =

a
| a ∈ R, b ∈ R \ {0} .
s

Trong trường hợp này ta có S −1 R trở thành một trường được gọi là trường các
thương của miền nguyên R ứng với S.
Chẳng hạn Q = (Z∗ )−1 Z là trường các thương của miền nguyên Z ứng với
Z∗ .
(2) Nếu p ∈ Spec(R) thì R \ p là một tập nhân đóng của R. Do đó, đặt
S := R \ p, thì vành các thương của R ứng với S được kí hiệu là Rp được gọi là

địa phương hóa của vành R ứng với iđêan p, tức là
Rp =

a
| a ∈ R, s ∈
/p
s

các iđêan của Rp có dạng

IRp =

a
| a ∈ I, s ∈
/p ,
s

với I là một iđêan của R. Đặc biệt, các iđêan nguyên tố trong Rp có dạng qRp
với q là một iđêan nguyên tố của R thỏa mãn q ⊆ p.
Tương tự trong trường hợp này ta kí hiệu môđun các thương của M trên S
là Mp và được gọi là môđun địa phương hóa của M ứng với p.

8


Nhận xét 1.2.2. (1) Một vành R luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại, nếu
iđêan cực đại là duy nhất m thì người ta gọi vành đó là vành địa phương và kí
hiệu là (R, m). Với mọi iđêan nguyên tố p của R thì Rp là một vành địa phương
với iđêan cực đại duy nhất là
pRp =

a
| a ∈ p, s ∈
/p .
s

(2) Nếu M là R-môđun thì môđun địa phương hóa của M ứng với p là Mp và

ta có
Mp =

m
| m ∈ M, s ∈
/p .
s

(3) Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) sao cho Mp = 0, được gọi

là giá của M, kí hiệu Supp(M ), tức là
Supp(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0}.
(4) Khi M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp(M ) = Var(annR (M )).
(5) Với p ∈ Spec(R), ta có ht(p) = dimRp .

Việc nghiên cứu một vành địa phương nói chung là thuận lợi hơn so với vành
bất kì. Vì vậy, đôi khi thay vì nghiên cứu vành R người ta nghiên cứu các địa
phương hóa của nó, từ đó có thể đánh giá được phần nào tính chất của vành R.
Một tính chất quan trọng của địa phương hóa là nó bảo toàn tính khớp. Ta
có mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1.2.3 ([4], Proposition 3.9). Xét dãy khớp ngắn các R-môđun
0 −→ M −→ M −→ M −→ 0

Khi đó, với mọi iđêan nguyên tố p của R, ta có dãy khớp ngắn các môđun địa
phương hóa
0 −→ Mp −→ Mp −→ Mp −→ 0

1.3

Dãy chính quy và độ sâu

Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R-môđun. Khi đó, phần tử x ∈ R được gọi

là phần tử M -chính quy nếu với m ∈ M sao cho xm = 0 suy ra m = 0; tức là
(0 : x) = 0.
M

Kí hiệu tập hợp các phần tử M -chính quy trong R là N ZDR (M ).

9


Định nghĩa 1.3.2. Cho M là một R-môđun và x = x1 , . . . , xn là một dãy các
phần tử của R được gọi là M -dãy chính quy hay nói ngắn gọn là M -dãy nếu các
điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) x1 là phần tử M -chính quy,
(2) xi là phần tử M/(x1 , . . . , xi−1 )M -chính quy với mọi i = 2, . . . , n,
(3) M/xM = 0.
Nhận xét 1.3.3. (1) Nếu dãy x chỉ thỏa mãn điều kiện (1) và (2) của Định
nghĩa 1.3.2 thì x được gọi là M -dãy chính quy yếu. Số phần tử của M -dãy
x được gọi là độ dài của dãy.
(2) Một dãy x = x1 , . . . , xn được gọi là dãy chính quy nếu x là một R-dãy.
(3) Giả sử (R, m) là vành địa phương Noether và M = 0 là một R-môđun hữu
hạn sinh. Lúc đó, nếu x ⊆ m thì điều kiện (3) của Định nghĩa 1.3.2 luôn
thỏa mãn do bổ đề Nakayama. Hơn nữa, do mỗi phần tử của R không thuộc
m đều khả nghịch nên để điều kiện (3) Định nghĩa 1.3.2 thỏa mãn thì mọi
M -dãy chính quy đều phải nằm trong m.
Giả sử M là một R-môđun và I là iđêan của R. Nếu x = x1 , . . . , xn ⊆ I là một
M -dãy trong I . Chúng ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.4. (1) Cho M là một R-môđun và I là iđêan của R, nếu x =
x1 , . . . , xn ⊆ I là một M -dãy thì x được gọi là một M -dãy trong I.
(2) Một M -dãy x được gọi là một M -dãy cực đại nếu x1 , . . . , xn , xn+1 không phải
là một M -dãy với mọi xn+1 ∈ R.

(3) Một M -dãy x trong I được gọi là một M -dãy cực đại trong I nếu x1 , . . . , xn , xn+1
không phải là một M -dãy với mọi xn+1 ∈ I .
Nhận xét 1.3.5. (1) Theo [[14], Mệnh đề 16.13], nếu R là vành Noether và M
là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R thỏa IM = M thì hai
M -dãy cực đại trong I có cùng độ dài và do đó các M -dãy cực đại trong I
có cùng độ dài.
(2) Theo [[14], Mệnh đề 16.10], ta có thể mở rộng một M -dãy trong I thành
M -dãy cực đại trong I.
10


Tiếp theo, ta có định nghĩa:
Định nghĩa 1.3.6. (1) Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn
sinh và I là một iđêan của R thỏa IM = M . Khi đó, độ dài của M -dãy cực
đại trong I được gọi là độ sâu của môđun M ứng với iđêan I , kí hiệu là
depth(I, M ). Nếu IM = M thì ta quy ước depth(I, M ) = ∞.
(2) Hơn nữa, nếu (R, m) là vành địa phương Noether và M là một R-môđun thì
mọi M -dãy đều nằm trong m. Vì vậy, bậc của m trong M được gọi là độ sâu
của môđun M . Kí hiệu depth M. Do đó, ta có
depth M = depth(m, M ).

Ta có một tính chất liên hệ giữa chiều và độ sâu của môđun M :
Định lý 1.3.7 ([7], Theorem 2.1.3). Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M
là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, ta có
depth M ≤ dimM.

Tức là độ sâu của môđun M luôn nhỏ hơn hoặc bằng chiều của môđun M.
Mệnh đề sau cho chúng ta các công thức tính toán về depth(I, M ).
Mệnh đề 1.3.8 ([7], Theorem 2.1.2). Cho R là vành Noether, M là R-môđun
hữu hạn sinh, I, J là các iđêan của R. Khi đó, ta có

√

(1) depth(I, M ) = depth( I, M ),
(2) depth(I, M ) = inf{depth Mp | p ∈ Var(I)},
(3) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ); depth(J, M )},
(4) Nếu x = x1 , . . . , xn là một M -dãy trong I , thì
depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n.

Đặc biệt, ta có depth M/xM = depth M − n.

1.4
1.4.1

Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số
Iđêan m-nguyên sơ

Định nghĩa 1.4.1. Một iđêan I của vành R, I được gọi là một iđêan nguyên
sơ của R nếu I = R và với mọi a, b ∈ R thỏa ab ∈ I thì hoặc a ∈ I hoặc tồn tại
n ∈ N sao cho bn ∈ I .
11


Mệnh đề 1.4.2. Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó
(1) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì

√

I = {x ∈ R | ∃n > 0 : xn ∈ I} là iđêan nguyên

tố tối tiểu chứa I .

(2) Nếu

√

I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ.

Cho p là iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó, ta gọi I là iđêan p-nguyên
√
sơ nếu I là iđêan nguyên sơ và I = p. Giả sử (R, m) là vành địa phương và I
√

√

là iđêan m-nguyên sơ của R. Với mỗi n ∈ N, ta có I n = I = m. Vì vậy, I n
cũng là một iđêan m nguyên sơ. Ta có các điều kiện tương đương của một iđêan
m-nguyên sơ sau đây:
Mệnh đề 1.4.3. Cho (R, m) là vành địa phương Noether và I là iđêan thực sự
của vành R. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(1) I là iđêan m-nguyên sơ.
(2) ∃k > 0 : mk ⊂ I
(3) R/I là R-môđun có độ dài hữu hạn.
(4) R/I là R-môđun Artin.

1.4.2

Hệ tham số và iđêan tham số

Cho (R, m) là vành Noether địa phương chiều d = dim(R) và I là iđêan
m-nguyên sơ. Kí hiệu µ(I) là số phần tử sinh tối tiểu của iđêan I .Theo [[4],
Proposition 11.7, Proposition 11.10], ta có µ(I) ≥ d. Từ đó, tồn tại một iđêan

m-nguyên sơ của R sinh bởi đúng d phần tử. Từ các định nghĩa trên, ta xây
dựng định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.4.4. Cho (R, m) là vành địa phương Noether M là R-môđun hữu
hạn sinh. Dãy các phần tử x1 , . . . , xr ⊂ R được gọi là hệ bội của M nếu
(M/ (x1 , . . . , xr ) M ) < ∞. Nếu x = x1 , . . . , xr là một hệ bội của M thì người ta
chứng minh được rằng r ≥ d = dim(M ).
Một hệ bội x = x1 , . . . , xd của M với d = dim(M ), được gọi là hệ tham số của
M.

Nếu xem R là môđun trên chính nó thì hệ tham số x1 , . . . , xd của R-môđun
R được gọi là hệ tham số của vành R.
Ví dụ 1.4.5. Cho R = k[X1 , . . . , Xn ] là vành đa thức n biến trên trường k . Khi
đó, ta đã biết dimR = n, và do đó {X1 , . . . , Xn } hệ tham số của R. Một hệ tham
số của R như là một hệ tham số của môđun trên chính nó.
12


1.5

Vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.5.1. (1) Cho R là vành giao hoán có đơn vị, R được gọi là vành
phân bậc (Z-phân bậc) nếu tồn tại các họ nhóm con đối với phép cộng
(Rn )n∈Z sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
(a) R =

Rn ,
n∈Z

(b) Rn Rm ⊆ Rn+m .

(2) R được gọi là vành phân bậc không âm (N-phân bậc) nếu Rn = 0 với mọi
Rn .
n < 0, ta viết R =
n≥0

(3) x ∈ Rn được gọi là phần tử thuần nhất bậc n, kí hiệu deg(x) = n.
(4) Nếu u ∈ R được biểu diễn dưới dạng u = ui1 + · · · + uik thì ui1 , . . . , uik được
gọi là các thành phần thuần nhất của u.
Nhận xét 1.5.2. Cho R =

Rn là vành phân bậc, khi đó
n∈Z

(1) R0 là vành con của R, Ri , i = 0 thì không nhất thiết là vành con của R.
(2) 1R ∈ R0 .
(3) Rn là R0 -môđun .
(4) Các phần tử khả nghịch của vành phân bậc đều thuần nhất.
Rn là trường phân bậc thì R0 = R và Rn = 0, ∀n = 0.

(5) Nếu R =
n∈Z

Ví dụ 1.5.3. (1) Xét S = R[x1 , . . . , xd ] là vành đa thức d biến. Với mỗi m =
(m1 , . . . , md ) ∈ Nd ta kí hiệu xm = x1 m1 . . . xd md và với mỗi n ∈ N ta đặt
rm xm ∈ S rm ∈ R và m1 + . . . + md = n

Sn =

.

m∈Nd

Khi đó ta có S =

Sn là một vành phân bậc với các thành phần phân
n∈N

bậc Sn . Sự phân bậc trên đây còn được gọi là phân bậc chuẩn của vành
S = R[x1 , . . . , xd ]. Chú ý rằng S0 = R và
S1 = {r1 x1 + . . . + rd xd |ri ∈ R, i = 1, . . . , d } .
13


(2) Xét R[t] là hàm đa thức một biến với phân bậc chuẩn và I là iđêan của R.
Khi đó, ta có một vành phân bậc được cho bởi
I n tn ⊆ R[t].

R(I) =
n∈N

Hơn nữa, ta có thể xét R(I) như là một đại số trên R và đại số này được
gọi là đại số Rees của R ứng với iđêan I .
Định nghĩa 1.5.4. Cho R là một vành phân bậc và M là một R-môđun . Khi
đó, M được gọi là R-môđun phân bậc nếu tồn tại một họ {Mn }n∈Z các nhóm
con (đối với phép cộng) của M sao cho:
(1) M =

Mn (như là nhóm cộng Aben) và
n∈N

(2) Rn .Mm ⊆ Mn+m , ∀n, m ∈ Z.
Nhận xét 1.5.5. (1) Mỗi phần tử u ∈ M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
u =
un với un ∈ Mn và chỉ có hữu hạn các thành phần un = 0. Mỗi
n∈Z

hạng tử un được gọi là các thành phần thuần nhất bậc n của u, kí hiệu là
deg un = u. Phần tử u ∈ M được gọi là phần tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈ Z
sao cho u ∈ Mn .
(2) Từ định nghĩa của môđun phân bậc M ta suy ra Mn là các R0 -môđun với
mọi n ∈ Z.
Mệnh đề 1.5.6. Cho M =

Mn là một R-môđun phân bậc và N là một
n∈N

R-môđun con của M . Khi đó các khẳng định sau tương đương:
N ∩ Mn là một R-môđun phân bậc.

(1) N =
n∈N

(2) Nếu u ∈ N thì các thành phần thuần nhất của u cũng thuộc N .
(3) N có một hệ sinh gồm các phần tử thuần nhất của M .
Định nghĩa 1.5.7. (1) Cho M là một R-môđun phân bậc và N là một Rmôđun con của M . Khi đó, N được gọi là môđun con phân bậc (hay thuần
nhất) của M nếu các điều kiện tương đương trong Mệnh đề 1.5.6 được thỏa
mãn.

14

(2) Một vành phân bậc R có thể được xét như một môđun phân bậc trên chính
nó. Khi đó, một iđêan của R được gọi là iđêan thuần nhất nếu nó là R-môđun
con thuần nhất của R.
Ví dụ 1.5.8. Xét vành phân bậc chuẩn R = k[x, y]. Khi đó, ta có iđêan I =
(x2 , x3 + xy 2 ) là một iđêan thuần nhất bởi vì nó được sinh ra bởi các phần tử
thuần nhất là x2 (bậc 2) và x3 + xy 2 (bậc 3). Trong đó, iđêan J = (x2 + y, y 2 )
không phải là iđêan thuần nhất.

1.6

Vành và môđun Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.6.1. (1) Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M = 0 là một
R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu
depth M = dimM .
(2) Cho R là vành Noether tùy ý và M = 0 là R-môđun hữu hạn sinh, thì M là
môđun Cohen-Macaulay khi Mm là môđun Cohen-Macaulay với mọi iđêan
cực đại m ∈ Supp M.
(3) Vành Noether R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun
Cohen-Macaulay.
Tiếp theo chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của vành và môđun
Cohen-Macaulay.
Định lý 1.6.2 ([7], Theorem 2.1.2). Cho (R, m) là vành địa phương Noether và
M = 0 là R-môđun Cohen-Macaulay. Khi đó, ta có
(1) dimR/p = depth M với mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M ,
(2) depth(I, M ) = dimM − dimM/IM với mọi iđêan I ⊆ m,
(3) x = x1 , . . . , xn là một M -dãy khi và chỉ khi dimM/xM = dimM − n,
Định lý 1.6.3 ([7], Theorem 2.1.3). Cho R là một vành Noether và M = 0 là
một R-môđun Cohen-Macaulay. Khi đó,

(1) Giả sử x là một M -dãy. Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M/xM là Rmôđun Cohen-Macaulay (hay cũng là R/(x)-môđun Cohen-Macaulay). Điều
ngược lại đúng nếu R là vành địa phương.
15


(2) Giả sử M là R-môđun Cohen-Macaulay, khi đó với mọi tập nhân đóng S
của R thì MS là môđun Cohen-Macaulay. Hơn nữa, Mp là R-môđun CohenMacaulay với mỗi iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R). Nếu Mp = 0 thì depth Mp =
depth(p, M ), nếu thêm giả thiết R địa phương thì dimM = dimMp +dimM/pM.
Hệ quả 1.6.4 ([7], Corollary 2.1.4). Nếu R là vành Cohen-Macaulay và I = R
là một iđêan của R thì depth I = ht I và nếu R là địa phương thì ht I + dimR/I =
dimR.

1.7

Độ dài của môđun

Định nghĩa 1.7.1. (1) Cho M là một R-môđun, một xích của môđun M là
một dãy tăng ngặt các môđun con của M có dạng
0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M.

Độ dài của xích là số môđun con thực sự trong một xích.
(2) Một chuỗi hợp thành của môđun M là một xích cực đại của M , tức là ta
không thể bổ sung thêm một môđun con nào vào chuỗi hợp thành để được
một xích có độ dài lớn hơn, hay nói một cách tương đương là Mi /Mi−1 , i =
1, . . . , n là đơn.
Ta có một tính chất về sự mở rộng của một xích bất kỳ thành một chuỗi hợp
thành.
Mệnh đề 1.7.2 ([4], Proposition 6.7). Giả sử M là một R-môđun có một chuỗi
hợp thành với độ dài n. Khi đó, mọi chuỗi hợp thành đều có cùng độ dài là n
và với mỗi xích của môđun M ta có thể bổ sung để nó trở thành một chuỗi hợp

thành của M.
Nếu môđun M có một chuỗi hợp thành có độ dài n thì ta nói M có độ dài
hữu hạn là n. Ngược lại, nếu M không có chuỗi hợp thành thì ta nói M có độ
dài vô hạn. Ta kí hiệu độ dài của môđun M là R (M ) hay (M ) (nếu không có
sự nhầm lẫn về vành R).
Mệnh đề sau đây cho chúng ta biết điều kiện của môđun M có độ dài hữu
hạn.
Mệnh đề 1.7.3 ([14], Proposition 7.35). Môđun M có độ dài hữu hạn khi và
chỉ khi M vừa là Noether vừa là Artin.
Sau đây chúng tôi trình bày một tính chất quan trọng về độ dài của môđun.
16


Mệnh đề 1.7.4 ([14], Theorem 7.41). Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0 −→ L −→ M −→ N −→ 0.

Khi đó, M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi L và N có độ dài hữu hạn. Hơn nữa,
trong trường hợp M có độ dài hữu hạn thì ta có
(M ) = (N ) + (L).

Ta có một hệ quả từ mệnh đề này.
Hệ quả 1.7.5. Cho M là một R-môđun và N là một môđun con của M . Khi
đó, M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu N và M/N có độ dài hữu hạn. Hơn
nữa, trong trường hợp M có độ dài hữu hạn thì ta có
(M ) = (N ) + (M/N ).

Khi M là một môđun hữu hạn sinh trên trường k , tức là M là một k -không
gian vectơ hữu hạn chiều thì khái niệm độ dài và chiều của không gian vectơ là
trùng nhau.
Mệnh đề 1.7.6 ([14], Theorem 7.42). Cho V là một k -không gian vectơ. Khi

đó, V là một k -không gian vectơ hữu hạn chiều khi và chỉ khi V là một k -môđun
có độ dài hữu hạn và trong trường hợp này ta có (V ) = dim k (V ).
Ta có một công thức về độ dài thông qua dãy khớp, thường được dùng sau
này.
Mệnh đề 1.7.7 ([14], Ex. 7.43). Cho một dãy khớp các R-môđun
dn

dn−1

di

di−1

d1

0 −→ Gn −→ Gn−1 −→ · · · −→ Gi −→ Gi−1 −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ 0.

Giả sử, Gi có độ dài hữu hạn với mọi i = 1, . . . , n − 1. Khi đó, G0 và G1 có độ
dài hữu hạn và

n

(−1)i (Gi ) = 0.
i=0

1.8

Hàm Hilbert, hệ số Hilbert và chỉ số Hilbert
của môđun phân bậc

Trong mục này ta luôn giả sử R =

Rn là vành phân bậc Noether với R0
n∈Z

là vành địa phương Artin. Khi đó, với mỗi R-môđun phân bậc hữu hạn sinh M ,
ta có các thành phần phân bậc Mn của M là các R0 -môđun có độ dài hữu hạn.
17


Định nghĩa 1.8.1. Cho M =

Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh.
n∈Z

Ta định nghĩa hàm Hilbert của M là hàm số học được xác định bởi
hM : Z −→ N
n −→ hM (n) =

R (Mn ).

Nhận xét 1.8.2. Giả sử môđun M có chiều d và quy ước đa thức đồng nhất 0 là
đa thức có bậc −1, khi đó Hilbert đã chứng minh rằng tồn tại đa thức pM ∈ Q [x]
có bậc d − 1 sao cho hM (n) = pM (n) với mọi n đủ lớn. Trong trường hợp d > 0,
ta có thể biểu diễn pM (n) dưới dạng
pM (n) = e0 (M )

n+d−1
d−1

− e1 (M )

n+d−2

+ . . . + (−1)d−1 ed−1 (M ) ,

d−2

trong đó ei (M ), i = 0, . . . , d − 1 là các hệ số nguyên và
n+d−i
d−i

=

1
(n + 1) . . . (n + d − i) , ∀i = 1, . . . , d−1
(d − i)!

trong trường hợp d > 1 .

Khi đó, các hệ số ei = ei (M ) được gọi là hệ số Hilbert của M .
Ta cũng gọi p(M ) = max {n|hM (n) = pM (n)} là chỉ số Hilbert của M .
Định nghĩa 1.8.3. Cho M =

Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh.
n∈Z

Ta định nghĩa số bội của M là số nguyên được xác định bởi
e (M ) =

e0 nếu d > 0
(M ) nếu d = 0

Ví dụ 1.8.4. Cho R = k [x1 , . . . , xd ] là vành đa thức phân bậc chuẩn trên trường
k . Khi đó R0 = k và các thành phần phân bậc Rn là các k -không gian véctơ. Hơn
nữa, ta có
n+d−1

hR (n) = dim k (Rn ) =

, ∀n ≥ 0.

d−1

Thật vậy, ta chứng minh bằng quy nạp theo n + d. Rõ ràng là khẳng định đúng
nếu n = 0 hoặc d = 1. Giả sử n > 0 và d > 1. Đặt R = k [x1 , . . . , xd ] và xét dãy
khớp
p

x

d
0 −→ Rn−1 −→
Rn −→ Sn −→ 0.

18


trong đó xd (x) = xxd , ∀x ∈ Rn−1 và p được xác định bởi
rm x1 m1 . . . xd md

p

rm x1 m1 . . . xd md .

=
{m∈J|md =0 }

m∈J⊂Nd

Khi đó, theo Mệnh đề 1.7.4 ta có
hR (n) = dim k Rn = dim k Rn−1 + dim k Sn
n+d−2

=

n+d−2

+

d−1

d−2

n+d−1

=

.

.

d−1

Như vậy, ta có e0 (R) = 1 và e1 (R) = . . . = ed−1 (R) = 0.

1.9
1.9.1

Hàm tử xoắn và đối đồng điều địa phương
Hàm tử xoắn

Cho M là một R-môđun và a là một iđêan của R. Đặt
Γa (M ) = m ∈ M | an m = 0 với n là số tự nhiên nào đó .

Khi đó Γa (M ) là một môđun con của môđun M và được gọi là môđun xoắn của
M ứng với iđêan a.
(0 : an ).

Nhận xét 1.9.1. Γa (M ) =
n∈N

M

Hàm Γa (M ) có nhiều tính chất quan trọng được chúng tôi trình bày thông
qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.9.2. Cho M là một R-môđun và a, b là các iđêan của R. Khi đó ta
có
(i) Γ0 (M ) = M và ΓR (M ) = 0,
(ii) Nếu a ⊆ b thì Γb (M ) ⊆ Γa (M ),

(iii) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và
(iv) Γa+b = Γa ∩ Γb .
19

√

a=

√

b thì Γa (M ) = Γb (M ),


Cho R là vành giao hoán có đơn vị, a là một iđêan của R. Kí hiệu M(R) là
phạm trù các R-môđun . Xét tương ứng
Γa : M(R) −→ M(R)
M −→ Γa (M )
f : M −→ N
Γa (f ) : Γa (M ) −→ Γa (N )
x −→ f (x).

Ta dễ dàng chứng minh được rằng Γa (M ) là một hàm tử hiệp biến có tính khớp
trái. Lúc đó ta có mệnh đề.
Mệnh đề 1.9.3. Γa là một hàm tử hiệp biến trên phạm trù các R-môđun M(R)
và được gọi là hàm tử a-xoắn và nói ngắn gọn là hàm tử xoắn.
Nhận xét 1.9.4.

(i) Hàm tử Γa là hàm tử cộng tính.

(ii) Hàm tử Γa khớp trái, tức là từ dãy khớp ngắn các R-môđun

f

g

0 −→ M −→ N −→ P −→ 0

ta thu được dãy khớp
Γa (f )

Γa (g)

0 −→ Γa (M ) −→ Γa (N ) −→ P.

Nhưng không khớp phải, được suy ra từ dãy sau
2

0 −→ Z −→ Z−→Z/2Z −→ 0

với R = Z, a = 2Z.
(iii) Nếu

1.9.2

√

a=

√

b thì Γa = Γb .

Đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.9.5. Xét giải thức nội xạ tối tiểu của M
0

/

i

M

/

E0

d0 /

E1

d1 /

d2 /

E2

···

Áp dụng hàm tử Γa ta có phức cảm sinh
0

/

Γa (E 0 )

Γa (d0 )

/

Γa (E 1 )

Γa (d1 )

/

Γa (E 2 )

Γa (d2 )

/

Γa (d3 )

Γa (E 3 )

Ta định nghĩa đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M là:
Hai (M ) = Ker(Γa (di ))/Im(Γa (di−1 )), ∀i ≥ 0.

Với quy ước d−1 = 0.
20

/ ···


Sau đây chúng tôi trình bày một tính chất quan trọng của đối đồng điều địa
phương , còn được gọi là Định lý triệt tiêu của Grothendieck.
Định lý 1.9.6 ([7], Theorem 3.5.7). Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M
là R-môđun hữu hạn sinh với depth M = t và dimM = d. Khi đó,
(i) Hmi (M ) = 0 với mọi i < t và i > d,
(ii) Hmt (M ) = 0 và Hmd (M ) = 0.
(i) Nếu M là một R-môđun thì Hm0 (M ) ∼
= Γm (M ).

Nhận xét 1.9.7.

(ii) Hmi (M ) là môđun Artin.
(iii) Nếu M là R-môđun Cohen-Macaulay thì dimM = depth M nên từ Định lí
1.9.6, ta có Hmi (M ) = 0 với mọi i = d.
(iv) Nếu R là vành phân bậc và M là R-môđun hữu hạn sinh thì Hmi (M ) cũng
là R-môđun phân bậc và Hmi (M )n = 0 với mọi n 0.

1.10

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

1.10.1

Chỉ số chính quy

Cho R =

Ri là một đại số phân bậc chuẩn trên vành địa phương R0 .
i≥0

Ta kí hiệu R+ =

Ri . Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Ta kí hiệu
i>0

i (M ) là đối đồng điều địa phương của M với giá R .
HR
+
+

Định nghĩa 1.10.1. Ta nói M là m-chính quy nếu HRi + (M )n = 0 với mọi
n ≥ m − i + 1 và i ≥ 0. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg (M ) của E là
số nguyên nhỏ nhất m sao cho M là m-chính quy, nghĩa là
reg (M ) := min m M là m-chính quy .

Để đơn giản ta thường nói chỉ số chính quy thay cho chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford. Từ [5], tồn tại số nguyên r sao cho HRi + (M )n = 0 với
mọi i ≥ 0 và mọi n ≥ r. Do đó chỉ số chính quy của một môđun phân bậc hữu
hạn sinh luôn luôn tồn tại. Nếu đặt

max{n | H i (M )n = 0} nếu H i (M ) = 0
R+

ai (M ) =

R+

−∞

nếu
21

i (M )
HR
+

.

=0


thì ta có một đặc trưng khác cho chỉ số chính quy là :
reg (M ) := max {ai (M ) + i |i ≥ 0 } .

Bổ đề 1.10.2 ([3], Bổ đề 1.1.4). Giả sử 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 là dãy khớp
các R-môđun hữu hạn sinh các đồng cấu thuần nhất. Khi đó,
reg(M ) ≤ max {reg(L), reg(N )} .

Chứng minh. Từ giả thiết ta thu được dãy khớp dài
i
i
i
(N )n −→ . . .
(M )n −→ HR
(L)n −→ HR
. . . −→ HR

+
+
+

với i ≥ 0. Giả sử m = max {reg(L), reg(N )}. Theo định nghĩa chỉ số chính quy, ta
có HRi + (L)n = HRi + (N )n = 0 với mọi i ≥ 0 và với n ≥ m − i + 1. Từ đây suy ra
i (M ) = 0 với mọi i ≥ 0 và với n ≥ m − i + 1. Do đó, M là m-chính quy.
HR
n
+
Nếu z ∈ R1 là phần tử M -chính quy (0M : z = 0) thì ta có dãy khớp
z

0 −→ M (−1) −→ M −→ M/zM −→ 0.

Áp dụng Bổ đề 1.10.2 ta thu được hệ quả sau đây
Hệ quả 1.10.3. [[3], Hệ quả 1.1.5] Nếu z ∈ R1 là phần tử M -chính quy thì
reg(M ) = reg(M/zM ).

Bây giờ nếu R = A[x] là vành đa thức trên vành địa phương A thì reg(R) = 0
(xem [[5], Example 12.4.1]). Giả sử I là iđêan thuần nhất thực sự của R. Lúc đó
chỉ số chính quy của I và R/I có mối quan hệ sau đây.
Bổ đề 1.10.4 ([3], Bổ đề 1.1.6). regI = regR/I + 1.

1.10.2

Hàm Hilbert và chỉ số chính quy

Trong mục này R =

Ri là vành phân bậc Noether với R0 là vành địa
i≥0

phương Artin. Giả sử M =

Mn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh với
n∈Z

dim(M ) = d. Nếu M là môđun phân bậc Cohen-Macaulay thì e(M ) và reg(M )
có mối quan hệ sau đây.
Bổ đề 1.10.5 ([3], Bổ đề 1.2.1). Nếu M là môđun phân bậc Cohen-Macaulay
sao cho d(M ) ≤ 0 thì
reg(M ) ≤ e(M ) − 1,

với d(M ) là bậc cực đại của một hệ sinh tối tiểu thuần nhất của M .
22