phương trình vô tỷ lớp 9

Đề tài:

Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9
Giải phơng trình vô tỷ
A.

Nhận thức cũ- Giải pháp cũ:
Phơng trình vô tỷ là phơng trình chứa ẩn trong dấu
căn .Trong chơng trình đại số 9 ,phơng trình vô tỷ là một
dạng toán khó. Khi gặp các phơng trình có chứa căn tơng
đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải
và hay mắc sai lầm khi giải .. Có những phơng trình không
thể giải bằng các phơng pháp quen thuộc. Khi gặp phơng
trình vô tỷ , học sinh thờng chỉ quen một phơng pháp là
nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhng trong quá
trình giải sẽ thờng mắc phải một số sai lầm trong phép
biến đổi tơng đơng phơng trình ,vì vậy dẫn
đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phơng trình sau
khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phơng trình bậc cao, mà
việc nhẩm nghiệm để đa về phơng trình bậc nhất, bậc 2
để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng
và không tìm ra lời giải .
B. Nhận thức mới giải pháp mới
I. Nhận thức mới:
Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải
phơng trình vô tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh các
kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng,
hình thành các phơng pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi
phơng trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra
cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua
mỗi dạng tổng quát cách giải và hớng dẫn học sinh đặt đề

toán tơng tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu
biết phân dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đờng lối t duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu,
giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả giáo
dục .
II. Giải pháp mới:
A- Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ
sung một số kiến thức mở rộng .


1. Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá
các tính chất của luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.
2. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử , các
hằng đẳng thức .
3. Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có
chứa giá trị tuỵêt đối.
4. Cách giải phơng trình, bất phơng trình bậc nhất , bậc 2
một ẩn, cách giải hệ phơng trình.
5. Bổ sung các kiến thức để giải các phơng trình đơn
giản:

*

=

*
*
B. Cung cấp cho học sinh các phơng pháp thờng dùng
để giải phơng ttrình vô tỷ .
Phơng pháp 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2
vế của phơng trình( thờng dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng

bậc).
Ví dụ: Giải phơng trình
(1)
+ ở phơng trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có
thể mắc sai lầm để nguyên hai vế nh vậy và bình phơng
hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ
sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu
cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2:
a=b
a = b ( Khi a, b cùng dấu )
Vì vậy khi bình phơng hai vế đợc phơng trình mới tơng
đơng với phơng trình ban đầu khi hai vế cùng dấu.
ở phơng trình (1), VP 0 , nhng vế trái cha chắc đã 0 vì
vậy ta nên chuyển vế đa về phơng trình có 2 vế cùng 0.
2

2

(1)
Đến đây học sinh có thể bình phơng hai vế:


(*)
Ta lại gặp phơng trình có một vế chứa căn , học sinh có thể
mắc sai lầm là bình phơng tiếp 2 vế để vế phải mất căn
mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay cha.

Và trả lời phơng trình (*) có 2 nghiệm :
Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện
ra những sai lầm :

+ Khi giải cha chú ý đến điều kiện để các căn thức có
nghĩa nên sau khi giải không đó chiếu với điều kiện ở (1) :
ĐK :
vì vậy
không phải là nghiệm của (1)
+ Khi bình phơng hai vế của phơng trình (*) cần có điều
kiện
vậy
không là nghiệm của (1)
- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thờng gặp , từ đó
tôi cho học sinh tìm ra cách giải đúng không phạm sai lầm
đã phân tích .
C : Sau khi tìm đợc
và
thử lại (1) không nghiệm
đúng Vậy (1) vô nghiệm.
( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phơng trình đã
cho là tơng đối phức tạp )
1

C : Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (1)
2


Sau khi giải đến (*) khi bình phơng hai vế đặt thêm điều

kiện
vậy thoả mãn :
nên phơng trình (1)vô
nghiệm

C : Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của
phơng trình .
3

Điều kiện của (1) :
do đó
Vế trái <0. VP 0 nên phơng trình (1) vô nghiệm .
Sau đó tôi ra một số bài tập tơng tự cho học sinh trình bày
lời giải.
Bài tập tơng tự : Giải phơng trình
a.
Ví dụ 2: Giải phơng trình :

b)

(2)
ở phơng trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3
nên nghĩ đến việc lập phơng hai vế :
Chú ý: + ở căn bậc lẻ:
có nghĩa với
nên không cần
đặt điều kiện

+ ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b
cần xét đến dấu của hai vế.
Giải:+ Lập phơng hai vế

a =b ; (n N) nên không
2n+1

2n+1

(**)
Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phơng hai vế, vế trái nhìn rất phức tạp, giáo viên hớng dẫn học
sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:
( a+b) =a +b +3a b+3ab =a +b +3ab(a+b)
Vậy (**) có thể viết :
3

3

3

2

2

3

3

(I)
(đến đây thay

vào phơng trình) ta đợc:
( II)


Giải ra:
; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm

đúng , nên đó là 2 nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có
nghiệm
+ ở phơng trình (2) ngoài việc lập phơng hai vế cần sử
dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đa phơng
trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải.
Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi
không tơng đơng , vì nó chỉ tơng đơng khi x thoả mãn :
. Vì vậy việc thay lại nghiệm của (II) vào phơng trình đã cho là cần thiết . Nếu không thử lại có thể sẽ
có nghiệm ngoại lai.
Bài tập tơng tự : Giải phơng trình :
a)
b)
c)
( Đề thi vào toán tin -2000)
Phơng pháp 2: Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn
trong dấu giá trị tuỵêt đối.
Phơng pháp này là: Khi gặp phơng trình mà biểu thức
trong căn có thể viết đợc dới dạng bình phơng của một biểu
thức thì sử dụng hằng đẳng thức :
để làm mất dấu căn đa về phơng trình đơn
giản
Ví dụ: Giải phơng trình :
(3)
Nhận xét: + ở phơng trình (3) học sinh có thể nhận xét vế
trái có cùng căn bậc hai nên có thể bình phơng hai vế. Nhng
ở phơng trình này sau khi bình phơng (lần 1) vẫn còn
chứa căn nên rất phức tạp.
+ biểu thức trong căn có thể viết đợc dới dạng bình phơng
của một biểu thức .

Giải : ĐK:

;


C : Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt
1

đối, trớc khi phá dấu
Nhận xét:

thì cần xét dấu của A
vậy chỉ xét dấu

Nếu
Thì
Giải ra

(Không thoả mãn điều kiện)

+ Nếu
Thì

vô số nghiệm x thoả mãn

Kết luận:
C : ( Để giải (***) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá
2

trị tuyệt đối .

A.B 0)
Giải: (***)

dấu = xảy ra khi và chỉ khi

Ta có:
Vậy:

Khi

Giải ra:
Bài tập tơng tự: Giải phơng trình


a)
b)
(Nhân 2 vế với
thì trong căn sẽ
xuất hiện hằng đẳng thức)
Phơng pháp 3: Đặt ẩn phụ:
Phơng pháp đặt ẩn phụ là phơng pháp hay mà tôi rất tâm
đắc , phơng pháp này có thể dùng để giải đợc rất nhiều
phơng trình
ở phơng pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đa về dạng
phơng trình vô tỷ đơn giản
Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ
+ Đặt 2 ẩn phụ
+ Đặt nhiều ẩn phụ
A. Cách đặt 1 ẩn phụ :
C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đa phơng trình về phơng trình có một ẩn là ẩn phụ đã đặt .Giải phơng

trình tìm ẩn phụ , từ đó tìm ẩn chính.
VD1:Giải phơng trình:
2 +6x+12+
=9 (4)
-Nhận xét:+ ở phơng trình này nếu bình phơng 2 vế sẽ
đa về một phơng trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là
rất khó
+ Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan :
2x +6x+12=2(x +3x+2)+8
2

2

Hớng giải:+ Đặt ẩn phụ là y=
+ Chú ý: Đối với ĐK: x +3x+2
có thể giải đợc nhng với những bài toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì
có thể tìm giá trị của x rồi thử lại xem có thoả mãn ĐK
hay không
2

Giải: ĐK: x +3x + 2
2

Đặt :
PT (4)

x+1) (x+2)

=y
2y +y+8=9

2y +y -1=0
Giải ra:y =1/2 ( Thoả mãn ĐK); y =-1( Loại)
2

2

1

2


Thay vào:

=1/2

Giải ra:x =

x +3x+2=1/4
2

; x=

1

2

Đối chiếu với ĐK: x=
VD2: Giải phơng trình:

thoả mãn là nghiệm của PT (4)

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004)
Hớng dẫn : ĐK :
Ta biến đổi để thấy đợc mối quan hệ giữa các biểu
thứctrong phơng trình:

Đặt :
Ta có phơng trình:
Giải(I) tìm a từ đó tìm x.
VD2: Giải phơng trình:

(I)

HD: ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách
đặt :
;
Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phơng
trình để đa về phơng trình ẩn u.
Giải: ĐK : -1
;
C1: Đặt:

+ Nếu :

thoả mãn)

(Thoả mãn ĐK)


Giải ra:

kiện
Vậy

loại);

thoả mãn điều

là nghiệm của (5)

c2:ở bài này có thể đặt :
Đa về hệ phơng trình:

;

C2: Đặt ẩn phụ đa phơng trình về 2 ẩn: ẩn chính và
ẩn phụ, tìm mối quan hệ giã ẩn chính và ẩn phụ.
VD : Giải phơng trình:
(6)
Nhận xét:- Nếu bình phơng hai vế đa về phơng trình
bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô tỷ.Vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ
nhng cha đa đợc về phơng trình chỉ chứa một ẩn. -Hãy
tìm cách đa về một hệ phơng trình có 2 ẩn là ẩn chính
và ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ
từ đó đ a về phơng trình đơn giản.
3

Giải: ĐK:
Đặt:
;Ta có hệ:
Đây là hệ phơng trình đối xứng

+ Nếu x=y ta có phơng trình:
điều kiện)
+ Nếu1-x=y ta có phơng trình:
( Thoả mãn điều kiện)

giải ra

(thoả mãn

giải ra:


Vậy phơng trình (6) có 2 nghiệm
VD : Giải phơng trình:
4

Cách 1: Đặt

ta có hệ phơng trình

giải ra
từ đó sử dụng phơng pháp 1 để giải tiếp.
Chú ý : Cách này thờng sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn
phụ đa đợc về hệ phơng trình đối xứng.
Cách 2: Đa 2 vế về cùng bậc:

Đến đây tiếp tục giải theo phơng pháp 1
Bài tập tơng tự : Giải phơng trình
a)

b)

; HD: Đặt ẩn phụ

ta có hệ :

; HD : Đặt ẩn phụ

c)
B) Đặt 2 ẩn phụ:
ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đa về hệ phơng trình 2 ẩn
phụ, giải hệ tìm giá trị của ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ
giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đa về phơng trình
đơn giản.
VD : Giải phơng trình:
(7)
Nhận xét: ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng
luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn là rất khó.
1


+ Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ:
(hằng số)
+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đa về hệ 2 phơng trình không chứa
căn và giải.
Giải: ĐK:
Đặt:

Ta có hệ phơng trình:

giải ra
Từ đó:

( thoả mãn điều kiện)

Vậy phơng trình (7) có 3 nghiệm:
VD2: Giải phơng trình:
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Đặt
; Ta có hệ:
Giải ra:a=1; b=1 ; từ đó giải ra tìm x=3
Tổng quát: Đối với phơng trình có dạng:
Ta thờng đặt:
trình:

Khi đó ta đợc hệ phơng

hoặc
Giải hệ này tìm u, v sau dó tìm x
VD : Giải phơng trình:
3

(9)
Nhận xét: Nếu lập phơng hai vế thì cũng rất phức tạp vì
không đa đợc về dạng a.b=0 nh ở phơng trình (2)
. Nên có thể đặt 2 ẩn phụ
Giải: Đặt
(9) trở thành:

Giải ra:

vậy ta có:
Vậy (9) có nghiệm x=0
Bài tập tơng tự: Giải phơng trình :
a)
b)
Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhng
không đa đợc về hệ PT thì ta có thể tìm quan hệ của 2
ẩn phụ , thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đa về phơng trình đơn giản. Nh các VD sau:
VD : Giải phơng trình:
4

(10)
Nhận xét: Nếu bình phơng hai vế của phơng trình sẽ đa
về phơng trình bậc 4 rất khó giải:
Hớng dẫn: + Nhận xét gì về biểu thức x +1 ?
có dạng HĐT: x + 1=(x+1)(x -x+1)
+ Tìm mối quan hệ giữa x +2 và x +1
x +2 =(x -x+1)+(x+1)
3

3

2

2

2

3

2

+ Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ:
mối quan hệ a, b từ đó tìm x
Giải:
ĐK :

và tìm

Đặt
Ta có: a =x+1 ; b = x -x+1 ; x +2=a +b
Phơng trình đã cho trở thành:
2

* Với a= 2b ta có:

2

2

2

2

2


( Thoả mãn điều kiện)

+ Với b=2a Ta có:
. Từ đó giải ra tìm x
( ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở
hai vế là rất quan trọng . Vì vậy trớc khi giải phải quan sát
nhận xét để tìm ra phơng pháp giải phù hợp).
VD5:Giải phơng trình:
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005)
HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức:

Đặt:

;

Ta có PT:

Giải ra:

; Giải ra: x=0

VD5: Giải phơng trình:
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005)
HD: Biến đổi
Mối liên hệ:
Đặt:
Ta có phơng trình:
Từ đó tìm a,b, và tìm đợc x
BT Tơng tự: Giải phơng trình
a)
b)

;


Hớng dẫn:Nhận xét:
Đặt :
Nên
Đặt: u+v=t.

ta

có

phơng

trình:

Ta có phơng trình: t -t-20=0
2

Giải ra:
Do đó:
Đến đây dùng phơng pháp 1 để giải: x=3
C) Đặt nhiều ẩn phụ:
VD1:
Giải
phơng

trình:

Nhận xét: + Phơng trình này nhìn rất phức tạp , nếu nghĩ

đến phơng pháp bình phơng 2 vế thì sẽ đa về một phơng trình phức tạp .
+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể
phức tạp , nên ta giải phơng trình tìm x rồi thử lại.
+ Quan sát nhận xét các biểu thức trong căn :
Nên có thể nghĩ đến phơng pháp đặt ẩn phụ :
Giải: Đặt
Ta có hệ :
Từ đó suy ra:
Giải ra : x=-2
Thay vào thoả mãn phơng trình đã cho , Vậy phơng trình
có nghiệm x=-2
( Phơng pháp này tôi thấy hay và độc đáo , từ đó GV có
thể đặt nhiều đề toán đẹp)
Bài tập tơng tự: Giải phơng trình
Phơng pháp 4: Đa về dạng : A + B = 0 hoặc A.B=0
ở phơng pháp này ta sử dụng A + B = 0 <=> A = B = 0
; A.B =0
Khi A=0 hoặc B=0
2

2

2

2

Ví dụ: Giải phơng trình:
Nhận xét: + Sử dụng các phơng pháp 1, 2, 3 đều khó giải

+ Biến đổi đa về dạng A + B = 0
2

2

Giải:Điều kiện:

Giải ra x=-1
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
Nhận xét:
+ ở phơng trình này ta có thể đặt ẩn phụ y = x + x từ đó
2

đa về hệ phơng trình đối xứng:
Từ đó suy ra:
rồi giải tìm x
+ Ta cũng có thể nhân 2 vế của phơng trình với 2 rồi đa
về dạng:
giải ra x=0 ( cách giải này đơn giản
hơn)
Bài tập tơng tự:

Giải phơng trình

a)

b)

VD: Giải phơng trình:
( Đề thi học sinh giỏi huyện 2005)

HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức:
; PT trở thành:

Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK)
Ngoài ra ta có thể đặt:

; ta có hê:


; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm đợc x
Bài tập tơng tự : Giải phơng trình

HD: Nhận xét
Từ đó biến đổi đa về
dạng :A.B =0
Phơng pháp 5: Dùng bất đẳng thức
Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không
chặt.
VD : Giải phơng trình:

(`11)

1

Giải: ĐK:

;Sử dụng bất đẳng thức:

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b
Do đó (11)

với a, b > 0

Ta có:

Giải ra:

thoả mãn điều kiện

Vậy (11) có hai nghiệm
VD : Giải phơng trình:
2

(12)
Nhận xét:+ở phơng trình này ta không nên bình phơng
hai vế
+ Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn.
3x +6x+7 = 3(x+1) +4; 5x +10x + 14 = 5(x+1) + 9; 4-2xx =-(x+1) +5 từ đó có lời giải:
2

2

2

2

2

Giải: VT:
VP:

Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó
Kết luận pt (12) có một nghiệm x=-1
BT tơng tự: Giải phơng trình
a)
b)
VD Giải phơng trình:
3:

2


Nhận xét: Nếu bình phơng 2 vế sẽ đa về phơng trình bậc
4, khó giải
Hớng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh 2 vế
Giải: ĐK:
Ta thấy:
Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

Vậy ta suy ra: x -10x+27=2
2

(1)

(2)
Giải (1) ta đợc x=5 thay vào (2) ta thấy 2 vế bằng nhau. Vậy
phơng trình có nghiệm x=5
BT tơng tự : Giải phơng trình
a)

(HD: áp dụng BĐT cô si)

b)
Đa về dạng:
Bunhiacopxki

rồi áp dụng BĐT

Tổng quát cách giải:
+ Biến đổi pt về dạng f(x)=g(x) mà
với a là
hằng số. Nghiệm của pt là các giá trị của x thoả mãn đồng
thời f(x)=a và g(x) = a
+ Biến đổi pt về dạng h(x) =m ( m là hằng số) mà ta luôn
có h(x) m và h(x) m thì nghiệm của pt là các giá trị của x
làm cho dấu đẳng thức xảy ra
+ áp dụng BĐT Côsi và Bunhiacôpxki
Phơng pháp 6: Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy
nhất
Ví dụ: Giải pt:
Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phơng pháp trên đều khó giải đợc
nên suy nghĩ để tìm cách giải khác.
Hớng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của pt
+ Chứng minh nghiệm duy nhất


Giải: Nhận thấy

là một nghiiệm của pt

+ Xét

thì
nên pt vô nghiệm
+ xét
ta có:
nghiệm
Vậy pt có 2 nghiệm x=-1 và x=1
Ví dụ 2: Giải phơng trình:

nên pt vô

Giải: Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phơng trình
+Nếu x<0 thì
Vậy VP <1; VT>1 nên phơng trình vô nghiệm .
+ Nếu x>0 thì VP<1; VT>1 nên phơnhg trình vô nghiệm.
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phơng trình
BT tơng tự: Giải phơng trình
Hớng dẫn: TXĐ: x 1
Nhận thấy x=2 là nghiệm
Chứng tỏ:
1 x<2 thì phơng trình vô nghiệm
x>2 phơng trình vô nghiệm
(ở những phơng trình phức tạp mà việc sử dụng các phơng pháp 1 đến phơng pháp 4 đều không giải đợc thì ta
nghĩ đến phơng pháp 5).