Phương Pháp SOS trong chứng minh bất đẳng thức

Kênh youtube: NĐT OFFICIAL
PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
Phương Pháp SOS Trong Chứng Minh Bất Đẳng Thức
Ví dụ 1: Cho

là các số thực không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng:

Lời giải.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Giả sử

, ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau:

Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 2: Cho

là các số thực không âm thoả mãn

. Chứng minh bất đẳng thức:

Lời giải.
Ta có:
Quy bất đẳng thức cần chứng minh về:
Chú ý rằng:
Do đó ta chỉ cần chứng minh:

Bất đẳng thức cuối chính là bất đẳng thức Iran96 quen thuộc, phép chứng minh hoàn tất.
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm
Lời giải.
Bất đẳng thức mạnh hơn vẫn đúng:
Lời giải 1:

Giả sử
Trong đó:

ta có:

:


Kênh youtube: NĐT OFFICIAL
PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai

Bất đẳng thức được chứng minh.
Lời giải 2:
Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng SOS:
Với:
Tương tự ta có
Ví dụ 4: Cho

, bất đẳng thức được chứng minh.
là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

Lời giải.
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng nếu ta chứng minh được:
Lời giải 1:
Áp dụng bất đẳng thức trong bài 3:
Còn lại ta cần chứng minh:
Giả sử
ta có ngay điều phải chứng minh.
Lời giải 2:
Đưa bất đẳng thức về dạng:

Trong đó:
Giả sử
chứng minh.

, ta chứng minh được

Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức sau với
Lời giải.
Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn sau:
Lời giải 1:
Bất đẳng thức tương đương với:
Giả sử
Với:

, ta có:

, áp dụng tiêu chuẩn 2 của SOS ta có điều phải
là các số thực không âm:


Kênh youtube: NĐT OFFICIAL
PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
Phép chứng minh hoàn tất.
Lời giải 2:
Đưa bất đẳng thức về dạng SOS:
Trong đó:
Ta chứng minh được
Ví dụ 6: Cho

áp dụng tiêu chuẩn 2 ta có điều phải chứng minh.

là các số thực không âm thoả mãn

. Chứng minh bất đẳng thức:

Lời giải.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn:
Giả sử
.
Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
Trong đó:
Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm
Lời giải.
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng nếu ta chứng minh được.
Giả sử

, ta có:

Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm
Lời giải.
Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:

Giả sử

ta có điều phải chứng minh

ta có:

:


Kênh youtube: NĐT OFFICIAL
PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
Ví dụ 9: Cho

là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

Lời giải.
Ta chứng minh bất đẳng thức:
Ta có:

Cộng vế

và

Ví dụ 10: Cho

ta có điều phải chứng minh.
là các số thực không âm thoả mãn:

. Chứng minh rằng:

Lời giải.
Bất đẳng thức tương đương với:
Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:

Chú ý rằng ta có đẳng thưc đơn giản sau với mọi số thực

Cho

:

ta được:

Do đó bất đẳng thức có thể viết lại dưới dạng:
Trong đó:
Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 11: Cho

là các số thực không âm thoả mãn

Lời giải.
Bất đẳng thức tương đương với:
Giả sử

, ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:

Giả sử

ta có:

Với:

. Chứng minh rằng:


Kênh youtube: NĐT OFFICIAL

PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 12: Tìm hằng số bé nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm
:
Lời giải.
Cho
là:

suy ra

Khong mất tính tổng quát giả sử
sau:

. Ta sẽ chứng minh đây là giá trị cần tìm, nghĩa

, ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn

Với:
Ta có:
Nếu
Nếu

bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
:

Dùng đạo hàm ta chứng minh được
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 13: Tìm hằng số bé nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm
:
Lời giải.

Cho
Giả sử

suy ra

. Ta chứng minh đây chính là giá trị cần tìm, nghĩa là:

, ta chứng minh bất đẳng thức sau:

Trong đó:
Bất đẳng thức được chứng minh.


Kênh youtube: NĐT OFFICIAL
PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
Một số bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho

là các số thực không âm thoả mãn

. Chứng minh rằng:

Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm
Bài 3: Cho

là các số thực không âm thoả mãn

:
. Chứng minh rằng:

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với

là các số thực không âm

:

Phương pháp SOS và những mối quan hệ lí thú với bất đẳng thức Schur
Phần I, Phép chứng minh ấn tượng:
Trong bài viết nho nhỏ này ta sẽ bàn đến một vài vấn đề khác trong phương pháp SOS. Đó là
dùng phương pháp SOS để chứng minh các định lí. Có thể các bạn sẽ phải bất ngờ trước sức
công phá của phương pháp trong trường hợp này. Chúng ta bắt đầu bằng phép chứng minh cho
1 bất đẳng thức rất chặt là Schur:
Định lí schur:
Cho
là các số thực dương. Khi đó với mọi
thì
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
hoặc
Chứng minh:
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
Ta có :

và

cùng các hoán vị của nó.

và

cùng các hoán vị của nó.

Bất đẳng thức đã qui về dạng chính tắc với:

Dễ thấy ta có

. Ta cần chứng minh

Thật vậy ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

.
hoặc


Kênh youtube: NĐT OFFICIAL
PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
Vậy ta đã chứng minh xong bất đẳng thức Schur mà không theo cách thông thường trong các
tài liệu đã từng giới thiệu. Có thể các bạn sẽ không thích cách giải này cho lắm bởi vì cách giải
mà các bạn đã quá quen thuộc chỉ gần 3 dòng, ngắn đến hết mức có thể
Nhưng chắc chắn các bạn sẽ phải đồng ý với tôi rằng cách chứng minh trên sẽ thật sự là hữu
hiệu nhất trong bất đẳng thức mà tôi sắp giới thiệu sau đây. Đó chính là 1 bất đẳng thức mới
mà ... cũng chưa xuất hiện trong bất cứ 1 quyển sách đã xuất bản nào ở Việt Nam

Xin giới thiệu đến các bạn bất đẳng thức cũng rất chặt Vornicu Schur:
Định lí Vornicu schur:
Với
là các số thực không âm;
là các số thực không âm thỏa mãn
và
hoặc

thì :

Cách chứng minh hoàn toàn tương tự và cũng dài có ...6 dòng.
Bài tập ứng dụng của Vornicu Schur rất nhiều các bạn có thể dùng nó để giải quyết bài toán
quen thuộc sau đây:
Bài 1: (Crux Mathematicorum, problem 2580, Hojoo Lee)
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Bài 2: (Crux Mathematicorum, problem 2581,Hojoo Lee)
Phần II, Làm mạnh bất đẳng thức Schur và ứng dụng của nó:
Nhân đây bàn về bất đẳng thức Schur tôi cũng xin giới thiệu đến các bạn 1 kết quả mạnh hơn
của bất đẳng thức này trong trường hợp
.
Như các bạn đã biết với
thì bất đẳng thức Schur có dạng:
Và xuất phát từ ý tưởng làm mạnh bài toán ta sẽ suy nghĩ ngay tới bất đẳng thức
suy ra
Bây giờ là bước 2, làm mạnh theo những gì đã định hướng ta chứng minh bất đẳng thức
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
Tương đương
Như vậy bước biến đổi về dạng chính tắc đã thành công. Ta chuyển sang bước đánh giá.
Không mất tính tổng quát giả sử
Ta có:


Kênh youtube: NĐT OFFICIAL
PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
(do
và
)

Tương tự ta dễ dàng chứng minh
và dẫn đến
bây giờ ta cần chứng minh:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
hoặc
và
cùng các hoán vị của nó.
Qua 1 vài dẫn chứng trên chắc hẳn các bạn cũng đã thấy được những mối quan hệ giữa Schur
và SOS, chúng rất thú vị phải không. Đây chính là điều mà tôi muốn hướng tới khi viết phần
phụ lục này . Chúng ta vẫn sẽ tiếp tục khai thác vấn đề này nhưng là trong 1 tư tưởng khác đó
là kết hợp giữa Schur và SOS trong việc giải quyết bài toán .
Nhưng trước hết để đơn giản hóa bài toán ta qui ước:
Với mọi
đặt:
.
Chắc chắn rằng mọi bất đẳng thức đối xứng đều dễ dàng qui về bất đẳng thức tương đương có
chứa Schur. Nhưng nếu giữ nguyên dạng của bất đẳng thức này với 3 biến
thì sẽ rất khó
khăn khi biến đổi bởi chỉ cần nhìn vào thôi cũng đủ "váng đầu ngất xỉu" :lol:.
Vì vậy ta sẽ đưa dạng của Schur biểu diễn dưới các biến
đã qui định ở trên.
Với trường hợp lũy thừa là 0 thì:

Với trường hợp lũy thừa là 1 thì:

Với trường hợp lũy thừa là 2 thì:

Trên đây là cách biểu diễn đơn giản của Schur trong trường hợp lũy thừa
và cũng chỉ cần
như vậy là bạn đã có đủ vũ khí để chiến đấu với các bất đẳng thức "hung dữ". Tiếp theo ta

cũng nên thủ sẵn 1 vài bất đẳng thức phụ sẽ dùng mỗi khi biến đổi.
Bất đẳng thức phụ:

Còn rất nhiều bất đẳng thức phụ dạng này các bạn hoàn toàn có thể dùng SOS để chứng minh
nó.
Hằng đẳng thức đáng nhớ:
(
Các bạn nên nắm rõ các phép biến đổi bởi vì tư tưởng của phương pháp kết hợp này là:
+ Biến đổi bất đẳng thức đang xét về dạng có chứa 3 biến số mới
. Điều này làm tôi liên


Kênh youtube: NĐT OFFICIAL
PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
tưởng đến cách biến đổi mà cô giáo đã dạy tôi khi biểu diễn công thức nghiệm của tam thức
bậc 2.
+ Sau khi đã qui về các biến
ta thực hiện biến đổi tương đương để bất đẳng thức mới
cần chứng minh có chứa bất đẳng thức Schur trực tiếp hoặc là có chứa 2 đại lượng gồm Schur
và 1 đại lượng khác.
+Như vậy công việc cuối cùng của ta là chứng minh đại lượng còn lại ấy không âm. Và đến
đây bài toán được giải quyết hoàn toàn. Chắc chắn những biểu thức đối xứng còn lại đều dễ
dàng chứng minh được bằng phương pháp tổng quát.
Trong 1 số trường hợp thì ta có ngay luôn các đại lượng chứa Schur . Có thể minh họa rõ cho
điều này là bất đẳng thức Iran 96 nổi tiếng. Bạn nào có quyển tuyển tập đề thi Châu Á Thái
Bình Dương thì cũng thấy lời giải bằng Schur nhưng trông rất khủng khiếp mới nhìn đã "chạy
mất dép"
Tôi sẽ đưa ra 1 ví dụ khá là đơn giản.
Cho các số thực dương
.Chứng minh rằng

Giải
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
Ta lại có:
Bất đẳng thức cần chứng minh đã qui về dạng chính tắc
Không mất tính tổng quát ta giả sử
Dễ dạng chứng minh
Ta cần chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
hoặc
và
cùng các hoán vị.
Lời giải trên có thể sẽ là rắc rối nhưng tôi đưa nó ra để khẳng định rằng hoàn toàn có thể kết
hợp giữa 2 phương pháp để giải quyết vấn đề. Lời giải trên rắc rối tại vì sao? Câu trả lời là bởi
vì tôi có 1 lời giải khác đơn giản hơn nhiều nhưng lại đòi hỏi 1 kỉ thuật khác cũng rất mạnh
trong chứng minh bất đẳng thức .
Lời giải:
Chuẩn hoá

đặt

Dùng AM-GM dễ dàng qui bất đẳng thức cần chứng minh về Levinson inequality.
Và sử dụng bất đẳng thức : +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Do phương pháp Chuẩn hóa nằm ngoài phạm vi của bài viết nên tôi có thể nói một cách khái
quát phương pháp như sau.
Cơ sở của chuẩn hóa 1 bất đẳng thức là không làm hẹp miền xác định của biến số và nếu


Kênh youtube: NĐT OFFICIAL
PAGE Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai

chứng minh được nó đúng trong 1 trường số nào đó thì BDT ở dạng không điều kiện vẫn
đúng. Lí giải cho phương pháp này của thầy Trần Nam Dũng (ĐHKHTN Thành phố Hồ Chí
Minh - Nhóm quản lí Diễn đàn toán học-Hội đồng biên tập Tạp chí Toán học và tuổi trẻ)
Dạng thường gặp của bất đẳng thức thuần nhất là
trong đó và là hai hàm thuần nhất cùng bậc.
Do tính chất của hàm thuần nhất, ta có thể chuyển việc chứng minh bất đẳng thức trên về việc
chứng minh bất đẳng thức
với mọi
thoả mãn điều kiện
.
Chuẩn hóa một cách thích hợp, ta có thể làm đơn giản các biểu thức của bất đẳng thức cần
chứng minh, tận dụng được một số tính chất đặc biệt của các hằng số