bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIÊN DU
TRƯỜNG THCS MINH ĐẠO
-----------------------

CHUYÊN ĐỀ:
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG
TLT-TLN

NĂM HỌC: 2016-2017

1


PHẦN I : LÝ THUYẾT
A. Đại lượng tỉ lệ thuận
1. Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức
“y=k.x” (k là hằng số, k ≠ 0) ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là k.
2. Tính chất:
Giả sử x1;x 2 ;........ ; x n là các giá trị tương ứng của x
y1 ;y 2 ;......... ; y n là các giá trị tương ứng của y

Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì :
y1

y2

x1

y1

yn

a/ x = x =.......= x =k
1
2
n
x1

y1

x1

y1

b/ x = y ; x = y ;......... ; x = y
2
2
3
3
n
n
* Bổ sung:
- Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k (k ≠ 0) thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ
số tỉ lệ là

1
k

- Nếu z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k1(k1≠ 0); x tỉ lệ thuận với y theo
hệ số tỉ lệ k2 (k2 ≠ 0) thì z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k1.k2
B. Đại lượng tỉ lệ nghịch

1. Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y =

a
x

hay x.y = a ( a là hằng số, a ≠ 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ
lệ là a.
2. Tính chất
Giả sử y1; y 2 ; ........; y n là các giá trị tương ứng khác nhau của y
x1 ; x 2 ; .......; x n là các giá trị tương ứng khác nhau của x

Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì:
a/ x1y1 = x 2 y 2 =........= x n y n = a
x1

y2

x1

y3

x1

yn

b/ x = y ; x = y ; ………; x = y
2
1
3
1

n
1
2


* Bổ sung:
- Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ
a
- Nếu z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a1; y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ
a1

a2 thì z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là a
2
PHẦN II: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG TLT-TLN
A. DẠNG I. XÁC ĐỊNH MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA HAI ĐẠI LƯỢNG
* Phương pháp giải:
Bước 1: Xét tỉ số giữa 2 giá trị tương ứng hoặc tích giữa 2 giá trị tương
ứng
+ Nếu tỉ số 2 giá trị tương ứng luôn không đổi thì 2 đại lượng ấy
tương quan tỉ lệ thuận
+ Nếu tích 2 giá trị tương ứng luôn không đổi thì 2 đại lượng ấy
tương quan tỉ lệ nghịch
Bước 2: Xác định công thức, tìm hệ số tỉ lệ
* Bài tập áp dụng
Bài 1:
Cho x và y quan hệ phụ thuộc bằng bảng sau, hãy tìm xem chúng có tương
quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch với nhau không ?
a/
x
y

-4
2

-3

-2
1

3
2

-1

0
0

1
2

1

2
-1

1
−
2

3

4
-2

3
−
2

b/
x

-3

-2

-1

y

1
9

1
6

1
3

1
2

2
3

−

1
3

1
3

1

-1

−

1
2
2
−
3

1
−

1
3

2

−

1
6

3
−

1
9
3


c/
x
y

-15
-4

6
10

2,4
25

-12
-5

11

5,5

12
5

-5
-12

3
20

-3
-20

-10
-6

Giải
3
2

a/ Ta thấy: 2 : (−4) = : (−3) = 1: (−2) = ....... = −

1
2

⇒ y tỉ lệ thuận với x
1
9

1
6

1
3

b/ Ta thấy: (−3). = (−2). = (−1). = ...... = −

1
3

⇒ y tỉ lệ nghịch với x

c/ Ta thấy: 2,4 . 25 ≠ 11 . 5,5 và

− 15 6
≠
− 4 10

nên x và y không có tương quan tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch
Bài 2:
Cho biết x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận x = 6 thì y = 4
a/ Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x
b/ Hãy biểu diễn y theo x
c/ Tính y khi x = 9 ; x = -15
d/ Tính x khi y = 8 ; y = -10
Giải
a/ Hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau, khi x = 6 thì y = 4 nên ta có
y = k.x hay 4 = k.6
⇒ k=

2
3

b/ Ta có y = k.x mà k =

2
2
nên y = x
3
3

c/ Khi x = 9 thì y =

2
.9=6
3

Khi x = -15 thì y =

2
.(-15) = -10
3

d/ Từ y =

2
3
x →x = y
3

2
4


Khi y = 8 thì x =

3
. 8 = 12
2

Khi y = -10 thì x =

3
. (-10) = -15
2

Bài 3:
Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, biết với hai giá trị bất kỳ x 1; x2 của
x có tổng bằng 1 thì hai giá trị tương ứng y1; y2 của y có tổng bằng 5
a/ Hãy biểu diễn y theo x
b/ Tính giá trị của y khi x = - 4; x = 10; x = 0,5
3
2

c/ Tính giá trị của x khi y = - 4; y = − ; y = 0,7
Giải
a/ Vì x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận
⇒

y1 y2 y1 + y2 5

=
=
= =5
x1 x2 x1 + x2 1

Vậy đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k = 5
⇒ Công thức : y = 5.x

b/ Với x = - 4 y ⇒ = - 20
x = 10 ⇒ y = 50
x = 0,5 ⇒ y = 2,5
4
c/ Với y = - 4 ⇒ x = −
5

y= −

3
3
⇒ x= −
2
10

7
y = 0,7 ⇒ x =

50

Bài 4:
Cho x và y là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = - 3 thì y = 9

a/ Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x
b/ Hãy biểu diễn y theo x
c/ Tính y khi x = 3; x = -

1
3

Giải:
5


a/ Gọi a là hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x (a ≠ 0 ) ta có y =
Theo đề bài ta có x = - 3 thì y = 9 nên 9 =

a
x

a
⇒ a = - 27
−3

Vậy hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x là - 27
b/ Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a = - 27 nên y =

− 27
x

c/ Với x = 3 ⇒ y = - 9
1
Với x = − ⇒ y = -81

3

Bài 5:
Cho y tỉ lệ thuận với x theo hệ số là 1 số âm. Biết tổng bình phương 2 giá
trị của x là 2. Viết công thức liên hệ giữa x và y
Giải
Gọi 2 giá trị tương ứng của y là y1; y2
2 giá trị tương ứng của x là x1; x2
y

y

1
2
Vì y tỉ lệ thuận với x nên x = x = k
1
2

⇒ k2 =

y12
y 22
y12 +y 22
18
=
=
=
=9
2
2

2
2
x1
x2
x1 +x 2
2

⇒ k2 = 9 ⇒ k = ± 3

Vì k < 0 ⇒ k = (- 3) nên y = (-3).x
Bài 6:
Để làm nước mơ, người ta thường ngâm theo công thức 2kg mơ ngâm
với 2,5kg đường. Hỏi cần bao nhiêu kg đường để ngâm 5kg mơ?
Giải:
Gọi số đường để ngâm 5kg mơ là x (kg) ( x > 0)
Cứ 2kg mơ ngâm với 2,5kg đường
Vậy cứ 5kg mơ ngâm với x kg đường
Vì số kg đường và số kg mơ là 2 địa lượng tỉ lệ thuận nên theo công thức ta có:

6


2 2,5
5 × 2,5
=
⇒x=
= 6,25 (t/m điều kiện)
5
x
2

Vậy cần 6,25 kg đường để ngâm 5kg mơ
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1:
Cho biết x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận
Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau
x
0,25
2
5
y
1
13
30,4
a/ y tỉ lệ thuận với x theo hệ số nào? Viết công thức
b/ x tỉ lệ thuận với y theo hệ số nào? Viết công thức
Bài 2:
Cho biết x, y là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch
a/ Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
x
-2
4
-5
y
20
12
10
b/ y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ nào? Viết công thức
Bài 3:
Biết rằng y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k ≠ 0 ; y2 tỉ lệ thuận với x2

theo hệ số tỉ lệ a. Hỏi y1 - y2 có tỉ lệ thuận với x1 - x2 không?
Bài 4:
Cho x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận
a/ Viết công thức liên hệ giữa y và x biết rằng tổng 2 giá trị tương ứng của x là
4.k thì tổng 2 giá trị tương ứng của y là 3.k2 (k ≠ 0 )
b/ Với k = 4; y1+ x1 = 5. Tìm y1; x1
Bài 5:
Cho x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận
x1; x2 là 2 giá trị khác nhau của x
y1; y2 là 2 giá trị khác nhau của y
3
5

a/ Tính x1 biết x2 = 3; y1 = − ; y2 =

1
9
7


b/ Tính x2; y2 biết y2 – x2 = 7; x1 = 5; y1 = - 2
Bài 6:
Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch
x1; x2 là hai giá trị khác nhau của x
y1; y2 là hai giá trị khác nhau của y
a/ Tính y1; y2 biết 2y1+3y2 = - 26; x1 = 3; x2 = 2
b/ Tính x1; y2 biết 3x1 - 2y2 = 32; x2 = - 4 ; y1 = - 10
Bài 7:
Cho 2 đại lượng x và y
x1; x2 là 2 giá trị của x

y1; y2 là 2 giá trị của y
a/ Biết x1 = 4; x2 = 3 và y1+ y2 = 14. Tính y1; y2
b/ Biết x2 = 2; 2x1 – 2y2 = 22; y1 = 5. Tính x1 và y2
B. DẠNG II: TOÁN CHIA TỈ LỆ
* Phương pháp giải:
Trong các bài toán về chia một số thành phần tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch với
các số cho trước
-Nếu x; y; z tỉ lệ thuận với a; b ;c thì x : y : z = a : b : c
1 1 1

-Nếu x; y; z tỉ lệ nghịch với m; n; p thì x : y : z = m : n : p
* Bài tập áp dụng
Bài 1:
Biết các số x;y;z tỉ lệ thuận với các số 5; 3; 2 và x – y + z =8.Tìm các số
đó ?
Giải:
Vì x; y; z tỉ lệ thuận với các số 5;3;2 nên ta có

x y z
= =
5 3 2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
x
y
z
x-y+z
8
=
= =

= = 2 ⇒ x = 10
5
3
2 5-3+2
4

y=6
8


z=4
Bài 2:
Tìm 2 số dương biết tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210
và 12
Giải:
Gọi 2 số phải tìm là x; y ( x > y > 0)
Vì tổng, hiệu và tích của x và y tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12 nên ta có:
x+y
x-y
x.y
=
=
1
1
1
35
210
12

Hay (x + y).35 = (x - y).210 = 12.xy

35( x + y ) 210( x − y ) 12 x. y
=
=
(vì BCNN (35; 210; 12) =420)
420
420
420

⇒
⇒

x + y x − y x. y
=
=
12
2
35

(1)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x + y x − y x + y + ( x − y) x
=
=
=
12
2
12 + 2
7

(2)

x + y x − y x + y − ( x − y) y
=
=
=
12
2
12 − 2
5

(3)

Từ (1) ,(2) và (3) ⇒

x. y x y
= =
35 7 5

Do x>0; y>0
⇒ x = 7; y = 5

Vậy 2 số cần tìm là 7 và 5
Bài 3:
Ba lớp 7A; 7B; 7C cùng nhau tham gia lao động trồng cây. Số cây mỗi lớp
trồng tỉ lệ với các số 3; 5; 8 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của
lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 108 cây. Tính số cây mỗi lớp làm được?
Giải:
Gọi x, y, z là số cây trồng được của 3 lớp 7A; 7B; 7C ( x; y; z ∈ ¥ * ;cây )
Theo đầu bài, ta có

x y z
= = và 2 x + 4 y − z = 108
3 5 8
9


⇒

x y z
2 x 4 y z 2 x + 4 y − z 108
= = ⇒
=
= =
=
=6
3 5 8
6 20 8
6 + 20 − 8
18

⇒ x = 18, y = 30 , z = 48 (t/m điều kiện)

Vậy lớp 7A trồng được 18 cây
lớp 7B trồng được 30 cây
lớp 7C trồng được 48 cây
Bài 4:
Chia số M thành 3 phần sao cho phần thứ nhất và thứ hai tỉ lệ với 5 và 6;
phần thứ hai và phần thứ 3 tỉ lệ với 8; 9. Biết phần thứ ba hơn phần thứ hai là
150. tìm M?

Giải:
Gọi 3 phần lần lượt là x; y; z ( x; y; z ∈ ¥ )
⇒ M = x+ y+z
x

5

20

x

y

Ta có : y = 6 = 24 ⇒ = (1)
20 24
y 8 24
y
z
= =
⇒
=
(2)
z 9 27
24 27
x
y
z
z− y
150
=

= 50
Từ (1) và (2) ⇒ = = =
20

⇒

24

27

27 − 24

3

x+ y+z
= 50 ⇒ x + y + z = 50 × 71 = 3550
20 + 24 + 27

Vậy M = 3550
Bài 5:
Mức nước sinh hoạt nhà bạn A được thống kê trong bảng sau:
Thời điểm
Chỉ số đồng hồ đo (m3)

Cuối

Cuối

Cuối

Cuối

tháng 6
204

tháng 7
220

tháng 8
237

tháng 9
250

Biết tổng số tiền nhà bạn A phải trả trong quý III là 92.000đ
Tính tiền nước phải trả trong mỗi tháng 7; 8; 9?
Giải:
Số m3 nước đã dùng trong các tháng 7; 8; 9 lần lượt là:
10


220 – 204 =16 (m3); 237 – 220 = 17(m3 ); 250 – 237 = 13(m3 )
Gọi số tiền nước trong các tháng 7; 8; 9 lần lượt là x; y; z ( x,y,z > 0; đồng)
Theo đầu bài ta có:

x
y
z
=
=

16 17 13

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x
y
z
x+ y+z
92000
=
= =
=
= 2000
16 17 13 16 + 17 + 13
46
⇒ x = 32.000 ( t/m điều kiện)

y = 34.000 ( t/m điều kiện)
z = 26.000 ( t/m điều kiện)
Vậy số tiền nước phải trả trong mỗi tháng 7; 8; 9 lần lượt là 32.000 đồng;
34.000 đồng; 26.000 đồng
Bài 6:
Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp
1 có 40 xe ở cách cầu 1,5km; xí nghiệp 2 có 20 xe ở cách cầu 3km; xí nghiệp 3
có 30 xe ở cách cầu 1km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng bao
nhiêu tiền biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng
cách từ xí nghiệp đến cầu?
Giải:
Gọi x; y; z lần lượt là số tiền mỗi xí nghiệp 1; 2; 3 phải trả (38 > x,y,z > 0 ;triệu
đồng)
⇒ x + y + z = 38

40

20

30

Theo đầu bài ta có x : y: z = 1,5 : 3 : 1
⇒ x : y : z = 8: 2:9
x y z x + y + z 38
⇒ = = =
=
=2
8 2 9 8 + 2 + 9 19
⇒ x = 16; y = 4; z = 18 ( t/m điều kiện )

Vậy mỗi xí nghiệp 1; 2; 3 lần lượt phải trả số tiền là 16 triệu đồng ; 4 triệu đồng;
18 triệu đồng.
Bài 7:

11


Một trường THCS có ba lớp 7. Tổng số học sinh hai lớp 7A và 7B là 85 em.
Nếu chuyển 10 em từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A; 7B; 7C tỉ lệ
thuận với 7; 8; 9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Giải
Gọi số học sinh của 3 lớp 7A,7B,7C sau khi chuyển lần lượt là x; y; z
(x,y,z ∈ ¥ * ;em) .
x y z
= =

7 8 9

Theo bài ra ta có:

Vì 10 em chuyển từ 7A sang 7C ⇒ x + y = 85 – 10 = 75
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x + y 75
= = =
=
=5
7 8 9 7 + 8 15

⇒ x = 35; y = 40; z = 45 (t/m diều kiện)

Vậy số học sinh của lớp 7A lúc đầu là: 35 + 10 = 45 (em)
Số học sinh của lớp 7B lúc đầu là : 40 (em)
Số học sinh của lớp 7C lúc đầu là : 45 – 10 = 35 (em)
Bài 8:
Bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng được 172 cây xung quanh trường. Tính số
cây trồng mỗi lớp. Biết rằng số cây của lớp 7A và 7B tỉ lệ với 3 và 4; số cây của
lớp 7B và 7C tỉ lệ với 5 và 6; còn số cây của lớp 7C và 7D tỉ lệ với 8 và 9.
Giải:
Gọi x; y; z; t lần lượt là số cây trồng của lớp 7A, 7B, 7C, 7D
(x; y; z; t ∈ ¥ * ;cây)
x

3 y

5 z

8

Theo đầu bài ta có: y = 4 ; z = 6 ; t = 9 và x + y + z + t =172
x

3

x

y

x

y

=
Vì y = 4 ⇒ = hay
(1)
3 4
15 20

Vì

y 5
y z
y
z
= ⇒ =
=
hay

(2)
z 6
5 6
20 24

Vì

z 8
z t
= ⇒ =
t 9
8 9

hay

z
t
=
24 27

(3)

x
y
z
t
=
=
=
Từ (1), (2) và (3) ⇒

15

20

24

27

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
12


x
y
z
t
x+ y+ z +t
172
=
=
=
=
=
=2
15 20 24 27 15 + 20 + 24 + 27 86
⇒ x = 30; y = 40; z = 48; t = 54 (t/m điều kiện)

Vậy mỗi lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng được lần lượt số cây là 30 cây; 40 cây; 48
cây và 54 cây.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1:
Chia số 210 thành bốn phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ
với 2 và 3; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 4 và 5; phần thứ ba và phần thứ
tư tỉ lệ với 6 và 7. Tìm bốn phần đó?
Bài 2:
Tổng của ba phân số tối giản bằng 1

17
. Tử số của phân số thứ nhất, phân
20

số thứ hai, phân số thứ ba tỉ lệ với 3;7;11 và mẫu của ba phân số đó theo thứ tự tỉ
lệ với 10;20;40. Tìm 3 phân số đó?
Bài 3:
Hãy tìm một số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng chữ số hàng nghìn, chữ số
hàng trăm, chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị tỉ lệ với 2; 1; 1; 3 và số đó chia
hết cho 3.
Bài 4:
1
3

Tìm hai số x và y biết tổng, hiệu và tích của hai số đó tỉ lệ nghịch với ; 3
và

3
200

Bài 5:
Lớp 7A, 7B, 7C trồng được 387 cây. Số cây lớp 7A trồng được bằng

11
số
5

cây của lớp 7B trồng được. Số cây của lớp 7B trồng được bằng số cây của lớp
7C trồng được. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?
Bài 6:
Có 85 tờ giấy bạc loại 10.000đ; 20.000đ; 50.000đ. Trị giá mỗi loại tiền
trên đều như nhau. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu tờ?
13


Bài 7:
1
3

a/ Hãy chia số 786 thành 3 phần tỉ lệ nghịch với các số 0,2 ; 3 và
b/ Chia số 552 thành 3 phần tỉ lệ thuận với

4
5

1 2
3
; và
2 3
4

Bài 8:
Tìm 3 số tự nhiên, biết rằng bội chung nhỏ nhất của chúng là 540 và 3 số

này tỉ lệ nghịch với 5; 6 và 15
Bài 9:
Một bản thảo cuốn sách gồm 555 trang được giao cho 3 người đánh máy.
Để đánh máy 1 trang người thứ nhất cần 5 phút; người thứ hai cần 4 phút; người
thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo biết 3
người cùng làm từ lúc đầu đến khi đánh máy xong.
Bài 10:
Gạo được chứa trong 3 kho tỉ lệ 1,3 : 2

1
1
: 1 . Gạo trong kho thứ hai
2
2

nhiều hơn trong kho thứ nhất 43,2 tấn. Sau 1 tháng người ta tiêu thụ ở kho thứ
nhất 40%, ở kho thứ hai 30% và ở kho thứ ba 32,5% của số gạo có trong mỗi
kho. Hỏi trong 1 tháng ba kho đã tiêu thụ hết bao nhiêu tấn gạo?
Bài 11:
Tìm 3 phân số biết tổng của chúng bằng 3

3
; các tử của chúng tỉ lệ với
70

3; 4; 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2
Bài 12:
Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích
300m2. Lớp 7A nhận 15% diện tích, lớp 7B nhận

1
diện tích còn lại. Diện tích
5

còn lại của vườn trường sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C,
1 1 5
. Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp?
2 4 16

7D, 7E với tỉ lệ ; ;
Bài 13:

14


Một hợp tác xã chia 1500kg thóc cho cả 3 đội sản xuất tỉ lệ với số người
của mỗi đội. Biết rằng số người đội 2 bằng trung bình cộng số người đội thứ
nhất và đội thứ ba. Đội thứ nhất lĩnh nhiều hơn đội thứ 3 là 300kg. Hỏi mỗi đội
lĩnh bao nhiêu kg thóc?
Bài 14:
Chia số 230 thành 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ
nghịch với

1
1
1
1
và
phần thứ nhất và phần thứ ba tỉ lệ nghịch với và . Tìm ba
5

7
3
2

phần đó?
Bài 15:
Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết số đó là bội của 18 và các số tỉ lệ
với 1; 2; 3
C. DẠNG III : TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
* Phương pháp giải
Bài toán chuyển động có 3 đại lượng S, v và t
Nếu quãng đường không thay đổi ( cùng quãng đường) thì thời gian tỉ lệ
t1

v2

nghịch với vận tốc tức là t = v
2
1

S1

v1

Nếu cùng thời gian đi thì quãng đường và vận tốc tỉ lệ thuận tức là S = v
2
2
* Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Bạn Minh đi từ trường về nhà với vận tốc 12km/h thì hết nửa giờ. Nếu

Minh đi với vận tốc 10km/h thì hết bao nhiêu thời gian?
Phân tích:
TH1
TH2

Vận tốc (km/h)
12
10

Thời gian (h)
0,5
x

Điều kiện: x > 0
v, t: tỉ lệ nghịch
15


⇒ 12 . 0,5 = 10.x

Giải:
Gọi thời gian Minh đi với vận tốc 10km/h là x (h) (x>0)
Trên cùng quãng đường thì vận tốc và thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên
ta có:
10.x = 12 . 0,5
⇒ x = 0,6 (t /m điều kiện)

Vậy thời gian Minh đi với vận tốc 10km/h là 0,6h = 36 phút
Bài 2:
Hai địa điểm A và B cách nhau 30 km. Hai ô tô khởi hành cùng 1 lúc từ A

và B đi ngược chiều nhau. Ô tô thứ nhất đi từ A, ô tô thứ hai đi từ B. Chúng gặp
nhau lần thứ nhất tại C cách B là 12km. Sau khi gặp nhau, ô tô thứ nhất tiếp tục
đi đến B rồi quay lại A, ô tô thứ hai tiếp tục đi đến A rồi quay lại B. Chúng gặp
nhau lần thứ 2 tại D. Hỏi D cách A bao nhiêu km?
* Phân tích
x
A

Xe 1
Xe 2

12km
D

C
S1 (km)
30-12=18
12

B
S2 (km)
30+30-x
30+x

Điều kiên: x > 0
S1 , S2 : Quãng đường 2 xe đi được đến lúc gặp nhau lần thứ nhất, lần thứ hai
⇒

18 60 − x
=

12 30 + x

v1

(= v )
2

Giải:
Gọi khoảng cách từ D đến A là x (km) (x>0)
Vận tốc 2 ô tô đi từ A và B lần lượt là v1; v2 (km/h)

16


Từ khi khởi hành tới khi 2 xe gặp nhau tại C thì quãng đường ô tô thứ nhất và
thứ hai đi được là: 18km và 12km
⇒

v1 18 3
= =
(1)
v2 12 2

Từ khi khởi hành đến khi gặp nhau tại D thì quãng đường ô tô thứ nhất và thứ
hai đi được là:
30 + 30 – x = 60 – x (km) và 30 + x (km)
⇒

v1 60 − x
=

(2)
v2 30 + x

60 − x 3
= ⇒ 90 + 3.x = 120 – 2.x
Từ (1) và (2) ⇒
30 + x

2

⇒ 5.x = 30
⇒ x = 6 (t/m điều kiện)

Vậy D cách A là : 6(km)
Bài 3:
Một canô chạy từ bến A đến bến B với vận tốc 20km/h và lại quay về A với
vận tốc 24km/h. Thời gian cả đi lẫn về mất 5h30phút. Tìm khoảng cách giữa hai
bến A và B.
* Phân tích:
Đổi : 5h30phút = 5
A→B
B→A

1
11
h=
(h)
2
2

v (km/h)
20
24

t (h)
t1
t2
Giải:

Đổi : 5h30phút = 5

1
11
h=
(h)
2
2

Gọi thời gian canô đi từ A đến B là t1 (h)
thời gian canô đi từ B đến A là t2 (h)
( 0 < t1,t2 <

11
)
2

Ta có: t1.v1 = t2.v2 ⇒ 20.t1 = 24.t2
17

11
t1
t2
t1 + t2
⇒
=
=
= 2 = 60
1
1
1
1
11
+
20 24 20 24 120

⇒ t1= 3 ; t2 = 2,5 (t/m điều kiện)

Vậy chiều dài quãng đường giữa 2 bến A và B là 20 × 3 = 60 (km)
Bài 4:
Hai bánh xe răng cửa khớp với nhau. Bánh nhỏ có 27 răng quay 60
vòng/phút. Nếu bánh xe lớn có 36 răng thì nó quay được bao nhiêu vòng / phút?
• Phân tích
Bánh nhỏ
Bánh to

Số răng
27
36

Số vòng quay/ph
60
x

Đk: x ∈ ¥ *
⇒ 36.x = 27 . 60

Giải:
Gọi số vòng quay của bánh xe nhỏ trong 1 phút là x (vòng/phút) ( x ∈ ¥ * )
Do 2 bánh xe răng cửa khớp với nhau nên số răng và số vòng quay mỗi phút là
hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Ta có: 36.x = 27. 60
⇒ x = 45 (t/m điều kiện)

Vậy bánh xe lớn quay 45 vòng/phút
Bài 5:
Một xe chạy từ A đến B mất 6 giờ, trong khi đó 1 xe con chạy từ B đến A
chỉ mất có 3 giờ . Nếu 2 xe khởi hành cùng 1 lúc thì sau bao lâu gặp nhau?
Giải:
Gọi quãng đường xe tải và xe con đã đi cho đến khi gặp nhau lần lượt là S1
và S2

(S1 , S2 >0, km)

Vận tốc của chúng theo thứ tự là v1 và v ( km/h )
18


Trong cùng 1 thời gian, quãng đường đi được tỉ lệ thuận với vận tốc nên
S1 S 2

=
=t
v1 v2

( t là thời gian cần tìm)

Do quãng đường không đổi nên coi quãng đường AB là đơn vị quy ước
1
1
Ta có: S1 + S2 = 1 ⇒ v1 = ; v2 =
6

3

1
S S
S +S
Do đó t = 11 = 12 = 11 12 = 13 = 2
+
6
3
6 3 6

Vậy sau 2 giờ khởi hành 2 xe gặp nhau
Bài 6:
Để đi từ A đến B có thể dùng các phương tiện: máy bay, ô tô, xe lửa. Vận
tốc của máy bay, ô tô, xe lửa tỉ lệ với 6; 2; 1. Biết thời gian đi từ A đến B bằng
máy bay ít hơn so với đi bằng ô tô là 6h. Hỏi thời gian xe lửa đi quãng đường
AB là bao lâu?
Giải:

Gọi t1; t2; t3 lần lượt là thời gian máy bay, ô tô, xe lửa đi từ A đến B
(t1, t2, t3 >0; h)
Vì cùng đi quãng đường AB nên thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc
t1 t2 t3
t
t t
= =
⇒ 1 1 1 ⇒ 1= 2 = 3
1 3 6
6 2

mà t2 – t1 = 6
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
t1 t2 t3 t2 − t1 6
= = =
= =3
1 3 6 3 −1 2
⇒

t3
= 3 ⇒ t3 =18
6

Vậy thời gian xe lửa đi quãng đường AB là 18h
Bài 7:

19


Hai người đi xe máy, người thứ nhất đi từ A, người thứ hai đi từ B

ngược chiều nhau để đến C nằm giữa A và B. Khi người thứ nhất đi được
quãng đường của mình và người thứ hai đi được

2
7

4
quãng đường của mình thì 2
9

người đều cách C một khoảng bằng nhau. Tính chiều dài quãng đường AB. Biết
quãng đường từ A đến C ngắn hơn quãng đường từ C đến B là 10 km.
Giải:
Gọi quãng đường từ A đến C và quãng đường từ B đến C lần lượt là S1 và S2 (S1;
S2 >0) (km).
⇒ S 2 − S1 = 10

Khi người thứ nhất đi

2
4
quãng đường AC, người thứ hai đi được quãng
7
9

đường BC thì hai người cách C một khoảng bằng nhau
⇒ S1 ⇒

2
4

S1 = S 2 - S2
7
9

5
5
S1 = S2 ⇒
7
9

⇒
⇒
⇒

s
s

1
2

=

7
9

10
S2
S
S −S
= 1 = 2 1 = =5

9
7
9−7
2
S2
= 5 ⇒ S2 = 45 (t/m điều kiện)
9
S1
= 5 ⇒ S1 = 35 (t/m điều kiện)
7

Vậy chiều dài quãng đường AB là S = S1 + S2 = 45 + 35 = 80 (km)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1:
Hai máy bay cùng từ thành phố A đến thành phố B. Một máy bay, bay
quãng đường AB hết 2h30 phút, máy bay kia bay hết 2h20phút. Tính vận tốc
trung bình của mỗi máy bay. Biết rằng cứ 1 phút thì máy bay này bay nhanh hơn
máy bay kia 1 km.
20


Bài 2:
Một xe ô tô khởi hành từ A, dự định chạy với vận tốc 60km/h thì sẽ tới B
lúc 11 giờ. Sau khi chạy được nửa đường thì vì đường hẹp và xấu nên vận tốc ô
tô giảm xuống còn 40km/h, do đó đến 11 giờ xe vẫn còn cách B là 40 km.
a/ Tính khoảng cách AB.
b/ Xe khởi hành lúc mấy giờ ?
Bài 3:
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa
quãng đường thì ô tô tăng vận tốc thêm 20%, do đó đến B sớm hơn dự định 10

phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bài 4:
Một người đi từ A đến B với vận tốc 4km/h và dự định đến B lúc 11 giờ
45 phút. Sau khi đi được

4
quãng đường thì người đó đi với vận tốc 3km/h nên
5

đến B lúc 12 giờ trưa. Tính quãng đường AB và người đó khởi hành lúc mấy
giờ.
Bài 5:
Hai đoàn tàu hỏa xuất phát từ hai thành phố A và B cách nhau 550 km, đi
ngược chiều nhau và gặp nhau tại một địa điểm C. Vận tốc của hai đoàn tàu tỉ lệ
với 4 và 5, còn thời gian chạy của chúng tỉ lệ với 5 và 7. Tính khoảng cách từ A
đến C.
Bài 6:
Một xe ô tô chạy từ A đến B gồm 3 chặng đường dài bằng nhau nhưng
chất lượng của mặt đường tốt, xấu khác nhau. Vận tốc trên mỗi chặng đường lần
lượt là 72km/h; 60km/h; 40km/h. Biết tổng thời gian xe chạy từ A đến B là 4
giờ. Tính quãng đường AB.
Bài 7:
Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 45 km/h hết 3 giờ 15 phút. Hỏi chiếc
ô tô đó chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h sẽ hết bao nhiêu thời gian?
21


Bài 8:
Để truyền chuyển động quay từ một bánh xe cho 1 xe khách khác, người
ta dùng dây cuaroa. Nếu bánh xe lớn có đường kính 15 cm quay 40 vòng/phút

thì bánh xe nhỏ có đường kính 12 cm sẽ quay bao nhiêu vòng trong 1 phút.
Bài 9:
Hai xe máy cùng đi từ A đến B. Một xe đi hết 1 giờ 20 phút, xe kia đi hết
1 giờ 30 phút. Tính vận tốc trung bình mỗi xe, biết rằng trung bình 1 phút xe thứ
nhất đi hơn xe thứ hai 100m.
Bài 10:
Hai xe máy cùng đi từ A đến B. Vận tốc xe 1 là 45 km/h, vận tốc xe 2 là
40km/h. Thời gian xe 1 đi ít hơn thời gian xe 2 là 30 phút. Tính quãng đường
AB?
Bài 11:
Hai xe ô tô khởi hành cùng 1 lúc và đi về phía gặp nhau từ 2 điểm A, B
cách nhau 544km. Tính xem 2 xe gặp nhau cách A bao nhiêu km, biết rằng xe
thứ nhất đi cả quãng đường AB hết 12 giờ, còn xe thứ hai phải đi hết 13 giờ 30
phút.
Bài 12:
Một ô tô đi từ A lúc 8 giờ sáng. Đến 9 giờ sáng một ô tô khác cũng đi từ
A. Xe thứ nhất đến B lúc 2 giờ chiều, xe thứ hai đến B sớm hơn xe thứ nhất nửa
giờ. Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của
nó lớn hơn vận tốc xe thứ nhất là 20km/h.
D- DẠNG IV : TOÁN NĂNG SUẤT
* Phương pháp giải:
Bài toán năng suất cũng có 3 đại lượng: Số ngày làm xong công việc, số
công việc làm được trong 1 ngày và tổng số công việc làm được, tính theo
công thức.
Tổng số công việc = Số ngày làm

x Số công việc làm được trong 1 ngày

22

Nếu tổng số công việc không thay đổi thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với số
công việc làm được trong 1 ngày
Nếu cùng thời gian thì tổng số công việc và số công việc làm được trong 1
ngày tỉ lệ thuận.
* Bài tập áp dụng
Bài 1:
Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong một dụng cụ hết 5
phút, người thợ phụ hết 9phút. Nếu trong cùng 1 thời gian như nhau, cả 2 cùng
làm việc thì tiện được tất cả 84 dụng cụ. Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện
được.
Giải:
Gọi số dụng cụ của thợ chính, thợ phụ tiện được lần lượt là x, y (x, y ∈ ¥ *;dụng
cụ)
⇒ x + y = 84

Vì số dụng cụ tỉ lệ nghịch với thời gian làm việc, nên ta có:
5x = 9y

⇒

x
y
x + y 84
= =
= =6
9
5
14
14

⇒ x = 54 ; y = 30 (t/m điều kiện)

Vậy người thợ chính tiện được 54 dụng cụ
người thợ phụ tiện được 30 dụng cụ
Bài 2:
Ba đội máy san đất làm 3 khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất
hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày, và đội thứ ba trong
8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy biết số máy đội thứ nhất nhiều hơn số
máy của đội thứ hai là 2 máy (năng suất của các máy như nhau)
Giải:
Gọi x, y, z lần lượt là số máy của đội 1, đội 2 và đội 3 (x, y,z ∈ ¥ *;máy)
⇒x - y = 2

23


Vì năng suất của các máy như nhau nên số máy và số ngày để hoàn thành cùng 1
khối lượng công việc là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.
⇒ 4.x = 6.y= 8.z

x y z x− y
2
= = =
=
= 24
⇒ 1 1 1 1 1
1
−
4 6 8 4 6 12

⇒

x=6
y=4
z=3

Vậy số máy của đội 1, 2,3 lần lượt là 6, 4 và 3 máy
Bài 3:
Ba bể chứa nước hình hộp chữ nhật có diện tích đáy bằng nhau, còn chiều
cao tỉ lệ với 1,5; 1,25; 2. Người ta dùng 3 máy bơm có công suất như nhau để
bơm nước vào đầy mỗi bể, biết thời gian bơm đầy bể lớn nhất nhiều hơn thời
gian bơm đầy bể nhỏ nhất là 1 giờ.
Giải:
Gọi thời gian bơm đầy nước vào các bể lần lượt là x,y,z (x,y,z >0; giờ )
Vì đáy của 3 bể có diện tích bằng nhau nên thể tích của chúng tỉ lệ thuận với
chiều cao của các bể. Thời gian bơm đầy bể lại tỉ lệ thuận với chiều cao của các
bể, nên ta có:
x
y
z
=
= và z – y = 1
1,5 1, 25 2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x
y
z
z− y
1

4
=
= =
=
=
1,5 1, 25 2 2 − 1, 25 0, 75 3
⇒ x = 2 (h), y =

5
8
(h); z = (h)
3
3

(t/m điều kiện)

Vậy thời gian để bơm đầy nước vào 3 bể có chiều cao tỉ lệ thuận với 1,5 ;
1,25 ; 2 lần lượt là 2h,

5
8
h, h
3
3

Bài 4:

24

Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường cho 3
tổ theo tỉ lệ 5:6:7. Nhưng sau đó vì số người thay đổi nên đã chia lại theo tỉ lệ
4:5:6. Do đó có 1 tổ làm nhiều hơn dự định là 10m. Tính số mét đường chia lại
của mỗi tổ?
Giải:
Gọi số mét đường cả 3 tổ phải làm là M; số mét đường của 3 tổ theo dự
định là lần lượt là x1; y1; z1 và khi chia lại là x2; y2; z2
Ta có: +/
⇒

x1 y1 z1 x1 + y1 + z1 M
=
= =
=
5
6
7
5+6+7
18

x1=

5M
18

y1=

6M
18

z1=

7M
18

+/

(1)

x2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 M
=
=
=
=
4
5
6
4+5+6
15

⇒

x2=

4M
15

y2=

5M M

=
15
3

z2=

6M 2M
=
15
5

(2)

So sánh (1) và (2) ta được: z2 > z1
Vậy z2 - z1 =

2M
7M
M
=
= 10 ( vì z2 - z1 = 10 )
5
18
90

=> M = 900
Vậy x2 = 240; y2 = 300, z2 = 360
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1:
Ba công nhân phải sản xuất số sản phẩm như nhau. Công nhân thứ nhất,

thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc với thời gian lần lượt là 9 giờ, 6 giờ,
25