bài giảng toán cao cấp bài tập có lời giải

MỤC LỤC
Chương I: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC..............................................................1
Chương II. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN..............................................................51
Chương 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN............................66
Chương 4: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ.......77
Chương 5: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ..................96
Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN......................................................117

Chương I: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
1.1. Ma trận
1.1.1. Một số định nghĩa
1.1.1.1. Định nghĩa ma trận
Một ma trận A cỡ m ´ n trên trường K (K là thực hay phức) là một bảng
chữ nhật gồm m hàng n cột có dạng như sau:
éa11 a12
ê
êa 21 a 22
A=ê
ê...
...
ê
êa
ë m1 a m2

... a1n ù
ú
... a 2n ú
ú= (a ij ) m´ n
... ... ú
ú
... a mn ú

û

aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j.
Kí hiệu: A = [aij]m x n hoặc A = (aij)m x n
Tập hợp các ma trận cỡ m x n được kí hiệu là M m´ n (K)
Ví dụ: A = ; B =
1.1.1.2. Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0.
1.1.1.3. Ma trận hàng/cột
æ
x1 ö
÷
ç
÷
ç
ç
÷
x2 ÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
.
÷
ç
÷Î M n´ 1 (K) gọi là ma trận cột

Ma trận ç
ç
÷
. ÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
.
ç
÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èx n ø

Ma trận ( x1 x 2 ...x n ) Î M1´ n (K) gọi là ma trận hàng
1.1.1.4. Ma trận vuông
1


Nếu m = n thì A là ma trận vuông cấp n.

æ
ö
a11 a12 ...a1n ÷
ç
÷
ç
ç
÷
a 21 a 22 ...a 2n ÷
ç
÷
÷
A =ç
= (a ij ) nxn
ç
÷
ç
÷
...
÷
ç
÷
ç
÷
ç
ç
a
a
...a
è n1 n1 nn ÷

ø
Ví dụ:

A=;B=

Các phần tử a11,a22,…,ann được gọi là các phần tử chéo. Đường thẳng
xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính.
1.1.1.5. Ma trận tam giác
æ
æ
a11 a12 ...a1n ö
a11 0 ... 0 ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
0a
...a
a
a

...0
ç
ç
22
2n ÷
21 22
÷
ç
ç
÷
÷
hay
Các ma trận vuông cấp n dạng : ç
được gọi là ma
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
...
...
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç

ç
÷
÷
ç
ç
÷ è
÷
ç
ça n1 a n2 ...a nn ø
è0 0 ... a nn ø
trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới.
1.1.1.6. Ma trận chéo
æ
a11 0...0 ö
÷
ç
÷
ç
ç
÷
0 a 22 ...0÷
ç
÷
÷
(a ij = 0 " i ¹ j;i, j =1,2,...,n) được gọi là ma trận chéo.
D=ç
ç
÷
ç
÷

...
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è0 0...a nn ø
1.1.1.7. Ma trận đơn vị

æ
ö
1 0...0÷
ç
÷
ç
ç
0 1...0÷
÷
ç
÷
ç
÷
Ma trận I = ç
, ( a ii =1,i =1,2,...,n;a ij = 0 " i ¹ j ) được gọi là
÷
ç
÷

...
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
0
0...1
è
ø
ma trận đơn vị cấp n (kí hiệu là I hay In).
1.1.1.8. Ma trận đối
Ma trận − A = (− aij ) gọi là ma trận đối của ma trận A.
1.1.1.9. Ma trận bằng nhau
Cho hai ma trận A=[aij]m x n; B=[bij]m x n
Ta nói A = B Û a ij = bij " i =1,2,...,m; j =1,2,...,n.
1.1.1.10. Ma trận chuyển vị
2


A=[aij]m x n => A =[aji]n x m . Ta gọi ma trận AT là ma trận chuyển vị của
ma trận A.
Ví dụ 1: A =

→ A=

Ví dụ 2 : Tìm ma trận chuyển vị của ma trận sau
æ

2 4
ç
ç
ç
ç5 0
B=ç
ç
ç
1- 6
ç
ç
ç
è8 3

æ2
1- 1 ö
÷
ç
÷
ç
ç
3 7 ÷
÷
4
ç
T
÷
ç
B
=

÷
→
ç
ç
÷
9 10÷
1
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
0- 2 ø
è- 1

5 1
8ö
÷
÷
÷
0 - 6 3÷
÷
÷
÷
3 9
0÷
÷
÷

÷
÷
7 10 - 2ø

Chú ý:
• Ma trận chuyển vị AT là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách:
Trong ma trận A chuyển hàng thành cột hoặc chuyển cột thành hàng.
• Nếu AT = A thì A gọi là ma trận đối xứng.
• Nếu AT = -A thì A gọi là ma trận phản đối xứng.
1.1.2. Các phép toán trên ma trận
1.1.2.1. Nhân ma trận với một số
a. Định nghĩa: Cho A=[aij]m x n, k Î ¡ thì tích k.A là một ma trận cấp m x n
được xác định bởi k.A= [k.a] m x n
æ
2 4 1- 1 ö
÷
ç
÷
ç
ç
5 03 7 ÷
÷
ç
÷
÷
Ví dụ: Cho Ma trận A = ç
và Số k = 2. Tính k.A
ç
÷
ç

÷
1
6
9
10
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è8 3 0 - 2 ø
b. Tính chất: Cho k , h Î ¡ :
k.(A + B) = k.A + k.B
(k + h).A = k.A + h.A
1.A = A
-1.A = -A
0.A = 0 , 0 ∈ ¡
k.0 = 0, " k Î K,0 là ma trận không
k.(h.A) = (k.h).A
1.1.2.2. Cộng ma trận
a. Định nghĩa: A=[a]m x n; B=[b]m x n => A + B =[a+ b]m x n

3


é2 3 - 1 4 ù
ú+
Ví dụ: Tính: ê

ê
ú
5
1
3
2
ë
û

é1 - 3 2 - 2ù
ê
ú
ê
ú
1
4
1
3
ë
û

b. Tính chất: Nếu các ma trận A, B, C, 0 cùng cấp m x n, ta dễ dàng chứng
minh được các tính chất sau:
- Giao hoán: A + B = B + A
- Kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C)
- Tổng của ma trận với ma trận không: 0 + A = A + 0 = A
- Tổng của hai ma trận đối nhau :
Nếu gọi -A = [-aij]m x n thì ta có -A + A = 0
- Nhân số thực với tổng hai ma trận : k(A+B) = kA+kB, k ∈ R
- Nhân ma trận với tổng hai số thực: (k+h)A = kA + hA, k , h ∈ R

Ví dụ: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng.
Tháng 1

A

B

CH1

10 2

CH2

4

C

D

Tháng 2

A

CH1

12 4

20 10

CH2

10 3
é
12 4 20 10ù
ê
ú
ê
ú
10
3
15
15
ë
û

15 25

40 15

1

35 20
é
10 2 40 15 ù
ú+
C1 + C2 = ê
ê
ú
4
1
35

20
ë
û

B

C

D

1.1.2.3. Nhân ma trận với ma trận
a. Định nghĩa: Xét hai ma trận A=[a] m x p; B=[b]p x n, Người ta gọi tích
A.B là ma trận C=[c]m x n có m hàng và n cột, phần tử c được xác định như sau:
(tích này được tính theo quy tắc "dòng nhân cột").
p

cij = a i1b1j + a i2b 2 j + ...a ip b pj = å a ik b kj
k =1

é1 2 3 - 1ù
ú
é2 - 1 1ùê
ê
ú
ê
ú
2
1
1
0

Ví dụ: Tính: ê
ê
ú
ú
3
2
0
ë
ûê3 0 2 1 ú
ë
û
b. Một số tính chất: Với các giả thuyết các phép tính viết dưới dạng thực hiện
được, ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau:
(A.B).C = A.(B.C)
A.(B+C) = A.B + A.C
(B+C).A = B.A + C.A
k.(B.C) = (k.B).C = B.(k.C)
4


Phép nhân nói chung không có tính giao hoán
A=[a] => I.A = A.I = A
1.1.3. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối với ma trận được gọi là các phép
biến đổi sơ cấp:
1. h i « h j (ci « c j ) , tức là đổi chỗ hai hàng (hai cột) cho nhau;
2. h i ® l h j (ci ® l c j ), l ¹ 0 , tức là nhân vào hàng i (cột i) với số λ ≠ 0 ;
3. h i ® h i +l h j (ci ® ci +l c j ), l ¹ 0 , tức là cộng vào một hàng (cột) tích
của một hàng khác với một số λ tùy chọn.
BÀI TẬP

æ
1 3ö
÷
ç
æ
ö
æ
ö
÷
2
1
1
2
1
0
ç
÷. Tính:
÷
÷
ç
ç
2 6÷
÷, B = ç
÷, C = ç
Bài 1: Cho A = ç
ç
÷
ç
ç
÷

÷
ç
÷
è0 1 - 4ø
è- 3 2 2ø
ç
÷
÷
ç
è5 - 4ø
a. 3A + 2B;

b. A.B và B.A.

Bài 2: Tính:
æ
1 2 öæ
2 1öæ
7 3ö
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷;
a. ç
ç

ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
è3 4øè0 3øè1 2 ø

æ2 ÷
ö
ç
æ
ö
3
0
2
1
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷3÷
ç
ç
÷
÷
ç

ç
÷
b. ç4 1 5 3 ÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
1
ç
÷
ç
÷ç ÷
ç
÷
è3 1 - 1 2ø
÷
ç
è 4÷
ø

æö
3÷
ç
÷
ç
÷
ç

1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
2
c. ( 4 0 - 1 2 1) ç
;
÷
ç
÷
ç
÷
ç
2÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è0ø

æö

3÷
ç
÷
ç
÷
ç
1
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
2
( 4 0 - 2 5) .
d. ç
÷
ç
÷
ç
ç
÷
3÷
ç
÷
ç
÷
ç

÷
÷
ç
è4ø

Bài 3: Tính giá trị của đa thức f(A) với A là ma trận:
æ
2 1ö
2
÷
÷;
a. f (x) = 3x - 4, A = ç
ç
ç
÷
è0 3ø
æ
1 2ö
2
÷
ç
f
(x)
=
x
2x
+
3,
A
=

÷;
b.
ç
ç
÷
è3 - 1ø
æ
1 - 2 3ö
÷
ç
÷
ç
2
÷.
ç
c. f (x) = 3x - 2x + 5, A = ç2 - 4 1÷
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç3 - 5 2ø
è
5


æ
æ3 1 1 4 ö
2 - 1 3 0ö

÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
A
=
1
4
2
3
÷
B
=
6
1
2
1
÷
Bài 4: Cho hai ma trận
,
ç
ç

÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
è5 3 2 1 ø
è- 2 8 1 - 3ø
a. Lập các ma trận A + B, A - B, 2 A + 5B, 3 A - B
b. Tìm ma trận X sao cho 3( X + 2. A + B ) = X + 7. A - 2.B
c. Tìm các ma trận A.B; B.A
Bài 5: Thực hiện phép cộng các ma trận và nhân ma trận với một số
æ
æ
æ
- 1 0 1ö
1 2 3ö
5 4 3ö
÷
÷
÷
÷- 2ç

÷+ ç
÷
a. ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
è 0 1 - 1ø è4 5 6ø è8 7 15ø
æ
æ
æ7 - 8 9 ö
1 2 3ö
- 9 8 - 7ö
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç

÷
÷
÷
ç
ç
ç
+
2
6
5
4
÷
+
3
4
5
6
÷
b. ç4 5 6÷
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷

ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷ è
÷ è
÷
ç7 8 9ø
ç- 3 2 - 1ø
ç1 - 2 3 ø
è
æ
1 3 2 - 1ö
÷
÷
Bài 6: A.AT , với A = ç
ç
ç
÷
è2 1 1 3 ø
Bài 7: Tính AB – BA biết:
æ
1
a. A = ç
ç
ç
è1

æ
2ö
4 0ö
÷
÷
÷, B = ç
÷;
ç
ç
÷
÷
6ø
è2 - 2ø

æ2 3 1 ö
æ
1 2 1 ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
A

=
1
1
0
÷
,
B
=
1
2
3
÷.
b.
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç3 - 1 4ø
è 1 2 - 1ø

è

Bài 8: Tìm ma trận chuyển vị
æ3
7 12 - 9ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
a. ç- 5 2 6 - 3÷
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è9 - 1 0 1 ø

æ2
7 1 - 3ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
b. ç- 5 2 4 - 3÷

÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è0 - 1 0 1 ø

æ
ö
1 - 2 6÷
ç
÷
ç
÷
2 4 - 1÷
c. ç
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
8÷
è3 7
ø

æ

ö
2 - 1 3 0÷
ç
÷
ç
1 4 2 - 3÷
÷
d. ç
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è5 3 2 1 ÷
ø

1.2. Định thức
1.2.1. Khái niệm định thức

6


éa11 a12 ... a1n ù
ê
ú
êa 21 a 22 ... a 2n ú
ú. Xét phần tử aij của A, bỏ
Cho ma trận vuông cấp n: A = ê

ê...
ú
...
...
...
ê
ú
êa
ú
a
...
a
nn û
ë n1 n2
đi dòng i và cột j của A ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma
trận con con ứng với phần tử aij (i,j = 1, 2, 3, ..., n).
éa11 a12
ê
êa 21 a 22
A
=
Ví dụ 1:
ê
êa 31 a 32
ë

a13 ù
ú
a 23 ú. Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A
ú

a 33 ú
û

Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A là
éa
M11 = ê 22
êa 32
ë

éa
éa
a 23 ù
a ù
a ù
ú;M12 = ê 21 23 ú; M13 = ê 21 22 ú
êa 31 a 33 ú
êa 31 a 32 ú
a 33 ú
û
ë
û
ë
û

éa
M 21 = ê 12
êa 32
ë

éa

éa
a13 ù
a ù
a ù
ú;M 22 = ê 11 13 ú; M 23 = ê 11 12 ú
êa 31 a 33 ú
êa 31 a 32 ú
a 33 ú
û
ë
û
ë
û

éa
M 31 = ê 12
êa 22
ë

éa
éa
a13 ù
a ù
a ù
ú;M32 = ê 11 13 ú; M 33 = ê 11 12 ú
êa 21 a 23 ú
ê
a 23 ú
ëa 21 a 22 ú
û

û
ë
û

éa11 a12
ê
êa 21 a 22
Định nghĩa 1: Cho một ma trận A vuông cấp n: A = ê
ê...
...
ê
êa
ë n1 a n2

... a1n ù
ú
... a 2n ú
ú.
... ... ú
ú
... a nn ú
û

Định thức của A, ký hiệu det(A) hoặc A được định nghĩa như sau:
* Định thức cấp 1: A = [a11] thì det(A) = a11
éa11 a12 ù
a
a
úthì det(A) = 11 12 = a11a 22 - a12a 21
* Định thức cấp 2: A = ê

ê
a 21 a 22
ëa 21 a 22 ú
û
Ví dụ 2: Tính định thức D =
Giải: Ta có D =

1 6
2 14

1 6
=1.14 - 6.2 = 2 .
2 14

x2
Ví dụ 3: Giải phương trình:
9

25
=0
4

Giải:
7


x2
Ta có
9

25
= 4x 2 - 25.9
4

Do đó phương trình đã cho có dạng:
4x 2 - 25.9 = 0 Û x 2 =

25.9
±15
Û x=
.
4
2

* Định thức cấp 3:
a11 a12
det A = a 21 a 22
a 31 a 32

a13
a 23 =
a 33

= a11.a 22 .a 33 + a12 .a 23.a 31 + a13.a 21.a 32 - a13.a 22 .a 31 - a12 .a 21.a 33 - a11.a 23.a 32
Quy tắc Sarrus: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3
phần tử mà mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất.
* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo
chính hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh
song song với đường chéo chính.
* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo

phụ hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh
song song với đường chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta
thường dùng “quy tắc Sarrus” sau:
•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Dấu +

Dấu -

Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định
thức cấp 3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc
ghép thêm dòng thứ nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các
phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình:
Dấu -

Dấu +

a1
a2
a3
a1
a2

b1
b
2

Dấu
b3

-

b1
b2+
Dấu

c1
c2
c3
c1
c2

8


1 - 2 3
Ví dụ 4: Tính định thức D 3 = 2 0 1
2 - 2 1
Giải: Ta có ∆ 3 = 1.0.1 + (-2).1.2 + 3.2.(-2) – 3.0.2 – (-2).2.1 – 1.1.(-2) = -10.
x2
Ví dụ 5: Giải phương trình 1
4

x 1
1 1 =0
2 1

Giải:
x2
Ta có 1
4

x 1
1 1 = x 2 - 3x + 2 . Do đó PT Û x 2 - 3x + 2 = 0 Û
2 1

éx =1
ê
.
ê
ëx = 2

• Định thức cấp n (n ≥ 3 ):
n

det(A) =

å

j=1

a ij (- 1)i+ j det(M ij ) (với i bất kỳ) (Khai triển định thức theo dòng

i)
n

hoặc det(A) =

å

i=1

a ij (- 1)i+ j det(M ij ) (với j bất kỳ) (Khai triển định thức theo cột

j)
2011

0

2010 x 2
Ví dụ 6: Giải phương trình :
2009 1
2008 4
2011

0

2010 x 2
Giải: Đặt D 4 =
2009 1
2008 4
x2
D 4 = 2011.(- 1)1+1. 1
4

0 0
x 1

=0
1 1
2 1

0 0
x 1
. Khai triển định thức theo dòng 1:
1 1
2 1

x 1
x2
1 1 = 2011. 1
2 1
4

x 1
1 1 . Dùng định nghĩa định thức
2 1

cấp ba, thu được

9


éx =1
2
D 4 = 2011(x 2 - 3x + 2) . Khi đó PT Û x - 3x + 2 = 0 Û ê
.
ê

ëx = 2
1.2.2. Tính chất của định thức
A =[aij]n x n với ∆ n = det(A)
Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu:

( a i1 a i2 ....a ij....a in ) = ( bi1 bi2 ....bij....bin ) +( ci1 ci2 ....cij....cin ) ;a ij = bij + cij (" j =1,n)
Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dòng khác nếu
n

a ij = å a k a kj ( " j =1,n)
k =1
k¹ i

n

. Ký hiệu

di = å a k d k
k =1
k¹ i

; dk = (ak1 ak2 ... akn)

Tính chất 1: (Tính chất chuyển vị)
Định thức của ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó:
det(AT) = det(A)
éa bù
ú. CMR det(AT) =det(A)
Ví dụ 1: Cho A = ê
ê

ëc d ú
û
Giải: Ta có det(A) =

a b
a c
= ad - bc . Suy ra đpcm.
= ad- bc và det(AT) =
c d
b d

Chú ý: Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì
cũng đúng cho cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ
phát biểu cho các dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ
"dòng" bằng chữ "cột".
Tính chất 2: (Tính phản xứng)
Đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi
dấu.
Ví dụ 2: So sánh hai định thức: D =

a b
c d
'
và D =
c d
a b

Giải: Ta có D = ad – bc và D’= bc- ad = -D
Hệ quả 1: Một định thức có hai dòng giống nhau thì bằng không.
Chứng minh

Gọi định thức có hai hàng như nhau là ∆ n . Đổi chỗ hai hàng đó ta được, theo
tính chất 2 ta có
∆ n = - ∆ n ⇔ 2∆ n = 0 ⇒ ∆ n = 0

Tính chất 3: (Tính thuần nhất)
10


Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số k thì được định thức
mới bằng k lần định thức cũ
a11 a12
...
...
ka i1 ka i2
...
...
a n1 a n2

... a1n
a11 a12
... ...
... ...
... ka in = k. a i1 a i2
... ...
... ...
a n1 a n2
... a nn

... a1n
... ...

... a in
... ...
... a nn

Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử
chung thì đưa nhân tử chung ra ngoài dấu định thức
Hệ quả 2: Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không.
Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một
định thức có hai dòng giống nhau nên nó bằng không.
Ví

dụ 3: Chứng minh
12 - 2 6
7
17 - 68 34 - 204
D4 =
2
1
1
- 4
6
7
11
9

định

thức

sau

chia

hết

cho

17:

Giải:
12
- 2
6
7
12 - 2 6
7
17.1 17.(- 4) 17.2 17.(- 12)
1 - 4 2 - 12
=17.
=17.D .
Ta có D 4 =
2
1
1
- 4
2 1 1 - 4
6
7
11
9

6 7 11 9
Vì D là định thức tạo bởi các số nguyên nên D cũng là số nguyên. Do đó ∆ 4 17
Tính chất 4: (Tính cộng tính)
Nếu định thức có một dòng là tổng hai dòng thì định thức bằng tổng của hai định
thức.
a11
a12
L
L
bi1 + ci1 bi2 + ci2
L
L
a n1
a n2

L
L
L
L
L

a1n
a11 a12
L
L
L
bin + cin = bi1 bi2
L
L
L

a nn
a n1 a n2

L
L
L
L
L

a1n
a11 a12
L
L
L
bin + ci1 ci2
L
L
L
a nn a n1 a n2

L
L
L
L
L

a1n
L
cin
L

a nn

Hệ quả 3: Nếu định thức có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì
định thức ấy bằng không.
Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất.
11


Hệ quả 4: Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì
định thức không đổi.
Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên
ma trận trong quá trình tính định thức cấp n:
* Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: di « d j (ci « c j ) , phép biến đổi này định thức
đổi dấu
* Nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kd i (kc i ) , phép biến đổi này định thức
tăng lên k lần.
* Nhân một dòng (cột) với một số cộng vào dòng (cột) khác: hdi + d j (hci + c j ) ,
phép biến đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức.
a
b
c
a'
b'
c'
Ví dụ 4: Tính định thức D 3 =
ax + a ' y bx + b' y cx + c' y
Giải:
Nhân dòng 1 với (-x), dòng 2 với (-y) cộng vào dòng 3 ta được:
a b c
- xd1 - yd 2 +d 3

D3
=
a ' b' c' = 0
0 0 0

Ví dụ 5: Tính định thức D 4 =

a2

b2

c2

d2

(a +1) 2

(b +1) 2

(c +1) 2

(d +1) 2

(a + 2) 2

(b + 2) 2

(c + 2) 2

(d + 2) 2

(a + 3) 2

(b + 3)2

(c + 3) 2

(d + 3) 2

Giải:
Nhân dòng 1 với (-1), rồi cộng lần lượt vào dòng 2, dòng 3, dòng 4 được:
a2
b2
c2
d2
- d1 +d i
2a +1 2b +1 2c +1 2d +1
D4 =
i=2,3,4 4a + 4 4b + 4 4c + 4 4d + 4
6a + 9 6b + 9 6c + 9 6d + 9
Sau đó nhân dòng 2 với (- 2) cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với (-3) cộng vào
dòng 4 được:

12


D4

- 2d 2 +d 3

=

- 3d 2 +d 4

a2
b2
c2
d2
2a +1 2b +1 2c +1 2d +1
= 0 (vì có 2 dòng tỷ lệ nhau)
2
2
2
2
6
6
6
6

a
b
Ví dụ 6: Tính định thức D 4 = c
a +b
2

b
c
a
b +c
2

c
a
b
c +a
2

1
1
1
1

Giải:
a + b + c +1
a + b + c +1
Cộng các cột vào cột 1 ta được: D 4 = a + b + c +1

b
c
a
b +c
a + b + c +1
2

c
a
b
c +a
2

1
1
1
1

Đặt nhân tử chung của cột 1 ra ngoài:
1
1
D 4 = (a + b + c +1). 1

b
c
a
b +c
1
2

c
a
b
c +a
2

1
1
1 =0
1

1.2.3. Các phương pháp tính định thức
Cho định thức cấp n:

a11 ... a1j ... a1n
...
D n = a i1

... ...
... a ij

... ...
... a in

... ... ... ... ...
a n1 ... a nj ... a nn
a) Phương pháp khai triển (Sử dụng định nghĩa)
• Phần bù đại số của aij
Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử aij ) của A ta được
một ma trận con (n - 1), kí hiệu là M ij . Định thức của M ij được gọi là định thức
i+ j
con cấp n -1 tương ứng với phần tử a ij của A và A ij = (−1) det(M ij ) được gọi là
13


phần bù đại số của phần tử aij của định thức d. Cho định thức cấp n là ∆ n . Khi
đó ∆ n có thể tính theo hai cách sau:
i) Công thức khai triển theo dòng thứ i :
n

D n = å a ij (- 1)
j=1

i+ j

n

.det(Mij ) = å a ijAij (1)
j=1

ii) Công thức khai triển theo cột thứ j:
n

n

i=1

i=1

D n = å a ij (- 1)i + j.det(Mij ) = å a ijAij (2)
Hệ quả: Đối với định thức cấp n là ∆ n , ta có
ìïï D n khi i = k
a
A
=
i) å ij kj í
(3)
ïïî 0 khi i ¹ k
j=1
n

ïì D khi j = k
a ijA ik = ïí n
(4)

ïïî 0 khi j ¹ k
i=1
n

ii)

å

Nhận xét: Mục đích của công thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức
cấp n về tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến
định thức cấp 3, cấp 2. Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dòng
hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0 nhất để khai triển. Nếu không có dòng hoặc
cột như vậy ta biến đổi định thức đưa về định thức mới bằng định thức ban đầu
nhưng có dòng hoặc cột như vậy.
2 1 1
Ví dụ 7: Tính định thức: a) D 3 = 3 - 1 2
4 5 0

1 2 - 1
b) D 3 = 3 1 2
- 1 2 4

Giải:
a) Khai triển định thức theo dòng 3 ta có:
D 3 = 4.(- 1)3+1.

1 1
2 1
+ 5.(- 1)3+2 .
+ 0 =12 - 5 = 7

- 1 2
3 2

b) Khai triển định thức theo cột 1 ta có:
D 3 =1.(- 1)1+1.

1 2
2 - 1
2 - 1
+ 3.(- 1) 2+1.
+ (- 1)(- 1)3+1.
= 0 - 30 - 5 =- 35
2 4
2 4
1 2

14


1
1
0
5
1
- 1 3
1
3
0
Ví dụ 8: Tính định thức: a) D 4 =
b) D 4 =

2 - 4 - 1 - 3
0
3 - 5 2
1
2

0
1
0
3

0 2
0 - 3
1 4
4 11

Giải:
a) Nhân cột 1 với (-1) cộng vào cột 2, nhân cột 1 với (-5) cộng vào cột 4; rồi
khai triển định thức theo cột 1, ta được
1
0
0
0
4
1
8
4
1
8
- c1 +c2 - 1

4
1
8
D4 =
=1.(- 1)1+1. - 6 - 1 - 13 = - 6 - 1 - 13
- 5c1 +c 4 2
- 6 - 1 - 13
- 8 2 - 14 - 8 2 - 14
3 - 8 2 - 14
Cộng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 với (-2) cộng vào dòng 2, rồi khai
triển định thức theo cột 2 ta được:
D4

4
1
8
- 2 - 5
= - 2 0 - 5 =1.(- 1)1+2 .
= 20
2d1 +d 3
- 16 - 30
- 16 0 - 30

d1 +d 2
-

b) Nhân cột (-2) với cột 1 rồi cộng với cột 4
1
0
D4 =

0
2

0
1
0
3

0 0
0 - 5
1 4
4 9

Khai triển định thức theo dòng 1 ta được
1
0
D4 =
0
2

0
1
0
3

0 0
1 0 - 5 1 0 - 5
0 - 5
=1.(- 1)1+1. 0 1 4 = 0 1 4
1 4

3 4 9
3 4 9
4 9

Nhân cột 1 với 5 cộng vào cột 3, khai triển định thức theo dòng 1 ta được
1 0 0
1 4
D 4 = 0 1 4 =1.(- 1)1+1.
= 24 - 16 = 8
4 24
3 4 24
Ví dụ 9: Tính định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới

15


a11 a12
0 a 22
a. D n = ... ...
0
0
0

0

... a1n- 1
a1n
... a 2n - 1
a 2n
...

...
...
... a n- 1n- 1 a n- 1n
...

a11
0
a 21
a 22
...
b. D n = ...
a n- 11 a n- 12
a n1

a n2

0

a nn

...
0
...
0
...
...
... a n - 1n- 1
...

a n n- 1

0
0
...
0
a nn

Giải:
Ta chỉ cần xét ý a Lần lượt khai triển định thức theo cột 1 :
a11 a12
0 a 22
D n = ... ...
0
0
0

0

... a1n - 1
a1n
a 22
... a 2n - 1
a 2n
...
...
...
... = a11.(- 1)1+1.
0
... a n- 1n- 1 a n- 1n
0

...
0
a nn

...

a 2 n- 1

a 2n

...
...
...
=
... a n- 1n- 1 a n- 1n
...

0

a nn

= ... = a11.a 22 ...a nn
a11
0
a 21
a 22
...
Tương tự, ta có D n = ...
a n- 11 a n- 12
a n1

a n2

...
0
...
0
...
...
... a n - 1n - 1
...

a n n- 1

0
0
... = a11a 22 ...a nn
0
a nn

b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:
Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức về
định thức của ma trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng công thức:

16


a11 a12
0 a 22
... ...

0
0
a11 0
a 21 a 22
...
...
a n1 a n2

... a1n
... a 2n
= a11.a 22 ...a nn
... ...
... a nn

hoặc

... 0
... 0
= a11.a 22 ...a nn
... ...
... a nn

Ví dụ 10: Tính các định thức:
1
2
3
4
- 1 0
3
4

4
a) D 5 = - 1 - 2 0
- 1 - 2 - 3 0
- 1 - 2 - 3 - 4
1
a1
a2
1 a1 + b1
a2
D5 = 1
a1
a 2 + b2
1
a1
a2
1
a1
a2

5
5
5
5
0

b)

a3
a4
a3

a4
a3
a4
a 3 + b3
a4
a3
a 4 + b4

Ví dụ 11: Tính các định thức:
0
1
1
a) D 6 =
1
1
1

1
0
x
x
x
x

1
x
0
x
x
x

1
x
x
0
x
x

1
x
x
x
0
x

1
x
x
x
x
0

a
x
x
b) D 6 =
x
x
x

x
a
x
x
x
x

x
x
a
x
x
x

x
x
x
a
x
x

x
x
x
x
a
x

x
x

x
x
x
a

Giải: a)
• Nếu x = 0, khai triển định thức theo dòng 1, suy ra ∆ 6 = 0
• Nếu x ≠ 0, nhân cột 1, dòng 1 với x, rồi cộng các dòng vào dòng 1và đặt nhân
tử chung (n -1) ra ngoài ta được:

17


0
x
1 x
D6 = 2 .
x x
x
x

x
0
x
x
x
x

x
x

0
x
x
x

x
x
x
0
x
x

x
x
x
x
0
x

x
x
x
x
x
5 x
= 2.
x x x
x
x
0

x

x
0
x
x
x
x

x
x
0
x
x
x

x
x
x
0
x
x

x
x
x
x
0
x

x
x
x
x
x
0

Nhân dòng 1 với (-1) rồi cộng vào các dòng khác ta được:
x x
x
x
x
x
0 - x 0
0
0
0
0
0
5 0 0 - x 0
5
D6 = 2 .
= 2 .x(- x)5 =- 5x 3
0 - x 0
0
x 0 0
x
0 0
0
0 - x 0

0 0
0
0
0 -x
b) Cộng các cột vào cột 1, rồi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu định thức ta được
a + 5x x x ...
a + 5x a x ...
a + 5x x a ...
D6 =
...
... ... ...
a + 5x x x ...
a + 5x x x ...

x
x
x
...
a
x

x
1
x
1
x
1
= [ a + 5x ].
...
...

x
1
a
1

x
a
x
...
x
x

x
x
a
...
x
x

...
...
...
...
...
...

x
x
x
...

a
x

x
x
x
...
x
a

Nhân dòng 1 với (-1) và cộng vào các dòng 2, dòng 3, …, dòng n ta được
1
x
x
0 a- x
0
0
0
a- x
D n = [ a + 5x ].
...
...
...
0
0
0
0
0
0

...
x
x
...
0
0
...
0
0
= [ a + 5x ].(a - x)6
...
...
...
... a - x
0
...
0
a- x

BÀI TẬP
Bài: Tính các định thức cấp hai sau
a.

1 2
4 5

b.

a b
c d

c.

d.

a +b a - b
a - b a +b

e.

tga - 1
1
tga

f.

cosa - sin a
sin a
cosa
1

log b a

log a b

1
18


Bài 2: Tính các định thức cấp ba sau

0 11
a. 1 0 1
11 0

1 2 2
b. 1 3 0
7 6 5

2 1 9
c. - 3 4 0
- 1 2 3

246 427 327
d. 1014 543 443
- 342 721 621

1
0 - 1 - 1
0 - 1 - 1 1
e.
a
b
c
d
- 1 - 1 1
1

2
1
f.

1
- 1

5
1
g. 0
0
0

6
5
1
0
0

0
6
5
1
0

0
0
6
5
1

1
2
1

1

1
1
2
1

a
b
c
d

0
0
0
6
5

2 0 9
Bài 3: Chứng minh định thức 3 4 7 chia hết cho 19, biết rằng 209, 347, 133
1 3 3
chia hết cho 19.
1.3. Ma trận nghịch đảo
1.3.1. Định nghĩa ma trận nghịch đảo
a. Ma trận suy biến: Ta gọi ma trận vuông A cấp n là một ma trận không
suy biến nếu det(A) ≠ 0.
b. Định nghĩa
Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n thoả mãn:
A.B = I thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.
Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả nghịch.

Ký hiệu: B = A-1, nghĩa là ta có A. A-1 = A-1.A= I
1.3.2. Tính chất
a. Định lý: Nếu A khả nghịch thì A-1 là duy nhất.
b. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo

19


Định lý: Nếu det(A)≠0 thì ma trận A có nghịch đảo A-1 được tính bởi công
thức sau:
éC11 C21
ê
C22
1
1 êC
A- 1 = CT = ê 12
...
A
Aê
ê...
êC
ë 1n C2n

... Cn1 ù
ú
... Cn2 ú
ú
... ... ú
ú
... Cnn ú

û

Trong đó Cij là phần bù đại số của phần tử a

.

1.3.3. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo:
a. Phương pháp dùng định thức:
éA = 0 : $A- 1
ê
+ Bước 1: Tính A , ê
- 1
ê
ëA ¹ 0 : $A
+ Bước 2: Tính các C và lập ma trận CT;
+ Bước 3: Lập ma trận A-1.
é 3 1 2ù
ê
ú
ê
ú
A
=
2
1
1
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
ê
ú
ê0 2

ú
1
ë
û
Giải :
- Bước 1: A = 3 ¹ 0 do đó A có ma trận nghịch đảo.
- Bước 2: Ta có:
C11 = ( - 1)

1+1

C13 = ( - 1)

1+3

C22 = ( - 1)
C31 =

.

2+2

1 - 1
=3;
2 1

C12 = ( - 1)

1+2

.

- 2 - 1
=2;
0
1

- 2 1
=- 4 ;
0 2

C21 = ( - 1)

2+1

.

1 2
=3;
2 1

3 2
= 3;
0 1

C23 = ( - 1)

2+3

.

1 2
3
2
=- 3 ; C32 ==- 1 ;
1 - 1
- 2 - 1

C33 =

.

3 1
=- 6
0 2

3 1
=5
- 2 1

 3 3 −3 
⇒ C =  2 3 −1 ÷
÷
 −4 −6 5 ÷


T

20

æ
ö
÷
ç
ç
1
1 - 1÷
÷
ç
÷
æ3
ö
3
3
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
1ç
2
1
÷
- 1
÷
ç

÷
ç
A
=
2
3
1
÷
=
1
Bước 3 :
÷
ç
ç
÷
÷
ç
÷
3ç
3
3
÷
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
5ø ç

è- 4 - 6
÷
- 4
5÷
ç
÷
ç
2
÷
ç
è3
ø
3÷
1.3.5. Một số tính chất của ma trận nghịch đảo
+) (A-1)-1 =A;
−1

+) A−1 = A ;
+) (AB)-1 = B-1A-1.
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm các ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận sau
æ
1 2ö
÷
÷
a. ç
ç
÷
ç2 5ø
è

æ
1 2 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
b. ç2 1 - 2÷
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è2 - 2 1 ø

æ
1 2 - 3ö
÷
ç
÷
ç
ç
÷
c. ç0 1 2 ÷
÷
ç

÷
ç
÷
÷
ç0 0 1 ø
è

æ
1 - 2 3ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
d. ç0 1 - 2÷
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç1 - 2 4 ø
è

Bài 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau :
æ
3 - 1ö
÷
÷

a. ç
ç
÷
ç5 2 ø
è

æ
cosx - sinx ö
÷
÷
b. ç
ç
÷
çsinx cosx ø
è

æ
2 5
7ö
÷
ç
÷
ç
ç
4÷
÷
d. ç6 3
÷
ç
÷

ç
÷
÷
ç5 - 2 - 3ø
è

æ
1 2
2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
e. ç2 1 - 2÷
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç2 - 2 1 ø
è

æ
1 - 2 - 1ö
÷
ç
÷

ç
ç
5÷
÷
c. ç2 4
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
2ø
è3 2

æ
3 2 2ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
Bài 3: Cho ma trận A = ç1 3 1 ÷
÷
ç
÷
ç
÷
÷

ç
è5 3 l ø
a. Tìm tham số λ sao cho A có ma trận nghịch đảo ;
b. Với l = 4 , hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A.
T
Bài 4: Cho A là ma trận vuông cấp n có A = 2 . Hãy tính C .

21


Bài 5: Chứng minh rằng nếu A = 2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo A -1
không thể gồm toàn các số nguyên.
1.4. Hạng của ma trận
1.4.1. Định nghĩa hạng của ma trận
1.4.1.1. Định nghĩa định thức con của ma trận A
Trong ma trận A = (a )mxn, chúng ta xác định một ma trận vuông cấp s
bằng cách lấy đi các phần tử nằm ở giao của s hàng và s cột bất kì
(s £ min(m,n)) . Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp s của
ma trận A.
j j ...j
Kí hiệu: Di11i 22...iss , trong đó ik là các chỉ số dòng và jk là các chỉ số cột đã

chọn ( k = 1, s ).
1.4.1.2. Định nghĩa hạng của ma trận A
a. Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác
không của A.
Nếu r là hạng của ma trận nếu:
+ Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0.
+ Mọi định thức con cấp lớn hơn r trong ma trận A đều bằng 0.
+ Ký hiệu: rankA = r hoặc r(A)

b. Ma trận bậc thang
+ Một dòng của ma trận được gọi là dòng 0 nếu nó chỉ gồm những phần tử 0.
+ Ngược lại, nếu một dòng của ma trận có ít nhất một phần tử khác 0 thì được
gọi là dòng khác 0.
+ Phần tử khác 0 đầu tiên của một dòng được gọi là phần tử chính của dòng đó.
Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang khi thoả mãn các điều kiện sau:
+ A không có dòng 0 hoặc dòng 0 luôn ở dưới các dòng khác 0.
+ Nếu A có ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng khác 0 tuỳ ý của A,
phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòng
trên.
éa11 a12
ê
ê0 a 22
ê
A=ê
...
ê...
ê0
0
ê
ê0
0
ë
1.4.1.3. Định lý về hạng của ma trận

...
...
a rr
0
0

...
...
...
...
...

a1n ù
ú
a 2n ú
ú
a rn ú
ú
0 ú
ú
0 ú
û

22


Định lí: Cho A, B là hai ma trận cùng cấp. Nếu B là ma trận nhận được từ A
sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp thì rankA = rankB.
Hệ quả: Hạng của ma trận A bằng số dòng khác không của ma trận dạng bậc
thang thu được từ A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp.
1.4.2. Phương pháp tìm hạng của ma trận
1.4.2.1. Phương pháp định thức bao quanh
Xuất phát từ một định thức con D ≠ 0 cấp s của ma trận (thường bắt đầu với
s=2), ta xét các định thức con cấp s+1 bao quanh D. Nếu không tồn tại các định
thức này, hoặc tất cả các định thức này đều bằng 0, thì hạng của ma trận bằng s.

Ngược lại nếu tồn tại một định thức con D cấp s+1 bao quanh D ≠ 0 thì ta lặp lại
cách làm trên với D .
1.4.2.2. Phương pháp biến đổi ma trận
Dùng các phép biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận ban đầu về dạng ma trận bậc
thang.
æ
1 2 3 4 ö
÷
ç
÷
ç
÷
5 6 7 8÷
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận sau bằng hai phương pháp : A = ç
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è9 10 11 12ø
Giải:
- Phương pháp định thức bao quanh: xuất phát từ định thức cấp hai:
D1,2
1,2 =

1 2
=- 4 ¹ 0

5 6

Ta kiểm tra hai định thức cấp ba bao quanh:
D1,2,3
1,2,3

1 2 3
1 2 4
1,2,4
= 5 6 7 = 0 và D1,2,3 = 5 6 8 = 0
9 10 11
9 10 12

Vậy r(A) = 2.
- Phương pháp biến đổi ma trận:
æ
æ
æ
1 2 3 4 ö
1 2 3
4 ö
1 2 3
4 ö
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷

÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
5 6 7 8÷
(1)
0
4
8
12
÷
(2)
0
4
8
12
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷

u
u
r
u
u
r
ç
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷ è
÷ è
÷
ç
ç0 - 8 - 16 - 24ø
ç0 0 0 0 ø
è9 10 11 12ø
(1) Nhân lần lượt hàng 1 với (-5), (-9) rồi cộng vào hàng 2 và 3;
(2) Nhân hàng hai với (-2) rồi cộng vào dòng 3.
Ma trận sau khi biến đổi có r(A) = 2.
BÀI TẬP
23

Bài 1: Tìm hạng của các ma trận sau
æ
1 3
ç
ç
ç
ç2 1
a. ç
ç
ç
6 7
ç
ç
ç
è8 9
æ
1
ç
ç
ç
ç2
c. ç
ç
ç
3
ç
ç
ç

è4

2
3
4
1

5ö
÷
÷
4÷
÷
÷
÷;
÷
0÷
÷
÷
÷
÷
3ø

3
4
2
2

æ
1 2 3 0 - 1ö
÷

ç
÷
ç
÷
ç
0
1
1
1
0
÷
b. ç
;
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è1 3 4 1 - 1 ø

4ö
÷
÷
1÷
÷
÷
÷;
÷

1÷
÷
÷
÷
÷
3ø

æ
11 0 0 0
ç
ç
ç
ç0 1 1 0 0
d. ç
ç
ç
0 0 1 1 0
ç
ç
ç
è1 0 0 0 1

0ö
÷
÷
0÷
÷
÷
÷.
÷

0÷
÷
÷
÷
÷
1ø

Bài 2: Tìm hạng của ma trận sau tùy theo giá trị của λ
æ
7 - l - 12
ç
ç
10 - 19 - l
a. ç
ç
ç
ç
ç
- 24
è12
æ
l
ç
ç
ç
ç1
c. ç
ç
ç
1

ç
ç
ç
è1

1
l
1
1

1
1
l
1

6
10
13 - l

ö
÷
÷
÷;
÷
÷
÷
÷
÷
ø

1ö
÷
÷
÷
1÷
÷
÷;
÷
1÷
÷
÷
÷
÷
lø

æ
1 l - 1 2ö
÷
ç
÷
ç
÷;
ç
b. ç2 - 1 l 5÷
÷
ç
÷
ç
÷
÷

ç
è1 10 - 6 1 ø
æ
-l 1 2
ç
ç
ç
ç 1- l 3
d. ç
ç
ç
2 3- l
ç
ç
ç
è3 2 1 -

3
2
1
l

1ö
÷
÷
÷
1÷
÷
÷.
÷

1÷
÷
÷
÷
÷
1ø

1.5. Hệ phương trình tuyến tính
1.5.1. Các khái niệm
Định nghĩa 1: Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn là hệ có
dạng
ìï a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
ïï
ïï a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2
í
ïï ..................................................
ïï
ïî a m1x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m

(I)

trong đó aij (i =1,m; j =1,n) , bi (i =1,m) là các số thực cho trước; x 1, x2, …, xn
là n ẩn số cần tìm; các bi (i =1,m) được gọi là các hệ số tự do.
• Nếu hệ (I) có số phương trình bằng số ẩn (m = n) thì hệ (I) được gọi là hệ
vuông.
• Nếu b1 = b2 = … = bm = 0 thì hệ (I) được gọi là hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất.

24

• Nghiệm của hệ (I) là một bộ n số (c1, c2, …, cn) sao cho khi thay thế
x1 = c1, x2 = c2, …, xn = cn vào (I) thì ta được m đồng nhất thức. Có thể viết
éc1 ù
ê ú
êc2 ú
ú
nghiệm dưới các dạng sau: (c1, c2, …, cn) hoặc ê
ê... ú.
ê ú
êc ú
ën û
• Giải hệ (I) là ta đi tìm tất cả các nghiệm của hệ (I).
• Ta gọi ma trận
éa11 a12 ... a1n ù
ê
ú
êa 21 a 22 ... a 2n ú
ú
A= ê
ê...
ú
ê
ú
êa
ú
ë m1 a m2 ... a mn û
là ma trận các hệ số của hệ (I).
Ma trận
éa11 a12

ê
êa 21 a 22
A% = ê
ê...
...
ê
êa
ë m1 a m2

... a1n : b1 ù
ú
... a 2n : b 2 ú
ú
... ...
... ú
ú
... a mn : b m ú
û

được gọi là ma trận bổ sung của hệ (I).
Định nghĩa 2. Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng
tập nghiệm. Các phép biến đổi của hệ phương trình mà không làm thay đổi tập
nghiệm của hệ đó được gọi là phép biến đổi tương đương của hệ phương trình.
Trong quá trình giải hệ phương trình, chúng ta thường dùng các phép biến đổi
sau :
- Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau
- Nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0
- Nhân hai vế của một phương trình với một số tuỳ ý rồi cộng vào phương trình
khác vế theo vế.
Chú ý 1. Các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình trên chính là các

phép biến đổi sơ cấp về dòng đối với ma trận bổ sung của hệ đó.
1.5.2. Dạng ma trận, dạng véc tơ của hệ phương trình tuyến tính
Đặt

25