China MO 2010

China National Olympiad 2010

1. Các đường tròn
thẳng qua
qua

cắt

và

khác cắt
cắt

và

và
và

,

,

tại các điểm
tại các điểm

tại các điểm

điểm của các cung nhỏ
,

cắt nhau tại hai điểm

and

và

,

and

tương ứng. Đường thẳng

tương ứng. Cho

và

là trung
, thì

được xác định như sau:

, nếu

Chứng minh rằng dãy

;

, nếu

.

là các số phức thoả mãn với mỗi số phức , nếu

, thì

.

là các số nguyên cho trước lớn hơn .

là các số

nguyên cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một tập con của
bởi

, sao cho
thoả mãn

,

chứa vô hạn số nguyên tố.

. Tìm giá trị lớn nhất của
và

tương ứng. Đường thẳng

. Chứng minh rằng nếu

là một số nguyên. Dãy

và với mỗi

4.

. Một đường

đồng viên.

2. Cho

3. , và

and

và

và với mỗi

ký hiệu

, tồn tại

và

.

5. Ta có thể di chuyển các tấm thẻ tại các điểm

và điểm

Một bước di chuyển có thể thực hiện như sau:

(1) Nếu có ít nhất

tấm thẻ tại điểm

(

), thì lấy

tấm thẻ từ

.


và đặt chúng vào các điểm

(2) Nếu có ít nhất

tấm thể tại

chúng vào các điểm

,

và

, tương ứng.

, thì lấy

tấm thẻ từ điểm

và đặt

, tương ứng.

Chứng minh rằng nếu có không ít hơn

tấm thể trên toàn bộ

điểm, thì ta có thể thực hiện một số hữu hạn các di chuyển trên để
có không ít hơn
6. Cho

tấm thẻ tại mỗi điểm.
là các số nguyên dương đôi một khác nhau sao

cho với mỗi số nguyên dương ,

Chứng minh rằng có số nguyên dương

sao cho

với

.