RÚT GỌN CĂN THỨC CÓ ĐÁP ÁN

GV. Nguyễn Quốc Dũng

Đại số 9

RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến
đổi đơn giản như. đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và
trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn.
Bài 1.
Cho A=  a  1  a  1  4 a  .  a  1  với x>0 ,x  1

 a 1
 
a 1
a


a) Rút gọn A
HD. a) A= 4a(a+1)/(a-1)
Bài 2. Cho A = x  2  x  1  1
với x  0 , x  1.
x x 1 x  x  1 1  x

a . Rút gọn A.

HD. a)A =

x
x  x 1

Bài 3.

Cho A=  x  x  7 

x4



1   x 2
x 2 2 x 


 : 

x 2  x 2
x  2 x  4 

a)Rút gọn A.

b)So sánh A với

1
A

 x  9  0  A  1
1
b)XÐt hiÖu: A  ... 
A
A
6 x  x  9
2

HD. a) A = x  9
6 x
Bài 4.
Cho A=

với x > 0 , x  4.

 x 3 x   9 x
x 3
x 2
 1 : 




x 2
x  3 
 x 9
  x x 6

a)Tìm x để biểu thức A xác định.

b)Rút gọn A.
3
b)A=
x 2

a) x  0 , x  9, x  4

Bài 5. Cho A = 15 x  11  3 x  2  2 x  3 với x  0 , x  1.

x  2 x 3

1 x

x 3

HD. a)A = 2  5 x

a)Rút gọn A.
Bài 6. Cho A = 

x xy y
x y

 :
 x y
yx



a)Rút gọn A.
HD. a) A 

xy
x  xy  y

Bài 7. Cho A =
a) Rút gọn A.



x y



x 3

2

 xy

với x  0 , y  0, x  y

x y

b)CMR . A  0
b) A 

xy

xy



x  xy  y 
y  3y
 x   
2  4

2

Với x > 0 , x  1.

x x 1 x x 1 
1   x 1
x 1 

 x 


 .
x x
x x 
x   x  1
x  1 

HD.a)

A=

 0 Víi x,y  0





2 x  x 1
x

Bài 8. Cho A =

a)Rút gọn A

 x 4
3   x 2
x 



 : 

x 2 
x
x  2 
 x2 x

với x > 0 , x  4.

HD.a)A = 1  x )

Bài 9. Cho A=  1  1  :  1  1   1 với x > 0 , x  1.
 1 x 1 x   1 x 1 x  2 x

Trang 1


Đại số 9 – Chương 1
a)Rút gọn A
Bài 10. Cho A=

HD. A =

1  
x4 
 2x 1


 : 1 

x 1   x  x  1 
 x x 1

a)Rút gọn A.
Bài 11. Cho A=
a)Rút gọn A.

3
2 x
với x  0 , x  1.

x
x 3
2  với x  0 , x  1

HD.a)A =

 1
  1
2 x 2
 x  1  x x  x  x  1  :  x  1  x  1 



HD.a)A = x  1
x 1

Bài 12. Cho A =  2 x 

 x 3

a)Rút gọn A.
Bài 13. Cho A =

GV:Nguyễn Quốc Dũng

x
3x  3   2 x  2 

 1
:
x  3 x  9   x  3


3
a 3

HD. a)A =

 x 1
x 1 8 x   x  x  3
1 
 x  1  x  1  x  1  :  x  1  x  1 


 


a)Rút gọn A

1
1 
x 1

:
x

x
x

1
x

2
x 1



a)Rút gọn A

với x  0 , x  1.

4 x
x4

HD. a)A =

Bài 14. Cho A = 

với x  0 , x  9

với x > 0 , x  1.
x 1
x

HD.a)A =

Bài 15. Cho A =  x  1 

a)Rút gọn A.

1
8 x   3 x  2  Với

 : 1 

 3 x 1 3 x 1 9x 1   3 x 1 
HD. a)A = x  x
3 x 1

Bài 16. Cho A =  x  2 
 x 1


a)Rút gọn A.

Bài 18. Cho A =
a . Rút gọn A.

x (1  x )

 x2
x
1  x 1



 :
2
 x x 1 x  x  1 1  x 

HD.a) A =

1
9

với x  0 , x  1.

HD.a) A =

Bài 17. Cho A =
a)Rút gọn A.

x  2  x2  2 x  1
.

2
x  2 x  1 

x  0, x 

với x  0 , x  1.

2
x  x 1

1
3
2
với x  0 , x  1.


x 1 x x 1 x  x 1

HD. a) A =

x
x  x 1

Bài 19. Cho A =  x  5 x  1 :  25  x  x  3  x  5  với x  0 , x  9; x  2
 x  25
  x  2 x  15
x 5
x  3 

 

a. Rút gọn A.
b)Tìm x sao cho A nguyên
5
HD.a)A =
b) V× A nguyªn nªn ®Æt A = 5  n  Z  x  5  3n  0  0  n  5  n  1  x  4
x 3

Bài 20. Cho A =
a. Rút gọn A.

x 3

2 a 9
a  3 2 a 1


a 5 a 6
a  2 3 a

n

với a  0 , a  9 , a  4.

HD. a) A =

a 1
a 3

Trang 2

3


GV. Nguyễn Quốc Dũng

Đại số 9
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau.
a)

20  45  3 18  72

b) ( 28  2 3  7) 7  84

c)

2



6  5   120

1 1 3
 1
4
d) 

2
200  :

5
2 2 2
 8
ĐS. a) 15 2  5
b) 21
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau.
a)

1
5 3



1

b)

5 3

d) 54 2

c) 11

42 3

c)

6 2

1

2 3

2



6



2
3 3

3
2
c) 1 
3
2
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau.
ĐS. a)  3

b)

2

a) 2 2  3  2   1  2 2   2 6  9
c)

4

2  5 

2



4

2  5 

2

b)

2 3  2 3  6

d) 11  6 2  11  6 2  6

8

ĐS. Biến đổi VT thành VP.
Bài 4. So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi).
a)

2  3 và 10

b)

2003  2005 và 2 2004

c)

5 3 và

3 5

b) 2003  2005  2 2004
c) 5 3  3 5
2x
x  1 3  11x
Bài 5. Cho biểu thức.
với x  3 .
A


x  3 3  x x2  9
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A 2. c) Tìm x nguyên để A nguy n.
3x
ĐS. a) A 
b) 6  x  3; x  3
c) x {6; 0; 2; 4; 6; 12} .
x 3
 x  1 x  1 x 2  4 x  1  x  2003
Bài 6. Cho biểu thức.
.
A


.

2
 x 1 x 1

x
x

1


a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
c) Tìm x nguy n để A nhận giá trị nguy n.
x  2003
ĐS. a) x  0; x  1
b) A 
c) x {2003;2003}.
x
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
1
A
x  x 1
4
1
ĐS. max A  khi x  .
3
4
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
ĐS. a)

2  3  10

A  1  6 x  9 x 2  9 x 2  12 x  4
ĐS. Sử dụng tính chất a  b  a  b , dấu "=" xảy ra  ab  0 . min A  1 khi
Bài 9. Tìm x nguy n để biểu thức sau nhận giá trị nguy n.

Trang 3

1
2
x .
3
3


Đại số 9 – Chương 1

GV:Nguyễn Quốc Dũng

x 1

A

x 3
4

ĐS. x {49;25;1;16;4}. Chú ý. A  1 

x 3

. Để A  Z thì

x  Z và

x  3 là ước của 4.


x 2
x  2  x 1
.
Q

.
 x  2 x 1 x 1 
x


b) Tìm số nguy n x để Q có giá trị nguy n.

Bài 10. Cho biểu thức.
a) Rút gọn Q.
2
ĐS. a) Q 
x 1

b) x {2;3} .

 1
1 
a 1
với a  0, a  1 .

M 

:
a 1 a  2 a 1
a a
a) Rút gọn biểu thức M.
b) So sánh giá trị của M với 1.

Bài 11. Cho biểu thức

ĐS. a) M 

a 1
a

 1

Bài 12. Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện để
c) Tính giá trị của

1
a

b) M  1 .



1
x 3

2
x 2
P 


.
 
x 1  2  2  x
2 x  x 
 x  x 1
có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức .
với x  3  2 2 .

ĐS. a) x  1; x  2; x  3

2 x

b) P 

c) P  2  1 .

x

a) Rút gọn .


 2x  1
  1  x3
x


.
B

 x  với x  0 v x  1 .
 3
  1 x

x

x

1
 x 1


b) Tìm x để
3.

ĐS. a) B  x  1

b) x  16 .

Bài 13. Cho biểu thức.

Bài 14. Cho biểu thức.

 1
1 
2

1 1  x 3  y x  x y  y3
A  

  :
.
y  x  y x y 
 x
x 3y  xy3

với x  0, y  0 .
a) Rút gọn A.
b) i t xy  16 . Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
ĐS. a)

x y
xy

Bài 15. Cho biểu thức.
a) Rút gọn .
ĐS. a) P 

x 1
1 x

Bài 16. Cho biểu thức.

b) min A  1  x  y  4 .

P

1
x 1



x
x x

.
khi x 

b) Tính giá trị của biểu thức

1

b) P  3  2 2

A

x 1
x 2



2 x
x 2

Trang 4



25 x
.
4 x

2

.


GV. Nguyễn Quốc Dũng

Đại số 9

a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
ĐS. a) x  0, x  4

b) A 

Bài 17. Cho biểu thức.
a) Rút gọn A n u x  0, x  1.

3 x

c) x  16
x 2
 x 2
x  2  (1  x )2
.
A  


 .
2
 x 1 x  2 x 1
b) Tìm x để A dương

ĐS. a) A  x  x

b) 0  x  1

Bài 18. Cho biểu thức.

A

x 1

ĐS. a) A 

x 3

2a  2 a  2
a

b) a  4; a 

A

1
4

25 x
x 3

Bài 21. Cho biểu thức.
a) Rút gọn A.

x 2

Bài 22. Cho biểu thức.

15 x  11
x 2 x 3

b) x 

3 x 2
1 x



2 x 3
3 x

.

1
.
2

b) 0  x  4 .

A

a2  a

ĐS. a) A  a  a

b) a  4

Bài 24. Cho biểu thức.




x   x 3
x 2
x 2 
A  1 


:
.
 1  x   x  2 3  x x  5 x  6 
b) Tìm x để A  0 .

a) Rút gọn A.

a) Rút gọn A.
1 a
ĐS. a) A 

a

.

1
.
121

a  a 1
b) Tìm a để A  2 .

Bài 23. Cho biểu thức.

3 x

c) a  0, a  1 .

b) Tìm x để A 

a) Rút gọn A.

1 x

2 x 1

b) 0  x  9; x  4 .

Bài 20. Cho biểu thức.

ĐS. a) A 



a a 1 a a 1 
1   a 1
a  1

 a

.

a a a a 
a   a  1
a  1
b) Tìm a để A  7
c) Tìm a để A  6 .

a) Rút gọn A.

ĐS. a) A 

x 3



A

Bài 19. Cho biểu thức.

ĐS. a) A 

2 x 9

x 5 x 6
x 2
b) Tìm x để A  1 .

a) Rút gọn A.

c) Tìm x để A  2 .

b) Rút gọn biểu thức A.



2a  a

 a
1 
A


 2 2 a


b) Tìm a để A  0 .

b) a  1

a

2

1.

 a 1
a 1


.
 a 1

a

1


c) Tìm a để A  2 .

c) a  3  2 2 .

 2a  a  1 2a a  a  a  a  a
A  1 

.
.
 1 a
 2 a 1
1


a
a


Trang 5


Đại số 9 – Chương 1

GV:Nguyễn Quốc Dũng
b) Tìm a để A 

a) Rút gọn A.
ĐS.

a)

a) Rút gọn A.
5
3 x

Bài 26. Cho biểu thức.
a) Rút gọn A.
ĐS. a) A 

1 6

c) Chứng minh rằng A 

.

2
.
3

1 a
1 a  a

Bài 25. Cho biểu thức.

ĐS. a) A 

6

a 2
3 a

 x 5 x
 
25  x
x 3
x 5
A
 1 : 


.
 x  25
  x  2 x  15


x

5
x

3

 

b) Tìm x để A  1 .
b) x  4; x  9; x  25 .

 1
1   a 1
a 2
A


.
 : 
a   a 2
a  1 
 a 1
1
b) Tìm a để A  .
6
b) a  16 .

 x  1 x  1  2
x

1 
A

:



.
 x  1 x  1  x 2  1 x  1 x  1

Bài 27. Cho biểu thức.
a) Rút gọn A.
4x
ĐS. a)
1 x2
Bài 28. Cho biểu thức.

b) Tính giá trị của A khi x  3  8 .
c) Tìm x để A  5 .
1
b) x  2
c) x 
; x 5.
5

y  xy   x
y
x  y
B x



:
.
x  y   xy  y
xy  x
xy 


a) Rút gọn .

b) Tính giá trị của

ĐS. a) B  y  x

b) B  1 .

Bài 29. Cho biểu thức.
a) Rút gọn .
x
ĐS. a) B 
y

B

x3

khi x  3, y  4  2 3 .
2x



.

1 x

.
xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x
b) Tìm tất cả các số nguy n dương x để y  625 và B  0,2 .

b) x  2;3;4 .

Trang 6