Phân tích một số sai lầm của học sinh lớp 12 khi ứng dụng đạo hàm để giải toán và cách khắc phục

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 12
KHI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN VÀ
CÁCH KHẮC PHỤC

Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh
Chức vụ: Hiệu trưởng
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ - NĂM 2017
1


MỤC LỤC
Phần 1: Mở đầu

1

1. Lý do chọn đề tài

1

2. Mục đích nghiên cứu

1

3. Đối tượng nghiên cứu

1

4. Phương pháp nghiên cứu

1

Phần 2: Nội dung

2

Chương I: Cơ sở lí luận

2

1. Nội dung chương trình

2

1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số

2

1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến

2

1.3. Công thức tính đạo hàm

2

1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

2

1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số

3

1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

3

1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3

2. Sai lầm thường gặp khi giải toán

4

Chương II: Thực trạng của đề tài

4

Chương III: Biện pháp thực hiện và kết quả của đề tài

4

I. Biện pháp thực hiện

4

II. Nghiên cứu thực tế

6

1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa

6

1.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

6

1.2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức

8

1.3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm

9

1.4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số

10

1.5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của hàm số

1.6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

13
15

2. Bài tập tương tự.

15

III.

16

Kết quả nghiên cứu

Phần 3: Kết luận và kiến nghị

18

Tài liệu tham khảo

20
2


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình toán phổ thông, đạo hàm là một khái niệm rất quan trọng,
nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt
quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có trong chương trình Giải tích lớp 12. Đạo hàm là

một công cụ để giải quyết rất nhiều bài toán trong các đề thi THPT QG cũng như
trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh.
Mặc dù ứng dụng của đạo hàm rộng như vậy, nhưng trong quá trình giảng dạy
tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn đến việc vận dụng đạo hàm để giải
quyết các tình huống trong các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Các em thường
hay mắc những sai lầm do không hiểu rõ bản chất của các kiến thức liên quan đến
đạo hàm. Ví dụ, khi mới học về cực trị, học sinh thường hiểu rằng cực đại của hàm số
luôn lớn hơn cực tiểu; hay mặc định cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số...
Từ thực trạng trên, để giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ
năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn
đề tài "Phân tích một số sai lầm của học sinh lớp 12 khi ứng dụng đạo hàm để giải
toán và cách khắc phục "
II. Mục đích nghiên cứu.
Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh
hiểu đúng bản chất của vấn đề.
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. Đối tượng nghiên cứu.
Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để giải toán giải
tích lớp 12 .
IV. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN
3

1. Nội dung chương trình (Chương I - Giải tích 12 - Ban cơ bản)
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và
phạm vi nghiên cứu của đề tài)
1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K,
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K,
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì
tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này
nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x).
+ Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến)
trên D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất
này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số không cùng
dương trên D.
1.3. Công thức tính đạo hàm:
α
Hàm số hợp y = u có đạo hàm y ' = α.uα −1.u' (*)

+ Công thức (*) chỉ đúng với số mũ α là hằng số.
+ Nếu α không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:
+ Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K.
(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
a. Nếu f '(x) > 0 với ∀x∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b. Nếu f '(x) < 0 với ∀x∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
c. Nếu f '(x) = 0 với ∀x∈ K thì hàm số f(x) không đổi trên K.
* Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải
điều kiện cần.

Định lí mở rộng: nếu hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên K, f '(x) ³ 0 (
f '(x) £ 0 ), ∀x∈ K và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số y = f(x)

đồng biến(nghịch biến) trên K.
4


1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số:
+ Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 − h; x0 + h) và có
đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x0} , với h > 0.
a. Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f '(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h)
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
b. Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f '(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h)
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
+ Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng
(x0 − h;x0 + h) , với h > 0. Khi đó:
a. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
b. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
* Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều
kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.
1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
 f(x) ≥ m , ∀x∈ D
 f(x) ≤ M , ∀x∈ D
f
(
x
)
⇔
, M = max
D

∃x0 ∈ D : f(x0 ) = M
 ∃x0 ∈ D : f(x0 ) = m

m= min
f(x) ⇔ 
D

* Nếu f(x) ≥ m , ∀x∈ D (hay f(x) ≤ M , ∀x∈ D ) nhưng không
∃x0 ∈ D : f(x0) = m (hay ∃x0 ∈ D : f(x0) = M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, m (hay
M) không phải là giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D.
* Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà
chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt t =
u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.
1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):
+ Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) ∈ (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0.
+ Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1;y1) có phương trình:
 f(x) = k(x− x1) + y1

y = k.(x - x1) + y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ: 

 f '(x) = k

(*,*)

* Nếu điểm M1(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (*,*).
Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.
2. Sai lầm thường gặp khi giải toán.
2.1. Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững
định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của

hàm số.
5


2.2. Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác
tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng
biến, nghịch biến.
2.3. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai
công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa với số
mũ thực.
2.4. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi
vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên
khoảng (a;b).
2.5. Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
số trên một miền D, khi chuyển đổi sang bài toán không tương đương.
2.6. Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.

CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:
- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,
không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
trên một miền D.
- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc
đồ thị hàm số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.

CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
I. Biện pháp thực hiện.
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề
tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt.
- Phân tích kỹ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản
chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và
khác nhau giữa chúng.
6


- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: phương pháp phân tích, tổng hợp, tìm đoán, loại trừ, quy lạ về
quen.
3. Đổi mới phương pháp dạy học (Lấy học sinh làm trung tâm).
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh
động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng
bảng phụ, phiếu học tập, sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị
hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá.
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 4 mức độ nhận thức:
nhận biết - thông hiểu - vận dụng thấp - vận dụng cao.

- Giáo viên đánh giá học sinh.
- Học sinh đánh giá học sinh.
5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp
với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc
phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài
toán liên quan . Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết
quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
II. Nghiên cứu thực tế.
1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa.
1.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số.
* Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính
đơn điệu của hàm số.
Ví dụ minh họa 1:
7


Xét tính đơn điệu của hàm số: y = f(x) =
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}

x− 1
x+ 1

2

Ta có: y' = (x+ 1)2 > 0,∀x∈ D
Bảng biến thiên:
x
y'
y

-1

-∞

+

+

∞

+

+¥

1

1

- ¥

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ )
Phân tích:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán!
Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D,

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 2 Î D và
x2 = 0 Î D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2) ?
Lời giải đúng là:
Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
2

Ta có: y' = (x+ 1)2 > 0,∀x∈ D
Bảng biến thiên:
x

-¥

y'
y

+¥

-1
+

1

+

+¥

1

-¥

Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ ;- 1) và (- 1; +¥ ) .
* Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy
việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ minh họa 2:
Xét tính đơn điệu của hàm số: y = f(x) = x − 1+ 4− x2
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = [- 2; 2 ]
8


Ta có: y' = 1−

x
4 − x2

; y' = 0 ⇔ 1−

x = − 2
= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 4− x2 = x2 ⇔ 
4 − x2
 x = 2
x

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một
dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x

-

2

-2
y'

-

0

+

-3

2

2

0

-

2 2- 1

y

-1

1

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên các khoảng
(- 2; - 2) và ( 2; 2) .

Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn
é
- 2; - 2 ù
ê
ú
ë
ûgiá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? Thực ra ở đây - 2 không phải
là điểm tới hạn của hàm số.
Lời giải đúng là:
Ta có: y' = 1−

Tập xác định: D = [- 2; 2 ] .

x

4 − x2
x
x ≥ 0
y' = 0 ⇔ 1−
= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 
⇔ x=
2
2
4 − x2
4 − x = x

2

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một
dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:

2
x
2
y'

-2

+

0

-

2 2- 1
y

1

-3

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên khoảng ( 2; 2) .
1.2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức.
* Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học
sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu
của hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)
æ pö
÷
Chứng minh rằng: tanx > x, với " x Î ç
ç

ç0; ÷
÷
è
ø
2

9


Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
ổ pử

ữ.
Xột hm s f(x) = tanx - x, vi x ẻ ỗ
ỗ
ỗ0; 2 ữ
ữ
ố
ứ

Ta cú: f '(x) =

1
- 1 = tan 2 x > 0 , " x ẻ
2
cos x

ổ pử
ỗ
0; ữ

ỗ
ữ, suy ra hm s f(x) ng bin trờn
ỗ
ố 2ữ
ứ

ổ pử
ữ.
khong ỗ
ỗ
ỗ0; ữ
ữ
ố
ứ
2

ổ pử
ữ.
T x > 0 ị f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, vi " x ẻ ỗ
ỗ
ỗ0; ữ
ữ
ố
ứ
2

Phõn tớch: Li gii trờn cú v ỳng, vy sai lm nm õu(?). Sau khi kt lun f(x)
ổ pử
ữthỡ vỡ sao t x > 0 ị f(x) > f(0) ???
ng bin trờn khong ỗ

ỗ
ỗ0; ữ
ữ
ố
ứ
2

ổ pử

ữ.
Sai lm õy l 0 ẽ ỗ
ỗ
ỗ0; 2 ữ
ữ
ố
ứ

Nh rng: nu f(x) ng bin trờn on [a; b ] (tc l f(x) liờn tc trờn [a; b ] v f '(x)> 0
vi " x ẻ ( a; b) ) thỡ vi " x1 , x 2 ẻ [a; b ], x1 > x 2 ị f (x1 ) > f (x 2 )
Li gii ỳng l:
ộ pử

0; ữ
Xột hm s f(x) = tanx - x, vi x ẻ ờ
ữ
ữ.
ờ
ở 2ứ
ộ pử
1

- 1 = tan 2 x 0 , " x ẻ ờ0; ữ
ữ
2
ữ, du "=" xy ra ch ti x = 0, suy ra
ờ
cos x
ở 2ứ
ộ pử
0; ữ
hm s f(x) ng bin trờn na khong ờ
ữ.
ờ
ứ
ở 2ữ

Ta cú: f '(x) =

T x > 0 ị f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, vi " x ẻ

ổ pử
ỗ
0; ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố 2ữ
ứ

* Cỏc em cng hay mc nhng sai lm khi vn dng sai tớnh cht ca cỏc
hm ng bin, nghch bin.

Vớ d minh ha 4:
Chng minh rng nu vi " x ẻ Ă , x > - 1 thỡ x.ex > -

1
.
e

Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
Xột cỏc hm s f(x) = x, g(x) = e x l cỏc hm ng bin trờn Ă . Suy ra hm s h(x) =
x.ex l tớch ca hai hm ng bin nờn cng ng bin trờn Ă . Suy ra, t x > - 1 ị
h(x) > h(-1) hay x.ex > -

1
.
e

Phõn tớch:
10


Li gii trờn sai lm ch: tớch ca hai hm ng bin l mt hm ng bin ch
ỳng khi hai hm ú dng (!).
Li gii ỳng l:
Xột hm s f(x) = x.ex, ta cú f '(x)= ex(x+1) 0 , " x - 1 , du "=" xy ra ch ti x= -1.
Suy ra, hm s ng bin trờn na khong [- 1; +Ơ ) . T x > - 1 ị f(x) > f(-1) hay
x.e x > -

1
. "x >- 1
e

1.3. Sai lm khi gii cỏc bi toỏn liờn quan ti o hm.
* Sai lm khi vn dng cỏc cụng thc tớnh o hm.
Vớ d minh ha 5: Tớnh o hm ca hm s y = (2x+1)x.vi x > -

1
, xạ 0
2

Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
Ta cú y' = x(2x +1) x- 1 (2x +1) ' = 2x.(2x +1) x- 1 .
Phõn tớch:
Li gii trờn ó vn dng cụng thc ( u ) ' = a .u .u ' . Vn dng nh vy l sai, vỡ
cụng thc ny ch ỏp dng cho s m a l mt hng s.
a

a- 1

Li gii ỳng l:
iu kin: x > -

1
, x ạ 0 (khi ú y > 0)
2
y'

2x

T y = (2x+1)x ị ln y = x.ln(2x +1) ị (ln y ) ' = ( x.ln(2x +1)) ' ị y = ln(2x +1) + 2x +1
ộ

2x ự
ỳ
ị y ' = (2x +1)x . ờln(2x +1) +
ờ
2x +1 ỳ
ở
ỷ

* Sai lm khi tớnh o hm ca hm s ti mt im.
Cỏc em hay mc phi sai lm dng ny l ỏp dng cụng thc ( u ) ' = a .u .u ' ,
a ẻ Ă , nhng quờn rng nu nh a khụng nguyờn thỡ cụng thc ny ch ỳng khi u
nhn giỏ tr dng.
a

a- 1

Vớ d minh ha 6: Cho hm s y = 3 x2 cú th (C). Vit phng trỡnh tip tuyn
vi th (C) ti im cú honh x = - 1.
Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
Vi x = - 1 ta cú y = 3 (- 1)2 = 1
2

2

-

Ta cú y = x 3 suy ra y ' = x
3

1

3

1
2
1
2
2
2ộ
2 - 16 2
2ự
3
6
6
(- 1) ỳ
y '(-1) = (- 1) = (- 1) = ờ
ỷ = 3 .1 = 3 .
3
3
3ở

11


2
3

2
3

5

3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (x +1) +1 hay y = x + .
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ
1

không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết (- 1)- 3 là không đúng (!).
Lời giải đúng là:
Với x = - 1 ta có y = 3 (- 1)2 = 1
2x
2
2
Ta có y3 = x2 Þ (y3)'= (x2)' Þ 3.y2 y ' = 2x Þ y ' = 3y 2 = 3 Þ y '(-1) = 3 x
3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =-

2
2
1
(x +1) +1 hay y =- x + .
3
3
3

1.4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số.
* Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng
đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 y ' > 0 , " x Î (a; b) Þ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)

 y ' < 0 , " x Î (a; b) Þ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 - mx2 + x- 1
đồng biến trên ¡ .
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ .
ïì a > 0
ïî D ' < 0

y ' = 3x2 - 2mx + 1. Hàm số đồng biến trên ¡ Û y ' > 0 , " x Î ¡ Û ïíï
ìï
3 >0
Û ïí 2
Û ïïî m - 3 < 0

3
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên ¡ , nhưng y ' = 3x2 ³ 0 , " x Î ¡ ,
dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0 (!). Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x) xác định trên khoảng
(a;b), f '(x) ³ 0 , " x Î (a; b) và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b)
thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
Lời giải đúng là:
ìï a > 0

Hàm số đồng biến trên ¡ Û y ' ³ 0 , " x Î ¡ Û ïíï
ïî D ' £ 0
3 >0
ïì
Û ïí 2
Û ïïî m - 3 £ 0

3£ m£

3.

12


* Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên
rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
ïì f '(x 0 ) = 0
Þ x 0 là điểm cực tiểu
 ïíï
ïî f ''(x 0 ) > 0

ïì f '(x 0 ) = 0
Þ x 0 là điểm cực đại
 ïíï
ïî f ''(x 0 ) < 0

Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số y = f(x) = mx 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số đạt cực đại tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2.
ïì f '(0) = 0
ïì 4m.0 = 0
Û ïí
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: ïíï

hệ vô nghiệm m.
ïïî 12m.0 < 0
ïî f ''(0) < 0

Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Phân tích:
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 Û x = 0.
Bảng biến thiên:
x

0

-∞

y'
y

+

0
0

+∞
-

-¥

-¥

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 (!)

Vậy lời giải trên sai ở đâu ???
ìï f '(x 0 ) = 0

Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số, còn điều
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn ïíï
ïî f ''(x 0 ) < 0
ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f ''(x0) = 0.
Lí do là điều kiện f ''(x0) < 0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch biến
trong lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), khi đó:
ìïï f '(x) > f '(x 0 ) = 0, " x Î (x 0 - h; x 0 )
Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số.
í
ïïî f '(x) < f '(x 0 ) = 0, " x Î (x 0 ; x 0 + h)

Lời giải đúng là:
xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
13


 m = 0: Ta có y = f(x) = 0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị.
 m > 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 Û x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là
điểm cực tiểu của hàm số.
 m < 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 Û x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là
điểm cực đại của hàm số.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0.
Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f(x) = x 4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của
tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx.
ìï f '(0) = 0

Û
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: ïíï
f
''(0)
>
0
ïî

ïìï 4.03 +3m.02 = 0
í
ïï 12m.0 2 + 6m.0 > 0
î

hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Phân tích:
Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + 1
y ' = 4x3 , y ' = 0 Û x = 0.
Bảng biến thiên:
x
y'

-¥
+¥

+¥

0
-

y

0

+

+¥

1

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (!)
Lời giải đúng là:
 Cách 1:
ìï f '(x) < 0, " x Î (- h;0) (1)
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì ïíï
(với h > 0)

ïî f '(x) > 0, " x Î ( 0 ; h) (2)
ïìï " x Î (- h;0)
ìïï " x Î (- h;0)
3m
ïì " x Î (- h;0)
ï
Û í
Û ïí
³ 0 Û m £ 0 (1')
(1) Û íï 3
3m Û 2
ïïî 4x + 3m < 0
ïï x < 4

ïî 4x + 3mx < 0
4
îï

14


ỡù " x ẻ (0; h)

(2) ùớù 3
2
ùợ 4x + 3mx > 0

ùỡù " x ẻ (0; h)
ớ
ùùợ 4x + 3m > 0

ỡù " x ẻ (0; h)
ù
3m
ùớ
Ê 0 m 0 (2')
3m ùù x > 4
4
ùợ

T (1') v (2') suy ra m = 0
Vy vi m = 0 thỡ hm s ó cho t cc tiu ti x = 0.
Cỏch 2: xột 3 trng hp (m = 0, m > 0, m < 0)
m = 0: Ta cú y = x4 + 1 cú y ' = 4x3 , y ' = 0 x = 0.

Bng bin thiờn:
x
y'
y

-Ơ
+Ơ

0
-

0

+

+Ơ
+Ơ

1

Suy ra hm s t cc tiu ti x = 0
m > 0: Ta cú y ' = x2(4x + 3m) , y ' = 0 x = 0 hoc x = -

3m
. Lp bng bin
4

thiờn ta thy y ' khụng i du qua x = 0 (nghim bi bc chn). Do ú hm s khụng
cú cc tr ti x = 0.
m < 0: Ta cú y ' = x 2(4x + 3m), y ' = 0 x = 0 hoc x = -

3m
. Lp bng bin
4

thiờn ta thy y ' khụng i du qua x = 0 (nghim bi bc chn). Do ú hm s khụng
cú cc tr ti x = 0.
Kt lun: vi m = 0 thỡ hm s ó cho t cc tiu ti x = 0.
1.5. Sai lm khi gii bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm
s.
* Cỏc em thng mc sai lm khi khụng nm vng nh ngha giỏ tr ln
nht (GTLN) v giỏ tr nh nht (GTNN) ca hm s trờn mt min D.
Vớ d minh ha 10:
2
Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s y = f(x) = cos x +

ổ
ử
1
1 ữ
ỗ
+
2
cosx
+
- 1.
ỗ
ữ
ỗ
ố

ứ
cos 2 x
cosx ữ

Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
t t = cosx +

1
1
ị cos 2 x + 2 = t2 - 2.
cosx
cos x

Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 - 4, " t ẻ Ă
Vy min f (x) =- 4 , khi t = - 1.

15


Phõn tớch: Sai lm õy l chuyn bi toỏn khụng tng ng. Giỏ tr nh nht ca
hm f(x) khụng trựng vi giỏ tr nh nht ca hm g(t), " t ẻ Ă .
Cú th thy ngay khi t = - 1 thỡ khụng tn ti giỏ tr ca x cosx +

1
= - 1 (!)
cosx

f(x) m , x D
x0 D : f(x0 ) = m

f(x)
Nh rng, s m= min
D
Li gii ỳng l:

ỡp
ỹ
1
, vi x ẻ D = Ă \ ùớù + kp , k ẻ Â ùý
ùỵ
cosx
ù
ợù 2
1
1
ị t = cosx +
= cosx +
2.
cosx
cosx

t t = cosx +

Du "=" xy ra khi v ch khi cosx = 1
Khi ú: cos 2 x +

1
= t2 - 2.
cos 2 x

Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3.
Lp bng bin thiờn hm s g(t) (vi t 2 ):
t
g '(t)

-Ơ
+Ơ

-2
-

-

-1
0

+Ơ

2
+

+

g(t)

+Ơ

5

-3

g(t) = - 3
f(x) = min
Da vo bng bin thiờn, ta suy ra: m= min
t2
D
t c khi t = - 2 cosx +

1
=- 2
cosx

cosx =- 1 x =p+k 2p , k ẻ Â

1.6. Sai lm khi vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s.
Vớ d minh ha 11:
Cho hm s y = f(x) = - x3 + 3x2, cú th (C). Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C)
bit tip tuyn ú i qua im A(-1;4)
Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
y

f '(x) = - 3x2 + 6x.

16
-1

-5

2

x


Ta có:

A

4

Điểm A(-1;4) Î đồ thị (C).
suy ra phương trình tiếp
tuyến là:
y = f '(-1).(x+1)+4
Û y =- 9( x +1) + 4

3

Û y =- 9x - 5 .

Phân tích:
Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - 5 là
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể có
tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà
không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;4)
và có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + 4
Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
ïìï - x3 + 3x2 = k ( x +1) + 4

í
(I).
ïï
k
=- 3x 2 + 6x
î
ìï x3 - 3x - 2 = 0
éx = 2, k = 0
Û ê
Hệ (I) Û ïíï
2
ê
ëx =- 1, k =- 9
ïî k =- 3x + 6x

Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4 và y = - 9x - 5.
2. Bài tập tương tự.
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a. y =

2x + 3
1- x

b. y =

x 2 + x +1
x +1

c. y = cosx - sinx

Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị:
x 2 + 2mx - 3
y=
x- m

Bài tập 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. y = (7 - x) 3 x + 5
b. y = cosx - sinx
c. y = sin2x
Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại x = 1:
æ

3
2
my = x - mx +ç
ç
ç
è

ö
2÷
x +5
÷
ø
3÷

Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau luôn đồng biến trên ¡ :
y=

(a - 1)x3

+ ax 2 +( 3a - 2) x
3

Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
17


3
2
a. y = x + 3x - 72x + 90 trên đoạn [- 5;5]

é 3p ù
ú
ë 2 ú
û

0;
b. y = 2sinx + sin2x trên đoạn ê
ê

c. y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5
Bài tập 7: Cho hàm số y = (x + 1) 2 (2 - x) , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;0)
Bài tập 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
x
- x
2
a. e - e ³ 2ln x + 1+ x , " x ³ 0
2 x
ù

b. 8sin 2 +sin 2x > 2x, " x Î é
ë0; pû
2
Bài tập 9: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình: x - 2 x = m( x - 1) có
4 nghiệm thực phân biệt ?

(

)

III. Kết quả nghiên cứu.
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả
đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi khảo sát
tình hình giải bài tập toán ở 2 lớp có học lực tương đương nhau, lớp 12A9 đã áp dụng
đề tài và lớp 12A10 chưa áp dụng đề tài, kết quả như sau:
Bài số 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

y= x

2

+ mx + 1
đạt cực tiểu tại x = 2 .
x+m

Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Lớp 12A9 (số học sinh tham gia khảo sát: 35)
Không giải được
Giải sai
Giải đúng

Số lượng
2
5
28

Phần trăm
5,71%
14,29%
80%

Lớp 12A10 (số học sinh tham gia khảo sát: 35)
Không giải được
Giải sai
Giải đúng

Số lượng
8
16
11

Phần trăm
22,86%
45,72%
31,42%

2x+ 2
Bài số 2: Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) = 3x− 2 .
Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
18

Lớp 12A9 (số học sinh tham gia khảo sát: 35)
Không giải được
Giải sai
Giải đúng

Số lượng
1
4
30

Phần trăm
%
%
%

Lớp 12A10 (số học sinh tham gia khảo sát: 35)
Không giải được
Giải sai
Giải đúng

Số lượng
4
9
22

Phần trăm
%
%

%
p

Bài số 3: Chứng minh: s inx + t anx > 2x, " x Î (0; 2 )
Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Lớp 12A9 (số học sinh tham gia khảo sát: 35)
Không giải được
Giải sai
Giải đúng phương pháp

Số lượng
4
6
25

Phần trăm
%
%
%

Lớp 12A10 (số học sinh tham gia khảo sát: 35)
Không giải được
Giải sai
Giải đúng

Số lượng
7
15
13

Phần trăm
%
%
%

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh
thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp phần nâng cao
chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong thời gian tới, đề tài
này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng
sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm.

PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I. Kết luận.
19


Thông qua những sai lầm của học sinh, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp
thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học,
đồng thời sẽ giúp học sinh tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về
mặt tư duy.
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh
như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng
dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc
hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm
ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình;
người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm
toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương ứng dụng đạo
hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết rất
nhiều bài toán ; hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạo hàm thì lời giải

cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đẹp hơn.
Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối khó,
nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống. Các em thường quen với
việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như
những kiến thức liên quan đã được học. Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã
giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang tính hàn lâm ;
những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ
yếu ở bậc Đại học).
Ở cấp độ trường THPT, đề tài có thể áp dụng được một phần để cải thiện phần
nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa,
định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp các em tránh khỏi lúng
túng trước một bài toán đặt ra và không mắc phải những sai lầm thường gặp.
II. Kiến nghị.
Như trên đã nói, đạo hàm có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó
là khảo sát, vẽ đồ thị hàm số và giải các bài toán liên quan. Ngoài ra, đạo hàm còn là
công cụ sắc bén để giải quyết nhiều dạng toán khác như giải phương trình, hệ phương
trình, bất phương trình và hệ bất phương trình; chứng minh bất đẳng thức.
Chính vì lẽ đó, tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ bé vào việc giải
các dạng toán đã nêu trên; là tài liệu tham khảo cho các em học sinh trong quá trình

20


học toán cũng như ôn thi tốt nghiệp và thi vào các trường Đại học, Cao đẳng và
Trung học chuyên nghiệp.
Trong khuôn khổ của bài viết này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được
hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học, của quý thầy cô.
Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Áp dụng giảng dạy cho HS THPT.

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót
và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và
góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017

Tôi cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác
Người viết

Đỗ Thị Hồng Hạnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
21


[1] Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn - Nhà
xuất bản Giáo dục;
[2] Bài tập Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản
Giáo dục;
[3] Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Đoàn Quỳnh, Nguyễn
Huy Đoan - Nhà xuất bản Giáo dục;
[4] Bài tập Đại số và Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn
Xuân Liêm - Nhà xuất bản Giáo dục;
[5] Các bài giảng luyện thi môn toán - Tác giả: Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy,
Đào Tam, Lê Thống Nhất - Nhà xuất bản Giáo dục;
[6] Toán nâng cao Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Nguyễn Tuấn Khôi, Nguyễn Vĩnh
Cận - Nhà xuất bản Đại học Sư phạm;
[7] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục;

[8] Đề thi tuyển sinh môn Toán - Tác giả: Phan Đức Chính, Đăng Khải Nhà xuất bản Giáo dục;
[9] Các đề thi đại học các năm trước;
[10] Các đề thi thử đại học các năm trước;
[11] Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10, 11, 12 của các tỉnh những năm trước.
———— ––––

DANH MỤC
22


CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Đỗ Thị Hồng Hạnh
Chức vụ và đơn vị công tác: Hiệu trưởng trường THPT Lê Lợi

TT

1
2

3
4
5

6

7

8

9

Tên đề tài SKKN

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

C

2000 - 2001

A

2001 - 2002

B

2007 - 2008:

B

2008 - 2009

B

2010 - 2011

C

2011 - 2012

Sở GD&ĐT

B

2012 - 2013

Sở GD&ĐT

C

2013 -2014

Sở GD&ĐT

C

2014 - 2015

Cấp đánh
giá xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Tìm tòi lời giải bài toán hình học không
gian bằng phép tương tự giữa hình học Sở GD&ĐT
phẳng
Hướng dẫn học sinh giải phương trình Sở GD&ĐT
và bất phương trình bằng phương pháp
đạo hàm.
Hướng dẫn học sinh giải bài toán xác Sở GD&ĐT
suất.
Hướng dẫn học sinh giải bài tập phần số Sở GD&ĐT
phức.
Một số biện pháp quản lý nhăm nâng Sở GD&ĐT
cao chất lượng giáo dục đạo đức cho
học sinh trường THPT Lê Lợi.
Hướng dẫn học sinh giải bài tập tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất của thể tích khối
đa diện, khối tròn xoay bằng phương
pháp chiều biến thiên của hàm số.
NCKHSPUD: Ứng dụng phần mềm
Geometer’s Sketchpad trong việc nâng
cao chất lượng dạy và học một số chủ
đề hình học không gian lớp 11 cho học
sinh lớp 11 trường THPT Lê Lợi.
Hướng dẫn học sinh sử dụng phương
pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng
thức.
Sử dụng phương pháp hệ số bất định
trong chứng minh bất đẳng thức đã
nâng cao kết quả học tập chủ đề "Bất
đẳng thức" cho học sinh lớp 10 trường

THPT Lê Lợi.

Sở GD&ĐT

23


10

11

NCKHSPUD: Ứng dụng phần mềm UBND Tỉnh
Geometer’s Sketchpad trong việc nâng
cao chất lượng dạy và học một số chủ
đề Hnh học không gian lớp 11 THPT.
Hướng dẫn học sinh giải hệ phương Sở GD&ĐT
trình không mẫu mực trong các đề thi
đại học, THPT quốc gia và thi học sinh
giỏi.

B

2015

C

2015 - 2016

24