Tài liệu toán nâng cao Tiểu học Chuyên đề 9

110cm

40cm

Chuyên đề 9
1. Nối điểm A với 4 điểm còn lại ta được 4 đoạn thẳng. Nối điểm B với 3 điểm còn lại (không kể
điểm đã nối rồi) ta được 3 đoạn thẳng……
Vậy: Ta được tất cả: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (đoạn thẳng).
Nếu có 6 điểm thì ta nối được: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 đoạn thẳng.
Nếu có 10 điểm thì ta nối được: 9 + 8 + ….. 4 + 3 + 2 + 1 = 45 đoạn thẳng. A
2. a) Gọi D, E, G, H, I là 5 điểm ta lấy trên BC ta nhận xét:
Nối A với mỗi điểm D, E, G, H, I, C ta được 1 tam giác có
cạnh AB. Có 6 điểm như vậy nên có 6 tam giác chung cạnh AB.
Nối A với mỗi điểm E, G, H, I, C ta được một tam giác có
chung cạnh AD ( không kể ∆ ABD vì đã tính ở trên ).
Có 5 điểm như vậy nên có 5 tam giác có chung canh AD
B D E G H I C
Tương tự ta có 4, 3, 2, 1 tam giác chung cạnh AE, AG, AH, AI
Vậy ta có : 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 tam giác
b)Tương tự nếu lấy 10 điểm trên cạnh BC, cạnh BC sẽ có 10 + 2 = 12 điểm nên số tam giác tạo
thành : 1 + 2 + 3 +…..+ 11 = 66 tam giác
c)Nếu lấy 100 điểm trên cạnh BC, ta được cạnh BC sẽ có 102 điểm( 100 điểm cộng 2 điểm B,
C) nên số tam giác tạo thành :
1 + 2 + 3 +……..+ 101 = 5151 (tam giác)
3. a) Cần ít nhất 4 điểm không cùng nằm trên một đoạn thẳng.
b) Cần ít nhất 5 điểm không cùng nằm trên một đoạn thẳng.
4. Tương tự bài 2: 28 + 28 + 21 + 21 = 98 tam giác.
5. Tương tự ví dụ 2. Số hình thang là: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 hình thang
6. Xem hình vẽ, ta có phần diện tích ao tăng thêm bằng diện tích
4m
4m

4 hình chữ nhật bằng nhau, nên diện tích một hình chữ nhật có
diện tích là: 192 : 4 = 48 (m2).
Hình chữ nhật này có chiều rông bằng 4 m, nên chiều dài của hình
chữ nhật là : 48 : 4 = 12 m.
Cạnh ao ban đầu là : 12 – 4 = 8 (m).
4m
2
Diện tích của ao là: 8 x 8 = 64 m .
4m
2
7. Diện tích hình th-ang ABCD là:(50 + 60) × 50 : 2 = 2750 (cm ).
B
A
50cm
Diện tích tam giác ABN:50 × 40 : 2 = 1000 (cm2)
Diện tích tam giác NDC:60 × 10 : 2 = 300 (cm2)
Diện tích tam giác AND:2750 − (1000 + 300) = 1450 (cm2)
Độ dài MN là:1450 × 2 : 50= 58 (cm)
M
N
Diện tích hình thang ABNM là:(50 + 58) × 40 : 2 = 2160 (cm2)
8. Ta có: SABMD = SAMB + SAMD
D
60cm
C
= ( AM x h1 ) : 2 + ( AM x h2 ) : 2
= AM x ( h1 + h2 ) : 2
Tương tự : SCBMD = MC x ( h1 + h2 ) : 2
SABMD = 2 SCBMD

=> AM x ( h1 + h2 ) : 2 = 2 MC x ( h1 + h2 ) : 2
=> AM = 2 MC
A
Lấy M sao cho AM gấp 2 lần MC.
9. Gợi ý:
SCOM = SBOM
SBON = SAON
D
1
SBCN = SABM = SABC

B
h1
h2
M
C

2

1
SABC − SBNOM
2
1
SCOM = SABC − SBNOM
2

A

SAON =

N

Vậy SAON = SCOM.
Suy ra SCOM =

O

1
SABC
6

SACO = 2SCOM.
OA = 2OM = 2 x 8 = 16 cm.
10.
Ta có : S ABC = 2 S AMC
Mà S AMC = 2 S AMN
=> S ABC = 4 S AMN
1
Mà S ABC =
BC x h
2
1
h
S AMN =
MN x
2
2
1
1

h
=>
BC x h = 4 x MN x
2
2
2

B

C

M
A

M

B

N

C

=> BC = 2MN => MN = 5 ( cm )

11. Ta cắt và ghép như hình vẽ.
Vậy tổng diện tích của 3 hình vuông được phân tích
A
a
thành diện tích của hình chữ nhật chiều rộng bằng cạnh 4
2 A

của hình vuông thứ hai, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Và
B
phần còn lại là hình chữ nhật gạch chéo trên hình vẽ.
2
2
2
Trả lời: Diện tích 3 hình vuông là: 81 cm , 49 cm và 25 cm .
a
a
2
12. Xem ví dụ 5.Trả lời: Diện tích tứ giác MNPH bằng 45 m .
13.Nhìn vào hình ta thấy 135 m2 chính là diện tích
3m
hình chữ nhật nhỏ( màu trắng) ⇒ Chiều dài của
hình chữ nhật này là: 135 : 3 = 45 (m)
Độ dài này chính là hiệu của chiều dài lúc đầu và
chiều rộng lúc sau ⇒ Vậy hiệu của chiều dài lúc
đầu và chiều rộng lúc đầu là: 45 + 3 = 48 ( m)
3m
135m2
Ta đã biết chiều dài lúc đầu gấp 3 lần chiều rộng
lúc đầu, do đó: Chiều rộng lúc đầu : 48 : 2 = 24 ( m); Chiều dài lúc đầu: 24 x 3 = 72 ( m)
Chu vi khu vườn: ( 72 + 24 ) x 2 = 192 (m); Vậy số cọc phải đóng là: 192 : 3 = 64 cọc


14. Xem hình vẽ:
2cm
4cm

2cm

A

B

B

2cm

3cm

A
2cm
2cm
6cm
3cm
15. Diện tích của miếng giấy là: 2 × 6,5 + (2 + 10) × 2 : 2 = 25 (cm2)
Vậy hình vuông tạo thành phải có cạnh bằng 5cm. Từ đây suy ra cách giải( xem hình vẽ)
10cm
2

1

5

3
2

5 6

1

2,5cm

4

6
4

3

2cm

16.a) Trên cạnh AB ta lấy điểm M sao cho AM = MB
Nối DM lại và cắt theo DM ta được tam giác ADM. Sau đó ta ghép tam giác ADM
vào vị trí tam giác CEB ta sẽ được hình thang cần tìm.
A
M
B

D

C

E

b)Trên cạnh AB ta lấy điểm M sao cho AM =

2
AB
3

Nối MD lại và cắt theo MD ta được tam giác ADM.Sau đó ghép tam giác ADM vào vị trí CFB
ta sẽ được hình thang cần tìm.
A
M
B

D
C
17.a) Ta tiến hành cắt như sau :

b) Tiến hành như sau:

F


c)

18.Chia chiều dài miếng tôn thành hai mảnh bằng nhau,
sau đó ta nối lại như hình vẽ và cắt theo đường nối ta được 3
mảnh nhỏ là 1, 2, 3. Ghép mảnh 1 và 2 vào vị
trí I và II ta được một hình vuông.

1

2
3

I
19.

20.

Gọi A, B, C, D là 4 đỉnh của hình thang
Diện tích hình thang ABCD
( 1 + 2 ) x 2 = 3 (cm2)
2
A 1cm B
Nối B với D, diện tích tam giác ABD:
2 x 1 = 1 ( cm2 )
2cm
2
Ta thấy SBCD = SABCD - SABD = 3 – 1 = 2 ( cm2)
Vậy BD chính là đoạn thẳng cần vẽ
D 2cm
Chia mảnh bìa thành 3 hình vuông bằng nhau H1 , H2 , H3
H1

II

C

H2

H3
+ Ta ghép H1 và H2 lại thành một hình vuông như sau
Ghép 1 → I; 2 → II; 3 → III
II
2
1

I
Ta được hình vuông ABCD
3
III


+ Tiếp tục ghép ABCD với H3 bằng cách sau :
Ghép 1 → I;
2 → II
Ta được hình vuông MNPQ
I
II
1
2
21.

Ta có:

S hình thang vuông = ( 1 + 2) x 2 = 3 (cm2)
2
Mà ta có 4 miếng gỗ hình thang vuông nên: Tổng diện tích của 4 miếng gỗ hình thang
vuông là 4 x 3 = 12 (cm2)
S tam giác vuông = 2 x 2 : 2 = 2 (cm2)
Tương tự như trên ta có tổng diện tích tam giác vuông là: 2 x 4 = 8 (cm2)
Diện tích hình vuông là: 1 x 5 = 5 (cm2)
Vậy tổng diện tích của 3 hình là: 12 + 8 + 5 = 25 (cm2)
Vậy cạnh của hình vuông là 5
Lấy các hình xếp lại với nhau ta sẽ được hình vuông

22.

Ta ghép như sau: ghép 1 → I
2 → II
3 → III

I

II

III
1

2

3


23. Ghép lại như hình vẽ ta được tam giác ABC

24. Ta tiến hành cắt như hình vẽ được hai mảnh khi ghép lại ta được một khung bìa hình
vuông, cạnh của hình vuông mép ngoài bằng 4cm.

25. Với 4 nhát cắt ta chia hình chữ nhật thành 5 mảnh
nhỏ như hình vẽ, với mảnh 1 và 2 ta được 2 hình
vuông có diện tích bằng nhau, ghép mảnh 3 vào
1
vị trí III và IV ta được một hình vuông.
Vậy ta có tất cả 3 hình vuông trong đó có hai
hình vuông có diện tích bằng nhau.
3

2

5

III IV
26. Nếu ta chuyển các phần gạch chéo trong hình
vuông vào các vị trí như hình vẽ, khi đó ta sẽ được
một hình chữ thập tạo bởi diện tích của hình vuông ban đầu ABCD
Diện tích hình vuông ban đầu
2 x 2 = 4 ( cm2)
Diện tích phần gạch chéo : 4 : 5 =
27.

4
(cm2)
5

Chu vi khu vườn : 40 x 2 = 80 (m )

4


Nửa chu vi là :
80 : 2 = 40 ( m )
Chiều rộng mảnh vườn : 40 : ( 3 + 1 ) x 1 = 10 ( m )
Chiều dài mảnh vườn : 10 x 3 = 30 ( m )
Chiều rộng khu sân lát bê tông : 10 - 1 x 2 = 8 ( m )
Chiều dài khu sân lát bê tông : 30 - 1 x 2 = 28 ( m )
Diện tích sân lát bê tông : 28 x 8 = 224 ( m 2 )

Diện tích lối cổng vào : 2 x 1 = 2 ( m2 )
Diện tích cần lát bê tông : 224 + 2 = 226 ( m2 )
Khối lượng số bê tông : 20 x 226 : ( 0,5 x 0,5 ) = 18080 ( kg )
18080 kg = 18,08 tấn
18,08 : 5 = 3 dư 3,08
Vậy : Ta cần ít nhất 4 chuyến xe tải 5 tấn để chở đủ số bê tông lát sân.
28.Ta có S1 = S2 (hai tam giác có chung đường cao hạ từ O và có đáy AM = MB) ( 1)
Tương tự ta có S3 = S 4
Lại có SBAN = 1 S ABC (Hai tam giác có chung đường cao hạ từ B và có 2 đáy AN = NC)
Tương tự ta cũng có:S CAM =

1
SABC => S BAN = S CAM
2

Cùng bớt SAMON ta có S1 = S 4 (3)
Từ (1) , (2), (3) => S1 = S2 = S 3 =

A
1
S BAN
3

M
Hay S 1 = S4 =

1
SBAN
3

1
1
SABC = x 60 = 30 ( cm2)
2
2
1
= SOCN = x 30 = 10 (cm2)
3

Mà SBAN =
Vậy SOBM
29.

2

3

N

1

4

B

Ta có : SMNHK = SANH - SAMK
1
x 4 x 6 = 12 ( cm2 )
2
1

=
x 2 x 3 = 3 ( cm2 )
2

C

B

SANH =

N

SAMK

M

=>

SMNHK = 9 (cm2 )

A
K

H

C