Một số phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nỗ lực thực hiện đề tài “Một số phƣơng pháp giải gần
đúng phƣơng trình phi tuyến” phần nào đƣợc hoàn thành. Ngoài sự cố gắng hết
sức mình của bản thân, em đã nhận đƣợc sự khích lệ rất nhiều từ phía nhà
trƣờng, thầy cô, gia đình và bạn bè.
Trƣớc hết, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các thầy cô trƣờng
Đại học Quảng Bình đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng em trong
suốt quá trình học tập. Đặc biệt, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giảng viên
Ths. Phạm Hồng Minh, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi cho em trong quá trình làm đề tài tốt nghiệp.
Xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tập thể lớp CĐSP Toán- Tin K55, đã động
viên, khích lệ em trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp
này.
Lời cảm ơn đặc biệt em xin dành cho gia đình, ngƣời thân đã luôn động
viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để em học tập và hoàn thành đề tài tốt nghiệp
này.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Đồng Hới, tháng 4 năm 2016
Tác giả
Nguyễn Thị Phƣớc Lộc

1


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................... 4
1.Lí do chọn đề tài. ................................................................................................. 4
2.Mục đích nghiên cứu. .......................................................................................... 4
3.Nhiệm vụ nghiên cứu. ......................................................................................... 4
4.Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. ...................................................................... 5
5.Phƣơng pháp nghiên cứu. .................................................................................... 5

PHẦN NỘI DUNG ............................................................................................... 6
CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 6
1. Đặt vấn đề........................................................................................................... 6
2. Khoảng cách ly nghiệm. ..................................................................................... 7
2.1.Phƣơng pháp giải tích....................................................................................... 8
2.2. Phƣơng pháp hình học..................................................................................... 9
CHƢƠNG II: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN ................................................................................................................ 12
1. Phƣơng pháp chia đôi ....................................................................................... 12
1.1.Nội dung phƣơng pháp ................................................................................... 12
1.2.Sự hội tụ của phƣơng pháp............................................................................. 12
1.3.Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng ............................................................ 13
1.4.Ƣu nhƣợc điểm của phƣơng pháp. ................................................................. 14
1.5.Thuật toán. ...................................................................................................... 15
1.6.Chƣơng trình. ................................................................................................. 16
2. Phƣơng pháp lặp. .............................................................................................. 17
2.1.Nội dung phƣơng pháp. .................................................................................. 17
2.2.Sự hội tụ của phƣơng pháp............................................................................. 19
2.3.Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng. ........................................................... 20
2.4. Ƣu điểm nhƣợc điểm của phƣơng pháp lặp. ................................................. 23
2


2.5. Thuật toán. ..................................................................................................... 23
3. Phƣơng pháp dây cung. .................................................................................... 23
3.1.Nội dung phƣơng pháp. .................................................................................. 23
3.2.Sự hội tụ của phƣơng pháp............................................................................. 27
3.3.Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng. ........................................................... 27
3.4.Ƣu nhƣợc điểm của phƣơng pháp dây cung. ................................................. 29
3.5.Thuật toán. ...................................................................................................... 31

3.6.Chƣơng trình. ................................................................................................. 32
4. Phƣơng pháp tiếp tuyến (phƣơng pháp Newton). ............................................ 33
4.1.Nội dung phƣơng pháp. .................................................................................. 33
4.2.Sự hội tụ của phƣơng pháp............................................................................. 36
4.3.Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng. ........................................................... 37
4.4.Ƣu nhƣợc điểm của phƣơng pháp tiếp tuyến. ................................................ 38
4.5.Thuật toán. ...................................................................................................... 39
4.6.Chƣơng trình. ................................................................................................. 40
4.7.Giải gần đúng hệ thống phƣơng trình phi tuyến bằng phƣơng pháp Newton.41
5.So sánh một số phƣơng pháp giải phƣơng trình phi tuyến. .............................. 45
T

UT

M

ẢO…………………………………………………...54

KẾT LUẬN ......................................................................................................... 55

3


P ẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu lí thuyết
xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phƣơng trình thƣờng
gặp……đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phƣơng pháp số giải gần
đúng các bài toán thực tế đƣợc mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học.
Trong nghiên cứu khoa học và trong thực tế có rất nhiều bài toán đƣợc

chuyển thành bài toán giải phƣơng trình:

f ( x)  0

(1)

Tuy nhiên, chỉ trong một số trƣờng hợp đặc biệt ta mới có cách tìm
nghiệm đúng của phƣơng trình đó, các trƣờng hợp còn lại đều phải tìm cách
giải gần đúng. Nếu phƣơng trình đó xuất phát từ bài toán thực tế thì biểu thức
(1) thƣờng cũng chỉ biết gần đúng. Vì thế việc giải gần đúng phƣơng trình đó
chẳng những không thực hiện nổi mà nhiều khi không có ý nghĩa. Đối với các
bài toán đó thì việc xác định sai số là một vấn đề đáng quan tâm.
Vấn đề tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình phi tuyến có ý nghĩa lí
thuyết và ứng dụng rất lớn là cơ sở của môn giải tích số. Vì vậy, em đã lựa chọn
đề tài cho khóa luận tốt nghiệp này là: “Một số phƣơng pháp giải gần đúng
phƣơng trình phi tuyến”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của các phƣơng pháp
giải phƣơng trình phi tuyến là: phƣơng pháp chia đôi, phƣơng pháp dây cung,
phƣơng pháp lặp đơn, phƣơng pháp Newton. Sau đó vận dụng các phƣơng pháp
này giải một số hệ phƣơng trình phi tuyến 2 ẩn, 3 ẩn,….
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu việc giải phƣơng trình phi tuyến bằng phƣơng pháp phƣơng
pháp chia đôi, phƣơng pháp dây cung, phƣơng pháp lặp đơn, phƣơng pháp
Newton.
4


- Ứng dụng chƣơng trình Wolfram Mathematica 7 trong việc tìm nghiệm
gần đúng của phƣơng trình phi tuyến.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu một cách có hệ thông các kiến thức cơ bản các phƣơng pháp:
phƣơng pháp chia đôi, phƣơng pháp dây cung, phƣơng pháp lặp đơn, phƣơng
pháp Newton.
Ứng dụng chƣơng trình Wolfram Mathematica 7 trong việc tìm nghiệm
gần đúng của phƣơng trình phi tuyến .
Khóa luận đƣợc chia thành 2 chƣơng (ngoài phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo):
Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị.
Chƣơng II: Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình phi tuyến.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.

5


P ẦN NỘ DUNG
C ƢƠNG :

ẾN THỨC CHUẨN BỊ

1. Đặt vấn đề
Tìm nghiệm của phƣơng trình:

f ( x)  0

(1.1)

Trong đó f là một hàm số đại số hoặc siêu việt bất kì là một bài toán thƣờng
gặp trong kĩ thuật. Nhƣ đã biết, nếu (1.1) là phƣơng trình đại số bậc n:

a0 xn  a1xn1  ....  an1x  an  0

(1.2)

Với n  1 hoặc n  2 , ta có công thức tính nghiệm của chúng một cách đơn giản.
Ngƣời ta cũng tìm ra những công thức tính nghiệm của (1.2) khi n  3 và n  4 ,
nhƣng việc sử dụng chúng khá phức tạp. Còn đối với những phƣơng trình đại số
từ bậc năm trở lên thì không có công thức tính nghiệm. Hơn nữa, đối với
phƣơng trình siêu việt dạng (1.1) nhƣ: cos x  5x  0 thì không có công thức tính
nghiệm. Ngoài ra ta thƣờng gặp trƣờng hợp phƣơng trình (1.1) chứa các hệ số
chỉ biết một cách gần đúng, khi đó việc xác định chính nghiệm của (1.1) không
có ý nghĩa. Vì vậy, việc tìm những phƣơng pháp giải gần đúng phƣơng trình đại
số và siêu việt cũng nhƣ việc đánh giá mức độ xác định của nghiệm gần đúng
tìm đƣợc có một vai trò quan trọng.
Sau đây ta xét việc tính gần đúng nghiệm thực (hoặc chính xác) của
phƣơng trình (1.1) với giả thiết hàm f ( x) xác định và liên tục trong một khoảng
hữu hạn hoặc vô hạn. Mỗi số thực  thỏa mãn f ( )  0 gọi là nghiệm thực của
phƣơng trình (1.1). Ta cũng giả thiết thêm rằng phƣơng trình (1.1) chỉ có
nghiệm thực cô lập, nghĩa là với mỗi nghiệm thực của phƣơng trình (1.1) tồn tại
một miền lân cận không chứa những nghiệm thực khác của phƣơng trình.
Việc tính gần đúng nghiệm thực của phƣơng trình (1.1) đƣợc tiến hành
theo 2 bƣớc:
6


Bước 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm, nghĩa là tìm khoảng (a, b) chứa một
và chỉ một nghiệm thực của phƣơng trình (1.1).
Bước 2: Xuất phát từ khoảng cách ly nghiệm ở bƣớc 1, tính gần đúng
nghiệm thực của phƣơng trình (1.1) đạt độ chính xác yêu cầu bằng một phƣơng
pháp giải gần đúng.

2.

hoảng cách ly nghiệm
Định lý 1.1 dƣới đây cho ta cách tìm khoảng cách ly nghiệm của phƣơng

trình (1.1).
Định lý 1.1. Nếu hàm số f ( x ) liên tục trong (a, b) , f (a) f (b)  0 ,

f '( x) tồn tại và giữ dấu không đổi trong (a, b) thì trong (a, b) chỉ có một
nghiệm thực duy nhất của phƣơng trình (1.1).
Ý nghĩa hình học của định lý 1.1 nhƣ sau: một đƣờng cong liền nét

y  f ( x) chỉ tăng hoặc chỉ giảm, nối liền hai điểm A(a, f (a)) và B(b, f (b))
nằm ở hai phía khác nhau của trục Ox , cắt trục Ox tại một điểm duy nhất x  
(hình 1.1).
Từ định lý 1.1 suy ra rằng (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phƣơng
trình (1.1) nếu f (a). f (b)  0 , f '( x) tồn tại và giữ dấu không đổi trong (a, b) .
Để tìm khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình (1.1) có hai phƣơng pháp giải
tích và hình học.

Hình 1.1

7


2.1. Phương pháp giải tích
Xác định dấu của hàm số f ( x) tại các điểm mút của miền xác định của
hàm số f ( x) và tại các điểm trung gian x  1, x  2 ,...., x  n . Những điểm
này thƣờng đƣợc lựa chọn căn cứ vào đặc điểm của hàm số f ( x) . Mỗi khoảng,
ở đó hai điều kiện trên đƣợc thỏa mãn là một khoảng cách ly nghiệm của

phƣơng trình (1.1). Thông thƣờng để tiện, ngƣời ta thƣờng dùng quá trình chia
đôi, chia khoảng xác định của hàm số f ( x) thành hai, bốn, tám,… phần bằng
nhau và xác định dấu của hàm số f ( x) tại hai mút của khoảng xác định và tại
các điểm chia.
Chú ý rằng phƣơng trình đại số bậc n (1.2) có không nhiều hơn n
nghiệm thực, do đó nếu ta đã tìm đƣợc n  1 điểm ở đó:
a0 xn  a1xn1  ....  an  0 lần lƣợt thay đổi dấu thì điều đó có nghĩa là phƣơng

trình (1.2) có n nghiệm thực và từ n  1 điểm trên, ta dễ dàng xác định đƣợc n
khoảng cách ly nghiệm.
Ví dụ 1.1: Tìm khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình:
f ( x )  x3  6 x  2  0

Giải:
Thành lập bảng dấu của hàm số f ( x)
x

Dấu của

f ( x)

-∞

-3

-2

0

1

2

3

+∞

-

-

+

+

-

-

+

+

Từ bảng trên ta tìm đƣợc bốn điểm -3, -2, 1, 3, ở đó x3  6 x  2 lần lƣợt
thay đổi dấu. Kết hợp với điều kiện f '( x ) tồn tại và giữ dấu không đổi ta suy ra

(3,  2); (0, 1); (2, 3) là ba khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình đã cho.
Trong trƣờng hợp f '( x ) là một hàm số liên tục và phƣơng trình f '( x)  0
dễ tìm nghiệm, để tìm những khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình (1.1) ta
chỉ cần xác định dấu của hàm số f ( x) tại hai mút của khoảng xác định và tại

các không điểm của đạo hàm f '( x) hoặc tại các điểm gần các không điểm của
đạo hàm f '( x) .
8


Ví dụ 1.2: Tìm những khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình:
f ( x )  2 x  5x  3  0

Giải:
Ta có: f '( x)  2 x ln 2  5 . Do đó f '( x)  0 khi:
2 x ln 2  5  0
5
 2x 
ln 2
 x lg 2  lg5  lg ln 2
x

lg5  lg ln 2 0,6990  0,1592 0,8582


 2,85
lg 2
0,3010
0,3010

Thành lập bảng dấu của hàm số f ( x) tại hai mút của khoảng xác định và
tại hai điểm 2 và 3 gần không điểm của đạo hàm f '  x  :
2

-∞

x

Dấu của f ( x)

+

3
-

+∞
-

+

Từ bảng trên ta suy ra phƣơng trình đã cho có hai nghiệm thực. Để tìm
hiểu đƣợc hai khoảng hẹp hơn chứa hai nghiệm thực, ta xét bảng dấu sau:
x

Dấu

f ( x)

-1

0

2

3

+

-

-

-

4

5

của
-

+

Vậy các khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình đã cho là (-1, 0) và
(4, 5).
2.2. Phương pháp hình học
Trong trƣờng hợp đồ thị của hàm số y  f ( x) dễ vẽ, để tìm hiểu những
khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình (1.1), ta vẽ đồ thị của hàm số

y  f ( x) . Hoành độ các giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox cho ta các giá
trị thô của các nghiệm thực của phƣơng trình (1.1). Từ đồ thị, ta dễ dàng tìm
đƣợc các khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình (1.1).

9

Nếu đồ thị của hàm số y  f ( x) khó vẽ, ta đƣa phƣơng trình (1.1) về
phƣơng trình tƣơng đƣơng:

g ( x)  h( x)
sao cho đồ thị của hai hàm số y  h( x) và y  g  x  dễ vẽ. Ta vẽ hai đồ thị đó và
trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoành độ các giao điểm của hai đồ thị cho ta các
giá trị thô của các nghiệm thực của phƣơng trình (1.1). Từ đồ thị, ta cũng dễ
dàng tìm đƣợc các khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình (1.1).
Ví dụ 1.3. Dùng phƣơng pháp đồ thị, tìm những khoảng cách ly nghiệm
của phƣơng trình:
f ( x)  x3  3x  1  0

Giải:
Cách 1: Vẽ đồ thị của hàm số y  x3  3x  1 (hình 1.2). Ta thấy rằng đồ thị
cắt trục hoành Ox tại ba điểm, do đó phƣơng trình đã cho có ba nghiệm thực.
Từ đồ thị, ta tìm đƣợc ba khoảng cách ly nghiệm: (-2, -1); (-1, 0); (1, 2).
Cách 2: Đƣa phƣơng trình đã cho về dạng tƣơng đƣơng sau:
x3  3x  1

Vẽ đồ thị của hai hàm số y  x3, y  3x  1 và trên cùng một hệ trục tọa độ
(hình 1.3). Ta thấy rằng: hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm do đó phƣơng trình đã
cho có ba nghiệm thực. Từ đồ thị, ta cũng tìm đƣợc ba khoảng cách ly nghiệm
nhƣ ở cách 1.

10


6

5

4

3

2

1

12

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

12

1

2

3

4

5

6

Hình 1.2
6

5

4

3

2

1

12

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

12

1

2

3

4

5

6

Hình 1.3

11


C ƢƠNG

: MỘT SỐ P ƢƠNG P ÁP G Ả P ƢƠNG TRÌN

P

TUYẾN
1. Phƣơng pháp chia đôi
1.1. Nội dung phương pháp
Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình (1.1). Nội dung
của phƣơng pháp chia đôi nhƣ sau: ta chia đôi khoảng (a, b)
- Nếu f (

ab
ab
là nghiệm đúng của phƣơng trình (1.1).
)  0 thì  
2
2

- Nếu f (

ab
a b a b
)  0 , ta chọn một trong hai khoảng (a,
); (
, b) mà
2
2
2

tại hai nút của khoảng hàm số f ( x) có dấu khác nhau, làm khoảng cách ly
nghiệm mới. Ta gọi khoảng này là (a1, b1) , nó có độ dài bằng nửa khoảng (a, b)
1
b1  a1  (a  b)
2

Ta lại chia đôi khoảng (a1, b1) và tiếp tục làm nhƣ trên ta thu đƣợc các
khoảng lồng nhau (a1, b1)  (a2 , b2 )....  (an , bn )  ... . ( hình 1.4).

Hình 1.4
1.2. Sự hội tụ của phương pháp
Nếu ta vô hạn lần phƣơng pháp chia đôi đối với khoảng (a, b) thì tại một
lần nào đó, điểm giữa khoảng cách là nghiệm đúng của phƣơng trình (1.1)

12


(trƣờng hợp này ít xảy ra) hoặc ta nhận đƣợc một dãy vô hạn các khoảng chồng
lên nhau và thu nhỏ dần (a1, b1), (a2 , b2 ),...., (an , bn ),.... sao cho:

f (an ) f (bn )  0
1
bn  an  n (b  a)
2

và:

(1.3)
(n  1, 2,...)

(1.4)

Vì các mút trái a1, a2 ,..., an ,... tạo nên dãy đơn điệu không giảm và bị
chặn trên bởi số b, còn các mút phải bn ,..., b2 , b1 tạo nên dãy đơn điệu không
tăng và bị chặn dƣới bởi số a , nên khi n   , từ đẳng thức (1.4), ta nhận
đƣợc:
lim a  lim b  
n n n n

Cho n   trong bất đẳng thức (1.3), do sự liên tục của hàm số f ( x) ,
ta có:
[f ( )]2  0

Vậy f ( )  0,  là nghiệm của phƣơng trình (1.1).
1.3. Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng
Trong thực hành, ta không thể thực hiện phƣơng pháp chia đôi vô hạn lần
để nhận đƣợc nghiệm đúng của phƣơng trình (1.1) mà chỉ có thể áp dụng n lần
phƣơng pháp chia đôi, với n là một số nguyên, dƣơng, hữu hạn. Dừng lại ở lần
thứ n , ta có:
1

an    bn , bn  an  n (b  a )
2

Vậy có thể lấy nghiệm gần đúng là:
a)

an , khi đó sai số của nghiệm gần đúng là:
1
an    bn  an  n (b  a )
2

b)

bn , khi đó sai số nghiệm gần đúng là:
1
bn    bn  an  n (b  a )
2

13


an  bn
, khi đó sai số của nghiệm gần đúng là:
2

c)

an  bn
1
1

   (bn  an )  n1 (b  a)
2
2
2

1.4.Ưu nhược điểm của phương pháp
Ƣu điểm của phƣơng pháp chia đôi là đơn giản, dễ lập chƣơng trình chạy
trên máy tính, vì mỗi lần áp dụng phƣơng pháp chia đôi, ta chỉ phải tính một giá
trị của hàm số tại điểm giữa của khoảng. Nhƣợc điểm của phƣơng pháp là tốc độ
hội tụ chậm.
Ví dụ 1.4: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình:
f ( x )  x3  x  1  0

Bằng phƣơng pháp chia đôi, biết khoảng cách ly nghiệm là (1, 2) và độ
chính xác 0,004
Giải:
Ta có f (1)  1; f (2)  5 . Áp dụng liên tiếp phƣơng pháp chia đôi đối với
khoảng (1, 2), ta nhận đƣợc bảng kết quả dƣới.
Số
lần

an

lăp

bn

a b
xn  n n
2

f ( an )

f (bn )

f  xn 

bn  an
2

n
0

1

2

1,5

-1

5

0,875

0,5

1

1

1,5

1,25

-1

0,875

-0,29688 0,25

2

1,25

1,5

1,375

-0,2968

0,875

0,22461

3

1,25

1,375

1,3125

-0,2968

0,2246

-0,05151 0,0625

4

1,3125

1,375

1,34375

-0,0515

0,2246

0,08261

0,03125

5

1,3125

1,3437

1,3281

-0,0515

0,0826

0,01446

0,01563

6

1,3125

1,3281

1,3203

-0,0515

0,01446 -0,01876 0,0078

7

1,3203

1,3281

1,3242

-0,01876 0,01446 -0,00221 0,0039

0,125

14


Dừng lại ở lần thứ 7, ta có thể lấy nghiệm gần đúng là 1,3242 với sai số
1
1,3242    .0,0078  0,0039
2

Vậy   1,3242  0,004
Ví dụ 1.5: Tìm nghiệm đúng của phƣơng trình:

f ( x )  x 2 log0,5 ( x  1)  1  0
Bằng phƣơng pháp lặp với độ chính xác 0,02 và khoảng cách ly nghiệm
(-0,8; -0,5)
Giải:
Ta có:

f ( 0,8)  0,486034
f ( 0,5)  0,75

Áp dụng liên tiếp phƣơng pháp chia đôi với khoảng cách ly nghiệm (-0,8;
-0,5), ta nhận đƣợc bảng kết quả sau:
Số
lần

an

bn

a b
xn  n n
2

f ( an )

f (bn )

f  xn 

lăp n

bn  an
2

1

-0,8

-0,5

-0,65

0,48

-0,75

-0,36

0,15

2

-0,8

-0,65

-0,725

0,48

-0,36

-0,02

0,075

3

-0,8

-0,725

-0,7625

0,48

-0,02

0,2

0,0375

4

-0,7625

-0,725

-0,74375

0,2

-0,02

0,08

0,018

5

-0,74375 -0,725

-0,734375

0,08

-0,02

0,03

0,009

Dừng lại ở lần thứ 5, ta có thể lấy nghiệm gần đúng là -0,734375 với sai số 0,09

15


1.5. Thuật toán

1.6 .Chương trình
Bisection[a0_,b0_,m_] :=
Module[{},
a = N[a0];
b = N[b0];
c = (a + b)/2;
k = 0;
f[x_]=x3+3 x2-3;
output={{k,a,c,b,f[c]}};
While[Abs[(b-a)/2]>m,
If[ Sign[f[b]] == Sign[f[c]],
b = c, a = c; ];
c = (a + b)/2;
e=(b-a)/2;
output=Append[output,{k,a,c,b,f[c],f[a],f[b],e}];
k = k+1; ];

Print[NumberForm[TableForm[output,
TableHeadings->{None,{"k","ak","ck","bk","f[ck]","f[ak]","f[bk]","ek"}}],16]];
Print[" nghiem cua phuong trinh c = ",NumberForm[c,16] ];
Print["so lan lap k = ",k]; ]
Bisection[-3,-2,0.001];
16


Plot[x3+3x2-3,{x,-3,-2}]
t

ả

1

2.8

2.6

2.4

2.2

2.0

1

2

3

2. Phƣơng pháp lặp
2.1. Nội dung phương pháp
Phƣơng pháp lặp là một trong những phƣơng pháp quan trọng để giải gần
đúng phƣơng trình (1.1). Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phƣơng
trình (1.1). Nội dung của phƣơng pháp lặp nhƣ sau: đƣa phƣơng trình (1.1) về
phƣơng trình tƣơng đƣơng:

x   ( x)

(1.5)

17


Có nhiều cách đƣa phƣơng trình (1.1) về phƣơng trình (1.5). Ví dụ đối với
phƣơng trình:
x3  x  1  0

ta có thể viết:
a)

x  x3  1

b)

1
x  (1  x) 3

c)

x  x 1  x 2

Bây giờ, ta chọn x0  a, b làm nghiệm gần đúng ban đầu. Thay x  x0
vào vế phải của (1.5), ta nhận đƣợc nghiệm gần đúng thứ nhất:
x1   ( x0 )

(1.6)

Thay x0  x1 vào vế phải của (1.6), ta nhận đƣợc nghiệm gần đúng thứ
hai:
x2   ( x1)

Lặp lại nhiều lần quá trình trên, ta nhận đƣợc các nghiệm gần đúng:
x3   ( x2 )
x4   ( x3 )

(1.7)

.....
xn   ( xn1)
.....

Nếu dãy các nghiệm gần đúng xn , n  1,2,3,... , nhận đƣợc từ (1.7) hội
tụ, nghĩa là:
lim x  
n n

khi n   trong (1.7), với giả thiết hàm số  ( x) liên tục trong (a, b) , ta có:
lim x  lim  ( xn1) 

n n n

hay:

 (n
lim xn1)

   ( )
Điều đó chứng tỏ rằng  là nghiệm đúng của phƣơng trình (1.5) và do đó

cũng là nghiệm đúng của phƣơng trình (1.1). (hình 1.5)
18


Hình 1.5
2.2. Sự hội tụ của phương pháp
Định lý 1.2 sau đây cho ta cách chọn hàm số  ( x) để dãy
x1, x2 ,..., xn ,... hội tụ đến nghiệm  .

Định lí 1.2. Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm (chứa nghiệm x   )
của phƣơng trình f ( x)  0;  ( x),  ,( x) là những hàm số liên tục trong a, b ,
với  ( x) đƣợc xác định bởi x   ( x) , tƣơng đƣơng với phƣơng trình f ( x)  0 ;
mọi  ( x)  a, b với x  a, b , nếu  '( x)  q  1 đối với x  a, b thì dãy các
nghiệm gần đúng xn , n  1,2,3,... nhận đƣợc từ (1.7), hội tụ đến nghiệm  .
Chứng minh:
Vì  là nghiệm, nên:

   ( )

(1.8)

Lấy (1.6) trừ (1.8) ta có:
x1     ( x0 )   ( )

Áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange) vào vế phải, ta
đƣợc:
x1     '(c1)( x0   )

19


với c1 gồm giữa x0 và  , và:
x1     '(c1) x0    q x0  

Tƣơng tự ta nhận đƣợc:
x2    q x1  
x3    q x2  
........
xn    q xn1  

Từ các bất đẳng thức trên ta suy ra:

x2    q x1    qq x0    q2 x  
0
x3    q x2    qq2 x0    q3 x0  
........
xn    q xn1    qqn1 x0    qn x0  
Khi n   , vì q  1 , nên vế phải tiến đến 0. Điều đó cũng chứng tỏ rằng
dãy các nghiệm gần đúng x1, x2 ,.... hội tụ đến nghiệm  .
2.3. Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Để đánh giá độ lệch giữa nghiệm gần đúng xn , nhận đƣợc bằng phƣơng
pháp lặp và nghiệm đúng  của phƣơng trình (1.1), ta xét hiệu xn   . Từ
chứng minh định lý (1.2) ta có:
xn    q xn1    q xn1  xn  xn    q xn1  xn  q xn  
(1  q) xn    q xn1  xn

Ta có:
Vậy:

xn   

q
x x
1  q n1 n

(1.9)

Ta cũng có thể viết vế phải của (1.9) dƣới dạng sau. Theo (1.7), ta có:
xn   ( xn1), xn1   ( xn2 ) và áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức

Lagrange). Ta có:
xn  xn1   ( xn1)   ( xn2 )   '(cn )( xn1  xn2 )

20


với cn nằm giữa xn1 và xn2 .
Vì  '( x)  q  1 đối với x [a, b] nên:
xn  xn1   '(cn ) xn1  xn2  q xn1  xn2

Từ bất đẳng thức trên, cho n  2, 3, 4,.... ta lần lƣợt nhận đƣợc:
x2  x1  q x1  x0
x3  x2  q x2  x1  q2 x1  x0
...........
xn  xn1  qn1 x1  x0

Thay vào vế phải của (1.9), ta có:
xn   

qn
x x
1 q 1 0

(1.10)

Từ (1.10), dễ dàng thấy rằng sự hội tụ của phƣơng pháp lặp càng nhanh
nếu q càng bé. Bất đẳng thức (1.10) cũng cho phép sau lần lặp thứ nhất (sau khi
biết đƣợc x1 ), xác định số lần lặp cần tiến hành N ( ) để nhận đƣợc nghiệm gần
đúng xn đạt độ chính xác  . Thật vậy, để xn   không lớn hơn  chỉ cần:
qn
x x 
1 q 1 0
lg

nghĩa là:

N ( ) 

 (1  q)
x1  x0

lg q

(1.11)

Ví dụ 1.6: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình:
f ( x)  5x3  20 x  3  0

Bằng phƣơng pháp lặp với độ chính xác 104 , biết khoảng cách ly
nghiệm là (0, 1).
Giải:
Trƣớc hết, cần đƣa phƣơng trình đã cho về phƣơng trình tƣơng đƣơng:

x   ( x) . Có nhiều cách, chẳng hạn:

21


x  x  (5x3  20 x  3), 1( x )  5x 3  19 x  3
20 x  3
20 x  3
, 2 ( x )  3
5
5
5x3  3
5x3  3
x
, 3 ( x ) 
20
20
x3

Theo định lý (1.2), nếu  ( x) thỏa mãn điều kiện  '( x)  q  1 trên (0, 1)
thì quá trình lặp hội tụ. Ta có:

1 '( x)  15x2  19  1 trên (0, 1)
2 '( x ) 

4
>1 với x  (0, 1)
20
x

3
2
33 (
)
5

3 '( x) 

3x 2
 1 trên (0, 1)
4

Nhƣ vậy, ta có thể dùng 3( x) 

5x 2  3
3x 2
với 3 '( x) 
 0,75  q  1

20
4

trên [0, 1] và có công thức lặp sau:
5xn31  3
xn 
20

(1.12)

Dùng đánh giá (1.9), thấy rằng, để tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình
đã cho với độ chính xác 104 , xn  x
cần thỏa mãn:
n1
xn  xn1 

0,0001.(1  0,75)
 0,00003
0,75

(1.13)

Vậy ta bắt đầu quá trình lặp bằng cách chọn x0 là một số bất kì thuộc
[0, 1], chẳng hạn x0  0,75 . Sau đó ta tính xn với n  1,2,3,.... Theo công thức
(1.12), cho đến khi điều kiện (1.13) đƣợc thỏa mãn. Kết quả tính nhƣ sau:
5x03  3
x1 
 0,25547
20
5x13  3

x2 
 0,15417
20

22


5x23  3
x3 
 0,15092
20
5x33  3
x4 
 0,15086
20
5x43  3
x5 
 0,15086
20
Vậy ta có thể dừng lại ở lần thứ 5 và nghiệm gần đúng của phƣơng trình đã
cho có độ chính xác 104 là: 0,1509.
2.4. Ưu điểm nhược điểm của phương pháp lặp
Phƣơng pháp lặp là một trong những phƣơng pháp quan trọng để tính gần
đúng nghiệm thực của phƣơng trình đại số và siêu việt. Ƣu điểm của phƣơng
pháp lặp là tốc độ hội tụ khá nhanh. Nhƣợc điểm của phƣơng pháp lặp là khi q
gần 1 thì tốc độ hội tụ rất chậm.
2.5. Thuật toán
- Khai báo hàm g ( x )
- Nhập x
- Lặp:

yx
x  g( y)

Trong khi x  y  
- Xuất nghiệm: x
3. Phƣơng pháp dây cung
3.1. Nội dung phương pháp
Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình (1.1). Nội dung
của phƣơng pháp dây cung là trên [a, b], thay cung cong của đƣờng cong:

y  f ( x) bằng dây cung trƣơng cung cong ấy và xem hoành độ x1 của giao
điểm của dây cung với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng  . Để xây
dựng công thức tính x1 , ta xét hai trƣờng hợp sau:
a) Trường hợp 1:
23


f '( x) f "( x)  0 . Để xác định, xem f (a)  0 , f (b)  0 , f '( x)  0, f "( x)  0
với x  (a, b) (hình 1.6a). Dây cung AB là đƣờng thẳng đi qua hai điểm

A(a, f (a)); B(b, f (b)) nên phƣơng trình dây cung AB là:
y  f (a )
xa

f (b)  f (a ) b  a

Để tìm hoành độ x1 là giao điểm của dây cung AB với trục hoành, ta đặt
trong phƣơng trình trên x  x1 và y  0 :
x a
 f (a )

 1
f (b)  f (a ) b  a
 x1  a 

f (a )(b  a )
f (b)  f (a )

Nghiệm  bây giờ nằm trong khoảng ( x1, b) . Nếu x1 chƣa đạt độ chính
xác yêu cầu, ta thay (a, b) bằng ( x1, b) và lại áp dụng phƣơng pháp dây cung
đối với ( x1, b) , ta nhận đƣợc x2 là xấp xỉ nghiệm của  tốt hơn x1 :
x2  x1 

f ( x1)(b  x1)
f (b)  f ( x1)

Tiếp tục quá trình trên trong trƣờng hợp tổng quát, ta nhận đƣợc:
xn1  xn 

f ( xn )(b  xn )
, n  2, 3,...
f (b)  f ( xn )

(1.14)

Quá trình dừng lại khi ta nhận đƣợc nghiệm gần đúng đạt độ chính xác
yêu cầu.
Công thức (1.14) vẫn đúng trong trƣờng hợp f (a)  0, f (b)  0,

f '( x)  0, f "( x)  0 (hình 1.6b)

24


Hình 1.6a

Hình 1.6b
Hình 1.6

b) Trường hợp 2:

f '( x) f "( x)  0 . Để xác định xem f (a)  0, f (b)  0, f '( x)  0, f "( x)  0
với x  (a, b) (hình 1.7a). Dây cung AB là đƣờng thẳng đi qua hai điểm

A(a, f (a)), B(b, f (b)) nên phƣơng trình của dây cung AB là:
y  f (b)
x b

f (b)  f (a ) b  a

Hình 1.7a

Hình 1.7b
Hình 1.7

25