Bài tập nâng cao thể tích khối đa diện có đáp án

TH TCH KHI A DIN
I.

TH TCH KHI CHểP TAM GIC

1./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA=3a (vi a>0); SA to vi ỏy (ABC) mt gúc bng 600.Tam
giỏc ABC vuụng ti B, ãACB = 300 . G l trng tõm ca tam giỏc ABC. Hai mt phng
(SGB) v (SGC) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABC). Tớnh th tớch ca hỡnh chúp S.ABC
S: V =

theo a.

243 3
a
112

2./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú mt phng (SAC) vuụng gúc vi mt phng (ABC),
SA = AB = a, AC = 2a, ãASC = ãABC = 90 0 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABC v cosin ca gúc
S: V =

gia hai mt phng (SAB), (SBC).

a3
105
.
, cos =
4
35

3./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh bng a , tam giỏc SAC cõn ti
S v nm trong mt phng vuụng gúc vi ỏy, SB hp vi ỏy mt gúc 300, M l

trung im ca BC . Tớnh th tớch khi chúp S.ABM v khong cỏch gia hai ng thng
S: V =

SB v AM theo a .

3 3
a
a ,d =
48
13

4./ cho hỡnh chop S.ABC , ỏy tam giỏc vuụng ti A, ãABC = 600 , BC = 2a. gi H l hỡnh chiu
vuụng gúc ca A lờn BC, bit SH vuụng gúc vi mp(ABC) v SA to vi ỏy mt gúc 600.
Tớnh th tớch khi chop S.ABC v khong cỏch t B n mp(SAC) theo a.
S: V =

3 3
2a
a ,d =
.
4
5

5./ Cho hỡnh chúp S.ABC tam giỏc ABC vuụng ti B, BC = a, AC = 2a, tam giỏc SAB u.
Hỡnh chiu ca S lờn mt phng (ABC) trựng vi trung im M ca AC. Tớnh th tớch khi
chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng SA v BC.
S: V =

a3
2 66

,d =
a
11
6

6./Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A,AB = AC = a,

ãSBA = ãSCA = 900

gúc gia cnh bờn SA vi mt phng ỏy bng 600. Tớnh theo a th tớch khi chúp

S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng BC, SA..

S: V =

6 3
6
a ,d =
a
6
4

7./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AB = BC = a 3 ,
ãSAB = ãSCB = 900 v khong cỏch t A n mt phng (SBC) bng a 2 . Tớnh th tớch khi
chúp S.ABC v din tớch mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABC theo a .
S: V =

6 3
a ,S = 12 a 2
2

8./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u; mt bờn SAB nm trong mt phng
vuụng gúc vi mt phng ỏy v tam giỏc SAB vuụng ti S, SA = a 3 , SB = a . Gi K l
trung im ca on AC. Tớnh th tớch khi chúp S.ABC v khang cỏch gia hai ng thng
a3
15
BC v SK theo a.
S: V = ,d =
a
2
5
9./ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=4a,
BC=3a, gọi I là trung điểm của AB , hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng
vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC)
bẳng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đờng
thẳng SB và AC theo a.

S: V =
1

12 3 3
6 3
a ,d =
a
5
5


10./ Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a, ·BAC = 120 0
hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.

Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc α , biết tan α =
S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

3
.Tính thể tích khối chóp
7

ĐS: V =

3 3
3 13
a ,d =
a
12
13

11./ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, góc BAC =120 0. Gọi H, M lần
lượt là trung điểm các cạnh BC và SC, SH vuông góc với (ABC), SA=2a và tạo với mặt đáy
góc 600. Tính theo a thể tích k.chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC.
a 21
ĐS: V = a 3 ,d =
7
12./ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a,·ACB = 300 . Hình
chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH = a 2 .Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
ĐS: V =

6 3
2 66
a ,d =

a
6
11

13./ Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a 3 ,tam giác
ABC vuông tại B, AB= a 3 , AC = 2a. Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

ĐS: V =

a3
3
,d =
a
2
2

14./ Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh 3a và cạnh CD tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc 600. Gọi H là điểm nằm trên AB sao cho AB = 3AH và mặt phẳng
(DHC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tính theo a thể tích tứ diện đã cho và khoảng cách
từ điểm D đến mặt phẳng (MAB) , biết M là trung điểm CD và mặt phẳng (ABD) vuông
ĐS: V =

góc với mặt phẳng (ABC)

9 7 3
3 777
a ,d =
a
4

37

15./ Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C. Hình chiếu
của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; góc hợp bởi cạnh SC và mặt đáy
là 300 .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và tính khoảng cách của hai đường thẳng
ĐS: V =

SA và BC.

3 3
3
a ,d =
a
8
13

16./ cho hình chop S.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB = AC = a , I là trung điểm
của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của
BC , mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách
3 3
3
từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a. h
ĐS: V =
a ,d =
a
12
4
II.

THỂ TÍCH KHÔI CHÓP TỨ GIÁC

1./ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = 2a, BC = a 2 , BD = a 6 .
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác BCD ,
biết SG = 2a . Tính thể tích V của hình chóp S .ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng
ĐS: V = 4 2 a3, d = a.

AC và SB theo a .

3

2./ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = a 3 . Hai mặt
phẳng (SAC ) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC = 3IC.

2


hTính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết
15 3
4a
a ,d =
3
33

ĐS: V =

AI vuông góc với SC.

3./ cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và đáy ABCD là
hình chữ nhật ; AB = a, AD = 2a. Gọi M là trung điểm của BC , N là giao điểm của AC và
DM , H là hình chiếu vuông góc của A lên SB .Biết góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD)

là ϕ , với tan ϕ =

10
.Tính thể tích khối chop S.ABMN và khoảng cách từ H đến (SMD)
5

ĐS: V =

5 2 3
a
a , d=
18
3

4./Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại
S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho
HA = 3HD. Gọi M là trung điểm của AB. Biết rằng SA = 2a 3 và đường thẳng SC tạo với
đáy một góc 300. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (SBC).

ĐS: V =

8 6 3
66
a ,d =
a
3
11

5./ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; SA vuông góc với mặt đáy

(ABCD); AB = 2a ; AD = CD = a . Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD) là 60 0.
Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M,
ĐS: V = 7 6 a3

N. Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a.

27

6./ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu của đỉnh S
trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AO, góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt
phẳng (ABCD) là 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ trọng tâm
ĐS: V = 3 a3,d = a 3

tam giác SAB đến mặt phẳng (SCD ) .

4

3

7./ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp
1
3

S.ABCD và khoảng cách từ D tới mặt phẳng (SBC).

ĐS: V = a3,d =

2
a.

2

8./ cho hình chop S.ABCD, có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AC = 2a. SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300 , Gọi M là một điểm trên cạnh
AB sao cho BM = 3MA.Tính thể tích khối chop S.DCM và khoảng cách và khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SCM ) .

ĐS: V = 6 a3,d = 2 34 a
3

51

·
9./ Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD cạnh a, góc ABC
= 1200 . Gọi G là trọng tâm

·
tam giác ABD, trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại G lấy điểm S sao cho ASC
= 900 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến (SBD) theo a.
2 3
6
a ,d=
a
6
9
10./ Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ. Biết
rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt đáy, SC = a 5 và khoảng cách từ D tới mặt phẳng ( SHC ) bằng 2a 2 (ở

ĐS: V =

đây H là trung điểm AB ). Hãy tính thể tích k.chóp theo a.
3

ĐS : VS . ABCD =

4a 3
3


11./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Gi M v N ln lt l trung
im ca cỏc cnh AB v AD; H l giao im ca CN vi DM. Bit SH vuụng gúc vi mt
phng (ABCD) v SH = a 3 .Tớnh th tớch khi chúp S.CDNM v tớnh khong cỏch gia hai
S: V =

ng thng DM v SC theo a.

5 3 3
2 3
a ,d=
a
24
19

12./ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB = BC = a;
AD = 2a. Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy
(ABCD).Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 60 0.Tính thể
tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đờng thẳng CD và SB.

s : V =

a3 3
2a 3
;d=
5
3

13./ Cho hỡnh chúp S . ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a, AD = a 2 , tam
giỏc SAB cõn ti S v mt phng ( SAB ) vuụng gúc vi mt phng ( ABCD ) . Bit gúc gia
mt phng ( SAC ) v mt phng ( ABCD ) bng 600 . Tớnh th tớch khi chúp S . ABCD . Gi
H l trung im cnh AB tớnh cosin ca gúc gia hai ng thng CH v SD.
s : V =

a3
7 11
; cos =
3
33

14./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = a, AD = 2 2a . Hỡnh chiu
vuụng gúc ca im S trờn mt phng (ABCD) trựng vi trng tõm tam giỏc BCD. ng
thng SA to vi mt phng(ABCD) mt gúc 450. Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABCD
v khong cỏch gia hai ng thng AC v SD theo a.

s : V =

2 2a
4 2 3
a ;d=

11
3

III. TH TCH KHI LNG TR
1./ Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.A ' B 'C ' vi A '.ABC l hỡnh chúp tam giỏc u cnh
ỏy AB = a , cnh bờn AA ' = a 2 . Gi l gúc gia hai mt phng ( ABC) v
mt phng ( A ' BC) . Tớnh tan v th tớch chúp A '.BCC ' B '.

s: V =

5 3
a
6

2./ Cho khi lng tr ng ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B vi
AB = a , AA' = 2a , A'C = 3a. Gi M l trung im cnh C'A', I l giao im ca ng thng
AM v A'C.Tớnh theo a th tớch khi IABC v khong cỏch t A ti mt phng (IBC ) .
2a
2 5 3
s: V =
.
a ,d=
5
3
3./ Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B; AB = a.
Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A' lờn mt phng (ABC) l im H thuc cnh AC sao cho
HC = 2HA. Mt bờn (ABB'A') hp vi mt ỏy (ABC) mt gúc bng 60 0. Tớnh theo a th tớch
ca khi lng tr ABC.A'B'C' v khong cỏch gia hai ng thng AB v CC'.
s: V =

3 3
a 3
.
a ,d=
6
2

4./ Cho hỡnh lng tr ABCD.A ' B 'C ' D ' cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , cnh bờn

4


AA' = a, hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt phẳng (ABCD ) trùng với trung điểm I của
AB . Gọi K là trung điểm của BC . Tính theo a thể tích khối chóp A'.IKD và khoảng cách từ
Đs: V =

I đến mặt phẳng (A’KD).

3 3
3 2
a ,d =
a.
16
8

5./ Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, với AB = a, BC = 2a, ·ABC = 600 , hình chiếu vuông
góc của A’ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G của ∆ ABC ; góc giữa AA’ và
mp(ABC) bằng 600. tính thể tích khối chop A’.ABC và khoảng cách từ G đến mp(A’BC).
a3
2 51

Đs: V = ,d =
a
3
51

6./ Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và ·ABC = 300 .
Biết M là trung điểm của AB , tam giác MA’C đều cạnh a và nằm trong một mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
và khoảng giữa hai đường thẳng AC , BB’ .

3
7

Đs: V = a 3 ,d =

3
a
2

7./ Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’, có đáy là hình thoi cạnh bằng a
và ·BAD = 600 .Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và B’C biết rằng MN vuông
góc với BD’ . Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng
Đs: V =

MN và BD’ theo a.

6 3
3
a ,d =
a.

4
4

8./ Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a,
mặt bên ACC’A’ là hình vuông. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, CC’, A’B’ và H
là hình chiếu của A lên BC. Tính thể tích khối chóp A’.HMN và khoảng cách giữa hai đường
Đs : V =

thẳng MP và HN.
9./ Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA' =

9 3
a 3
a ,d =
32
4

a 10
,AC = a 2 , BC = a, ·ACB = 1350 . Hình
4

chiếu vuông góc của C' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính theo a thể
tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và góc tạo bởi đường thẳng C'M với mặt phẳng (ACC' A').
6 3
Đs : V =
a ,α = 30 0
8
10./ Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác cân tại C, AB = AA’= a. Góc tạo
bởi đường thẳng BC’ vì mặt phẳng (ABB’A’) bằng 600 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của BB’, CC’ và BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai

Đs : V =

đường thẳng AM và NP theo a.

15 3
a 15
a ,d =
4
5

11./ Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = 2, BC = 4 .Hình
chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của AC. Góc giữa
hai mặt phẳng ( BCC1 B1 ) và ( ABC ) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng
Đs : V = 3 3 ,d =

cách giữa hai đường thẳng AA 1 và BC.

5

3
2