Chuong 2 co luu chat

CHƯƠNG 2
TĨNH HỌC LƯU CHẤT
Mục đích: Nghiên cứu chất lỏng ở trạng thái không chuyển động nên không bị ảnh
hưởng do độ nhớt gây nên
1. ÁP SUẤT THUỶ TĨNH
Giả sử ta lấy một khối chất lỏng đứng cân bẳng (H2.1a) dùng một mặt phNng cắt bỏ
nửa phần trên, vậy nửa phần còn lại muốn giữ cân bằng thì phải có một lực tương đương.

Trên mặt abc xung quanh điểm O ta lấy tiết diện A (H2.1b), gọi P là lực tác dụng lên
P
A, lập tỉ số
= Ptb , gọi là áp suất thủy tĩnh trung bình. Nếu ta cho A tiến tới không thì tỉ
A
P
số
tiến tới một giá trị P gọi là áp suất thủy tĩnh tại một điểm mà gọi tắt là áp suất thủy
A
tĩnh hay áp lực
P
N
lim
= P; 2
(2 – 1)
A →0 A
m
P: thứ nguyên là : [F.L-2]
Áp suất khí quyển ta có thể chọn các giá trị tương đối sau đây:
1at ≈ 10 5

N
m2

≈1

kg
cm 2

≈ 760 mmHg ≈ 10 mH 2 O ≈ 14,7 PSI

2. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THUỶ TĨNH
Áp suất tĩnh học trong lưu chất có tính đẳng hướng, có nghĩa là tại một điểm bất kỳ
trong lưu chất thì áp suất tĩnh học đều có giá trị như nhau theo mọi hướng. Và nó là một
hàm liên tục theo không gian.
P = f (x, y, z)
(2 – 2)
Phương trình vi phân toàn phần của áp suất được biểu diễn dưới dạng:
∂P
∂P
∂P
dP =
dx + dy + dz
(2 – 3)
∂x
∂y
∂z
Nếu Fx, Fy, Fz` là hình chiếu của lực trọng khối tính theo một đơn vị khối lượng lưu
chất lên các trục tọa độ x, y, z thì phương trình cân bằng tĩnh học của lưu chất được Euler
tìm ra năm 1755 dưới dạng:
17

1
ρ
1
Fy −
ρ
1
Fz −
ρ
Fx −


∂P
= 0
∂x


∂P
= 0
∂y


∂P
= 0
∂z


(2 – 4)

Trong trường trọng lực vector của lực trong khối có phương đi xuống nghĩa là hình
chiếu x=0, y = 0 và x = -g (gia tốc trọng trường)

Từ phương trình (2 – 3), (2 – 4) ta có:
dP
= Fxdx + Fydy + Fzdz
( 2 -5)
ρ
dP
= − gdz
Và trong trường trọng lực ta có:
(2 – 6)
ρ
Mặt khác khi ta gọi bề mặt đẳng áp là bề mặt mà ở đó áp suất không đổi P = const
⇒ dP = 0
Từ phương trình (2 - 3) ta có: Fxdx + Fydy + Fzdz = 0
(2 – 7)
Phương trình cơ bản của thủy tĩnh trong môi trường trọng lực, lấy tích phân phương
trình (2– 6) nhận được:
P
gz + = const
(2 – 8)
ρ
Còn bề mặt đẳng áp nếu z = const thì – gdz = 0
Vậy tại zo = const thì áp suất là Po
Tại z = const thì áp suất là P
Theo phương trình cơ bản thủy tĩnh (2 – 8) viết được
P
P
gz 0 + 0 = gz +
ρ
ρ
P

P
z0 + 0 = z +
γ
γ
N
Suy ra: P = P0 + γ (z 0 − z) Hoặc P = P0 + γ h ; 2
m

18

(2 - 9)

(2 – 10)


• Tên gọi và thứ nguyên phương trình (2 -10)
P
z + : thế năng
γ
P
: gọi là ống penzômét
γ
N
• Thứ nguyên: m cột lỏng hoặc 2
m
Ứng dụng: Phương trình (2 -10) được ứng dụng vào các lĩnh vực như đo áp suất,
định luật bình thông nhau, định luật Pascal…
2.1.

Định luật bình thông nhau

Có hai bình thông nhau chức chất lỏng khác nhau, áp suất tại mặt thoáng như nhau
thì độ cao của chúng tính từ mặt phân chia tỉ lệ nghịch với khối lượng riêng của chúng.

Ta có:

h1 ρ 2
=
; nếu ρ1 = ρ2 thì h1 = h2
h 2 ρ1

Ứng dụng định luật này để đo đạc trong công trình xây dựng…
2.2.

Định luật Pascal

Một bình chứa chất lỏng có chiều cao h tính từ điểm A, Po là áp suất mặt thoáng

Theo phương trình tĩnh học ta viết:

19


PA = P0 + γ h ;

N

(2 - 11)
m2
Nếu ta thêm một lượng chất lỏng bên trên, nghĩa là tăng thêm một đại lượng ∆P

(H2.4)
N
Thì áp suất tại điểm A là: PA' = (P0 + ∆P) + γ h ; 2
(2 - 12)
m
N
Vậy áp suất sẽ tăng lên một đại lượng: ∆P = PA' − PA ; 2
(2 - 13)
m
Vậy định luật Pascal phát biểu rằng “Độ biến thiên áp suất thủy tĩnh trên bề mặt
của một thể tích chất lỏng cho trước được truyền đi nguyên vẹn đến tất cả các điểm trong
khối thể tích chất lỏng đó”
Ứng dụng định luật Pascal để chế tạo các bơm thủy lực, các máy ép v.v...
2.3.

Áp suất dư – Áp suất chân không – Áp suất tuyệt đối.

Khi áp suất trong bình chứa (hoặc một thiết bị nào đó) lớn hơn so với áp suất khí
quyển, thì ta gọi áp suất trong bình chứa đó đang là áp suất dư (H2.5.a)
Vậy áp suất tuyệt đối của bình chứa là: Pb = Pkq + Pdu ;

N
m2

(2- 14)

Ở đây Pdư = ρghdư
Ngược lại khi áp suất trong bình chứa (hoặc một thiết bị nào đó) nhỏ hơn so với áp
suất khí quyển thì ta gọi áp suất trong bình chứa đó đang là áp suất chân không (H2.5.b)
N

(2- 15)
Vậy áp suất tuyệt đối của bình chứa là: Pb = Pkq − Pck ; 2
m
Ở đây Pck = ρghck

Ứng dụng phương trình tĩnh học để chế tạo các loại dụng cụ đo áp suất – hay gọi là
áp kế
2.4.

Lực áp suất – Định luật Archimède

2.4.1. Lực áp suất tác dụng lên mặt phẳng
20


Ký hiệu:
Góc ϕ: góc tạo thành mặt tường phẳng với mặt nằm ngang
A: Diện tích của bề mặt chịu lực; m2
N
Pd: Áp suất dư của bình chứa; 2
m
hc: Độ nhúng sâu tại tâm điểm C; m
ho: Độ nhúng sâu của tâm áp suất; m
N
Pdc: Áp suất dư tại tâm điểm c; 2
m
Pdc = Pd + γ h c ; N2
(2 – 16)
m
Lực áp suất tác dụng lên mặt tường bằng áp suất dư tại trọng tâm C nhân với diện tích

mặt phẳng đó
PA = Pdc .A ; N
(2 – 17)
Nếu môi trường không phải là chất lỏng, mà là chất khí thì lực áp suất là
PA = Pd .A ; N

(2 - 18)

Điểm O (H2.6) gọi là tâm áp suất, tương ứng với độ nhúng sâu của tâm áp suất ho xác
định bằng
Ic
h0 = hc +
sin 2 ϕ ; m
(h d + h c ).A
P
Ở đây:
h d = d ; chiều cao penzomet; m
γ
Ic: Mômen quán tính của tường phẳng so với trục đi qua trọng tâm; m4
Xét hình (H2.7) ta thấy

21


Khi mặt phẳng nằm ngang ϕ = 0o, hc = ho

H
và hd = 0
2
BH 3

Khi mặt phẳng thẳng đứng ϕ = 90o; h c =

Ic
H
2H
;m
= + 12 =
h c .A 2 BH 2
3
2
H, B: chiều cao và bề rộng của bình; m

Tâm áp suất: h 0 = h c +

2.4.2. Lực áp suất tác dụng lên mặt cong

Gọi D là đương kính của quả cầu trong môi trường chất lỏng; m
Az: hình chiếu của mặt cong bac hoặc bdc theo phương z
Ax: hình chiếu của mặt cong abd hoặc dca theo phương x
Vậy lực áp suất theo:
Px1 = Pdc .A z ; N
• Phương x 
Px 2 = Pdc .A z ; N

22

(2 – 19)

P = γ(h + h ).A ; N
z1
d
1 x
• Phương z 
Pz2 = γ(h d + h 2 ).A z ; N
Ở đây:

Pdc: Áp suất dư tại tâm quả cầu;

hd =

(2 – 20)

N
m2

Pd
: Chiều cao penzomet; m
γ

h1, h2: độ nhúng sâu trọng tâm mặt abd và dca; m
Tổng quát lực áp suất theo phương z là Pz = ∫ γ (h d + h )dA x ; N
A

(2 – 21)

Và nó cũng bằng trọng lượng khối chất lỏng, được gọi là lực áp suất Vap; Vap1 =
V(abdfe); Vap2= V(dcaef)
Vậy Pz = ± γ.Vap ; N

(2 -22)
Với lưu chất là khí, lực áp suất theo phương bất kỳ n được tính
P = P .A ; N
n
d n
với An: hình chiếu của A lên phương n

(2-23)

2.4.3. Định luật Archimede
Xét hình (H2.8) ta thấy khi một vật đặt trong lưu chất thì sẽ chịu các lực tác dụng
lên nó theo các hướng khác nhau
Từ công thức (2 – 19) ta có Px1 = Px2 và ngược chiều nhau nên áp lực theo phương x
bị triệt tiêu
Còn theo phương z ta có: Pz2 – Pz1 = Pz = γ (Vap2 – Vap1)
3
πD
Ở đây V = Vap2 − Vap1 =
(với quả cầu)
6
Do đó lực áp suất theo phương z (là phương thẳng đứng) tác dụng vào vật đó là
Pz = γV = Ar ; N
(2 – 24)
Công thức (2 -24) biểu diễn định luật Archimede và gọi là lực đNy (viết tắt là Ar)
Gọi G là trọng lực của vật ta có:
- Ar > G: Vật có xu hướng đi lên
- Ar < G: Vật có xu hướng đi xuống
- Ar = G: Vật nổi lên trên bề mặt tự do của lưu chất
2.5.

Mặt đẳng áp của lưu ch Pz = γV = Ar ất khi chuyển động

Có bình hình trụ, chiều cao chất lỏng trong bình đó là ho
Xét khi bình chuyển động tịnh tiến lên hoặc xuống với gia tốc a, áp suất tại một điểm
trong môi trường chất lỏng được tính:
N
a
PA = γh(1 ± ) ;
2
g
m
23


Dấu (+) chuyển động lên
Dấu (-) chuyển động xuống (H2.9a)
Xét khi bình chuyển động theo phương ngang (H2.9b) thì mặt đẳng áp từ nằm
a
ngang chuyển thành nằm nghiêng một góc ϕ theo: tanϕ =
g
Xét khi bình chuyển động tròn quay quanh trục của nó thì mặt đẳng áp trở thành bề
mặt parobol tròn xoay (H2.9c) theo phương trình
2
ωx
y=
2g

( )

Còn giá trị áp suất thủy tĩnh tại một điểm trong bình là

N
P = γy ; 2
m

24


3. BÀI TẬP
Bài 1. Tìm áp suất tác dụng lên đáy bình chứa hình trụ, biết h = 2m, lưu chất là nước
có ρ = 1000 kg/m3

Bài giải
Ta có:
PB = Pkt + ρgh = 105 + 1000.10.2
N
= 1,2.10 5
m2
N
Vậy: PB = 1,2.105
m2

Bài 2. Tìm áp suất tuyệt đối của bình ga đặt ở trong phòng như hình vẽ biết Pdư của
bình ga là 3at, áp suất của phòng h = 10mmHg và áp suất khí quyển Pkq = 105N/m2

Bài giải
Tính áp suất tuyệt đối của phòng
Pf = Pkq + ρHgg.h = 105 + 13600.10.0,01
= 1.0136. 105 N/m2
So với bình ga thì áp suất phòng nhỏ hơn bình
ga, vậy bình ga có áp suất dư

Pbg = Pf + Pdư = 1.0136. 105 + 3.105
= 4.0136. 10 5 N/m2
Đáp số: Pbg = 4.0136. 10 5 N/m2
Bài 3. Để giảm thiểu sai số khi đo đạc, người ta dùng áp kế gồm nhiều chữ U nối với
nhau. Các thông số cho trên hình vẽ. Tính áp suất tuyệt đối của bình chứa đó?

Bài giải:
25


Tính lần lượt từ Pkq vào (gọi áp suất tại điểm 0,6 m là P0,6)
P0.6 = Pkq + ρHgg (0,8 – 0,6) = 105 + 13600.10.0,2 = 3,72.105

N
2
m

P0,75 = P0,6 + ρH2Og (0,6 – 0,75) = 3,72.10 - 1000.10.0,15 = 3,705.10
5

5

N
2
m

N
P0,62 = P0,75 + ρHgg (0,75 – 0,62) = 3,705.10 + 13600.10.0,13 = 3,8818.10
2
m

5

5

Vậy PB = P0,62 + ρH2Og (0,62 – 6) = 3,8818.105 – 1000.10.5,38 = 3,3438.105
Đáp số: PB = 3,3438.105

26

N
2
m

N
2
m


4. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Thế nào là áp suất thủy tĩnh?
2. Ứng dụng định luật bình thông nhau?
3. Ứng dụng định luật Pascal?
4. Thế nào là áp suất dư, áp suất chân không và áp suất tuyệt đối?
5. Thế nào là lực áp suất tác dụng lên mặt phẳng và mặt cong?
6. Thế nào là định luật Archimede?
7. Xét bề mặt đẳng áp khi chuyển động?

27