Chuong 3 co luu chat

CHƯƠNG 3
ĐỘNG HỌC LƯU CHẤT
Khi dòng lưu chất chuyển động thì ảnh hưởng do tính nhớt lên dòng chảy rất lớn. Do
đó dòng lưu chất lý tưởng (không nhớt) và dòng lưu chất thực (có nhớt) là khác nhau. Phạm
vi của chương này là chỉ khảo sát sự chuyển động mà không xét đến các lực tác dụng lên nó,
nên những phương trình động học đều áp dụng chung cho cả lưu chất lý tưởng lẫn lưu chất
thực.
Các yếu tố chuyển động bao gồm áp suất thủy động P, vận tốc phần tử lưu chất u và
gia tốc a, ba yếu tố này thay đổi theo thời gian và không gian, được biểu diễn bằng hàm số:
P = P ( x , y, z , t )

U = U (x , y , z , t )
a = a (x , y , z , t )

(3 – 1)

Ở đây:

x, y, z, : Tọa độ không gian
t: thời gian
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.

Chuyển động không ổn định và chuyển động ổn định

Chuyển động không ổn định là sự chuyển động mà các yếu tố đó phụ thuộc vào thời
gian, tức là
∂P
∂U
∂a
≠ 0;

≠ 0; ≠ 0
∂t
∂t
∂t
Còn chuyển động ổn định là các yếu tố đó không phụ thuộc vào thời gian,tức là:
∂P
= 0 ⇒ P = const
∂t
∂U
= 0 ⇒ U = const
∂t
∂a
= 0 ⇒ a = const
∂t
Hình (H3.1a) là ví dụ biểu thị sự chuyển động không ổn định
Hình (H3.1b) là ví dụ biểu thị sự chuyển động ổn định
Trong giáo trình này ta chỉ xét dòng chảy ổn định mà thôi (H3.1b)

28


Quỹ đạo, đường dòng

1.2.

Quỹ đạo là đường đi của một phần tử lưu chất trong không gian, còn đường dòng là
đường cong đi qua các phần tử lưu chất đó, mà vector lưu tốc là những tiếp tuyến với đường
ấy
Ta vẽ đường dòng như sau:
-

Tại thời điểm t có phần tử M1 chuyển động với vận tốc
Cũng tại thời điểm t có phần tử M2 chuyển động với vận tốc

-

Tương tự thời điểm t có phần tử M3 chuyển động với vận tốc
Ta nối các phần tử đó lại sẽ tạo một đường dòng

Từ khái niệm đó ta có: “Mỗi thời điểm cho một đường dòng và hai đường dòng không
bao giờ cắt nhau”
1.3.

Dòng nguyên tố - Dòng chảy

Ta lấy một đường cong kín giới hạn bởi diện tích vô cùng nhỏ dA cho nhiều đường
dòng đi qua kín diện tích dA đó, ta gọi đó là ống dòng, lượng lưu chất giới hạn bởi dống
dòng đó gọi là dòng nguyên tố (H3.2a)

Khi ta cho nhiều dòng nguyên tố đi qua kín diện tích A (hình H3.2b) thì gọi là dòng
chảy
Ngày nay khi nghiên cứu dòng chảy thủy lực, có hai lý thuyết sau.
29


- Thứ nhất là ta coi dòng chảy gồm vô số dòng nguyên tố như (H3.2b), bài toán này dễ
tính toán vì nó có kích thước hữu hạn nên gọi là bài toán một chiều
- Thứ hai là ta coi dòng chảy gồm vô số phần tử chuyển động, bài toán này phức tạp
hơn, nên gọi là bài toán 3 chiều
Ở đây ta coi dòng chảy là bài toán một chiều.

1.4.

Các yếu tố thủy lực của dòng chảy

1.4.1. Mặt cắt
Ký hiệu mặt cắt: (1- 1); (2 – 2); (a – a) ….
Là mặt phẳng vuông góc với tất cả các đường dòng. Khi ta vẽ các đường dòng, dùng
mặt cắt (1 – 1); (2 – 2); ….chắn vuông góc với những đường dòng đó tại những nơi có tiết
diện không đổi (H3.3)

1.4.2. Lưu lượng Q;

m3

s
Là lượng lưu chất chảy qua bề mặt diện tích A trong một đơn vị thời gian
(3 – 2)
Q = ∫A UdA ; m3/s;
Dòng chảy của lưu chất trong ống được xem là dòng chảy một chiều, nghĩa là thành
phần vận tốc và gia tốc của dòng tia theo phương vuông góc với phương chuyển động bị loại
bỏ
1.4.3. Vận tốc trung bình v; m
s
Là tỉ số giữa lưu lượng chia cho mặt cắt
Q m
(3 – 3)
v= ;
A s
Nên chú ý rằng khi ta gọi vận tốc trung bình là v m thì đó chỉ là vận tốc quy ước,
s

m
vận tốc biểu kiến. Còn vận tốc của dòng nguyên tố u
mới là vận tốc thực, đo được bằng
s
các dụng cụ đo hiện đại như ngày nay.

( )
( )

2. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC
Định luật bảo toàn vật chất được áp dụng cho dòng chảy của lưu chất dưới dạng
phương trình liên tục. Như chương 1 đã đề cập ta coi trong môi trường lưu chất là không có

30


khoảng trống, mà khi chuyển động có bao nhiên phần tử lưu chất đi vào thì bấy nhiêu phần
tử lưu chất đi ra, tính chất đó gọi là tính liên tục, phương trình toán học biểu diễn tính liên
tục đó gọi là phương trình liên tục:
(3 – 4)
∫ U1dA1 = ∫ U 2 dA 2 = ∫ UdA
A1

A2

A1

Hoặc U1A1 = U2A2
U
A

v
A
Suy ra: 1 = 2 hay 1 = 2
U 2 A1
v 2 A1

(3 – 5)

3. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI

Phương trình Bernoulli là một dạng phương trình bảo toàn năng lượng của dòng chảy,
nói chính xác hơn thì phương trình Navie – Stock mới là phương trình bảo toàn năng lượng,
còn ứng dựng để tính toán dòng chảy là sử dụng phương trình Bernoulli
3.1.

Phương trình Bernoulli cho lưu chất lý tưởng (không độ nhớt)

Phương trình Bernoulli được dựa vào định luật động năng như sau:
Sự biến thiên động năng của một khối lượng lưu chất khi nó chuyển động trên một
quãng đường thì bằng công của các lực tác dụng trên khối lượng lưu chất đó và quãng đường
đó.
Trước hết ta xét một đoạn dòng nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt hai đầu (1 – 1) và (2
– 2) trên mặt chuNn (O – O), xem hình (H3.4)

P1, U1, Z1: Áp suất, vận tốc, vị năng tại trọng tâm mặt cắt (1 – 1)
P2, U2, Z2: Áp suất, vận tốc, vị năng tại trọng tâm mặt cắt (2 – 2)
Giả sử sau một thời gian dt, khối lưu chất dịch chuyển một đoạn đường dS1 = U1dt và
dS2 = U2dt, mặt cắt cũng chuyển từ (1 -1) đến (1’ – 1’) và từ (2 – 2) đến (2’ – 2’), đồng thời
31

lưu lượng chuyển qua chúng là U1dA1 = U2dA2 = dQ thì sự biến thiên động năng bằng hiệu
số của đoạn a và c còn b là không biến đổi. Vậy sự biến thiên động năng là:
U2
U2
2
ρ dQ
dt = ρ dQ 1 dt
(3 – 6a)
2
2
Còn công sinh ra trong thời gian dt là do trọng lực và áp lực, còn lực bên không sinh
công.
Công do trọng lực chính là trọng lực của khối lượng lưu chất dịch chuyển từ độ cao Z1 –
Z2 để đến khu c
(3 – 6b)
γ dQ(Z − Z )dt
1
2
Và công do áp lực P1, P2 là:
(3 – 6c)
dQ(P − P )dt
1 2
Dựa vào định luật trên ta có:
Phương trình (3 – 6a) = phương trình (3 – 6b) + phương trình (3 – 6c)
Từ đó suy ra
P U2
P
U2
1

1
2
Z + +
=Z +
+ 2
(3 – 7)
1 γ
2
2g
γ
2g
Phương trình (3 – 7) viết cho lưu chất lý tưởng nên gọi là phương trình Bernoulli của
dòng nguyên tố lưu chất lý tưởng. Đối với lưu chất lý tưởng thì năng lượng vào bằng năng
lượng đi ra, nên có thể viết dưới dạng tổng quát:
P U2
Z+ +
= const
(3 – 8)
γ 2g
3.2.

Phương trình Bernoulli cho dòng lưu chất thực (có độ nhớt)

Thực tế mọi lưu chất đều có độ nhớt, khi chuyển động sẽ sinh ra lực ma sát làm năng
lượng dòng chảy yếu đi, do đó từ phương trình (3 – 7) ta viết lại
P U2
P
U2
1
1

2
(3 – 9)
Z + +
>Z +
+ 2
1 γ
2 γ
2g
2g

Từ phương trình (3 – 9) ta phát biểu như sau: “Đối với lưu chất thực thì năng lượng
giảm theo dòng chảy và có tên gọi là phương trình Bernoulli của dòng nguyên tố lưu chất
thực (có độ nhớt)”
3.3.

Phương trình Bernolli toàn dòng chảy (khác với dòng nguyên tố)

Trong thực tế sự phân bố vận tốc các dòng nguyên tố trên cùng một mặt cắt là khác
nhau một đại lượng là U ± ∆U (H3.5)

32


Do đó từ công thức (3 – 9) khi thay U bằng vận tốc trung bình v thì nhân thêm hệ số
hiệu chỉnh động năng α
U 3dA
α=∫
v 3A
α = (1 ÷ 2) Hệ số hiệu chỉnh động năng – (gọi là hệ số Criolit)
Vậy từ phương trình (3 – 9) ta có:

P1 α1v12
P2 α 2 v 22
(3 – 10)
Z1 + +
= Z2 +
+
+ ∑ h1 → 2
γ
2g
γ
2g
Phương trình (3 – 10) gọi là phương trình Bernoulli của toàn dòng chất lỏng thực (có
nhớt), đại lượng ∑ h
biểu thị tính ma sát do nhớt. Ngày nay phương trình này được
1→ 2
ứng dụng rộng rãi để giải các bài toán thủy lực như: tính lưu lượng dòng chảy qua thiết bị,
qua ống dẫn, qua máng dẫn, qua sông ngòi..v.v
3.3.1. Thứ nguyên của phương trình Bernoulli

• Mét cột lỏng (như cột nước, cột thủy ngân) viết tắt là mcl
• Pa;

N
2
m

3.3.2. Tên gọi của phương trình Bernoulli

P
: Thế năng

γ
α v2
•
: Động năng
2g
2
P αv
• Z+ +
: Cơ năng
γ
2g

• Z+

33


3.3.3. Lưu ý khi dùng phương trình Bernoulli

Phương trình (3 – 10) không phải ứng dụng trên mọi dòng chảy, mà chỉ dùng cho dòng
chảy nào thỏa mãn các điều kiện sau:
• Dòng chảy ổn định, tại mặt cắt A là hằng số
• Không có sự thêm hoặc bớt lưu lượng dọc theo dòng chảy
P1 P2
• Áp suất
&
tính theo giá trị tuyệt đối
γ
γ
• Trị số α1, α2 là không bằng nhau, nhưng để đơn giản thì ta lấy bằng nhau.

• Tận dụng các điều kiện biết trước, ví dụ như áp suất khí quyển v.v…
• Không gian giữa hai mặt cắt là tùy thuộc, ví dụ như thiết bị, bình chứa v.v…

34


4. BÀI TẬP
Bài 1. Nước chảy qua một ống tròn đường kính d1 = 200mm rồi chuyển sang ống khác
nhỏ hơn có đường kính d2 = 100mm. Lưu lượng Q = 30l/s. Tính vật tốc qua mỗi ống

Bài giải
Tính vận tốc chảy qua ống có đường kính d1 = 200mm
Q 4.30.10 −3
v =
= 0,95 m
=
s
1 A
2
1 3,14.0.2

Vận tốc qua ống số hai có đường kính d2 = 100mm, giải theo phương trình liên tục (3 - 5)
π.0,2 2
v1 A 2
A
m
=
⇒ v 2 = v1 1 = 0,95. 4 = 3,8
v 2 A1
A2

s
π.0,12
4
Đáp số: v1 = 0,95 m ; v2 = 3.8 m
s
s
Bài 2. Một bình chứa chất lỏng kín, áp suất dư Pdư = 0,07at. Cách mặt thoáng độ sâu
h=1,2m chứa một lỗ nhỏ để tháo chất lỏng ra ngoài khí quyển.
Tính vận tốc chảy qua lỗ nhỏ đó trong 3 trường hợp sau:
- Khi chất lỏng là nước, ρ = 1000 kg/m3
- Khi chất lỏng là dầu, tỉ trọng 0,7
- Khi chất lỏng là một hỗn hợp nửa dầu nửa nước
Biết α = 1, g = 10 m/s2, bỏ qua trở lực

35


Bài giải
Viết phương trình Bernoulli qua 2 mặt cắt (1 – 1) và (2 – 2)
P v2
P
v2
1
1
2
Z + +
=Z +
+ 2
1 γ 2g
2 γ

2g
2
P −P
v
v2
Suy ra: 2 = ( Z − Z ) + 1 2 + 1
1
2
2g
γ
2g

(

)

(1)

Với H2O ta có:
• (Z1 – Z2) = 1,2m
P −P
• 1 2 = (10+0,7) – 10 = 0.7 m
γ

(

)

• v1 = 0
v2

Vậy 2 = 1,2 + 0,7 ⇒ v = 2.10 (1,2 + 0,7) = 6,16 m
s
2
2g
Với dầu có tỉ trọng 0,7 ⇒ ta có: ρ = 700 kg/m3
Từ (1) ta có:
• (Z1 – Z2) = 1,2m
(10 + 0,7) - 10
• Đổi ra mét cột dầu:
= 1m cd
0,7
• v = 2.10 (1,2 + 1) = 6,63 m
s
2
Với chất lỏng là hỗn hợp nửa dầu, nửa nước

Vì nước nặng hơn dầu nên lắng ở dưới, quy đổi

1,2
= 0,6 mét dầu ra mét nước là 0,6.0,7 =
2

0,42 mH2O. Từ (1) ta có
v = 2.10[(0,6 + 0,42) + 0,7] = 5,86 m
s
2
Bài 3: Một ống dẫn nằm ngang có đường kính d1 = 50mm, tại ống thu hẹp d2 = 25mm
có gắn một ống nhỏ cắm vào bình chứa nước phía dưới (xem hình)

36

- Tính áp suất tại điểm gắn ống nhỏ P2
- Tính chiều cao h để nước có thể hút từ bình lên ống d2?
Biết áp suất dư tại ống d1 là Pd = 0,784 N
và lưu lượng Q = 2,7l/s, bỏ qua trở lực
cm 2
Bài giải
Viết phương trình Bernoulli qua hai mặt cắt (1 – 1) và (2 – 2) để tìm P2
P v2
P
v2
1
1
2
Z + +
=Z +
+ 2
1 γ 2g
2 γ
2g
+ Z1 = Z2
Q
Q
+ v =
= 1,376 m ; v =
= 5,51 m
s
s
1 A

2 A
1
2
P 

+ Vậy chuyển vế: (10 + 0,784) + 0,0965 = 10 − 2  + 1,547
γ 

P
⇒ 2 = 0,667 mcl

γ

(Ở đây Pd = 0,784 N

= 0,784 mcl)
cm 2
Viết phương trình Bernoulli qua hai mặt cắt (2 – 2) và (3 – 3) để tính chiều cao h
P
v2
P
v2
3
2
2
Z +
+
=Z +
+ 3
2 γ 2g

3 γ 2g
+ Z2 = 0 – Chọn làm mặt chuNn
d 

+ Z = − h + 2 
3

2 

P
+ 2 = (10 − 0,667) ; mcl

γ

+
+

p3

γ

=

p kq

γ

= 10 mcl

v 22

= 1,547m
2g

+ v3 = 0
Vậy h = - 0,893 m (ở đây dấu (-) biểu thị bình chứa đặt dưới mặt chuNn (2 – 2))

37


5. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Định nghĩa chuyển động không ổn định, chuyển động ổn định?
2. Mô tả sự hình thành đường dòng?
3. Sự khác nhau giữa dòng nguyên tố và dòng chảy?
4. Mặt cắt thủy lực là gì?
5. Thế nào là vận tốc trung bình của dòng chảy?
6. Định nghĩa phương trình liên tục?
7. Sự khác nhau của phương trình Bernoulli viết cho chất lỏng có nhớt và không có
nhớt?
8. Nêu ý nghĩa của hệ số động năng?
9. Thứ nghuyên cửa phương trình Bernoulli và tên gọi các đại lượng trong phương
trình đó?
10. Nêu ý nghĩa vật lý của phương trình Bernoulli?
11. Các chú ý khi dùng phương trình Bernoulli của dòng chảy?

38