đề thi học sinh giỏi 8

ĐỀ 21

ĐỀ THI HS TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – x – 12; b) x2 + 2xy + 4y – 4;
Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: P = (
a. Tìm x để P xác định ;

x 4 + x 2 − 4 x + 1 x − 1 x + 1 x( x + 1) − (1 + x)
−
+
)×
x2 −1
x +1 x −1
x3 − 1

b, Rút gọn P.

c, Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên?
Bài 3: (2,0 điểm)
a, Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên chia hết cho 6 thì tổng của lập phương ba số nguyên
cũng chia hết cho 6
b, Chứng minh bất đẳng thức:

1 1
4
+ ≥
. Với a; b là các số dương.
a b a+b

2
3
¸p dông : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = xy + x 2 + y 2 . víi x; y d¬ng vµ x + y =1 .

Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân ở A, D là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh
AC lấy điểm N sao cho : ∠ MDN = ∠ ABC. Chứng minh :
a, Hai tam giác BMD và CDN đồng dạng với nhau ;
b, MD2 = MN . MB
Bài 5:(1,5 điểm)
Cho tam giác ABC trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Một đường thẳng qua G
cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:

AB AC
+
=3
AM AN

1


ỏp ỏn 21
Bài 1: a, x2 - x - 12 = (x-4)(x+3)
(1điểm)
b, x2 + 2xy + 4y - 4 = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2)
(1điểm)
Bài 2: a, Điều kiện: x 1
(1điểm)
b, P =

x4 + x2 4 x + 1 x2 + 2 x 1 + x2 + 2 x + 1 x2 1
. 3
x2 1
x 1

(1điểm)

x4 + x2 + 1 x2 1
=
.
x 2 1 x3 1

(0,5điểm)
=

x4 + x2 + 1
x3 1

(0,5điểm)
c, P =

x 4 + x 2 + 1 x( x 3 1) + x 2 + x + 1
1
=
= x+
3
3
x 1
x 1

x 1

(1điểm)

Với x nguyên thì P nhận giá trị nguyên khi x-1 là ớc của 1:
(0,5điểm)
TH1: x-1 = 1 => x = 2 (thõa mãn đk)
TH2: x - 1 = -1 => x = 0 (thõa mãn đk)
(0,5điểm)
Bài 3: a, Giả sử a+b+c chia hết cho 6
Ta có: a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a)
(1điểm)
Ta chứng minh đợc (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2
Thực vậy: Nếu trong tích (a+b)(b+c)(c+a) có ít nhất một thừa số chia hết
cho 2 thì tích đó chia hết cho 2
Nếu cả ba thừa số đều không chia hết cho 2. ta có: a+b = 2k + 1; b+c =
2q+1
=> 2b + a+c = 2k +2q= 2k+ +2 = 2(k+q+1) = 2l. Chứng tỏ a+c chia hết
cho 2. Khi đó tích sẻ chia hết cho 2.
(1điểm)
Vì (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2 nên:
3(a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 6
Mà (a+b+c)3 cũng chia hết cho 6 (vì a+b+c chia hết cho 6 )
Do đó (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho 6
2


Hay: a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
(1điểm)
1 1

4
( a b) 2
=
0 vì a > 0; b > 0
b, Ta có : +
a b a + b ab(a + b)

(0,5điểm)
=>

1 1
4
+
Dấu = xảy ra khi a b = 0 <=> a = b
a b a+b

(0,5điểm)
3

3

1

áp dụng: M = 2 xy + x 2 + y 2 + 2 xy
(0,25điểm)
3

3

12

3

3

Vì: 2 xy + x 2 + y 2 ( x + y ) 2 = 12 ; 2 xy + x 2 + y 2 = 12 x = y
(0,25điểm)
1

1

2
Và: (x + y) 4 xy 4 xy (x + y)2 ( do x>0; y>0)



1
2
1

= 2;
=2 x= y
2
2 xy ( x + y )
2 xy

(0,25điểm)
Nên: M 14 và M có giá trị nhỏ nhất là 14 khi x = y
(0,25điểm)
Bài 4:

A

a, Ta có: ABC + BMD= MDC ( Tính chất góc ngoài) (0,5 điểm)
Hay: ABC + BMD = MDN+ NDC

M

Mà ABC= MDN(gt)
=> BMD = NDC

(1điểm)

Xét hai tam giác BMD và tam giác CDN có:

B

B = C ( tam giác ABC cân); BMD = NDC

=> BMD ~ CDN ( g g )
b, Ta có BMD ~ CDN

N

C
D

(0,5 điểm)

BM MD
BM

BD
=

=
(Vì BD = CD)
CD DN
MD DN

(1điểm)

A
Xét hai tam giác: BMD và DMN có: MBD = MDN (gt)

BM BD
=
( chứng minh trên)
MD DN
BMD ~ DMN (c-g-c)


MD MB
=
MD 2 = MN .MB
MN MD

(1điểm)
(1điểm)

M

G

Bài 5: - Qua B kẻ đờng thẳng song song với MN Bcắt AD ở P

N
P
D
Q

C

3


Vì BP song song với MG nên ta có:

AB
AP
=
(1) (0,5điểm)
AM
AG

- Qua C kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD ở Q
Vì CQ song song với NG nên ta có:
Từ (1) và (2) ta có:

AC AQ
=
(2)

AN AG

AB AC AP + AQ
+
=
(3)
AM AN
AG

(0,5 điểm)

(0,5điểm)

Mặt khác: Xét hai tam giác DPB và DQC có:
BDP = CDQ (đối đỉnh)
DBP = DCQ ( Vì BP Và CQ cùng song song với MN nên song song với

nhau)
DB = DC (AD là trung tuyến)
=> DPB = DQC ( c-g-c) => DP = DQ
(0,5điểm)
=> AP +AQ=AD-DP+AD+DQ=2AD (4)
(0,5điểm)
Từ (3) Và (4) ta có:
=>

AB AC 2 AD
+
=
AM AN

AG

AB AC
AD 3
+
= 3 ( Vì G là trọng tâm nên
= )
AM AN
AG 2

(0,5điểm)

4