Copy of DE 6 THI HSG t 9 r
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (72.99 KB, 4 trang )
PHỊNG GD – ĐT
Đề 6
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2011 – 2012
Mơn: TỐN, LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
( khơng kể thời gian phát đề )
Ngày thi: 6 – 10 – 2011
Câu 1: (4,0 điểm)
Tính giá trò của tổng :
1 1
1 1
1 1
1
1
B = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 + 2 +
1 2
2 3
3 4
99 1002
Câu2 :( 3,0 điểm)
Chứng minh rằng A = (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + 5 ) + 1 là
số chính phương
Câu 3:( 3,0 điểm)
Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng :
a2
b2
c2
+
+
≥1
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c
Câu 4:( 3,0 điểm)
Giải phương trình 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 ( x ∈ R )
Câu 5 : (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn
thẳng IH , IK , IL lần lượt vng góc với BC, CA, AB . Tìm vị trí của I sao cho AL 2 + BH2 + CK2
nhỏ nhất
Câu 6: (4,0 điểm)
Xét tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c sao cho thoả mãn hệ thức :
1974 1979
25
+
+
15bc + 10ca + 1964ab = 2006abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M =
p−a p−b p−c
trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC.
ĐÁP ÁN
Đề 6
Câu
Câu
1:
(4,0
điểm)
Đáp án
Điểm
Trước hết ta chứng minh
1
1
a2 + a + 1
1
1
1
1+ 2 +
=
= 1+
= 1+ −
2
a ( a + 1)
a ( a + 1)
a ( a + 1)
a a +1
( với a > 0)
1,0
Thật vậy :
a 2 ( a + 1) + ( a + 1) + a 2
1
1
1+ 2 +
=
2
a ( a + 1) 2
a 2 ( a + 1)
2
=
a 2 ( a 2 + 2a + 1 + 1) + ( a + 1)
a 2 ( a + 1)
(a
=
2
+ a + 1)
a 2 ( a + 1)
2
2
2
( a 2 + a + 1)
=
a ( a + 1)
2
2
a 4 + 2a 2 ( a + 1) + ( a + 1)
2
=
a 2 ( a + 1)
2
2
2
1
1
a2 + a + 1
1
1
1
=
= 1+
= 1+ −
⇒ 1+ 2 +
2
a ( a + 1)
a ( a + 1)
a ( a + 1)
a a +1
( với a > 0)
1,0
Do đó
1 1
1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 + 2 +
2
1 2
2 3
3 4
99 1002
1 1
1 1 1 1
1
1
= 1 + − ÷+ 1 + − ÷+ 1 + − ÷+ ... + 1 + −
÷
1 2 2 3 3 4
99 100
1
1
1
1 1 1 1
= 99 + − + − + ... + −
= 99,99
÷ = 100 −
99 100
100
1 2 2 3
n
n-1
n+1
+5)+1
Câu Ta có A = (10 + 10 + … + 10 + 1)( 10
1
2:
= ( 10 − 1) (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + 5 ) + 1
9
(3,0
1 n +1
1 2( n +1)
n +1
10
−
1
10
+
5
+
1
10
+ 4.10n +1 + 9 − 5 =
=
=
(
)
(
)
điểm)
9
9
2
n +1
2
10 + 2
1 n +1
10 + 2 ) =
(
÷
9
3
n+1
Mà 10
+ 2 có tổng các chữ số là 3 .
n+1
Nên 10
+ 2 M3
Vậy A là số chính phương .
Câu Từ giả thiết suy ra a , b , c thuộc (0 ; 1)
B = 1+
(
(
2
1,0
)
)
a2 1− ( b − a )
a2 ( 1+ b − a ) ( 1− b + a )
a2
⇒
≥
=
= a2 ( 1− b + a )
1+ b − a
1+ b − a
1+ b − a
(3,0
2
b
c2
điểm) Tương tự :
≥ b2 ( 1 − c + b ) ;
≥ c2 ( 1 − a + c )
1+ c − b
1+ a − c
3:
1,0
0,5
0,5
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :
a2
b2
c2
+
+
≥ 1 + a 3 + b3 + c 3 − a 2b − b 2c − c 2 a (1)
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c
Áp dụng bất đẳng thức cơ si cho ba số dương nhận được :
a 3 + a 3 + b3 ≥ 3a 2b; b3 + b3 + c 3 ≥ 3b 2c; c 3 + c3 + a 3 ≥ 3c 2 a (2)
1,0
0,5
a2
b2
c2
+
+
≥1
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c
3
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
3
6
t3 + 2
Điều kiện x ≤ .Đặt t = 3 3x − 2 ⇒ t 3 = 3x − 2 ⇔ x =
5
3
Từ (1) và (2) ⇒
Câu
4:
(3,0
điểm)
Khi đó phương trình đã cho trở thành : 2t + 3
8 − 5t 3
−8 = 0
3
8 − 2t ≥ 0
8 − 2t ≥ 0
⇔ 8 − 5t 3
⇔ 8 − 5t 3
= 64 − 32t + 4t 2
= 8 − 2t
3
9.
3
3
)
⇔ t = −2 ⇒ x = −2
Câu
1,0
1,0
t ≤ 4
t ≤ 4
⇔ 3
⇔
2
2
15t + 4t − 32t + 40 = 0
( t + 2 ) 15t − 26t + 20 = 0
(
0,5
1,0
0,25
- Vẽ hình đúng.
5:
(3,0
điểm)
Ta có AI2 = AL2 + LI2 ; AI2 = AK2 + KI2 .
Suy ra AL2 + LI2 = AK2 + KI2 .
Tương tự BH2 + HI2 = BL2 + LI2 và CK2 + KI2 = CH2 + HI2
Cộng (1) ; (2) và (3) ta có : AL2 + BH2 + CK2 = AK2 + BL2 + CH2 .
1,0
1
2
Do đó AL2 + BH2 + CK2 = [(AL2 + BL2 ) + (BH2 + CH2 ) + (CK2 + AK2 )] ≥
1
( AB 2 + BC 2 + AC 2 )
4
Ta có AL2 + BH2 +CK2 ≥
1
(AB2 + BC2 + AC2 ) ( không đổi ) .
4
Dấu “ = “ xảy ra <=> AL = BL, BH = BL , CK = AK <=> I là tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC
Câu
6:
(4,0
điểm
)
Với x > 0 , y > 0 thì
1 1
4
+ ≥
(1)
x y x+ y
Ta có M =
1974 1979
25
+
+
=
p −a p −b p −c
1
1
1
1
1
1
1964
+
+
+
÷+10
÷+15
÷
p −b
p −c
p −c
p −a
p −a
p −b
4
4
4
≥1964.
+10.
+15.
p −a + p −b
p −a + p −c
p −b + p −c
1964 ab +15bc +10ca
2006 abc
1964 10 15
=4
+
+
= 4.
= 8024
÷= 4.
b
a
abc
abc
c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
p −a = p −b = p −c
1989 117
⇔a=b=c=
=
1964
ab
+
15
bc
+
10
ca
=
2006
abc
2006
118
117
Vậy MinM = 8024 ⇔ a = b = c =
118
1,0
0,75
0,25
1,0
0,75
0,5
1,0
0,5
