Đề thi chọn HS Giỏi

PGD KRÔNG BÚK
TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG
THI HS GIỎI – Năm học 07-08
Môn Toán 9 – Thời gian 150 phút.
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức
2 1 2 1A x x x x= + − + − −
Bài 2 (3đ) Cho biểu thức
2a 1 2a
1 .
1
1 2 1
a a a a a a
B
a
a a a
 
+ − − + −
= + −
 ÷
 ÷
−
− −
 
a/ Rút gọn B.
b/ Chứng minh rằng
2
3
B〉
.
Bài 3: (3đ). Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1.

Chứng minh bất đẳng thức:
( ) ( ) ( )
4 2a b c d a b c d+ + + ≥ + + +
.
Bài 4 (3đ). Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 3 1 3 4 1 2006 2007 1 2007 2008
C = + + + + + + + + + + + +
là số hữu tỷ.
Bài 5 (3đ). Cho ba số x, y, z thỏa mãn
2 2 2
3 3 3
1
1
x y z
x y z

+ + =


+ + =


Hãy tính tổng
x y z+ +
.
Bài 6 (3đ). Cho
( )

ABC AB AC∆ 〈
. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
ABC∆
. Đường thẳng AI cắt đường
tròn ngoại tiếp
ABC
∆
tại D.
a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp
BIC∆
.
b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp
ABC
∆
với các cạnh AB, BC. K là hình chiếu
vuông góc của C xuống đường thẳng AI. Chứng minh M, N, K thẳng hàng.
Bài 7 (3đ). Cho
ABC∆
. Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E. Chứng
minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích
DP E∆
khônh lớn hơn
1
4
diện tích
ABC∆
.
Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích
DP E∆
đạt giá trị lớn nhất.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN 9 – Năm học: 07 – 08.
Bài 1 (2đ).

( ) ( )
2 2
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 1
A x x x x
x x
= − + − + + − − − +
= − + + − −
. ĐK:
1x ≥
1 1 1 1
1 1 1 1
x x
x x
= − + + − −
= − + + − −
Với
1 2 1 1 1 1 2x A x x≤ < ⇒ = − + − − + =
0,25đ
Với
2 1 1 1 1 2 1x A x x x≥ ⇒ = − + + − − = −
0,25đ
Bài 2 (3đ). a/ Rút gọn biểu thức M ở trong ngoặc (…)
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2a 1 1 2 1 .
1 1 1
1 1 1
1 2 1
2a
1 1 1 1
a a a
a a a
a a a a a
a a
a a a
M
a a a a a
+ − = + −
− = − +
− = − + +
+ −
− +
⇒ = −
− + − + +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 2a
. 1 1

1
1 1
2 1 1 2a
1 1
2 2a 2a 1 2a
1 1
2 1
1 1
a a a a
MTC a a a
a
a a a
a a a a a a
a a a
a a a a a a a
a a a
a
a a a
− − +
= − − + +
−
− + +
− + + − − +
− + +
+ + − − − − + −
=
− + +
−
=
− + +

( ) ( )
( )
1
2 1
1 .
2 1
1 1
1 1
1
1 1 1
a a
a
B
a
a a a
a a a a a
a a a a a a
− −
−
⇒ = +
−
− + +
− + + − +
= + = =
+ + + + + +
(ĐKXĐ:
1
0, 1,
4
a a a≥ ≠ ≠

)
b/ Vì
( )
( )
2
1 0 0
1
1 2
2
a a
a
a a a
− ≥ ∀ ≥
+
⇔ + ≥ ⇔ ≤
Nên
( )
(1)
1 3
1 1 1
2 2
a
a a a a
+
+ + ≤ + + = +
Mặt khác:
1 0a a+ + >
nên chia cả 2 vế của
(1)
cho

( )
3
1
2
a a+ +
ta có:
1 2
3
1
a
a a
+
≥
+ +
và vì
1a
≠
nên dấu “=” không xảy ra.
Vậy
3
2
B >
với
1
0; 1;
4
a a a≥ ≠ ≠
.
1,5 đ
2đ

1đ