ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN QUẾ SƠN 20122013

UBND H. QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 (2.5 điểm):
a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ 0 .
b) Cho f ( x) = ax 2 + bx + c với a, b, c là các số thỏa mãn: 13a + b + 2c = 0 .
Chứng tỏ rằng: f ( −2). f (3) ≤ 0 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x 2 + y 2 − xy − x + y + 1
Bài 2 (2.0 điểm):
Giải các phương trình sau:
a)

x −1 x − 2 x − 3 x − 4
+
−
=
2013 2012 2011 2010

b) (2 x − 5) 3 − ( x − 2) 3 = ( x − 3) 3

Bài 3 (2.5 điểm):
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc
với AB, MF vuông góc với AD.
a) Chứng minh DE ⊥ CF.

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài 4 (2.0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C trên AB
và AD. Chứng minh :
a) ∆ABC đồng dạng với ∆ HCG
b) AC 2 = AB.AG + AD.AH
Bài 5 (1.0 điểm):
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: 5n (5n + 1) − 6n (3n + 2n ) M 91


UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1(2.5 điểm):
Có: a2 + b2 ≥ 2ab; a2 + c2 ≥ 2ac; b2 + c2 ≥ 2ac
Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac + 2bc

0,25

⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
(1)
2
2

2
a + b + c = 0 ⇔ a + b + c +2ab + 2ac + 2bc = 0

0,25

⇔ -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2)
Cộng (1) với (2) được 3ab + 3ac + 3bc ≤ 0 ⇔ ab + bc + ca ≤ 0

0,25

f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c
Có f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = 0 nên:

0,25

Hoặc: f(-2) = 0 và f(3) = 0 ⇒ f(-2).f(3) = 0

(1)

Hoặc: f(-2) và f(3) là hai số đối nhau ⇒ f(-2).f(3) < 0
Từ (1) và (2) được f ( −2). f (3) ≤ 0

(2)

0,25
0,25

4M = 4x 2 + 4y 2 − 4xy − 4x + 4y + 4
= (2x − y − 1)2 + 3y 2 + 2y + 3
2

1 8
= (2x − y − 1)2 + 3(y 2 + y + ) +
3
9 3
1
8
= (2x − y − 1)2 + 3(y + ) 2 +
3
3
8
1
2
Giá trị nhỏ nhất của 4M là tại y = − ; x = nên
3
3
3
2
1
2
Giá trị nhỏ nhất của M là tại y = − ; x = .
3
3
3

Bài 2(2.0 điểm):

0,50

0,50

x −1
x−2
x−4
x −3
−1+
−1 =
−1+
−1
2013
2012
2010
2011
x − 1 2013 x − 2 2012 x − 4 2010 x − 3 2011
⇔
−
+
−
=
−
+
−
2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011
x − 2014 x − 2014 x − 2014 x − 2014
⇔
+
=
+
2013
2012

2010
2011
1
1
1 
 1
⇔ (x − 2014) 
+
−
−
÷= 0
 2013 2012 2010 2011 
1
1
1
1
+
−
−
Do
≠ 0 nên phương trình có nghiệm x = 2014
2013 2012 2010 2011
⇔

Đặt 2x - 5 = a; x - 2 = b ⇒ a - b = x -3
Phương trình đã cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3
(a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2)
(a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 0
3ab(a-b) = 0
5

a = 0 ⇔ x = ; b = 0 ⇔ x = 2; a = b ⇔ x = 3
2

0,25

0,25

0,25
0,25
0,50
0,25
0,25

Bài 5 (1.0 điểm):
A = 5n (5n + 1) − 6n (3n + 2 n ) = 25n + 5n − 18n − 12 n
A = (25n − 18n ) − (12n − 5n ) . A chia hết cho 7
A = (25n − 12n ) − (18n − 5n ) . A chia hết cho 13
Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91

0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 3 (2.5 điểm):

Chứng tỏ được AE = DF (Cùng bằng MF)
·
·
Chứng tỏ được ∆CDF = ∆DAE ⇒ FCD

= EDA
·
·
·
·
Có EDA
phụ nhau ⇒ ECD
phụ nhau hay CF⊥ DE
và EDC
và EDA

0,25
0,25
0,25


Tương tự có CE ⊥ BF
Chứng minh được CM ⊥ EF:
Gọi G là giao điểm của FM và BC; H là giao điểm của CM và EF.
·
·
(Hai HCN bằng nhau)
MCG
= EFM
·
·
·
·
(Đối đỉnh) ⇒ MHF
= 900

CMG
= FMH
= MGC
CM, FB, ED là ba đường cao của tam giác CEF nên chúng đồng quy
2
AE + ME )
(
2
2
(AE - ME) ≥ 0 nên (AE + ME) ≥ 4AE.ME ⇔ AE.ME ≤
4
2
AB
⇔ SAEMF ≤
. Do AB = const nên SAEMF lớn nhất khi AE = ME.
4

0,25

0,50

0,25
0,25

0,50

Lúc đó M là trung điểm của BD.
Bài 4 (2.0 điểm):
Chứng tỏ được: ∆CBG đồng dạng với ∆CDH.
CG BC BC

⇒
=
=
CH DC BA
·
·
·
(Cùng bù với BAD
)
ABC
= HCG
⇒ ∆ABC đồng dạng với ∆HCG

0,25
0,25
0,50

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC.
AF AD
=
⇒ AF.AC = AD.AH
AH AC
AE AB
=
⇒ AE.AC = AG.AB
∆AEB đồng dạng ∆AGC:
AG AC
Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB
∆AFD đồng dạng ∆AHC:

AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB
Chứng tỏ được AE = FC. Thay được:
AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB ⇒AC2 = AD.AH+AG.AB

0,25
0,25
0,25
0,25