ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2011-2012

Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 1 trang)

Mơn thi : TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A =

6 + 3+ 2 2 . 3+ 2 2.

6 − 3+ 2 2 .

Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : a3 - 6a2 – 7a + 12 chia hết cho 6 . ( a ∈ Z )
µ > 900 ,vẽ đường trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm D sao cho
Câu 3 : (1,5đ) Cho ΔABC có A
BD = 2AM, BD cắt AM tại K . Chứng minh rằng: KA = KD .

Câu 4 : (1,5đ) Cho ∆ ABC vng tại A , đường cao AH , N là hình chiếu của H trên AC.
Biết AB = c, AC = b. Tính HN theo b và c.
Câu 5 : (1,5đ ) Tìm số ngun tố P sao cho P +2 và P +4 cũng là số ngun tố.
Câu 6 :(1,5đ)Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn: a2009 + b2009 = a2010 + b2010 = a2011 + b2011
Hãy tính tổng: S = a2012 + b2012

Câu 7 : (2đ) Một tam giác có số đo diện tích ( đơn vò cm2) bằng số đo
chu vi ( đơn vò cm). Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác
đó .
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2 = ab + ac + bc thì a = b = c
Câu 9 : (2đ) Chứng minh rằng : (3a+5b, 8a+13b) = (a, b) với a, b là các số ngun.
Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : a + b + c = 2012 và

1 1 1
1
+ + =
. Chứng minh rằng một
a b c 2012

trong ba số đó phải có một số bằng 2012.
Câu 11 : (2đ) Cho ∆ ABC. M là một điểm thuộc cạnh BC (M ≠ B,M ≠ C) . Chứng minh rằng:
MA.BC < MC.AB + MB.AC
Câu 12 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số

1+ n2 + n7
khơng tối giản. ( n ∈ N* ).
1 + n + n8

----------- HẾT ---------HỌ VÀ TÊN THÍ SINH :.......................................................................Số báo danh................
Chữ ký giám thị 1 :....................................... Chữ ký giám thị 2 ...............................................


PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2011-2012

Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN

Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A =

6 + 3+ 2 2 . 3+ 2 2.

6 − 3+2 2 .

A = 3 + 2 2 . ( 6) 2 − ( 3 + 2 2) 2

0,5đ

A = 3 + 2 2 6 − (3 + 2 2) = 3 + 2 2 3 − 2 2

0,5đ

(3 + 2 2)(3 − 2 2) = 9 − (2 2) 2 = 1

0,5đ

A=

Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : a3 - 6a2 – 7a + 12 chia hết cho 6 . ( a ∈ Z )

A = a3 - 6a2 – 7a + 12

A = a3 – a - 6a2 – 6a + 12

0,5đ

A = a(a – 1)(a+1) – 6a2 – 6a + 12
Do a(a – 1)(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a+1) 6

0,5đ

Mặt khác - 6a2 – 6a + 12 6 nên A 6

0,5đ

µ > 900 ,vẽ đường trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm D sao
Câu 3 : (1,5đ) Cho ΔABC có A
cho BD = 2AM, BD cắt AM tại K . Chứng minh rằng: KA = KD .

Gọi I là trung điểm của DC,suy ra IM là đường trung
1
2

A

bình tam giác BDC ⇒ IM//BD và IM = BD
D

K
B

M

I
C

·
·
* c/m ∆MAI cân tại M ⇒ MAI
(1)
= MIA
·
·
*IM//BD ⇒ KDA
(2)
= MIA
·
·
Từ (1) (2) ⇒ KAD
= KDA
⇒ ∆KAD cân tại K ⇒ KA = KD

0,5đ
0,5đ
0,5đ

Câu 4 : (1,5đ) Cho ∆ ABC vuông tại A , đường cao AH , N là hình chiếu của H trên AC.
Biết AB = c, AC = b. Tính HN theo b và c.
HN HC
HC.AB
=
⇔ HN =

(1)
AB BC
BC
AC 2
2
* AC = BC.HC ⇔ HC =
(2)
BC
AC2 .AB
Từ (1) ,(2) ⇒ HN =
BC2

*HN//AB ⇒
A
N

BC2= AB2 + AC2 = c2+ b2
B

H

C

0,5đ

0,5đ


⇒ HN =

AC2 .AB
b 2 .c
=
BC2
b2 + c2

0,5đ

Câu 5 : (1,5đ ) Tìm số ngun tố P sao cho P +2 và P +4 cũng là số ngun tố.
Gi¶ sư p lµ sè nguyªn tè.
*NÕu p = 2 th× p + 2 = 4 vµ p + 4 = 6 ®Ịu kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè
*NÕu p ≥ 3 th× sè nguyªn tè p cã 1 trong 3 d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 víi k ∈
N*.
0,5đ
+) NÕu p = 3k ⇒ p = 3 ⇒ p + 2 = 5 vµ p + 4 = 7 ®Ịu lµ c¸c sè
nguyªn tè
+) NÕu p = 3k +1 th× p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⇒ (p + 2) M3 vµ (p +
2) > 3. Do ®ã
p + 2 lµ hỵp sè.
0,5đ
+) NÕu p = 3k + 2 th× p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⇒ (p + 4) M3 vµ( p
+ 4 ) > 3. Do ®ã
p + 4 lµ hỵp sè.
VËy víi p = 3 th× p + 2 vµ p + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè.
0,5đ
Câu 6:(1,5đ)Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn : a2009 + b2009 = a2010 + b2010 = a2011 + b2011
Hãy tính tổng: S = a2012 + b2012

a2011 + b2011 = (a2010 + b2010)(a + b) − ab(a2009 + b2009)
⇔ 1= a + b − ab ⇔ 1− a− b+ ab = 0 ⇔ (1− a)(1− b) = 0

0,5 đ
0,5 đ

1− a = 0
⇔
⇔ a = 1,b = 1
1− b = 0
Vậy S = 1+1 = 2

0,5 đ

Câu 7 : (2đ) Một tam giác có số đo diện tích ( đơn vò cm2) bằng
số đo chu vi ( đơn vò cm). Tính bán kính r của đường tròn nội
tiếp tam giác đó .
Gọi O là tâm của đường tròn nội
tiếp tam giác
Ta có SABC = SOAB + SOBC + SOAC
0,5đ
=
+BC)
đo chu vi

r.AB r.BC r.AC r
+
+
= (AB+AC
2
2
2

2

0,5đ
vì số đo diện tích bằng số
⇒

r
(AB+AC +BC)= (AB+AC
2

+BC)

0,5đ
⇒

r
= 1 ⇔ r = 2 (cm)
2

0,5đ


Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2 = ab + ac + bc thì a = b = c
* a2+b2+c2 = ab + ac + bc ⇔ a2+b2+c2 - ab - ac – bc = 0
⇔ 2a2+2b2+2c2 - 2ab - 2ac – 2bc = 0 ⇔ (a – b)2+ (a – c)2+ (b – c)2 = 0

0,5đ
0,5đ

a − b = 0


⇔ a − c = 0 ⇔ a = b = c
b − c = 0


0,5đ

Câu 9 : (2đ) Chứng minh rằng : (3a+5b,8a+13b) = (a,b) với a,b là các số nguyên.
Ta có : 8a+13b = 2(3a+5b)+(2a+3b)
3a+5b = 1(2a+3b) +(a+2b)
2a+3b = 2(a+2b) – b
Do đó: (8a+13b,3a+5b) = (3a+5b,2a+3b)
= (2a+3b, a+2b)
= (a+2b, b) = (a,b)
Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : a + b + c = 2012 và .1 + 1 + 1 = 1
a

trong ba số đó phải có một số bằng 2012.

b

c

2012

0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
Chứng minh rằng một

1 1 1
1
+ + =
a b c a+b+c
1
a+b
a+b
1 1 1
⇔  + ÷+ −
=0⇔
+
=0
ab c(a + b + c )
 a b c a+b+c
Từ giả thiết ta có :

0,5đ

⇔ (a + b)c (a + b + c) + (a + b)ab = 0 ⇔ ( a + b)[c (a + b + c) + ab] = 0

0,5đ

⇔ (a + b)[ca + cb + c + ab] = 0 ⇔ (a + b)[c(a + c) + b(a + c)] = 0
a + b = 0
⇔ (a + b)(b + c)(a + c) = 0 ⇔ b + c = 0
 a + c = 0
2

0,5đ

Nếu a+b =0 và a + b + c = 2012 thì c = 2012
Nếu c+b =0 và a + b + c = 2012 thì a = 2012
Nếu a+c =0 và a + b + c = 2012 thì b = 2012

0,5đ

Câu 11 : (2đ) Cho ∆ ABC. M là một điểm thuộc cạnh BC (M ≠ B,M ≠ C) . Chứng minh rằng:
MA.BC < MC.AB + MB.AC
Vẽ MN// AB, (N ∈ AC) ; Trong ∆ AMN có AM < MN+NA (1)
A

MN// AB ⇒
N

MN MC
MC
=
⇔ MN = AB.
AB BC
BC
NA MB
MB
=
⇔ NA = AC.
AC BC
BC

B

M

C

Từ (1) (2) (3) ⇒ AM < AB.

MC
MB
+ AC.
BC
BC

⇒ AM.BC < MC.AB + MB.AC

Câu 12 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số

1+ n2 + n7
không tối giản. ( n ∈ N* ).
1 + n + n8

0,5đ

(2)
(3)

0,5đ

0,5đ

0,5đ


*1+ n2+ n7= 1+n+ n2+ n7- n = (1+n+ n2)+ n(n6- 1) = (1+n+ n2)+ n(n3- 1) (n3+1)
= (1+n+ n2)+ n(n - 1) (1+n+ n2) (n3+1) = (1+n+ n2)[1+ n(n - 1)(n3+1)]
*1+ n+ n8 = 1+n+ n2+ n8- n2 = (1+n+ n2)+ n2(n6- 1) = (1+n+ n2)+ n2(n3- 1) (n3+1)
= (1+n+ n2)+ n2(n - 1) (1+ n+ n2) (n3+1) = (1+n+ n2)[1+ n2(n - 1)(n3+1)]
Với n ∈ N* phân số đã cho có thể ước lược cho 1+ n+ n2 , (1+ n+ n2 >1)
⇒ phân số

1 + n2 + n7
không tối giản.
1 + n + n8

0,5đ
0,5đ
0,5đ

----------- HẾT ---------Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm