TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HAY CHUYÊN MỤC GIẢI TOÁN QUA THƯ TOÁN TUỔI THƠ 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN
TRUNG TÂM GIÁO DỤC THƯỜNG XUYÊN

TUYỂN TẬP
CÁC BÀI TOÁN THI GIẢI TOÁN QUA THƯ
TRONG BÁO TOÁN TUỔI THƠ 2

Biên soạn : Đồng Thái Lâm
Phòng Đào tạo


Các bài toán hay TTT2

2

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 1(1) : Cho các số a1, a2, a3, ... , a2003. Biết rằng : a k =

3k 2 + 3k + 1

(k

2

+ k)

3

với mọi k = 1, 2, 3, ... , 2003. Tính tổng a1 + a2 + a3 + ... + a2003.
Bài 2(1) : Cho A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + ...

a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n.
Bài 3(1) : Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC = 40o , đường cao AH. Các điểm E, F theo
thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho ∠EBA = ∠FBC = 30o. Chứng minh rằng : AE =
AF.
Bài 4(1) : Cho 6 số tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5, a6 thoả mãn : 2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6.
1) Nếu tính tổng hai số bất kì thì được bao nhiêu tổng?
2) Biết rằng tất cả các tổng trên là khác nhau. Chứng minh a6 ≥ 2012.
Bài 5(1) : Bạn hãy khôi phục lại những chữ số bị xóa (để lại vết tích của mỗi chữ số là một
dấu (*) để phép toán đúng.

Bài 1(2) : Tìm tất cả các số chính phương có dạng abcba
Bài 2(2) : Tìm hai số hữu tỉ a và b, biết rằng : a - b = 2.(a + b) = 3.a/b
Bài 3(2) : Cho tam giác ABC. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho
diện tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ABC (M ≠ B ; N ≠ C). Chứng minh
: trọng tâm của tam giác ABC nằm trong tam giác AMN.
Bài 4(2) : Giải phương trình x2 + 2x + 3 = (x2 + x + 1)(x4 + x2 + 4)
Bài 5(2) : Tìm x, y để biểu thức
A = x 2 + 2y 2 − 6x + 4y + 11 + x 2 + 3y 2 + 2x + 6y + 4

đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 1(3) : Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x, y) sao cho :
x - y = x2 + xy + y2.
Bài 2(3) : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :
4(xy + yz + zx) ≤ (x + y)(y + z)(z + x) x + y + y + z + z + x

(

)

Bài 3 (3) : Trên một bàn cờ hình vuông gồm 9 ô vuông nhỏ có 2 con mã trắng đứng ở hai góc
bên trên và 2 con mã đen đứng ở hai góc bên dưới (xem hình dưới).

Hỏi rằng có thể đổi chỗ 2 con mã đen lên vị trí 2 con mã trắng nhưng một cách tương ứng :
Con mã đen góc trái lên vị trí trên góc trái và con mã đen góc phải lên vị trí trên góc phải, còn
2 con mã trắng thì xuống vị trí tương ứng ở bên dưới hay không ? Biết rằng chỉ được dẫn các
con mã đi theo luật đi được quy định của bàn cờ mà thôi.
Xin trao đổi qua Email: hoặc


Các bài toán hay TTT2

3

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 4(3) : Cho tam giác ABC. Một đường tròn đi qua A, tiếp xúc với đường thẳng BC tại một
điểm T thuộc đoạn BC và cắt các đoạn AB, AC theo thứ tự tại E, F.
Chứng minh rằng : EF/BC = (TE.TF) / (TB.TC)
Bài 5(3) : Giải hệ phương trình :
6(x - 1/y) = 3(y - 1/z) = 2(z - 1/x) = xyz - 1/(xyz)
Bài 1(4) : Cho số : A = 111...111*333...333
gồm 2003 chữ số 1 ở bên trái dấu * và 2003 chữ số 3 ở bên phải dấu *. Hãy thay dấu * bằng
chữ số nào để được một số chia hết cho 7.
Bài 2(4) : Cho a, b, c là 3 số thỏa mãn điều kiện :
2002
2002
2002
=1
⎪⎧a + b + c

⎨ 2003
2003
2003
⎪⎩a + b + c = 1
Tính tổng : a2001 + b2002 + c2003.
Bài 3(4) : Cho x, y, z là các số thực không âm bất kì, chứng minh :
x (x - z)2 + y (y - z)2 ≥ (x - z)(y - z)(x + y - z)
Bài 4(4) : Cho ∆ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các đường
thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q. Chứng minh
rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của ∆ABC.
Bài 5(4) : Cho tam giác ABC vuông tại A. M là điểm bất kì. Chứng minh rằng :
MB2/AB2 + MC2/AC2 ≥ 1
. Khi nào xảy ra đẳng thức.
Bài 1(5) : Biết rằng : |a + b + c| ≤ 1 ; |c| ≤ 1 ; |a/4 + b/2 + c| ≤ 1
Chứng minh : |a| + |b| + |c| ≤ 17.
Bài 2(5) : Phân số Ai Cập
Biểu diễn phân số 1/2 dưới dạng tổng của 3 phân số dương có tử số bằng 1. Có bao nhiêu
cách ?
Bài 3(5) : So sánh A và B biết :
A = (20032002 + 20022002)2003
B = (20032003 + 20022003)2002
Bài 4(5) : Tam giác ABC có E là trung điểm cạnh BC sao cho ∠ EAB = 15o , ∠ EAC = 30o .
Tính ∠ C.
Bài 5(5) : Cho hai tam giác đều ABC, A1B1C1 bằng nhau và chồng lên nhau sao cho phần
giao của chúng là một lục giác mà ta kí hiệu là MNPQRS.
Chứng minh rằng : MN + PQ + RS = NP + QR + SM.
Bài 1(6) : Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 là số nguyên tố, p - 5 chia hết
cho 8. Giả sử các số nguyên x, y thỏa mãn ax2 - by2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số
x, y chia hết cho p.
Bài 2(6) : Cho hình lập phương. Người ta gắn cho 8 đỉnh của nó bắt đầu từ đỉnh A, đi theo

chiều mũi tên, 8 số tự nhiên liên tiếp và thực hiện : mỗi lần cộng vào 4 đỉnh của một mặt cùng
với một số nguyên nào đó. Hỏi sau bao nhiêu lần thực hiện như vậy thì ta được 8 số ở 8 đỉnh
bằng nhau ?

⎧a + b + c = 1
⎪
Bài 3(6) : Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ ⎨ 2
1 Chứng minh rằng
2
2
+
+
≤
a
b
c
⎪⎩
2
1+ 3
0 ≤ a, b,c ≤
4
Bài 4(6) : Cho tam giác BMA có góc ∠BMA = 135o ; BM = 2 ; MA =

6

Xin trao đổi qua Email: hoặc


Các bài toán hay TTT2

4

Đồng Thái Lâm (st)

Lấy điểm C cùng phía điểm M, bờ AB sao cho tam giác CAB vuông cân ở A. Tính diện tích
tam giác ABC.
Bài 5(6) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các điểm M, N theo thứ tự là trung
điểm của BC, CA. Tia MN cắt (O) tại I. Chứng minh rằng : BC/IA CA/IB = AB/IC .
Bài 1(7) : Chứng minh rằng : 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 < 24
Bài 2(7) : Cho a, b, c thỏa mãn :
a
b
c
=
=
2002 2003 2004
Chứng minh rằng : 4(a - b)(b - c) = (c - a)2.
Bài 3(7) : Cho các số dương a1, a2, …, a10 thỏa mãn :
a1 = 1 ; a10 = 2 ; ai2 ≤ ai - 1ai + 1 với i = 2, 3, …, 9.
Chứng minh rằng với mọi i = 1, 2, …, 10 thì : a i ≤ 9 2i −1
Bài 4(7) : Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Về phía ngoài của tứ giác này, ta dựng hai tam
giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng : trung điểm của các đoạn AB, CD, EF cùng
thuộc một đường thẳng.
Bài 5(7) : Tính tổng A = a1 + a2 + … + a2003, biết :
1
an =
( n ∈ N* )
n (n + 1) + n n + 1
Bài 1(8) : Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho : xyz = 9 + x + y + z.
Bài 2(8) : Cho dãy số tự nhiên liên tiếp : 150 O 149 O 148 O 147 O ... O 51 O 50.

Chứng minh rằng nếu điền vào các hình tròn dấu “+” hoặc dấu “-” thì kết quả không thể bằng
2003.
⎧ax 3 = by3 = cz 3
⎪
Bài 3(8) : Cho : ⎨ 1 1 1
Chứng minh rằng : 3 ax 2 + by 2 + cz 2 = 3 a + 3 b + 3 c
+
+
=
1
⎪x y z
⎩
Bài 4(8) : Cho hình chữ nhật ABCD (như hình vẽ) :

Biết rằng AB = 30 cm, BC = 20 cm, AM = 10 cm, BP = 5 cm, AQ = 15 cm.
Tính diện tích tam giác MRS ?
Bài 5(8) : Cho tam giác ABC không vuông. Các đường cao BB’, CC’ cắt nhau tại H. K là
trung điểm của AH ; I là giao điểm của AH và B’C’. Chứng minh rằng : I là trực tâm tam giác
KBC.
Bài 1(9) : Cho tam giác ABC. Một đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh
AB tại D và cắt cạnh AC tại E. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác BDE và
CDE.
Bài 2(9) : Cho hình vuông ABCD. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong (không nằm trên cạnh)
hình vuông sao cho : ∠ MAB + ∠ MBC + ∠ MCD + ∠ MDA = 180o
Bài 3(9) : Trong một giải bóng đá Nhi đồng theo thể thức thi đấu vòng tròn một lượt. Thắng
được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Đội Măng Non chỉ hòa 1 trận, thua 1 trận và được tất
cả 16 điểm. Chứng minh rằng vào bất kì lúc nào cũng tìm được ít nhất hai đội đã đấu cùng số
trận.
Xin trao đổi qua Email: hoặc

Các bài toán hay TTT2

5

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 4(9) : Cho các số không âm x1, x2, x3, …, xn có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức : x1x2 + x2x3 + x3x4 + … + xn - 1xn.
Bài 5(9) : Tìm các cặp số hữu tỉ (x, y) thỏa mãn : x + y và 1/x + 1/ y đồng thời là hai số
nguyên dương.
Bài 1(10) : Tìm các số tự nhiên x ; 2x ; 6x biết rằng nếu viết ba số này liền nhau theo thứ tự
này thì tạo thành số có 10 chữ số trong đó các chữ số đều khác nhau.
Bài 2(10) : Giải phương trình :
(x2 + 6x + 10)2 + (x + 3)(3x2 + 20x + 36) = 0.
Bài 3(10) : Có hay không các số tự nhiên m và n thỏa mãn đẳng thức sau :
1/4.(m - n).(m + n).[ 1 + (- 1)m + n] = 2003.
Bài 4(10) : Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trong tam giác. AM, BM, CM theo thứ tự cắt
BC, CA, AB tại A’, B’, C’. Biết rằng : M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’. Chứng
minh rằng : M là trực tâm tam giác ABC.
Bài 5(10) : Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng :
a + b + c < 4 (R + r).
Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội
tiếp của tam giác ABC.
Bài 1(11) : Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Bài 2(11) : Tìm số nguyên a lớn nhất sao cho số T = 427 + 41016 + 4a là số chính phương.
Bài 3(11) : Bạn Hải đã làm bài toán nhân đúng bằng cách sắp các chữ số rời. Hà, em của Hải,
đã đổi chỗ một số chữ số như ở bên. Hãy sắp lại vị trí các chữ số ban đầu mà Hải đã làm
đúng.

x

11
91

191
59
2571
Bài 4(11) : Tính góc A của tam giác ABC biết rằng ∠ O1OO2 = 90o với O1, O, O2 lần lượt là
tâm của các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và bàng tiếp (trong góc A) của tam giác ABC.
Bài 5(11) : Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các tam giác vuông đồng dạng ABE,
ACF (∠ ABE = ∠ ACF = 90o).

Chứng minh rằng : BF, CE và đường cao AH của tam giác đồng quy.
Bài 1(12) : Cho số tự nhiên N = 20032004.
3
3
3
Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n1, n2, ... , nk. S = n1 + n 2 + ... + n k . Tìm số dư
của phép chia S cho 6
Bài 2(12) : Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3,... , a20, có tính chất sau :
a1 là số dương.
Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.
Tổng của 20 số đó là số âm.
Chứng minh rằng : a1.a14 + a14.a12 a1.a12.
Bài 3(12) : Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác không phải là tam giác cân. Hãy so
sánh giá trị tuyệt đối của các biểu thức P, Q sau đây :
Xin trao đổi qua Email: hoặc

6

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

1
1
1
+
+
a −b b−c c−a
a −b c+ b−c a + c−a b
Q=
2(a − b)(b − c)(c − a)
P=

Bài 4(12) : Cho hình thang vuông ABCD có AD // BC, AB vuông góc AD và AD = 4cm,
AB = BC = 2 cm. Hãy tìm một con đường đi từ đỉnh A tới một điểm M trên cạnh DC, rồi tới
điểm N trên cạnh AB, quay lại một điểm P trên cạnh DC và trở về A ngắn nhất.
Bài 5(12) : Cho tứ giác ABCD. I, J theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng :
AC + BD + 2IJ < AB + BC + CD + DA.
Bài 1(13) : Chứng minh rằng

1 1 1
1
+ + + ... + < 2
5 6 7
17

Bài 2(13) : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P(x) =

2002x + 2003 1 − x 2 + 2004
1− x2

; ( x < 1)

Bài 3(13) : Cho 25 số nguyên phân biệt, biết rằng tổng của 4 số bất kì trong chúng đều dương.
a) Chứng minh rằng : Trong 25 số có ít nhất 22 số dương.
b) Tổng của 25 số này lớn hơn hoặc bằng 316.
Bài 4(13) : Cho các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn các điều kiện a + b + x + y ≤ 2,
a + b2 = x + y2, a2 + b = x2 + y. Chứng minh rằng :
⎧a = x
⎧a = y
hoac ⎨
⎨
⎩b = y
⎩b = x
Bài 5(13) : Cho hình thang ABCD có AB song song và bằng một nửa CD. H là trung điểm
của CD. Điểm M nằm ngoài hình thang sao cho MH vuông góc và bằng một phần tư CD. Bên
ngoài hình thang ta dựng các tam giác ADE, BCF vuông cân tại E, F. Chứng minh rằng tam
giác MEF vuông cân tại M.
Bài 1(14) : Cho x ; y thỏa mãn :
(x + 2003 + x 2 )(y + 2003 + y 2 ) = 2003
Hãy tính giá trị của biểu thức : T = x2003 + y2003.

Bài 2(14) : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên x, y :
36x2 + 144y2 - 276x - 120y + 25 = 0

Bài 3(14) : Cho a, b là hai số thỏa mãn : a + b ≥ 2. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai
phương trình sau có nghiệm :
x2 + 2a2bx + b5 = 0
x2 + 2ab2x + a5 = 0
Bài 4(14) : Cho ∆ABC. Trên các tia đối của các tia CB, AC, BA lần lượt lấy các điểm A1, B1,
C1 sao cho AB1 = BC1 = CA1. Chứng minh rằng nếu ∆A1B1C1 đều thì ∆:ABC cũng đều.
Bài 5(14) : Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, AB = BC. Một đường tròn (O) đi qua A, B. Các
tiếp tuyến với (O) kẻ từ A, C cắt nhau tại S. T là tiếp điểm của SC và (O). SB cắt (O) tại E (E
≠ B). Chứng minh rằng : ET // AB.
Bài 1(15) Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng : S = ab + 2bc + 3ca.
Bài 2(15) Giải phương trình :

5 1 − x 3 = 2x 2 + 4
Xin trao đổi qua Email: hoặc


7

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 3(15) Cho tam giác ABC vuông cân, ∠ a = 900 AB = AC = a. Trên tia đối của tia CA lần
lượt lấy các điểm E, F, I sao cho : AE = 2a ; AF = 5a ; AI = 8a.
Tính tổng : ∠ BEA + ∠ BFA + ∠ BIA
Bài 4(15) : Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm N, M tương
ứng, sao cho AN = AM. Gọi O là giao điểm của BM và CN. Chứng minh rằng : OB > OC.
Bài 5(15) : Tính :

S2004 = 1 +

1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
2
2
2 3
3 4
2003 20042

Bài 1(16) : Giải phương trình :

y − 2003 − 1
x − 2002 − 1
z − 2004 − 1 3
+
+
=
x − 2002
y − 2003
z − 2004
4
Bài 2(16) : Cho a ; b ; c là các số dương tùy ý. Chứng minh :

ab
bc

ca
a
b
c
+
+
≥
+
+
c(c + a) a(a + b) b(b + c) c + a a + b b + c
Bài 3(16) : Hãy xác định chữ số tận cùng của số : M = ( 3 + 2) 2004 + ( 3 − 2) 2004
Bài 4(16) : Cho tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A). Gọi M là trung điểm cạnh BC, còn
H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC. Trên tia đối của tia AM ta lấy một điểm P (P
không trùng với A). Các đường thẳng qua H vuông góc với AB và AC lần lượt cắt các đường
thẳng PB và PC tại Q và R tương ứng. Chứng minh rằng A là trực tâm của tam giác PQR.
Bài 5(16) : Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại T. S là điểm đối xứng
với T qua O. A, B là hai điểm trên (O) (A, B ạ S, T). Các tiếp tuyến với (O) tại A, B cắt nhau
tại C. Các đường thẳng SA, SB, SC theo thứ tự cắt d tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng : A’C’ =
B’C’.
Bài 1(17) : Hai số p, q thỏa mãn đẳng thức p3 + q3 = 2. Chứng minh rằng 0 < p + q ≤ 2.
Bài 2(17) : Đặt :
1
1 1
1 1 1
; S2 = 1 + + 2 ; S3 = 1 + + 2 + 3 ;....
5
5 5
5 5 5
1 1
1

Sn = 1 + + 2 + ... + n
5 5
5
1
1
1
1
35
Chøng minh r»ng 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 <
5S1 5 S2 5 S3
5 Sn 36
S1 = 1 +

Bài 3(17) : Cho các số dương x, y, z thỏa mãn bất đẳng thức : 2xyz + xy + yz + zx ≤ 1.
Tìm giá trị lớn nhất của xyz.
Bài 4(17) : Tính các góc của tứ giác ABCD, biết :
n = 250 ; CAD
n = 650 ; BDC
n = 500 ; BCA
n = 400 ; BAD
n + BCD
n > 1800
ABD
Bài 5(17) : Cho tam giác ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). M là trung điểm của BC.
AM cắt (O) tại N (N ≠ A).
Chứng minh rằng MN ≤ MH. Khi nào xảy ra đẳng thức ?
Xin trao đổi qua Email: hoặc


8

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 1(18) : Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 ; chỉ được viết bởi các chữ số 0, 1, 2 và
không lớn hơn 2004 ?
Bài 2(18) : Tìm nghiệm dương của phương trình :
(x3 + y3) + 4(x2 + y2) + 4(x + y) = 16xy.
Bài 3(18) : Giải phương trình :
8

1− x + 8 1+ x + 8 1− x2 = 3

Bài 4(18) : Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trong ∠ BAC , lấy điểm M sao cho MA =
MC và ∠ AMB = 75o. Tính ∠ AMC.
Bài 5(18) : Cho hình thang ABCD (AB // CD). O là giao điểm của AC và BD. M là trung
điểm của CD. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOD, BOC cắt nhau tại K khác O.
Chứng minh rằng : ∠ KOC = ∠ MOD.
Bài 1(19) Cho A =

2 −1
3− 2
4 −3
25 + 24
, chứng minh rằng A < 0,4
+
+
+ ... +
3

5
7
49

Bài 2(19) Cho các số x1 , x 2 , x 3 ,...x11 thoả mãn: 1 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ x11 ≤ 1000 . Chứng minh

rằng tồn tại i ∈{1, 2, 3, ...10} sao cho x i +1 − x i − 1 < 3. 3 x i x i +1
Bài 3(19) Giải phương trình

− x 2 + 3x + 4 2 − x 4 = 0
Bài 4(19) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm của AD. Qua E vẽ đường thẳng vuông
EF
góc với BE, cắt CD tại F. Tính tỉ số
EB
Bài 5(19): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. D là điểm di động
trên cạnh BC. AD cắt (O) tại E (khác A). Gọi R1 , R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp các tam giác EBD, ECD. Xác định vị trí điểm D để R1 , R2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 1(20) : Giải hệ phương trình :
⎧ xy + 2x + y = 0
⎪
⎨ yz + 2z + 3y = 0
⎪zx + 3x + z = 0
⎩

Bài 2(20) : Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho ab = 3(b - a).
Bài 3(20) : Cho x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

S = (2 - x)(2 - y).
Bài 4(20) : Cho tam giác cân ABC (AC = BC) với ∠ ACB = 80o. Trong tam giác ABC có
điểm M sao cho ∠ MAB = 10o và ∠ MBA = 30o. Tính ∠ BMC.

Bài 5(20) : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). AC cắt BD tại I. (O1), (O2) theo thứ
tự là các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI, CDI. Một đường thẳng bất kì đi qua I
cắt (O) tại X ; Y và cắt (O1) ; (O2) theo thứ tự tại Z ; T (Z và T khác I).

Chứng minh rằng XZ = YT.
Xin trao đổi qua Email: hoặc


9

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 1(21) : Cho ba số chính phương A, B, C.
Chứng tỏ rằng : (A - B)(B - C)(C - A) chia hết cho 12.
Bài 2(21) : Chứng minh rằng :

1 32 34
−
+
9
9
9
Bài 3(21) : Cho a ≠ -b, a ≠ c, b ≠ -c. Chứng minh rằng :
b 2 − c2
c2 − a 2
a 2 − b2
b−c c−a a −b
+

+
=
+
+
(a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) b + c c + a a + b
3 3

2 −1 =

3

Bài 4(21) : Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và a + b + c = 9 ; x, y, z lần lượt là
độ dài các phân giác trong của các góc A, B, C. Chứng minh rằng :
1 1 1
+ + >1
x y z
Bài 5(21) : Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng :
HB.HC HC.HA HA.HB
+
+
=1
AB.AC BC.BA CA.CB
Bài 1(22) : Giả sử (a1 ; a2 ; ... ; a37) ; (b1 ; b2 ; ... ; b37) ; (c1 ; c2 ; ... ; c37) là 3 bộ số nguyên bất
kì. Chứng minh rằng tồn tại các số k, l, n thuộc tập hợp số {1 ; 2 ; ... ; 37} để các số a = 1/3(ak
+ al + an) ; b = 1/3(bk + bl + bn) ; c = 1/3(ck +cl + cn) ; đồng thời là các số nguyên.
Bài 2(22) : Tìm a để phương trình (ẩn x) sau có nghiệm :

x = (a − x). x 2 − 1
Bài 3(22) :Tìm m để phương trình sau có ít nhất bốn nghiệm nguyên :

m2|x + m| + m3 + |m2x + 1| = 1.
Bài 4(22) :Cho tam giác ABC. H là điểm bất kì trên cạnh BC. AD là đường phân giác trong
của Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC).

Chứng minh rằng : BH.CH/(BL.CL) = HD2/LD2.
Bài 5(22) : Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính bằng 1. Một đường
thẳng đi qua O cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Kí hiệu SAMN là diện tích tam
giác AMN.

Chứng minh rằng :

3
3 3
≤ SAMN ≤
3
8

Bài 1(23) : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.

Chứng minh rằng phương trình x2 + y2 + z2 = 4p2 + 1 luôn có nghiệm dương (x0, y0, z0).
Bài 2(23) : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

a
b
c
3
+
+
≥
2

2
2
1+ b 1+ c 1+ a
2
Bài 3(23) : Giải phương trình :
3x 2 − 7x + 3 − x 2 − 2 = 3x 2 − 5x − 1 − x 2 − 3x + 4

Xin trao đổi qua Email: hoặc


10

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 4(23) : Cho tam giác ABC (AB < AC) và P là điểm nằm trong tam giác sao cho

∠ PBA = ∠ PCA Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB và AC
; I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : ∠ HIB < ∠ KIC
Bài 5(23) : Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là
các tiếp điểm của (O) với các cạnh BC, CA, AB. Gọi M là giao điểm của các đường thẳng
AO, DE ; N là giao điểm của các đường thẳng BO, EF ; P là giao điểm của các đường thẳng
CO, DF. Chứng minh các tam giác NAB, MAC, PBC có cùng diện tích.
Bài 1(24) : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a)
trong đó a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a ≥ b ≥ c > 0.
Bài 2(24) : Tồn tại hay không số nguyên n thỏa mãn

n3 + 2003n = 20052005 + 1 ?
Bài 3(24) : Đặt

1
1
1
1
+
+ ... +
+
1x2 3x4
2003x2004 2005x2006
1
1
1
B=
+
+ ... +
1004x2006 1005x2005
2006x1004
A=

Chứng minh rằng A/B là số nguyên.
Bài 4(24) : Cho tam giác đều ABC có điểm M thuộc BC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu
vuông góc của M trên AB và AC ; O là trung điểm của EF ; Q là hình chiếu vuông góc của A
trên đường thẳng OM. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì Q luôn thuộc một
đường thẳng cố định.
Bài 5(24) : Cho lục giác nội tiếp đường tròn ABCDEF có AB = AF ; DC = DE. Chứng minh
rằng : AD > 1/2(BC + EF)
Bài 1(25) : Cho Sn =

3 + Sn −1
với n là số tự nhiên không nhỏ hơn 2.

1 − 3.Sn −1

Biết S1 = 1, tính S = S1 + S2 + S3 + ... + S2004 + S2005.
Bài 2(25) : Giải hệ phương trình :
y
⎧ x
⎪⎪ y + x = xy
⎨
2005
⎪ 2008
2008
+y
= 8(xy) 2
⎪⎩ x

Bài 3(25) : Tổng số bi đỏ và số bi xanh trong bốn hộp : A, B, C, D là 48 hòn. Biết rằng : số bi
đỏ và số bi xanh trong hộp A bằng nhau ; số bi đỏ của hộp B gấp hai lần số bi xanh của hộp B
; số bi đỏ của hộp C gấp ba lần số bi xanh của hộp C ; số bi đỏ của hộp D gấp sáu lần số bi
xanh của hộp D ; trong bốn hộp này có một hộp chứa 2 hòn bi xanh, một hộp chứa 3 hòn bi
xanh, một hộp chứa 4 hòn bi xanh, một hộp chứa 5 hòn bi xanh. Tìm số bi đỏ và số bi xanh
trong mỗi hộp.
Xin trao đổi qua Email: hoặc


11

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 4(25) : Chứng minh bất đẳng thức :

a 2004 + b 2004 + c2004 ≥

(b + c)a 2003 (c + a)b 2003 (a + b)c2003
+
+
2
2
2

(với a, b, c là các số dương).
Bài 5(25) : Giả sử M, N là các điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ∠ MAB = ∠ NAC và
∠ MBA = ∠ NBC Chứng minh rằng :

AM.AN BM.BN CM.CN
+
+
=1
AB.AC BA.BC CA.CB
Bài 1(26) : Cho k là số tự nhiên khác 0. Số tự nhiên A gồm 2k chữ số 1 và số tự nhiên B gồm
k chữ số 2. Chứng minh rằng A - B là một số chính phương.
Bài 2(26) : Tìm các số tự nhiên a và b khác 0 sao cho :

4 3
+ 4−b = 3 4+4 b +b + 3 4−4 b +b
a
Bài 3(26) : Cho 1 ≤ a ≤ 2 và 1 ≤ b ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P=

(a + b) 2
a 3 + b3

Bài 4(26) : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi giao điểm của các đường
phân giác của các tam giác HAB, HAC lần lượt là I, K. Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt

tại D, E. Chứng minh rằng :

DE
2
≤
BC
2

Bài 5(26) : Cho hình vuông ABCD. Điểm E nằm trong hình vuông sao cho ABE là tam giác
đều. Gọi F là giao điểm của AE và BD ; K là giao điểm của DE và FC. Chứng minh rằng :
KC = KF.
Bài 1(27): Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng của hai số tự nhiên lớn hơn 1 rồi xét tích của
hai số này. Trong các cách phân tích nói trên hãy chỉ ra cách mà tích số có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2(27): Cho các số khong âm a, b, x, y thoả mãn các điều kiện

a 2005 + b2005 ≤ 1 ; x 2005 + y2005 ≤ 1 .
Chứng minh rằng : a1975 .x 30 + b1975 .y30 ≤ 1
Bài 3(27) Giải phương trình
10 + 24 + 40 + 60 = 2005(2x − 1) + 2 + 3 + 5

n2 + n +1
Bài 4(27) Với số nguyên dương n, ký hiệu a n = (−1)
n!

n

Tính tổng a1 + a2 + ...+ a2005
Bài 5(27) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia
n = BCy
n = 300 . Gọi H là hình chiếu của A trên Cx, K là hình chiếu của
Cx và Cy sao cho ACx
B trên Cy. M là trung điểm của BC. chứng minh rằng : MH = MK
Xin trao đổi qua Email: hoặc


12

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 1(28): Biết rằng A = 654x 999...9997

+ 1965 Chứng minh rằng A chia hết cho 9
100 ch÷ sè 9

Bài 2(28). Cho 5 số thực dương sao tổng của tất cả các tich từng cặp hai số trong chúng bằng
2 . Chứng minh rằng tồng tại bốn trong năm số đó có tổng nhỏ hơn 2.
Bài 3(28) Tồn tại hay không các số nguyên a, b, c thoả mãn:

a(b – c)(b + c – a) 2 + c(a – b)(a + b – c)2 = 1
Bài 4(28) Giải phương trình x4 + 16x + 8 = 0
Bài 5(28): Một đường thẳng d chia tam giác ABC cho trước thành hai phần có diện tích bằng
nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC nằm

trên đường thẳng d.
Bài 1(29) Chứng minh rằng số 20052 + 22005 nguyên tố cùng nhau với số 2005
Bài 2(29) Cho ba số dương a,b,c chứng minh rằng :

a 3 b3 c3
+ + ≥ a ac + b ba + c cb
b c a
Bài 3(29) Giải phương trình : 2(x4 + x3 + x2 + x ) + 1 = 0
Bài 4(29). Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. AD, BE, CF là các
đường cao của tam giác đó . Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng AP2 = AQ2 = 2.AD.OM
Bài 5(29) Xác định M nằm trong tam giác ABC sao cho tích các khoảng cách từ M tới các
cạnh của tam giác đạt giá trị lớn nhất.
Bài 1(30). Giải phương trình |x3 - x - 1| = x3 + x + 1
Bài 2(30) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x − x 3 + x + x 3 với 0 ≤ x ≤ 1

⎧ 2
3
2
(x + y)
⎪ x + xy + y =
Bài 3(30) Giải hệ phương trình ⎨
2
⎪ x 2004 + y 2004 = 22005
⎩
Bài 4(30) Cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ A, đường trung tuyến kẻ từ B và đường
phân giác trong kẻ từ C đồng quy . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài của ba cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh rằng (a + b)(a2 + b2 - c2) = 2a2b

Bài 5(30) Cho tam giác ABC. Điểm O nằm trong tam giác. BO cắt AC tại M, CO cắt AB tại
N. Dựng các hình bình hành OMEN và OBFC. Chứng minh rằng A, E, F thẳng hàng và

AE AM.AN OM.ON
=
=
AF AB.AC OB.OC
Bài 1(31) Cho số 155*710* 4*16 có 12 chữ số . Chứng minh rằng nếu thay các dấu (*) bởi
các chữ số khác nhau trong b chữ số 1, 2, 3 một cách tuỳ ý thì số đó luôn chia hết cho 396
Bài 2(31) Giải hệ phương trình

⎧⎪ x 2 − xy + y 2 = 3
⎨ 2
⎪⎩z + yz + 1 = 0

Xin trao đổi qua Email: hoặc


13

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 3(31) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A=

2004x 2 + 6006x + 6 x 3 − 2x 2 + x − 2 − 8003

Bài 4(31) Cho a, b, c là ba cạnh của một ta giác. Chứng minh rằng
3

a +b−c + 3 b+c−a + 3 c+a −b ≤ 3 a + 3 b + 3 c

Bài 5 (31) Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác lần lượt tiếp xúc với các
cạnh AB, BC theo thứ tự tại P, Q. Phân giác trong của góc A cắt tia PQ tại E. Chứng minh
rằng AE vuông góc với CE.
Bài 1(32) Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005. Đặt trước mỗi số dấu “cộng” hoặc
dấu “trừ” rồi thực hiện phép tính thì được tổng A. Tìm giá trị không âm nhỏ nhất mà A có thể
nhận được.
Bài 2(32) Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(-3) < -10 ; f(-1) > 0 ; f(1) <1. Hãy xác định dấu
của hệ số a.
Bài 3(32) Giải phương trình (x – 2005)6 + (x – 2006)8 = 1
1
⎛ 2n − 1 ⎞
Bài 4(32) Cho a1 = ;a n +1 = ⎜
⎟ a n với mọi số nguyên dương n không vượt quá 2004.
2
⎝ 2n + 1 ⎠
Chứng minh rằng : a1 + a2 + a3 + ... + a2005 < 1

Bài 5(32) Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC. Các đường tròn đường kính AM, BC
cắt nhau tại N (khác B) BN cắt CD tại L . Chứng minh rằng : ML vuông góc với AC.
Bài 1(33) Chứng minh rằng phương trình x2 – 2y = 2005 không có nghiệm nguyên.
Bài 2(33) Giải phương trình 48x(x + 1)(x3 – 4) = (x4 + 8x + 12)2
Bài 3(33) Giải hệ phương trình
⎧3x − y − 5z − 2yz = 0
⎪
2

⎨ x − 5y − z − 2z = 0
⎪ x + 9y − 3z + 2xz = 0
⎩

Bài 4(33) Cho tam giác ABC cân tại A có góc A bằng 360 . Chứng minh rằng

BA
là số vô tỉ
BC

Bài 5(33) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên một nửa đường tròn đường kính AB
p < AD
p (D ≠ B); trên nửa đường tròn còn lại lấy điểm E (khác A
lấy các điểm C, D sao cho AC
n = 900
và B). CE cắt AD tại I. Đường thẳng IO cắt BE tại K. Chứng minh rằng CDK

Bài 1(34). Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n + 153 là bình phương của một số
nguyên
Bài 2(34) Cho a, b, c là các số thực dơng thoả mãn abc = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
a 2 + b 2 − c2 b2 + c2 − a 2 c2 + a 2 − b2
+
+
thức P =
c
a
b
Bài 3(34). Chứng minh rằng không có số nào trong hai số sau : p – 1 và p + 1 là số chính
phương với p là tích của 2005 số nguyên tố đầu tiên.
Bài 4(34): Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của một đường tròn tâm O,

bán kính R. M là một điểm thuộc (O ; R). ìm giá trị lớn nhất của P = MA.MB.MC.MD.

Xin trao đổi qua Email: hoặc


14

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 5(34). Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) và hai điẻm A, B cố định nằm trên đường
tròn. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho đoạn thẳng AM có một điểm chung thứ hai C (khác
A) với đường tròn (O) và AM = MC + CB.
Bài 1(35) Biết rằng x và y là các số tự nhiên có 2005 chữ số . Số x chỉ viết bởi các chữ số 9 và
số y chỉ viết bởi các chữ số 8. Hãy so sánh tổng các chữ số của tích xy và tổng các chữ số của
x2
Bài 2(35). Hãy xác định a để phương trình sau có nghiệm duy nhất

(

Bài 3(35) Cho x +

⎧⎪4xy − 2x + 2y + 4z 2 (x + y) = 4a + 3
⎨ 2
2
2
⎪⎩ x + y + z + x − y = a

)(

)

x 2 + 1 y + y 2 + 1 = 1 . Tính M = x y 2 + 1 + y x 2 + 1

Bài 4(35) Cho tam giác ABC, AB < AC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao
cho BM = CN. Gọi giao điểm của BN và CM là O. Đường thẳng qua O song song với phân

n cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại X, Y.
giác của góc BAC

Chứng minh rằng BX = CA; CY = BA.
Bài 5(35) Các đường trung tuyến của tam giác không cân ABC kẻ từ A, B, C cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác lần lượt tại các điểm M, N, P. Chứng minh rằng : Nếu MN = MP thì ta có

a2 =

b2 + c2
trong đó BC = a , CA = b, AB = c
2

Bài 1(36) Cho số nguyên n > 2005 và số thực x thoả mãn : 2006n + 2005n = xn . Hỏi x có thể
là số nguyên không ?
Bài 2(36). Biết rằng x2 + y2 = x + y. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F = x - y

1⎞
⎛ 1 ⎞⎛ 4 1 ⎞ ⎛
4
⎜ 1 + ⎟⎜ 3 + ⎟ ...⎜ (2005 + ⎟
4 ⎠⎝

4⎠ ⎝
4⎠
Bài 3(36): Rút gọn : T = ⎝
1⎞
⎛ 4 1 ⎞⎛ 4 1 ⎞ ⎛
4
⎜ 2 + ⎟⎜ 4 + ⎟ ...⎜ (2006 + ⎟
4 ⎠⎝
4⎠ ⎝
4⎠
⎝

l =C
m ; A1B1 = A2B2 và các cạnh còn
Bài 4(36) Giả sử hai tam giác A1B1C1 ; A2B2C2 có C
1
2
lại thoả mãn điều kiện : B1C1 + C2A2 = B2C2 + C1A1. Chứng minh rằng hai tam giác đó bằng
nhau.
Bài 5(36). Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho
tổng khoảng cách từ điểm M tới các đường thẳng AB, BC, CD, DA bằng 2a.
Bài 1(37) Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 là 1 hoặc số
nguyên tố.
Bài 2(37). Tìm tất cả các số thực dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình

⎧x + y + z = 6
⎪
4
⎨1 1 1
+

+
=
−
2
⎪x y z
xyz
⎩
⎛ 2006 ⎞
⎛ 2005 ⎞
⎟⎟
⎝ 2005 ⎠
⎝ 2004 ⎠

Bài 3(37) Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x + 3. Chứng minh rằng f ⎜

Xin trao đổi qua Email: hoặc


15

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

Bài 4(37). Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. BO, CO theo thứ tự cắt AC, AB
tại M, N. Dựng các hình bình hành OMEN, OBFC. Chứng minh rằng A, E, F thẳng hàng và

AE AM.AN OM.ON
=

=
AF AB.AC OB.OC
Bài 5(37). Cho nửa đường tròn đường kính AB = c = 2R. Tìm trên nửa đường tròn đó (Không
kể hai đầu mút A và B) tất cả những bộ ba điểm C1 ; C2 ; C3 sao cho BC1 + AC2 = BC2 + AC3
= BC3 + AC1 = d. Trong đó d là độ dài một đoạn thẳng cho trước.
Bài 1(38) Gaỉi phương trình x +
Bài 2(38) Cho A =

2 2x
1 + x2

=1

x 4 (y − z) + y 4 (z − x) + z 4 (x − y)
trong đó x, y, z là các số nguyên và
(x + y)2 + (z + y)2 + (x + z)2

x > y > z. Chứng minh rằng A là số nguyên dương.
Bài 3(38) Cho ba số dương a, b, c và T(x) = x2004 - x2002 + 3. Chứng minh rằng :
T(a).T(b).T(c) ≥ 9(ab + bc + ca)
Bài 4(38). Cho tam giác ABC có BC = 7cm, AC - AB = 1cm. Gọi I là giao điểm của các
đường phân giác của tam giác, H là chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC. Tính độ dài HB,
HC.
Bài 5(38) Cho tam giác ABC vuông ở A, ngoại tiếp đường tròn (I, r). Kẻ đường cao AH, ; Gọi
M là trung điểm của BC; Q là giao điểm của AH và MI; E và F lần lượt là hình chiếu của A
trên IB và IC. Chứng minh rằng AQ = EF.
Bài 1(39) Cho a, b, c là ba số khác 0, thoả mãn 2005a + 2006b = 2007c. Chứng minh rằng
trong ba biểu thức a2 + 2bc ; 3b4 + 4ca ; 5c6 - 6ab có ít nhất một biểu thức có giá trị dương.
Bài 2(39). Tìm tất cả các giá trị của a sao cho với mỗi giá trị đó tồn tại duy nhất bộ số (x, y, z)
thoả mãn các đẳng thức x + y + z = x2 + 4y2 ; x + 2y + 3z = a.

a 2 (b + c) + b 2 (a + c)
trong đó a, b, c là
Bài 3(39) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
abc
độ dài ba cạnh của một tam giác vuông (c là độ dài cạnh huyền)

l = 1050 ;B
l = 450 ; và chu vi của tam
Bài 4(39). Tính các cạnh của một tam giác ABC biết A
giác bằng

27 + 18 + 9cm .

Bài 5(39)Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = a; DA = CB = b. Hỏi rằng có thể tìm
được hay không trên đáy lớn CD một điểm E sao cho hai tam giác được tách ra khỏi hình
thang đã cho bởi hai nhát cắt thẳng theo AE và BE đồng dạng với nhau nhưng không bằng
nhau ?
Bài 1(40) Cho bộ ba số nguyên dương (a, b, c) (bộ ba Pitago) thoả mãn a2 + b2 = c2.
Chứng minh rằng
2

⎛c c⎞
a) ⎜ + ⎟ > 8
⎝a b⎠

Xin trao đổi qua Email: hoặc


16

Các bài toán hay TTT2

Đồng Thái Lâm (st)

b) Không tồn tại số nguyên dương n sao cho có thể tìm được ít nhất một bộ ba Pitago (a, b, c)
2

⎛c c⎞
thoả mãn ⎜ + ⎟ = n
⎝a b⎠
Bài 2(40) Tìm GTNN của biểu thức P = a3 + b3 + c3 trong đó a, b, c là các số thực thoả mãn

a ≥ −1;b ≥ −1;c ≥ −1;a + b + c = 3 4 −1.
Bài 3(40) Chứng minh rằng không tồn tại 6 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng của bốn
số tuỳ ý trong chúng luôn chia hết cho tổng của hai số còn lại.
Bài 4(40). Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I, r) và đường tròn bàng tiếp (Ia) trong
góc A . Gọi D là tiếp điểm của cạnh BC với (Ia) . Dựng đường tròn (J, p) tiếp xúc trong với
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với DA, DB lần lượt tại E, F. Chứng minh
rằng E, I, F thẳng hàng và bán kính p của (J) bằng r.
Bài 5(40). Cho tam giác ABC có điểm E thuộc trung tuyến AM và F là hình chiếu của E trên
BC. Gọi X, Y lần lượt là hình chiếu của E trên AB; Z, T lần lượt là hình chiếu của E, F trên
AC. Chứng minh rằng tam giác EXY và tam giác EZT đồng dạng.
Bài 1(41). Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x +

4
xy + 3 xyz = . Tìm
3

giá trị nhỏ nhất của x + y + z

Bài 2(41). Chứng minh rằng 321 - 224 - 68 - 1 chia hết cho 1930
Bài 3(41). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2005
x
y
2004
+
+
+
=2
x + y y + 2004 4009 x + 2005
Bài 4(41). Cho tam giác ABC vuông tại C, BC = a; AC = b ; AB = c. Gọi hc là độ dài đường
cao của tam giác đó kẻ từ C. Chứng minh bất đẳng thức :

a+b+c
≥ 2(1 + 2)
hc

l = 60 . Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, tiếp
Bài 5(41). Cho tam giác ABC có A
xúc với cạnh AB, AC, Bc lần lượt tại điểm D, E, F. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BO,
CO lần lượt tại N, M. Tính diện tích tam giác MNF theo diện tích tam giác ABC.
0

Bài 1(42). Có bao nhiêu số tự nhiên n có 5 chữ số thoả mãn : 2 là ước của n, 3 là ước của n+ 1
; 4 là ước của n + 2 và 5 là ước của n + 3
Bài 2(42). Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng

1

1
1
3
+
+
≥3
a(1 + b) b(1 + c) c(1 + a)
abc(1 + 3 abc)
Bài 3(42) Chứng minh rằng Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm thì nghiệm thoả mãn

x < a 2 + b 2 +1
Bài 4(42) Cho tam giác ABC đều. Các điểm M, N , P theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CA, AB.
Biết S(ANP) = S(BMP) = S(CMN). Chứng minh rằng ∆ANP = ∆BPM = ∆CMN.
Bài 5(42). Chứng minh rằng một tứ giác lồi nội tiếp trong một tam giác đều có cạnh bằng
2006 thì không thể cả bốn cạnh đều lớn hơn 1003.

Xin trao đổi qua Email: hoặc