ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

PHÒNG GD& ĐT ĐOAN HÙNG
TRƯỜNG THCS TÂY CỐC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2014 - 2015
M«n: To¸n

ĐỀ CHÍNH THƯC

(Thêi gian: 150 phót kh«ng kÓ thêi gian
giao ®Ò)

Câu 1: ( 6 điểm ).
1) Cho biểu thức: A = 1 − (

2
5 x
1
x −1
−
−
):
1+ 2 x 4x −1 1− 2 x 4x + 4 x +1

a/ Rút gọn A
b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên
c/ Tính giá trị của A với x = −7 3 49(5 + 4 2)(3 + 2 1 + 2 )(3 − 2 1 + 2 2 ) .
2) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho :
 abc = n 2 − 1
với n là số nguyên lớn hơn 2.


2
cba
=
n
−
2
(
)


Câu 2: ( 4 điểm ).
1) Giải phương trình sau: x + 3 + 1 − x 2 = 3 x + 1 + 1 − x
1 1 1
2) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: x. y.z = 1 và x + y + z = + + .
x

2013
2014
2015
Tính giá trị của biểu thức: P = ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1)

y

z

Câu 3: ( 3 điểm ).
1) T×m c¸c nghiệm nguyên của phương trình : x2 + xy + y2 = x2y2
2) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng

ab
bc
ca
1
+
+
≤ .
c +1 a +1 b +1 4

Câu 4: ( 6 điểm ).
Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By
vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho
góc COD = 900. Kẻ OH vuông góc với CD tại H.
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB;
b) Chứng minh AC.BD =

AB 2
;
4

c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích
tam giác AHB.
Câu 5: ( 1 điểm ). T×m nghiÖm nguyªn dương cña ph¬ng tr×nh : x2+2y2 +2xy
+3y- 4 = 0


—————————————– Hết ——————————————–

híng dÉn chÊm m«n to¸n 9
Năm học: 2014 - 2015

Câu

Điểm


2
5 x
1 
x −1
−
−
:
÷
÷
 1+ 2 x 4x −1 1 − 2 x  4x + 4 x +1

a/Cho biểu thức A= 1- 

0,5đ

1
4

ĐK: x ≥ 0; x ≠ ; x ≠ 1


2
5 x
1 ÷
x −1


−
+
:
A= 1- 
2 x + 1 2 x + 1 (2 x − 1) 2 x − 1 ÷ 2 x + 1



(

)

(

)

2

4 x − 2 − 5 x + 2 x + 1 (2 x + 1) 2
.
A=1(2 x + 1)(2 x − 1)
x −1

Câu
1.1
(4 đ)

0,5đ
0,5đ

x −1 2 x +1
2 x +1
2
.
= 1−
=
2 x −1 x −1
2 x −1 1 − 2 x
b/ Tìm x ∈ Z để A nguyên.
2
A∈ Z ⇒
∈ Z ⇒ 1 − 2 x ∈ Ư(2)
1− 2 x
Do x ≥ 0; x ≠ 1; x ∈ Z ⇒ x = 0

0,5đ

A=1-

1đ

Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên.
c/Với x= −7 3 49(5 + 4 2)(3 + 2 1 + 2 )(3 − 2 1 + 2 2 )
x=-7 3 49(5 + 4 2)(5 − 4 2) = −7. − 7 = 49
⇒ x = 7 . Vậy A =

0,5đ
0,5đ

2
2
=
1 − 2.7 −13

(1)

Câu
1.2
(2 đ)

0,5

2
 abc = 100a + 10b + c = n − 1

Viết được  cba = 100c + 10b + a = n 2 − 4n + 4 (2)

0,5

Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5
=> 4n – 5 + 99 (3)
Mặt khác :
100 ≤ n 2 − 1 ≤ 999 ⇔ 101 ≤ n 2 ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31
⇔ 39 ≤ 4n − 5 ≤ 119

Từ (3) và (4)

=> 4n – 5 = 99 => n = 26

0,5
(4)

0,5


Vậy số cần tìm abc = 675

1. x + 3 + 1 − x 2 = 3 x + 1 + 1 − x (ĐK: − 1 < x < 1 )

Câu
2.1
(2đ)

 x + 3 = a 2 + 2
 x + 1 = a
( a , b ≥ 0) ⇒ 
Đặt 
 1 − x = b
 1 − x 2 = ab

0,5đ.

Thay vào phương trình đã cho ta có:

0,5đ.

a 2 + 2 + ab = 3a + b ⇔ a 2 + ( b − 3).a − ( b − 2) = 0 ⇔ ( a − 1)( a + b − 2) = 0
a = 1
⇔

a + b = 2

• Với a = 1 ⇒ x + 1 = 1 ⇔ x = 0 (thỏa mãn)
•Với

0,5đ.

a + b = 2 ⇒ x +1 + 1− x = 2 ⇔ x +1+1− x + 2 1− x2 = 4 ⇔ 1− x2 = 1 ⇔ x = 0

0,5đ.
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 .
---------------------------------------------------------------------------------------------- 0,5đ
1

1

1

Từ x + y + z = x + y + z ⇒ x + y + z =

xy + yz + zx
= xy + yz + xz ( vì xyz = 1 )
xyz

Xét tích ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) = ( xy − x − y + 1) ( z − 1) =

0,5đ

xyz − xy − xz − yz + x + y + z − 1 = 1 − xy − xz − yz + x + y + z − 1 = 0

Câu
2.2
(2đ)
--------

Câu
3.1
(2đ)

 x −1 = 0  x = 1
⇒  y − 1 = 0 ⇒  y = 1
 z − 1 = 0
 z = 1
Lần lượt thay x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1 vào biểu thức P ta đều được P = 0

0,5đ
0,5đ

--------------------------------------------------------------------------------------------------- -0,25
2 2
2

x y ≥ 4x
*Víi x≥ 2 vµ y≥ 2 ta cã:  2 2
đ
2

x y ≥ 4 y

⇒ x y ≥ 2 (x + y ) = x + y +x2 + y2≥ x2 + y2 + 2xy> x2 + y2 0,25
+ xy
đ
* VËy x≤ 2 hoÆc y ≤ 2
- Víi x =2 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc 4 + 2y + y2 = 4y2
0,25
2 2

2

2

2

2


hay 3y2-2y -4 =0 ⇒ Ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn
- Víi x =-2 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc 4 - 2y + y2 = 4y2
hay 3y2+2y -4 =0 ⇒ Ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn
- Víi x =1 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc 1 + y + y2 = y2
hay y = -1
- Víi x =-1 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc 1 - y + y2 = y2
hay 1- y = 0 ⇒ y =1
- Víi x = 0 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc y =0
Thö l¹i ta ®îc ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm nguyªn (x, y) lµ:
(0; 0); (1, -1); (-1, 1)

đ
0,25

đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ
0,25
đ

Học sinh phát biểu và CM bất đẳng thức phụ sau:
- Với x; y là các số thực dương bất kỳ ta có:

0,25
1
11 1
≤  + ÷ (1). Đẳng thức
x+ y 4 x y

xẩy ra khi và chỉ khi x = y.
Câu
3.2
(1đ)

Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có

0,25

1
11 1

1 1
1
≤  + ÷
+ ÷ ≥ 2 xy .2
=4⇒
x+ y 4 x y 
xy
x y

( x + y) 

- Áp dụng BĐT (1) ta có:
ab
ab
ab  1
1  ’
=
≤ 
+
÷ (1 )
c +1 ( c + a) + ( c + b)
4  c +a c +b 

Tương tự

0,25

bc
bc  1
1  ’ ca

ca  1
1  ’
≤ 
+
≤ 
+
÷(2 );
÷ (3 )
a +1 4  a + b a + c 
b +1 4  b + a b + c 

Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được:
ab
bc
ca
1  ab + ca ab + cb cb + ca  a + b + c 1
+
+
≤ 
+
+
=
÷=
c +1 a +1 b +1 4  b + c
c+a
a +b 
4
4
1
3

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = .

0,25


0,5

Cõu 4
(6)

a) Vỡ Ax AB; By AB nờn Ax, By l tip tuyn ca ng trũn (O)
Gi M l trung im ca CD => OM l ng trung bỡnh ca hỡnh thang
1,5
ACDB => OM //AC => gúc ACO = gúc MOC ( So le trong) (1)
Li cú: OM l trung tuyn thuc cnh huyn ca tam giỏc vuụng COD => OM
= MC => tam giỏc OMC cõn ti M => gúc COM = gúc MCO (2)
T (1) v (2) suy ra gúc ACO = gúc MCO
=> tam giỏc ACO = tam giỏc HCO (cnh huyn - gúc nhn)
=> OH = OA => H thuc ng trũn tõm O
=> CD l tip tuyn ca ng trũn tõm O ng kớnh AB
b) Theo tớnh cht hai tip tuyn ct nhau ta cú AC = CH; BD = DH
CH.DH = OH2 => AC.BD =
c) SCOD = S AHB =>

AB 2
4

OH
= 1 ( HK AB; K thuc AB )

HK

( Vỡ tam giỏc COD ụng dng vi tam giỏc BHA)
=> OH = HK => K trung O => H l im chớnh gia ca na ng trũn O =>
AC =

AB
AB
vy im C thuc tia Ax sao cho AC =
thỡ SCOD = S AHB .
2
2

1,5
0,5
1,0
1,0

----------------------------------------------------------------------------------------------

Cõu 5
(1 )

Biến đổi phơng trình
x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0 (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4= 0
(y+4)(y-1) =-(x+y)2 0
- 4 y 1 vì y thuộc Z nên y { 4;3;2;1;0;1}
Sáu cặp (x;y) thỏa mãn phơng trình là
(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)
V ỡ x; y nguyờn dng nờn x=1 v y=3

0,25
0,25
0,25
0,25