ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN

PHềNG GD&T THANH OAI
CHNH THC

THI CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 2014 - 2015
Mụn: Toỏn
Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )
thi gm cú: 01 trang

Cõu 1: (6 im)
1. Cho A =

:

a. Rỳt gn A

b. Tớnh A khi x =

+

2. Cho n l s nguyờn dng v n l. CMR:
1947
Cõu 2: (4 im)
Gii phng trỡnh

x 2 3x + 2 + x + 3 = x 2 + x 2 + 2 x 3
b ) Cho a, b, c l 3 s tng ụi mt khỏc nhau v tho món:
a
b
c
+
+

=0
b-c
c-a
a-b
a
b
c
+
+
=0
Chng minh rng:
2
2
(b - c)
(c - a)
(a - b) 2

Cõu 3: (3 im)
a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
1 + x + x2 + x 3 = y 3
b) Cho a,b,c là các số dơng và a+b+c=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= a 3 + b 3 + c 3
Cõu 4: (6 im)
Cho ng trũn (O; R) v ng thng d khụng cú im chung vi ng trũn. Gi M l im
thuc ng thng d. Qua M k 2 tip tuyn MA, MB ti ng trũn. H OH d ti H. Ni AB
ct OH ti K, ct OM ti I. Tia OM ct ng trũn (O; R) ti E.
a. Chng minh OK.OH = OI. OM
b. Chng minh E l tõm ng trũn ni tip tam giỏc MAB.
c. Tỡm v trớ ca M trờn ng thng d din tớch tam giỏc OIK cú din tớch ln nht.
Cõu 5: (1 im)

Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh:
(x + y)4 = 40y + 1.
- Ht Lu ý: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm!


PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: Toán

Câu 1: (6 điểm)
1. a) ĐK: x

0; x

0.5

1

2
1
0.5

Rút gọn A =
b) Lập phương 2 vế tính x = 2
Thay vào A: => A =
n

0.25
0.25

= … = 3-2
n

n

n

0.25
0.25
0.25
0.25

n

2. Ta có: 46 + 296.13 = 46 - 13 + 297.13
= 46n - 13n + 9.33.13n
= (46-13).(…) + 9.33.13n
= 33 . (…) + 9.33.13n 33

0.5

Lại có: 46n + 296.13n = 46n + 13n +295.13n = (46n +13n) + 5.59.13n
= (46+13) . (…) + 5.59.13 n
= 59.(…) + 5.59.13 n 59 
Mà (13; 39) = 1 Nên từ

và  => 46n + 296.13n 33.59 = 1947 (đpcm)

Câu 2: (4 điểm)

a,(2đ)
a, x 2 − 3x + 2 +

x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3 (1)

x 2 − 3x + 2 ≥ 0

⇔x≥2
ĐK: x + 3 ≥ 0
x 2 + 2 x − 3 ≥ 0

(1) ⇔ + = +
 x −1 = a ≥ 0

Đặt:  x − 2 = b ≥ 0

 x + 3 = c ≥ 0
⇔ a.b + c = b + a.c
(1)
⇔ a(b - c) - (b - c) = 0

0,25
0,5
0,25

0,5


a = 1
⇔ (a - 1)(b - c) = 0 ⇔ 

b = c
Với a = 1 ⇒

x − 1 = 1 ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2 (thoả mãn đk)

Với b = c ⇒
nghiệm

⇒ x - 2 = x + 3 ⇒ 0x = 5 vô

x−2 = x+3

0,5

Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2
b(2đ)
b) Từ giả thiết ta có:

0,5

a
b
c
ab - b 2 - ac + c 2
=
=
b-c
a-c a-b
( a - b) ( a - c)
a

1
Nhân 2 vế của đẳng thức với
ta có:
b-c

( b - c)

2

=

ab - b 2 - ac + c 2
( a - b) ( a - c) ( b - c)

0,5

Vai trò của a, b, c như nhau, thực hiện hoán vị vòng quanh giữa a, b, c ta có:
b

( c - a)

=

2

cb - c 2 - ab + a 2
( a - b) ( a - c) ( b - c) ,

c

( a - b)

2

=

ac - a 2 - bc + b 2
( a - b) ( a - c) ( b - c)

a
b
c
+
+
=0
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta có
2
2
(b - c)
(c - a)
(a - b) 2

0,5

0,5
Câu 3: (3 điểm)
Bµi 3: (3®iÓm)
1
2

3
4

a. (1,5d) Giải: Ta có x2+x+1=(x+ )2 + >0
5x2+11x+7=5(x+

11 2 19
) +
>0
10
20

Nên(1+x+x2+x3)-(1+x+x2)<1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3)+(5x2+11x+7)
⇔ x3<1+x +x2+x3<(x+2)3 hay x3
0,25®
0,25®
0,5®

x = 0

=>(x+1)3=1+x+x2+x3 ⇔ x(x+1)=0 ⇔ 
 x = −1
*x=0=>y=1
*x=-1=>y=0
Vậy nghiệm nguyên của PT là : (0;1), (-1;0)

0,5®

b) (1,5®)
ta cã a>0 nªn a 3 +
⇒ a3 ≥

1
1
1 1
a
+
≥ 3 3 a3 . .
= ( b®t c«si cho 3 sè d¬ng)
27 27
27 27 3

0,5®

a 2
−
3 27
b
3

t¬ng tù b3 ≥ −

2 3 c 2
;c ≥ −
27
3 27

,

0,5®


1
2 1 2 1
⇒ a 3 + b 3 + c 3 ≥ (a + b + c) − = − =
3
9 3 9 9
1
1
Do ®ã A ≥ . DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c=
9
3
1
1
VËy min A= ⇔ a = b = c =
9
3

0,5®

Bài 4
(6 đ)
a)
M
1
2

A

2

E

1

( 2 điểm)

1

I
O

J N

K

H
B

d

+ Chứng minh được : OM ⊥ AB ≡ I
+ Chứng minh: ∆OIK : ∆OHM

OI OK
=
⇒ OK.OH = OI.OM
OH OM

·
+ Tia MI là tia phân giác: AMB
(1)
¶ +E
µ = 900
A
1
1
¶ + OAE
·
¶ + OAE
·
¶ =A
¶
⇒A
= 900 mà A
+ 
= 900 ⇒ A
1
2
1
2
µ
·
E1 = OAE
·
⇒ AE là tia phân giác MAB
(2)
+ Chứng minh :

b)
( 2điểm )

c)
(2 điểm )

0,75
0,75
0,5
0,25
1,25
0,25

+ Từ ( 1) và ( 2) ⇒ E là tâm đường tròn nội tiếp ∆MAB

0,25

+ Chứng minh trong ∆OAM : OI. OM = OA2 = R2
+ Lập luận có:
OK.OH = OI.OM

0,25
0,25

R2
⇒ OK.OH = OI.OM = R ⇒ OK =
, Lập luận ⇒ K cố định
OH
2

0,25


+ Gọi IN là đường cao của ∆OIK và J là trung điểm của ON.

IN.OK
⇒ ( SOIK ) max ⇔ ( IN ) max ( do IK không đổi )
2
OK
OK
+ Đánh giá: IN ≤ IJ =
⇒ ( IN ) max =
⇔ N ≡ J ⇔ ∆IOK vuông cân.
2
2
+ Lập luận ∆OMH vuông cân ⇒ MH = HO . Kết luận……
+ SOIK =

0,25
0,25
0,5
0,25

Câu 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
(x + y)4 = 40y + 1. (1)
Vì x ≥ 1, y ≥ 1 nên (1) viết được dưới dạng:

( x + y ) 3 = 40 y + 1
x+ y

Chứng minh được

40 y + 1 40 y + 40 x
= 40
<
x+ y
x+ y
Suy ra 2(x + y)2 < 20 suy ra x + y < 4

2(x + y) ≤ ( x + y ) =
2

3

Đồng thời x + y là ước của 40y + 1 là số lẻ nên x + y lẻ
⇒ x+y=3
⇒ 40y + 1 = 34 = 81 ⇒ y = 2 ⇒ x = 1.
Vậy (x,y) = (1;2)
- Hết -

0,5đ

00,5đ