ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN

UBND HUYỆN THANH SƠN

PHÒNG GD&ĐT

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn: Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề )

( Đề thi có 01 trang )


3y2

1

y



x2 

− 4
− 3
Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức A =  2
÷.  y +
÷

3
x + x 2 y + xy 2  
x+ y
 x − xy x − xy

a) Rút gọn biểu thức A;
2

b) Tìm cặp số nguyên dương ( x ; y ) để A + y có giá trị là một số nguyên.
Câu 2(4,0 điểm): Giải các phương trình sau:
a) x 4 − 2 x3 + 2 x 2 + 4 x − 8 = 0 ;
x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2 .

b)

Câu 3(4,0 điểm):
a) Giải bất phương trình

29 x −11
< 2;
3x + 5

1 1 1
1
= 1 . Tính giá trị của biểu
b) Cho x, y, z thỏa mãn  + + ÷:
x
y
z
x

+
y
+
z



(

)(

)(

)

29
29 y11 + z11 z 2013 + x 2013
thức B = x + y
.

Câu 4( 6,0 điểm): Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt
phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên
·
tia By lấy điểm D sao cho COD
= 900 . Kẻ OH vuông góc với CD tại H.
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB;
b) Chứng minh AC.BD =

AB 2
;

4

c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD
bằng diện tích tam giác AHB.
Câu 5(2,0 điểm): Cho các số a, b, c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 .
Chứng minh rằng P =

2a
1 + a2

+

b
1 + b2

+

c
1 + c2

≤

9
.
4

------------------Hết-------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm


Họ và tên thí sinh........................................................số báo danh....................

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 - THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn: Toán
( Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với đáp
án)


1
3 y2
y
−
− 3
2
4
3
2
x + x y + xy 2
 x − xy x − xy

Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức A = 


x2 
.
y
+
÷
÷

x+ y


a) Rút gọn biểu thức A;
2

b) Tìm cặp số nguyên dương ( x ; y ) để A + y có giá trị là một số nguyên.
Nội dung cần đạt
x ≠ 0
(*). Với điều kiện ( *) ta có:
x ≠ ± y

a) ĐKXĐ: 


  xy + y 2 + x 2 
1
3y2
y
−
−
.
÷
3
3
2
2 ÷
x+ y
 x( x − y ) x( x − y ) x( x + xy + y )  


A=

 x 2 + xy + y 2 − 3 y 2 − y ( x − y )   xy + y 2 + x 2 
=
÷. 
÷
x( x3 − y 3 )
x+ y



x 2 − y 2 xy + y 2 + x 2 1
=
.
=
x( x 3 − y 3 )
x+ y
x
2 y + 2x
b) Giả sử A + y = xy = m là một số nguyên. Vì x, y nguyên dương nên m

nguyên dương.
Suy ra: 2 x + y = mxy ⇔ (my − 2)(mx − 1) = 2
hay my − 2; mx − 1 là ước của 2.

Điểm
0,50
0,50
0,50

0,50
0,25
0,25
0,25

Xét 4 trường hợp:
4

y=

 my − 2 = 2

m
⇔
*
Vì x, y nguyên dương và x ≠ ± y nên m ∈ { 1; 2}
 mx − 1 = 1
x = 2

m

0,25

suy ra: (x, y) = (2, 4); (1, 2). Thử lại ta được kết quả trên đều thỏa mãn.
3

y=

my
−

2
=
1


m
⇔
*
( Loại, do x ≠ y )
mx
−
1
=
2
3

x =

m

0,25

2


1

y=

 my − 2 = −1 

m
⇔
*
(loại, vì x và y trái dấu)
 mx − 1 = −2
 x = −1

m
 my − 2 = −2
y = 0
⇔
*
( Loại)
 mx − 1 = −1
x = 0

0,25
0,25

Tóm lại: (x, y) = (2, 4); (1, 2)
Câu 2(4 điểm): Giải các phương trình:

0,25

a) x 4 − 2 x3 + 2 x 2 + 4 x − 8 = 0 ;
b)

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2 .

a) x 4 − 2 x3 + 2 x 2 + 4 x − 8 = 0

⇔ x4 - 2x2 -2x3 + 4x2 - 8 = 0
⇔ x2(x2 -2) - (2x3 - 4x) + 4x2 - 8 = 0
⇔ x2(x2 -2) - 2x(x2 - 2) + 4(x2 - 2) = 0 ⇔ (x2 - 2)(x2 - 2x+4)
=0
⇔ x2 - 2 = 0 ⇔ x = ± 2 (Vì x2 - 2x + 4 = (x- 1)2 + 3 > 0 ∀x )
b) (ĐK: x ≥

1
)
2

0,50
0,50
0,50
0,50
0,25

PT ⇔ 2 x + 2 2 x − 1 + 2 x − 2 2 x − 1 = 2

0,25

⇔

2x −1+ 2 2x −1 +1 + 2x −1− 2 2x −1 +1 = 2

0,25

⇔

( 2 x − 1 + 1) 2 + ( 2 x − 1 − 1) 2 = 2 ⇔

2x −1 +1 + 2x −1 −1 = 2

+) Nếu 2 x − 1 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1, ta có:
2x −1 +1 + 2x −1 −1 = 2 ⇔

+) Nếu 2 x − 1 − 1 < 0 ⇔

0,25

2 x − 1 = 1 ⇔ x = 1 ( thỏa mãn điều kiện)

1
≤ x < 1, ta có:
2

2x −1 +1 - 2x −1 +1 = 2

⇔ 0 x = 0 => Phương trình có nghiệm với mọi x thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

1
≤ x ≤ 1
2

Câu 3(4,0 điểm):
a) Giải bất phương trình

0,25

29 x −11
< 2.
3x + 5
3

0,25

0,25

1
≤ x<1
2

0,25


1 1 1 

1
b) Cho x, y, z thỏa mãn  + + ÷: 
÷ = 1 . Tính giá trị của biểu
 x y z  x+ y+z 

(

)(

)(

)

29
29 y11 + z11 z 2013 + x 2013
thức B = x + y
.

29 x −11
<2
3x + 5
29 x −11
⇔
−2<0
3x + 5
23x − 21
⇔
<0
3x + 5

Nội dung cần đạt

Điểm

a) Ta có:

0,25
0,50

 23x − 21 < 0
−5

21
⇔
3
23
3 x + 5 > 0

*

0,50

 23x − 21 > 0
=> Không tìm được giá trị của x thỏa mãn.
3 x + 5 < 0
−5
21
Vậy bất phương trình có nghiệm
3
23

*

0,50

0,25
1 1 1 

1 1 1
1

b)  + + ÷: 
÷ = 1 ⇔  + + ÷( x + y + z ) = 1
 x y z  x+ y+z
x y z

0,50

⇔ ( x + y )( y + z )( x + z ) = 0

0,50
0,50

⇔ 3 xyz + yz ( y + z ) + xz ( x + z ) + xy ( x + y ) = xyz
x = − y
⇔  y = − z . hay B = 0
 z = − x

0,50

Câu 4( 6,0 điểm): Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt
phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên
·
tia By lấy điểm D sao cho COD
= 900 . Kẻ OH vuông góc với CD tại H.
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB;
b) Chứng minh AC.BD =

AB 2
;
4

c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD
bằng diện tích tam giác AHB.
Nội dung cần đạt
Điểm
0,5
Vẽ hình đúng:

4


a) Vì Ax ⊥ AB; By ⊥ AB nên Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Gọi M là trung điểm của CD => OM là đường trung bình của hình thang
ACDB => OM //AC => góc ACO = góc MOC ( So le trong) (1)
Lại có: OM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông COD =>
OM = MC => tam giác OMC cân tại M => góc COM = góc MCO (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc ACO = góc MCO

0,5
0.5
0,5

=> tam giác ACO = tam giác HCO (cạnh huyền - góc nhọn)
=> OH = OA => H thuộc đường tròn tâm O
=> CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AC = CH; BD = DH
CH.DH = OH2 => AC.BD =
c) SCOD = S AHB =>

AB 2

4

0,75

OH
= 1 ( HK ⊥ AB; K thuộc AB )
HK

( Vì tam giác COD đồng dạng với tam giác BHA)
=> OH = HK => K trùng O => H là điểm chính giữa của nửa đường tròn
AB
AB
vậy điểm C thuộc tia Ax sao cho AC =
thì SCOD = S AHB .
2
2
Câu 5(2 điểm): Cho các số a, b, c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1

O => AC =

Chứng minh rằng: P =

2a
1 + a2

+

0,5
0,75

b
1 + b2

+

c
1 + c2

≤

1,00
0,5
0,5

9
4

Nội dung cần đạt

Điểm

Ta có:
P=

2a
2b
2c
+
+
(a + b)(a + c)

4(b + c)(b + a)
4(c + b)(c + a )

0,50

Suy ra:
P ≤ a(

1
1
1
1
1
1
+
) + b(
+
) + c(
+
)
a+b a+c
4(b + c) a + b
4(c + b) c + a

5

0,50


= 2+

1 9
= .
4 4

Dấu đẳng thức xảy ra khi b = c =

0,50
1
7
, a = 7b =
, b = 0.
15
15

---------------Hết -----------------

6

0,50