Chương 8 giao hai mặt ppsx

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 8- Giao hai mặt

8-1

8.1- GIAO CÁC MẶT CỦA HAI ĐA DIỆN
1) Định nghĩa





Giao các mặt của 2 đa diện là tập hợp điểm vừa thuộc mặt đa diện này, vừa thuộc mặt đa diện
kia.
Giao đó, nhìn chung là 1 đường gấp khúc khép kín.
Mỗi cạnh của đường gấp khúc là giao một mặt đa diện này với một mặt đa diện kia (giao tuyến
của 2


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗ Chương 8- Giao hai mặt

8-2

hình phẳng).



Mỗi đỉnh đường gấp khúc là giao điểm của một cạnh đa diện này với một mặt đa diện kia (giao
điểm của đoạn thẳng và hình phẳng).

2) Nội dung bài toán




Tìm hai hình chiếu của đường gấp khúc giao tuyến.

•

Trước hết, rà soát sự thấy khuất các mặt mỗi đa diện trên mỗi hình chiếu (xem các đa diện đặt

Xét thấy, khuất bao gồm:

riêng lẻ, chưa che khuất nhau).


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

•

Chương 8- Giao hai mặt

8-3

Mỗi cạnh đường gấp khúc chỉ thấy trên một hình chiếu, nếu nó thuộc hai mặt cùng thấy của 2 đa
diện trên hình chiếu đó.

3) Cách tìm giao





Hoặc tìm các cạnh đường gấp khúc (bài toán giao tuyến của 2 hình phẳng).
Hoặc tìm các đỉnh đường gấp khúc (giao điểm của đoạn thẳng và hình phẳng). Sau đó nối 2 đỉnh
thành 1 cạnh theo nguyên tắc: 2 đỉnh đó cùng thuộc một mặt đa diện này, đồng thời cùng thuộc
một mặt đa diện kia (việc nối này được tiến hành trên “ sơ đồ nối”).


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 8- Giao hai mặt

8-4
 

4) TRƯỜNG HỢP BIẾT TRƯỚC MỘT HÌNH CHIẾU CỦA giao



 

Đó là trường hợp có đa diện là lăng trụ chiếu.

: Hình chiếu biết trước nằm trên hình chiếu suy biến của lăng trụ chiếu.
Tìm hình chiếu còn lại nhờ vẽ điểm thuộc đa diện kia.
Ví dụ: Vẽ giao của lăng trụ chiếu (mnp) và tứ diện SABC.



Giải:

 

 Từ các hình chiếu ⇒ cạnh n, p không tham gia giao.

 

 
 

 

 
 

 

 

 
 

 


 
8-5
 Cạnh m cắt hai mặt (SAB), (SAC) tại 1, 2 (tìm 12 , 22 nhờ vẽ điểm ∈ mặt đa diện).
Cạnh SB, SC của chóp cắt mặt (mn) tại 3, 4 và mặt (mp) tại 5, 6 (các cạnh khác của chóp không
tham gia giao).

 
 
Tìm 32, 42, 52, 62 nhờ vẽ điểm thuộc đường thẳng.
 
 Hc đứng là 4121 và 2161.
 Nối các đoạn thẳng trên hc bằng nhờ “sơ đồ nối”:
 
 Tưởng tượng mở cạnh SA chóp và cạnh p lăng trụ, trải các mặt tham gia giao trên cùng 1  mp. Xét thấy
khuất
 
các mặt đó trên hc bằng.
 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 

 

 

 
 

 

 

 


 

8-6 1,2 =
 Một đoạn giao tuyến chỉ thấy nếu nó thuộc hai mặt cùng thấy của chóp & lăng trụ trên hc bằng. Với:
m× (SAB),(SAC)
 
 
3,4 = SB,SC × (mn)
 
5,6 = SB, SC × (mp).
 
 

 

 

 

 

 

 

s
p

 

 

 

n

+

 

+

A

 

4

3

-

 

 

m
1

+

2

5

B

 

p

6
+

C

 

+

A

 

 

 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 8- Giao hai mặt

8-7

8.2-GIAO GIỮA MẶT ĐA DIỆN VÀ MẶT CONG
1) Định nghĩa






Giao các mặt của đa diện và mặt cong Φ là tập hợp điểm vừa thuộc mặt đa diện, vừa thuộc mặt

cong Φ .
Giao đó, nhìn chung là 1 đường cong kín bao gồm các đường cong phẳng và có thể có điểm “gãy”.
Mỗi đoạn đường cong giao tuyến là giao giữa 1 mặt đa diện và mặt Φ .
Điểm “gãy” (nếu có) là giao giữa cạnh đa diện và mặt Φ .

2) Nội dung bài toán




Tìm điểm ”gãy” và các đoạn đường cong giao tuyến.
Xét thấy, khuất các hình chiếu của giao, cạnh đa diện và Φ (tương tự như 2 đa diện).


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 8- Giao hai mặt

8-8

3) Xác định giao tuyến
a) XÉT TRƯỜNG HỢP BIẾT TRƯỚC MỘT HÌNH CHIẾU CỦA GIAO


•

Đó là hai trường hợp sau:
Lăng trụ chiếu cắt mặt cong Φ. Hình chiếu biết trước nằm trên hình chiếu suy biến
của lăng trụ

Hình chiếu còn lại tìm nhờ vẽ điểm thuộc Φ.

•

Mặt trụ chiếu cắt đa diện. Hình chiếu biết trước nằm trên hình chiếu suy biến trụ.

Hình chiếu còn lại, tìm nhờ vẽ điểm thuộc mặt đa diện.
Ví dụ 1: Vẽ giao của lăng trụ chiếu (mnp) với mặt cầu


8-9
Từ hình chiếu nhận thấy:
Hai đáy lăng trụ không tham gia giao.
Hai điểm gãy 1, 2 là giao điểm cạnh m với mặt cầu.
Mp (mp) cắt cầu theo cung tròn bằng 132 có hc đứng là đoạn thẳng 1131 (bảo toàn hình dạng trên hc bằng).
 
Mp (mn) cắt cầu theo cung tròn 1574862, có hc đứng là đoạn 1 141và hc bằng là cung êlíp 12527242826222. (4 cao
nhất, 7 và 8 là gần và xa nhất, 5 và 6 là điểm giới han thấy khuất).
 
Xét thấy, khuất: Trên hình.
Giải:

 

 








 
 

 

 

 

 
 

 

 
 
 

 

 

 

 


8-10

 

Ví dụ 2: Vẽ giao của trụ chiếu và chóp đều.
Giải:





Các điểm gãy: 1, 2, 3 là giao các cạnh SA, SB, SC với mặt trụ.
 

 

4, 5, 6 là tiếp điểm các cạnh AB, BC, CA với trụ.

 

7, 8 là các điểm giới hạn thấy, khuất.

Tìm hc đứng các điểm trên nhờ vẽ điểm thuộc mặt của chóp.
 

 

 

 

 Các mặt (SAB), (SBC), (SCA) cắt trụ lần lượt là các cung êlíp 142, 2853, 3671 mà hc bằng của chúng nằm trên hc bằng
 

trụ.



XÉT THẤY, KHUẤT.

 

 

 
 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 8- Giao hai mặt

8-11

b) TRƯỜNG HỢP chưa BIẾT TRƯỚC MỘT HÌNH CHIẾU nào CỦA GIAO

•

Đó là trường hợp: Một đa diện không phải lăng trụ chiếu cắt một mặt cong không
phải mặt trụ chiếu.

Để xác định giao, ta áp dụng bài toán tìm giao điểm của đoạn thẳng (cạnh của lăng trụ)
với mặt cong và bài toán giao của hình phẳng (mặt đa diện) với mặt cong.
Ví dụ 3: Vẽ giao của mặt cầu và chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao đi qua tâm của
mặt cầu.


 

 Giải:




8-12

 

Các điểm gãy: 1, 2, 3, 4 là giao các cạnh SA, SB, SC, SD với cầu.
5, 6, 7, 8 là các điểm thấp nhất và lần lượt thuộc các mặt (SAB), (SBC), (SCD), (SDA).

 5 ∈ n(S) là đường dốc nhất của (SAB) so với . Tìm 5 nhờ vẽ giao điểm của n với mặt cầu (mp phụ trợ chứa n là mp
 

chiếu bằng).


•


 

 

 

(SAB), (SBC) cắt cầu theo các cung tròn 152, 263 đối xứng nhau qua (SBD).
 

(SCD), (SDA) cắt cầu theo các cung tròn 374, 481 đối xứng nhau qua (SAC). ≡

Xét thấy, khuất.

 

 

 

≡

 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

 
 

 
 

 

 
 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

8.3-GIAO HAI MẶT CONG

Chương 8- Giao hai mặt

8-13

 

1) KHÁI QUÁT




Giao hai mặt cong là tập hợp điểm thuộc cả hai mặt đó.
Giao đó, nhìn chung là 1 hoặc vài đường cong kín (các đường cong đó có thể là phẳng, có thể là
ghềnh).






Bậc của mặt cong là số giao điểm tối đa của 1 đường thẳng với mặt cong đó.
Hai mặt cong được gọi là cắt nhau hoàn toàn nếu mặt này cắt mọi đường sinh của mặt kia.
Mặt cong (bậc m) cắt mặt cong theo đường cong .


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 8 - Giao hai mặt

8-14

2) Nội dung bài toán
Tìm hai hình chiếu của đường cong giao tuyến.
Xét thấy, khuất (tương tự nội dung xét thấy, khuất giao 2 đa diện).
3) Cách xác định GIAO




a) TRƯỜNG HỢP BIẾT TRƯỚC MỘT HÌNH CHIẾU CỦA GIAO

 Đó là trường hợp có một mặt là trụ chiếu.
Hình chiếu biết trước nằm trên hình chiếu suy biến của trụ chiếu.



Tìm hình chiếu còn lại nhờ bài toán vẽ điểm thuộc mặt cong còn lại .

8-15
Ví dụ 1: Vẽ giao của mặt trụ chiếu và mặt nón.
 
Giải:
Trụ không cắt ∀ đường sinh nón (cắt không hoàn toàn) ⇒ Giao là một đường cong bậc 4 và kín: 1246532.
1 là điểm cao nhất, 4 và 5 là các điểm thấp nhất.
2 và 3 là các điểm giới hạn thấy, khuất.
 Tìm hc bằng các điểm trên nhờ bài toán vẽ điểm thuộc mặt nón.
 
Hc đứng của giao (biết trước) nằm trên hc đứng trụ.
Xét thấy, khuất.






 
 

 

 
 

 
 

 


8-16
 
Ví dụ 2: Vẽ giao của mặt trụ chiếu và mặt trụ xiên.
Giải:
Trụ chiếu cắt ∀ đường sinh trụ xiên (cắt nhau hoàn toàn) ⇒ Giao là hai đường cong kín bậc  bốn: 1234 và
5678.
1 và 5 là điểm cao nhất, 3 và 7 là các điểm thấp nhất.
Các điểm giới hạn thấy, khuất là: 2, 4,.
 
Hc đứng nằm trên hc suy biến trụ chiếu.
 
Tìm hc bằng các điểm trên nhờ bài toán vẽ điểm thuộc trụ xiên.
Xét thấy, khuất.







 
 

 

 

 

 

 

 

 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 8- Giao hai mặt

b) TRƯỜNG HỢP chưa BIẾT TRƯỚC HÌNH CHIẾU NÀO CỦA GIAO

8-17

 

• Đó là khi không có mặt nào là trụ chiếu.
Φ
Tìm điểm chung M của hai mặt cong Φ , Ψ bằng pp mặt phụ trợ như sau:





Dựng mặt Ω (thường là mp).

ψ

N

Tìm giao tuyến , của Ω với Φ , Ψ .
Điểm chung M (nếu có) là giao điểm giữa , .

Ví dụ 3: Vẽ giao của mặt cầu và mặt nón tròn xoay.

 

Ω
M

 


8-18

 

Giải:
Cầu cắt không hoàn toàn nón. Do đó giao là một đường cong kín bậc 4.
Cần tìm một số điểm đặc biệt của giao (các điểm 1,2,3,4,5,6).





 

Mp phụ trợ là các mp bằng.
Giao tuyến phụ của mỗi mp bằng với cầu, nón đều là các cặp đường tròn bằng.
Điểm chung (thuộc giao) là giao điểm mỗi cặp đường tròn nói trên.

 

 

 Xét thấy, khuất.

 

 

 

 
 
 


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗

Chương 8- Giao hai mặt

8-19

5) MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIAO CỦA HAI MẶT BẬC HAI



  đối xứng chung P và cắt nhau theo đường
Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai có mp
cong thì hình chiếu của đường cong lên P (hoặc lên mp song song với P ) sẽ là
đường cong (ví dụ 3, hình chiếu đứng là đường cong bậc hai).



Định lý 2: Hai mặt bậc hai đã cắt nhau theo một đường bậc hai thì chúng sẽ cắt nhau
theo một đường bậc hai khác nữa.

Ví dụ 4 : Vẽ giao của mặt cầu và mặt trụ tròn xoay chiếu bằng.


8-20

Giải:



Trục trụ qua tâm cầu ⇒trụ cắt cầu theo một đường tròn: 1234 (đường cong bậc hai). Do đó theo định lý 2,
 

 

trụ còn cắt cầu theo một đường bậc hai khác nữa, đó là đường tròn 5678.



 

Hình chiếu bằng các đường tròn trên trùng nhau và nằm trên hình chiếu bằng trụ.

Hai mặt cong đã cho có mp đối xứng chung là mp mặt chứa trục trụ, nên theo đ.lý 1 ⇒ hình chiếu đứng của các
đường cong giao tuyến là đường thẳng.

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8-21
Ví dụ 5: Vẽ giao của hai mặt trụ tròn xoay chiếu đứng và chiếu cạnh.
Giải:
 
hai trụ cắt nhau hoàn toàn ⇒ Giao là hai đường cong kín bậc bốn: 1234  và 5678 (có hc
đứng nằm trên hc
đứng trụ chiếu đứng).
Hai trụ có đường trục cắt nhau và có mp đối xứng chung là mp bằng chứa hai trục trụ.  Nên theo địnn lý 1,
hình chiếu bằng của giao là các đường cong bậc hai.
 

 

 

 

 

 
 

 

 


8-22là hai
Chú ý: Trong Ví dụ 5 nếu 2 trụ có bán kính bằng nhau thì giao là hai đường cong phẳng (2 êlíp) có hc bằng
đoạn thẳng ( định lý 1).

∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗


•
•
•
•

Chương 8- Giao hai mặt

8-23

Định lý 3: Tùy vào vị trí tương đối của hai mặt cong, mà chúng có thể cắt nhau theo:
Một đường cong bậc 4 (ví dụ: 1, 3, 5).
Hai đường cong bậc 4 (ví dụ 2).
Hai đường cong bậc 2 ( ví dụ 4).
Bốn đường thẳng.

Ví dụ 6: Xác định giao của mặt trụ chiếu bằng êlíp và mặt trụ chiếu bằng tròn xoay.


∗ Nguyễn Thúc Tráng - Giảng viên HVKTQS ∗ Chương 8- Giao hai mặt

8-24

Giải:



Đường trục hai trụ trùng nhau và hai trụ cắt nhau theo bốn đường thẳng a,
b, c, d (là các đường thẳng chiếu bằng).

 

 

 

 

-----Hết phần Hình họa-----