DE THI HSG TOAN 9 HA TINH 2016 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC: 2016 - 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

PHẦN THI CÁ NHÂN
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi có 01 trang)

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ bên.
Câu 2. Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây 1; 1; 2; 5; 29; ....
Câu 3. Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong một cái hộp. Hỏi phải lấy
ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu
và đi được.
1
Câu 4. Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được tổng số cá câu được,
9
1
bạn câu được nhiều nhất câu được
tổng số cá câu được. Biết rằng số cá câu được của mỗi bạn
7
là khác nhau. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người.
Câu 5. Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức
Câu 6. Giải phương trình

3

x  2 y  2 2  3.

x2  3 x4  3 2 .





2 x  2 x  y  3  y
.
Câu 7. Giải hệ phương trình 
2
2
 x  2 xy  y  2
( x  2 y )( y  2 x)
4
Câu 8. Cho các số x, y  0 thỏa mãn x   1 . Tìm giá trị lớn nhất của P 
.
x2  y 2
y
Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE đồng quy
tại điểm K nằm trong tam giác ( D  BC , E  AB) . Biết AKE và BKE có diện tích lần lượt là

10m 2 và 20m 2 . Tính diện tích ABC .
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác trong CD
AB
đồng quy. Tính
.

AC
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
ab
Câu 11. Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn a  b 
.
ab
Câu 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song. Gọi F
là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các

đoạn thẳng AC và BD. Đường phân giác góc BED cắt GH tại điểm I.
a) Chứng minh rằng IH.BD  IG.AC
S
b) Cho độ dài CD = 2AB. Tìm tỉ số diện tích IAB .
S ICD
Câu 13. Cho hình tròn (C) có bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao
cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn (C) thì luôn tồn tại hai điểm trong
k điểm đó thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1.
--------- HẾT--------Lưu ý:
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......................................................................... Số báo danh:.............................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN

Hướng dẫn chấm
Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải.
- Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.
Câu
Câu 1

Câu 2

Đáp án
Đáp số: Số hình chữ nhật là (1+2+3+4+5).(1+2+3+4) =150
Cách tính: Xét các hình chữ nhật kích thước m.n
Đáp số: 750797
Quy luật an  2  an21  an2 với n  1, n 

Điểm
1.0
1.0

Suy ra a7  a62  a52   a52  a42   a52  750797
2

Câu 3
Câu 4

Câu 5
Câu 6
Câu 7

Đáp số: 16.
Đáp số: 8

Giả sử có n bạn và số cá của các bạn là a1  a2  ...  an .
Ta có 9an  a1  a2  ..  an  7a1  9an  nan ; 7a1  na1  n  8
1
Đáp số: x  6, y 
2
Đáp số: x  2; x  4
Cách giải: Đặt ẩn phụ
Đáp số  x; y   1; 1 ;  3;7 

594
257

1.0
1.0

1.0

4
x
x 1
2 x 2  2 y 2  5 xy
5
4
  ; P
 2
2
2
x
y
y

y
y 16
x y

y x
5.16 594
x y x
y
255 y
1 255 257
 P  2

  

 2. 

257 257
y x y 256 x 256 x
16 16
16

1 x 

Đáp số: S ABC  75m 2
Câu 9

1.0

Đặt t  2 x  y  0 . Ta có phương trình t 2  2t  3  0  t  1
Đáp số: Pmax 

Câu 8

1.0
1.0

Ta có

1.0

SAKE AE 1

 , suy ra SBCE  2SACE
SBKE BE 2

M trung điểm AC nên

SABM  SCBM , SAKM  SCKM  SBCK  30  SACE  25 . Vậy SABC  75m 2
Câu 10

Câu 11

AB
1 5

AC
2
Sử dụng định lý Ceva và hệ thức lượng trong tam giác vuông
ab
Do

là số hữu tỉ và a  b là số nguyên dương nên từ
ab
ab
ab 
 a  b là số chính phương
ab
Do a  b  18  a  b  1; 4;9;16

Đáp số:

1.0

1.0

0.75


Thử lại các trường hợp ta có a  2; b  7 suy ra số cần tìm là 27
E

a) Ta có EBD và EAC đồng
dạng nên các đường trung tuyến
tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
Suy ra:
EG BD DG DE



EH AC CH EC
Câu

12a

A
B

I
F
C

Ta có EDG  ECH (cùng nhìn cung AB)  EDG và ECH đồng dạng.

0,75

Kéo theo DEG  CEH , suy ra EI là phân giác góc GEH

0,5

BD EG GI


 IH .BD  IG. AC (đpcm).
AC EH HI

0,75

Ta có FBD và FCA đồng dạng
 FGD và FHA đồng dạng  GFD  HFA .
FG GD BD IG




 FI là phân giác góc GFH
FH HA AC IH
Suy ra FI là phân giác góc AFD
Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ I lên các đường thẳng AB, CD.
Khi đó IM = IN
1
IM . AB
SIAB 2
1

 .
Ta có
SICD 1 IN .CD 2
2
Xét k =7, vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6
điểm trên đường tròn tạo thành lục giác đều.
Lúc đó khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ bằng 1.
Suy ra k  8

Câu 13

1.0

H
G
D

Do đó

Câu
12b

0.75

0,75

5.0

0.75

A
O

B

Với k =8, luôn tồn tại ít nhất 7 điểm không trùng tâm đường tròn.
Ta kẻ các bán kính đi qua 7 điểm đó.
Khả năng 1: Nếu có 2 điểm thuộc cùng một bán kính thì khoảng cách giữa hai
điểm đó nhỏ hơn 1 (vì không có điểm nào trùng tâm)
Khả năng 2: Không có 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đó có 7 bán
kính, suy ra có hai bán kính tạo với nhau một góc nhỏ hơn 600.
Giả sử hai bán kính đó chứa A và B. Vì góc AOB không là góc lớn nhất của
tam giác OAB nên AB  max OA, OB  1
Vậy trường hợp k = 8 thỏa mãn.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8.

--------- HẾT ---------

1.0

0.5

1.0