bai tap quan he song song luyen thi dai hoc toán 11

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG  VÀ  :
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và  ta đi tìm hai điểm chung I ; J của 
và 
   = I J

Khi tìm điểm chung ta chú ý :
J
 Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung
I


 M  d và d  
M
a  b  M trong (P)
 
a   ; b  



M là điểm chung

1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của
mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong
(ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng
sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC)

1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác.
Tìm giao tuyến của :
a) (SAC) và (SBD)
b) (SAB) và (SCD)
c) (SAD) và
(SBC)
2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC)
với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE)
1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh
CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng :
a)(SAM) và (SBD)
b)(SBM) ; (SAC)
1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong
ACD. Tìm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD)
b) (CMN) và (ABD)
1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM =

1
MB
4

; N nằm trên AC sao

cho AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD)
b) (MNI) và (ABD)
c) (MNI) và (ACD)
1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC .
a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)
b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)

1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b  (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao
tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ?
1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho :
AM AN

MB NC

. Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD)

1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ?
1. 10 : Trong mặt phẳng  cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm
ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của :
a) (SAD) và (SBC)
b) (SAC) và (SBD)
1


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N
là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAC)
b) (GMN) và (SBC)
Vấn đề 2:

CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Chứng minh A; B; C thẳng hàng :
Chỉ ra A ; B ; C  
Chỉ ra A ; B ; C  
Kết luận : A; B; C   



A B




C




A; B; C thẳng hàng

Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :
b

a
P

Đặt a  b = P
 M
Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng
 N

Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P
2. 1: Cho hai mặt phẳng  và  cắt nhau theo giao tuyến d .Trên  lấy hai điểm A ; B
nhưng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB
lần lượt cắt  tại A’ ; B’. AB cắt d tại C
a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ?
b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy
2. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ;
A’ ; trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại
E ; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ?
2. 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng  . Gọi M ; N ; P lần lượt là
giao điểm AB ; BC ; AC với . Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?
2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai
đường chéo ; M ; N lần lượt là trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO
; BN ; CM đồng quy
2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng  không song song AB cắt AC ; BC ; AD ;
BD lần lượt tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ?
2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối
diện đồng quy ?
2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N
là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAB)
b) (GMN) và (SCD)
c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và
câu b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ?

2


Gia sư Thành Được
Vấn đề 3:

www.daythem.edu.vn

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU,
VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG

Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau :

 Giả sử : a không chéo b
 Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong
cùng mặt phẳng  ( đồng phẳng )
 Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc

b
a



mâu thuẫn với một điều đúng nào đó
Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng

 Chứng minh hai đường

D

 C
 B
B
thẳng tạo thành từ bốn



C
A
D
điểm đó cắt nhau hoặc  A
 
song song với nhau
3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng
b)Chứng minh AB chéo với CD ?
3. 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai
điểm C, D
a)Chứng minh AC chéo BD ?
b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song
AB hoặc CD không ?
c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng
3. 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c có
đồng phẳng không ? Tại sao ?

3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC.
a) Chứng minh AB chéo CD ?
b) Chứng minh IB chéo JA ?
Vấn đề 4:

TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG 

Giả sử phải tìm giao điểm d   = ?
Phương pháp 1:
Tìm a  
Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và

chúng cắt nhau tại M
d   = M ( hình vẽ )

d




M

Phương pháp 2:
3

a



a

M





d


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Tìm  chứa d thích hợp
Giải bài toán tìm giao tuyến a của  và 
Trong  : a  d = M
d   = M ( hình vẽ b)
4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong SAB ; SBC. MN
cắt (ABC) tại P. Xác định giao điểm P
4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên
AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD)
b) BD với (MNP)
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)
4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của
AC; BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :
a) CD với (MNP)
b) AD với (MNP)
4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong ABC ; D và E là các điểm năm trên
SB ; SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO)
b) SO với (ADE)
4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm
K sao cho CK = 3KS.
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?
4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm
trên SA; SB; SC .Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC
4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong ABC; ABD của tứ diện ABCD. M
là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB)
4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD
a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?

b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?
c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ?

4


Gia sư Thành Được
Vấn đề 5:
DIỆN

www.daythem.edu.vn

THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG  VỚI KHỐI ĐA

Lần lượt xét giao tuyến của  với các
mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của
các cạnh của đa diện với mặt phẳng 
Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép
kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm.
Việc chứng minh tiết diện có hình
dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ;
. . . trong mặt phẳng  cũng nhờ vào quá trình
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên
Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :

B
A

C
F

E

D



I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến
II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ
5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm
AA’ ; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập
phương ?
2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ;
AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của
(MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là
trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua
ba điểm E; F ; K
2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA
; SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp
*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ;
N là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA = 1 MD ; ND = 1 NC
2

2

a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?
b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?
c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
*5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm ABC ; DBC ; M là

trung điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ?
2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác
định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp
5


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là
trung điểm SB ; SC .
a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?
c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp
*5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC
a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM
b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ?
c)Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp
d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ?
*5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lượt
là trung điểm SB ; SD ; OC
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ?
c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1
5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là
trọng tâm SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ?
b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ?
c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ?

d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?
*5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng
tâm SAB ; SAD
a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp
5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?
b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng () qua I cắt AB;
BC; CD; DA tại M; N; P; Q.
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?
b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?
2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm
SD; E là điểm trên cạnh BC
6


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?
b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?
c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA
3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là
điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình
4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là
điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB .
a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?

b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?
c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?
5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi .F là trung điểm SC; E là
điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC .
a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ?
b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ?
6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB;
G là trọng tâm SAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD
và IC = 2ID ?
b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số
c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính

JA
JD

KA
KS

HD: b) 2 c) 2

7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho
AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ =

1
BC
4

a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID
b) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD

8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ không
song song với BC. Mặt phẳng  quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định ?
b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ?
c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ?
9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả
:
SA’ =

1
SA
n 1

; SB’ =

1
2n  1

SB ; SC’ =

1
SC
3n  1

7


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

a) Chng minh AB i qua mt im c nh I v AC i qua im c nh J khi n
thay i ?
b) Chng minh (ABC) cha mt ng thng c nh
HD: a) dựng nh lớ menelaus b) ng IJ
BI 2: HAI NG THNG SONG SONG
Vn 1: Chứng minh đ-ờng thẳng song song với mặt phẳng
Phng phỏp :
Cú th dựng mt trong cỏc cỏch sau :
- Chng minh hai ng thng ú ng phng , ri ỏp dng phng phỏp chng
minh song song rong hỡnh hc phng (nh tớnh cht ng trung bỡnh, nh lý
o ca nh lý Ta-lột ...)
- Chng minh hai ng thng ú cựng song song song vi ng thng th 3.
- p dng nh lý v giao tuyn .
Bài1. Cho tứ diện SABC có I, J lần l-ợt là trung điểm của
AB và BC. CMR: với M SB (M B) ta đều có IJ // (ACM)
Bài 2. Cho tứ diện ABCD gọi M và N lần l-ợt là trọng tâm
ABD và ACD. CMR: M N // (BCD) và MN // (ABC)
Bài 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh
AB và không đồng phẳng. Trên các cạnh AD, BE lần l-ợt lấy
các điểm M, N sao cho

AM BN

k (0
AD BE

< k < 1). Chứng minh

rằng MN // (CDE)

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần l-ợt là trọng tâm
các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ//CD
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các
cạnh đáy AB và CD (CD > AB). Gọi M, N lần l-ợt là trung
điểm của SA, SB
a, Chứng minh MN//CD
b, Tìm giao điểm P của SC và mp(AND). Kéo dài AN và DP
cắt nhau tại I. Chứng minh SI//AB//CD. Tứ giác SABI là
hình gì?
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần l-ợt là
trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD
a, Chứng minh MNPQ là hình bình hành
b, Chứng minh MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn
Bài 4: Cho tam giác ABC nằm trong mp(P). Gọi Bx; Cy là 2
nửa đ-ờng thẳng song song và nằm về cùng phía đối với
mp(P). M và N là 2 điểm di động lần l-ợt trên x, Cy sao
cho CN = 2BM
a, Chứng minh rằng MN luôn đi qua điểm cố định I khi M, N
di động
8


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn
1
3

b, E là điểm thuộc đoạn AM và EM EA . Gọi F là giao điểm
của IE và AN, Q là giao điểm của BE và CF. Chứng minh

rằng AQ//Bx//Cy và (QMN) chứa đ-ờng thẳng cố định khi M,
N di động
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi
M, N, P, Q là các điểm trên BC, SC, SD và AD sao cho
MN//SB, NP//CD, MQ//CD
a, Chứng minh PQ//SA
b, Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh SK//AD//BC
c, Qua Q dựng Qx//SC; Qy//SB. Tìm giao điểm của Qx và
mp(SAB); giao điểm của Qy và mp(SCD)
Bài 6: Cho hai hỡnh bỡnh hnh ABCD v ABEF khụng cựng nm trong mt phng
. Trờn hai ng thng chộo nhau AC v BF ln lt ly hai im M ; N sao cho
AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chng minh MN // DE
Bài 7: Cho hai hỡnh bỡnh hnh ABCD v ABEF khụng cựng nm trong mt phng
. Trờn hai ng thng chộo nhau AC v BF ln lt ly hai im M ; N sao cho
AM : AC = BN : BF = 5 . Dng MM' AB vi M' trờn AD; NN' AB vi N' trờn
AF. Chng minh : a) MM' v NN' // CD
b) MN// DF
Vn 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Thiết diện
qua một điểm và song song với đ-ờng thẳng cho tr-ớc
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các
cạnh đáy AB và CD. Gọi I; J là trung điểm của AD và BC.
Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB
a, Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)
b, Xác định thiết diện của hình chóp với mp(IJG). Thiết
diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết
diện là hình bình hành
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình hình bình hành.
Gọi I, J là trọng tâm các tam giác SAB và SAD và M là
trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt
bởi mp(IJM)

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang với các
cạnh đáy AD = a; BC = b. Gọi I; J là trọng tâm các tam
giác SAD và SBC
a, Tìm đoạn giao tuyến của mp(ADJ) vớimp(SBC); của (BCI)
và (SAD)
b, Tìm độ dài đoạn giao tuyến của 2 mặt phẳng (ADJ) và
(BCI) giới hạn bởi 2 mp (SAB) và (SCD)

9


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I và J lần l-ợt
là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh
BD với KB = 2KD.
a, Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJK). Chứng
minh thiết diện là hình thang cân
b, Tính diện tchs của thiết diện theo a
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O
cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SAD 900 . Gọi Dx là
đ-ờng thẳng qua D và song song với SC.
a, Tìm giao điểm I của Dx và mp(SAB). Chứng minh AI//SB
b, Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(AIC) và tính
diện tích của thiết diện đó
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành; I, J
lần l-ợt là trung điểm của SA và AB. M là điểm bất kì
trên nửa đ-ờng thẳng Ax chứa C. Biện luận theo vị trí của

M trên Ax các dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi
mp(IJM)
Bài 7: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a; mặt
bên SAB là tam giác đều; SC = SD = a 3 . Gọi H và K lần
l-ợt là trung điểm của SA; SB. M là điểm trên cạnh AD.
Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N
a,Chứng minh HKMN là hình thang cân
b, Đặt AM = x 0 x a . Tính diện tích tứ giác HKMN theo a
và x. Tìm x để diện tích này nhỏ nhất
c, Tìm tập hợp giao điểm của HM và KN; HN và KM
Bài 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, lấy M trên cạnh BA; P
a
3

trên cạnh CD sao cho AM DP . Xác định thiết diện của tứ
diện và mặt phẳng qua MP và song song với AC. Tính diện
tích thiết diện đó
BI 3: NG THNG SONG SONG VI MT PHNG
Vn 1: NG THNG SONG SONG VI MT PHNG

10


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

Phng phỏp chng minh ng thng d song song vi mt phng P
Ta chng minh d khụng nm trong (P) v song song vi ng thng a cha trong
(P) .

Ghi chỳ : Nu a khụng cú sn trong hỡnh thỡ ta chn mt mt phng (Q) cha d v
ly a l giao tuyn ca (P) v (Q) .
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi
M, N lần l-ợt là trung điểm của AB và CD
a, Chứng minh MN // mp SBC và MN // mp SAD
b, Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC song
song với mp(MNP)
c, Gọi G1 và G2 lần l-ợt là trọng tâm các tam giác ABC và
SBC. Chứng minh G1G2//mp(SAC)
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD, M
trên BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG//mp(ACD)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi O và O lần l-ợt là tâm
đ-ờng tròn nội tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh:
a, Điều kiện cần và đủ để OO//mp(BCD) là

BC AB AC

BD AB AD

b, Điều kiện cần và đủ để OO//mp(BCD) và mp(ACD) là BC =
BD và AC = AD
Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm
trong một mặt phẳng
a, Gọi O và O lần l-ợt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng
minh OO//(ADF); OO//(BCE)
1
3

1
3

b, Trên AE và BD lấy M và N sao cho AM AE; BN BD . Chứng
minh MN//mp(CDEF)
Bài 5: Cho t din ABCD . Trờn cnh AD ly trung im M ; trờn BC ly im N
bt kỡ.Gi () l mt phng cha ng thng MN v song song vi CD .
a)Tỡm tit din ca t din ABCD vi () ?
b)Xỏc nh v trớ ca N trờn BC sao cho tit din l hỡnh bỡnh hnh ?
Bài 6: Cho hỡnh chúp SABCD vi ỏy ABCD l hỡnh thang cú ỏy ln l AD. Gi
M l im bt kỡ trờn cnh AB. () l mt phng qua M v song song AD v SD.
a)Mt phng () ct SABCD theo tit din l hỡnh gỡ ?
b)Chng minh SA // ()
Bài 7: Cho hỡnh chúp SABCD. cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Mt phng () di
ng luụn luụn song song BC v ng thi i qua trung im C ca SC .
a)Mt phng () ct cac cnh SA ; SB ; SD ln lt ti A ; B ; D tit din
ABCD l hỡnh gỡ ?
11


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

b)Chng minh rng () khi chuyn ng luụn luụn cha mt ng thng c nh
c)Gi M l giao im ca AC v BD .Chng minh khi () di ng thỡ M di ng
trờn ng thng c nh
Bài 8: Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l bỡnh hnh.Gi M l im di ng trờn cnh
SC; mt phng () cha AM v BD
a)Chng minh () luụn luụn i qua mt ng thng c nh khi M chuyn ng
trờn cnh SC
b) () ct SB v SD ti E ; F .Trỡnh by cỏch dng E v F ?

c)Gi I l giao im ca ME v CB; J l giao im ca MF v CD . Chng minh ba
im I ; J ; A thng hng
Vn 2: . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Thiết diện song song với đ-ờng thẳng cho tr-ớc
Bài 1: Cho hình chóp SABCD. Gọi M và N là hai điểm bất kì
trên SB và CD. là mặt phẳng qua MN và song song với
SC
a, Tìm giao tuyến của mp với các mặt phẳng (SBC);
(SCD); SAC)
b, xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b. Gọi I, J lần
l-ợt là trung điểm của AB và CD. (P) là mặt phẳng qua M
trên IJ và song song với AB và CD
a, Tìm giao tuyến của mp(P) với mp(IJD)
b, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mo(P). Thiết
diện là hình gì?
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi
C là trung điểm của SC; M là điểm di động trên SA, (P)
là mặt phẳng di động luôn đi qua CM và song song với BC
a, Chứng minh (P) luôn chứa đ-ờng thẳng cố dịnh
b, Xác định hiế diện cua hinh chóp cắ bởi mp(P). Xác định
điêm M đê thiết diện là hình bình hành
c, Tìm tập hợp giao điểm của hai cạnh đối của thiết diện
khi M di chuyển trên cạnh SA
Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang với đáy lớn
BC = 2a; AD = a và AB = b. Mặt bên SAD là ta, giác đều,
(P) là mặt phẳng qua điểm M trên đoạn AB và song song với
SA và BC, pm(P) cắt CD; SC; SB lần l-ợt tại I; J; K
a, Chứng minh MIJK là hình thang cân
b, Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P)

theo a và x = AM.
12


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

Bài 5: Cho hình chóp SABCD. Gọi M và N là hai điểm trên
AB và CD và (P) là mặt phẳng qua MN và song song với SA
a, Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC)
b, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P)
c, Tìm điều kiện của M; N để thiết diện là hình thang
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm
O; M là điểm di động trên SC và (P) là mặt phẳng qua AM
và song song với BD
a, Chứng minh (P) luôn chứa một đ-ờng thẳng cố định
b, Tìm các giao điểm H và K của (P) với SB và SD. Chứng
minh

SB SD SC


là một hằng số
SH SK SM

c, Thiết diện của hình chóp với mp(P) có thể là hình
thang đ-ợc hay không
Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a; M và P là hai điẻm di
động trên các cạnh AD và BC sao cho AM=CP=x (0 < x < a).

Một mặt phẳng qua MP và song song với CD cắt tứ diện theo
một thiết diện
a, Chứng minh thiết diện thông th-ờng là hình thang cân
b, Tính x để diện tích thiết diện nhỏ nhất
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD gọi M, N là hai điểm bất kì
trên SB và CD. ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với
SC
a. Tìm giao tuyến của () với các mặt phẳng (SBC),
(SCD), và (SAC)
b. Xác đinh thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt
phẳng ()
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành
tâm O. M là trung điểm của SB. Xác địnhthiết diện của
hình chóp SABCD tạo bởi mặt phẳng () biết
a. () qua M và song song SO và AD
b. () qua O và song song AM và SC
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD; G là trọng tâm ABC; M, N,
P, Q, R, H lần l-ợt là trung điểm của SA, SC, CB, BA, QN,
AG
a. Chứng minh rằng: S, R, G thẳng hàng và SH = 2MH =
4RG
b. G1 là trọng tâm SBC. Chứng minh rằng GG1 //
(SAB); GG1 // (SAC)
c. mặt phẳng () qua GG1 và song song BC. Xác định
thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng ()
13


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
đáy lớn AD. Một điểm M bất kì nằm trên AB, () là mặt
phẳng qua M và song song AD và SB
a. Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt
phẳng (). Thiết diện là hình gì?
b. Chứng minh SC song song ().
Bài 12. Cho tứ diện ABCD đều cạnh a. I là trung điểm của
AC , J AD sao cho AJ = 2JD. M là một điểm di động trong
BCD sao cho mặt phẳng (MIJ) luôn song song AB
a. Tìm tập hợp điểm M
b. Tính diện tích thiết diện của tứ diện tạo bởi mặt
phẳng (MIJ)
BI 4: HAI MT PHNG SONG SONG
Vn 1: MT PHNG SONG SONG
Phng phỏp Chng minh hai mt phng song song
Phng phỏp :
* Chng minh mt phng ny cha hai ng thng ct nhau ln lt song song vi
hai ng thng ct nhau nm trong mt phng kia .
Bài 1: Cho hình chớp SABCD có đáy là hình bình hành tâm
O. Gọi M, N lần l-ợt là trung điểm của SA và CD
a, Chứng minh: mp(OMN) // mp(SBC)
b, I là trung điểm của SC và J là điểm nằm trên mp(ABCD)
cách đều AB và CD. Chứng minh IJ // mp(SAB)
c, Giả sử các tam giác SAB và ABC cân tại A. Gọi AE và AF
là các đ-ờng phân giác trong của các tam giác ACD và SAB.
Chứng minh EF // mp(SAD)
Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không cùng nằm
trong một mặt phẳng. Trên AC và BF lấy M và N sao cho AM

= BN. Các đ-ờng thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần
l-ợt cắt AD; AF tại M, N
a, Chứng minh: (CBE) // (ADF)
b, Chứng minh: mp (DEF) // mp(MNNM)
c, Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp I khi M, N di
động
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. Chứng minh rằng
các đ-ờng phân giác ngoài của các góc BAC, CAD, DAB đồng
phẳng
Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm
O. Gọi M, N là trung điểm của SA, SD
14


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

a, Chøng minh mp(OMN) // mp(SBC)
b, Gäi P vµ Q lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ ON. Chøng
minh PQ // mp(SBC)
Bµi 5: Cho tø diƯn ABCD. Gäi I vµ J lµ hai ®iĨm di ®éng
lÇn l-ỵt trªn AD vµ BC sao cho

IA JB

. Chøng minh IJ lu«n
ID JC

song song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh

Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh víi
AB = a; AD = 2a, mỈt bªn SAB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A.
Trªn AD lÊy M, ®Ỉt AM = x (0 < x < 2a). MỈt ph¼ng    qua
M vµ song song víi mp(SAB) c¾t BC; SC; SD t¹i N, P, Q
a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang vu«ng
b, Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP. T×m tËp hỵp I khi M
ch¹y trªn AD
c, TÝnh diƯn tÝch MNPQ theo a vµ x
Bµi 7: Cho 2 ®-êng th¼ng a vµ b chÐo nhau. T×m tËp hỵp
c¸c ®iĨm I trªn ®o¹n MN vµ chia MN theo tØ sè k cho tr-íc
trong 2 tr-êng hỵp:
a, M, N di ®éng lÇn l-ỵt trªn a, b
b, M, N di ®éng trªn a, b vµ MN lu«n song song víi 1 mỈt
ph¼ng hc n»m trªn mỈt ph¼ng cho tr-íc c¾t a vµ b
Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H,I,K
lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC.
a) Chứng minh (HIK)// (ABCD).
b) Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH
và CI .Chứng minh (SMN) //(HIK).
Bµi 9: Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’.
a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C).
b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ của tam giác A’BD
và CB’D’
Bµi 10: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi
M,N lần lượt là trung điểm của SA ,CD.
a) Cm: (OMN) //(SBC).
b) Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE,A F là
các đường phân giác trong của tam giác ACD và SAB . Cm: E F
//(SAD).
Bµi 11: Cho hai hình vuông ABCD, ABE F không cùng nằm trong

một mặt phẳng . Trên các đường chéo AC,BF lần lượt lấy các
điểm M,N sao cho AM=BN . Các dường thẳng // AB vẽ từ M,N lần
lượt cắt AD, A F tại M’,N’.
15


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

a)Cm: (CBE) //(AD F).
b) Cm: (DE F)//(MNNM).
VN 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Thiết diện
cắt bởi mặt phẳng song song với mặt phẳng cho tr-ớc
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O
có AC = a; BD = b; tam giác SBD đều. Mặt phẳng di
động song song với mp(SBD) qua I trên đoạn AC
a, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp
b, Tính diện tích của thiết diện theo a, b và x = AI
Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) thoả mãn (P) //(Q),
ABC mp P ; MN Q

a, Tìm giao tuyến của mp(MAB) và mp(Q); giao tuyến của
mp(NAC) và mp(Q)
b, Tìm giao tuyến của mp(MAB) và mp(NAC)
Bài 3: Từ 4 đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ 4 nửa đ-ờng
thẳng song song cùng chiều Ax; By; Cz; Dt không nằm trong
mp(ABCD). Một mp cắt 4 nửa đ-ờng thẳng tại A; B; C;
D
a, Chứng minh (Ax; By) // (Cz; Dt)

b, Chứng minh ABCD là hình bình hành
c, Chứng minh AA + CC = BB + DD
Bài 4: Cho tứ diện ABCD, gọi G1; G2; G3 lần l-ợt là trọng
tâm các tam giác ABC, ACD, ABD
a, Chứng minh (G1G2G3) // mp(BCD)
b, Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(G1G2G3). Tính
diện tích thiết diệntheo diện tích của tam giác BCD
c, M di động trong tứ diện sao cho G1M // (ACD). Tìm tập
hợp điểm M
Bài 5: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang, đáy lớn AB
= 3a; AD = CD = a, tam giác SAB cân tại S và SA = 2a. Mặt
phẳng di động song song với mp(SAB) cắt AD; BC; SC;
SD tại M; N; P; Q
a, Chứng minh MNPQ là hình thang cân
b, Đặt x = AM (0 < x < a). Tìm x để MNPQ ngoại tiếp một
đ-ờng tròn. Tính bán kính đ-ơng tròn đó
c, Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp I khi M
đi động trên AD
Gọi J là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh IJ có ph-ơng
không đổi và J di động trên 1 mp cố định
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm
O, E là trung điểm của SB. Biết tam giác ACE đều và AC =
16


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

OD = a. Mp di động song song với mp(ACE) và qua I trên

OD, mp cát AD, CD, SC, SB, SA lần l-ợt tại M, N, P, Q,
R
a, Nhận xét gì về tam giác PQR và tứ giác MNPR
b, Tìm tập hợp giao điểm của MP và NR khi I di động trên
đoạn OD
c, Tính diện tích MNPQR theo a và x = DI. Xác định x để
diện tích đó lớn nhất
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đay là hình bình hành. Mặt
phẳng (P) cắt SA; SB; SC; SD lần l-ợt tại A; B; C; D.
Chứng minh điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình
hành là mp(P) // (ABCD)
Bài 8: Cho hình chóp SABC, mp(P) di động song song với
mp(ABC) cắt SA; SB; SC lần l-ợt tại A; B; C. Tìm tập
hợp điểm chung của 3 mặt phẳng (ABC), (BAC), CAB)
Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; J theo thứ tự là trung
điểm của BC; BD; AD. Mp qua EF và song song với BJ,
mp qua BJ và song song với CD
a, Thiết diện do mp cắt tứ diện là hình gì?
b, Xác định thiết diện do mp cắt tứ diện . Chứng minh

//
c, AC và AD cắt mp lần l-ợt tại H, K. Gọi I là giao
điểm của AC và mp . Chứng minh HE; KF và AB đồng quy tại
M
d, Giả sử các tam giác ABC và ABD vuông tại B. Tính chu
vi tam giác MHK biết chu vi tam giác ACD bằng a
Bài 10: Cho hình chóp SABCD đay là hình thang với các
cạnh đáy AB; CD với CD = pAB (0 < p < 1). Gọi S0 là diện
tích tam giác SAB và là mặt phẳng qua M trên cạnh AD
và song song với mp(SAB). Đặt

DM
x
AD

0 x 1 .

a, Xác định thiết diện của hình chóp SABCD với
Tính diện tích thiết diện theo S0, p, x
b, Tính x để diện tích thiết diện bằng

mp .

1
S0
2

Bài 11: Cho hình chóp SABC, I là trung điểm của SB và J
1
2

nằm trên đoạn SC sao cho JC JS và O là trọng tâm tam
giác ABC
a, Xác định thiết diện của hình chóp với mp(OIJ), gọi s
là diện tích của thiết diện này
17


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

b, là mặt phẳng qua M trên nửa đ-ờng thẳng BC và mp
song song hoặc trùng với mp(OIJ). Đặt

BM
x x 0 . Tìm x
BC

để mp cắt hình chóp
c, Biện luận theo x các dạng của thiết diện của hình chóp
với mp
d, Gọi H(x) là diện tích của thiết diện nói ở câu c. Tính
H(x) theo s và x
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có E là giao điểm của AD và
BC. Mp(P) song song với SE cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự
tại J, K, H, I
a, Tứ giác IJKH là hình gì?
b, Tìm điều kiện cần và đủ để tứ giác IJKH là hình bình
hành
Bài 13: Cho tứ diện ABCD có AD = a; BC = b; AB = c. Lấy M
trên AB, mặt phẳng qua M song song với AD và BC cắt các
cạnh AC, CD, BD tại N, P, Q
a, Tứ giác MNPQ là hình gì?
b, Đặt AM = x. Tính các cạnh của tứ giác MNPQ
c, Muốn tứ giác MNPQ là hình chữ nhật phải có thêm điều
kiện gì? Tìm diện tích tứ giác trong tr-ờng hợp này. Tìm
vị trí của M trên AB để tứ giác có diện tích lớn nhất
Bài 14: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Mp(P) qua A song
song với BC, cắt BD và CD tại M, N, đặt BM = x. Tính

AM 2 MN 2 AN 2

BI 5: Phép chiếu song song Hình lăng trụ Hình hộp
Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABCABC. Mp qua đ-ờng chéo
AC và song song với đ-ờng chéo BC chia AB theo tỉ số
nào?
Bài 2: Cho lăng trụ ABCABC. Lấy M A ' B', N AB, P CC' thoả
mãn:

AM ' BN C' P 1


.
MB' NA PC 2

Mp(MPN) cắt BC tại Q. Tìm

C' Q
B' C'

Bài 3: Cho lăng trụ ABCABC. Gọi H là trung điểm của
AB
a, Chứng minh CB // mp(AHC)
b, Tìm giao điểm của AC và mp(BCH)
c, Mp(P) qua trung điểm của CC và song song với AH và
CB. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết
diện chia cạnh t-ơng ứng của lăng trụ
18

Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

Bài 4: Cho lăng trụ ABCABC
a, Tìm giao tuyến của (ABC) và (BAC)
b, Gọi M và N là 2 điểm bất kì trên AA và BC. Tìm giao
điểm của BC với mp(AAN), của MN với (ABC)
Bài 5: Cho lăng trụ ABCABC. Gọi G và G lần l-ợt là
trọng tâm các tam giác ABC và ABC. Chứng minh rằng các
mặt phẳng (ABC), (BCA) và (CAB) có 1 điểm chung O trên
GG. Tính tỉ số OG : OG
Bài 6: Cho hình hộp ABCDABCD
a, Chứng minh mp(BDA) // mp(BDC)
b, Chứng minh đ-ờng chéo AC qua trọng tâm G1; G2 của các
tam giác BDA và BDC. Chứng minh G1; G2 chia AC làm 3
phần bằng nhau
Bài 7: Chứng minh rằng trong hình hộp, tổng các bình
ph-ơng của 4 đ-ờng chéo bằng tổng bình ph-ơng tất cả các
cạnh
Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABCABC
a, Gọi I, K, G lần l-ợt là trọng tâm các tam giác ABC;
ABC và ACC. Chứng minh (IGK) // (BBCC) và (AKG) //
(AIB)
b, Gọi M, N lần l-ợt là trung điểm của BB và CC. Hãy
dựng đ-ờng thẳng qua trọng tâm tam giác ABC cắt AB và MN
Bài 9: Cho lăng trụ ABCABC. Gọi M, N là trung điểm của
BC và CC, P đối xứng với C qua A
a, Xác định thiết diện của lăng trụ với mp(AMN)
b, Xác định thiết diện của lăng trụ với mp(MNP)

Bài 10: Cho hình lập ph-ơng ABCDABCD cạnh a. Gọi M,
N, P lần l-ợt là trung điểm của AB, BC; DD
a, Chứng minh mp(MNP) // mp(ABD) và (BDC)
b, Xác định thiết diện của hình lập ph-ơng với mp(MNP)?
Thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó
Bài 11: Cho hình lăng trụ ABCABC đáy là tam giác đều
cạnh a, ABBA, ACCA là các hình vuông. Gọi I, J là tâm
của ABBA, ACCA và O là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC
a, Chứng minh IJ // mp(ABC)
b, Xác định thiết diện của lăng trụ với mp(IJO). Chứng
minh thiết diện là hình thang cân

ễN TP TNG HP

19


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

Bài1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ADBC là hình thoi cạnh
a; SA = SB = a; SC = SD = a 3 . Gọi E, F lần l-ợt là
trung điểm của các cạnh SA, SB; M là một điểm trên cạnh
BC.
1) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt
phẳng (MEF). Thiết diện là hình gì?
2) Đặt BM = x (0 x a). Tính FM và diện tích thiết
diện trên theo a và x

KQ:
S
=
3a
16 x 2 8ax 3a 2
16
Bài2: Cho tứ diện ABCD trong đó AB vuông góc với CD và AB
= AC = CD = a; M là một điểm trên cạnh AC với AM = x (0 <
x < a); () là mặt phẳng qua M song song với AB và CD.
1) Xác định thiết diện của tứ diện tạo bởi mặt phẳng
(). Thiết diện là hình gì?
2) Tính diện tíchthiết diện theo a và x. Xác định x để
diện tích thiết diện này lớn nhất.
S
=
x(a
x)
a
0 < x < a
x =
2
Bài3: Trong mặt phẳng () cho ABC đều cạnh a, gọi O là
trung điểm của cạnh AC; lấy điểm S ở ngoài () sao cho SA
= a và SA BO; () là mặt phẳng chứa BO và song song với
SA.
1) () cắt tứ diện SABC theo thiết diện là hình gì?
2)
Tính
diện
tích

thiết
diện
trên
theo
a.
a2 3
S =
8
Bài4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành với
AB = 2a, AD = a. SAB là tam giác vuông cân tại A. Gọi M
là một điểm trên cạnh AD với AM = x (0 < x < a). () là
mặt phẳng qua M và song song với (SAB).
1) () cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
2) Tính diện tích thiết diện trên theo a và x.
S
= 2 a2 x2
Bài5: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần l-ợt là trung điểm
của các cạnh CA, CB. M là một điểm trên đoạn BD, mặt
phẳng (IJM) cắt AD tại N.
1) Chứng minh IJMN là hình thang. Xác định vị trí của M
để IJMN là hình bình hành.
2) Gọi K là giao điểm của IM và JN. Tìm tập hợp các
điểm K khi M di động trên đoạn BD.





20

Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

Bài6: Từ bốn điểm của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa
đ-ờng thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz, đ-ấng thẳng
sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng () cắ
bốn nửa đ-ờng thẳng đó lần l-ợt tại A', B', C', D'.
1) Chứng minh: (Ax; By) // (Cz; Dt)
2) Chứng minh tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành.
3) Gọi O, O' lần l-ợt là tâm các hình bình hành ABCD,
A'B'C'D'. Chứng minh đ-ờng thẳng OO' // AA' và AA' + CC'
= BB' + DD'
Bài7: Cho tứ diện ABCD với AB CD, BCD vuông tại C có
= 300 . M là điểm di động trên cạnh BD, () là mặt
phẳng qua M song song với AB và CD.
1) () cắt tứ diện ABCD theo một thiết diện là hình gì?
2) Giả sử AB = BD = a, BM = x. Tính diện tích S của
thiết diện thao a và x.
3) Vẫn lấy giả thiết trong câu2). Xác định x để thiết
diện có 2 đ-ờng chéo vuông góc.
3
KQ: 2) S =
3) x = 2 2 3a
xa x
2
Bài8: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a,
SAD là tam giác đều. Gọi M là một điểm AB, () là mặt
phẳng qua M song song với (SAD) cắt CD, SC, SB lần l-ợt

tại N, P, Q.
1) Chứng minh MNPQ là hình thang cân.
2) Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Tìm tập hợp các
điểm I khi M chạy từ A đến B.
3) Đặt AM = x. Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và
x
3 2
S =
a x2
4
Bài9: Cho tứ diện đều SABC cạnh a. Gọi I, K, L lần l-ợt
là trung điểm của AB, AI, SB. () là mặt phẳng qua KL và
song song với CI. Tính diện tích thiết diện của () với
a2 5
tứ diện.
S =
8
Bài10: Cho hình chóp S.ABCD có đấy là hình bình hành tâm
O.
1) Từ một điểm M di động trên đoạn SA dựng đ-ờng thẳng
song song với AD cắt SD tại N, NB cắt SO tại P. Chứng
minh MP đi qua một điểm cố định







21

Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

CQ SM
. Chứng minh

CD SA
MQ luôn sonh song với một mặt phẳng cố định.
3) Tìm vị trí của M trên SA để MNQ có diện tích lớn
nhất?
Bài11: Cho hình lập ph-ơng ABCD.A'B'C'D'; E, F, G lần
l-ợt là trung điểm của AA', BB', CC'. Chứng minh rằng:
1) (EFG) // (ABCD)
2) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và
(C'D'D).
3) Tìm giao điểm của A'C và (C'DB)
4) Gọi O và O' lần l-ợt là giao điểm của hai đ-ờng chéo
đấy ABCD và A'B'C'D'. Chứng minh rằng AO' và C'O chia A'C
thành ba đạon bằng nhau
Bài12: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi G1, G2 lần l-ợt là trong
tâm của ABD và BCD; I là trung điểm của AC.
1) CM: G1G2 // (ABC); G1G2 // (ACD)
2) mặt phẳng () đi qua G1, G2 và song song với BC. Tìm
thiết diện của () và tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì
? Tại sao?

3) G là trong tâm của tứ diện ABCD. K là trung điểm của
G1G2. Chứng minh rằng G, I, K thảng hàng.
Bài13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang mà đáy
lớn là cạnh AD. Một điểm M bất kỳ trên cạnh AB và một mặt
phẳng () qua M và // AD và SB
1) mặt phẳng () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện
là hình gì?
2) CM: SC // ().
Bài14: Cho hình hộp ABCD.A"B'C'D' có Q là trung điểm cạnh
DD', I là một điểm trên đoạn BD sao cho DI = 3IB. Tìm
thiết diện của hình hộp ABCD.A"B'C'D' tạo bới mặt phẳng
() qua IQ và // AC.
Bài15: Cho tứ giác ABCD nằm trong mp (P). Hai đ-ờng thẳng
AB và CD cắt nhau tại E; AD và BC cắt nhau tại F. Một
điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P) và một mặt phẳng (Q) di
động cắt SA, SB, SC tại I, J, K.
1) Tìm giao điểm K của (Q) và SD
2) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để IJ // KL là
SE // (Q)
3) Tìm điều kiện giữa SF và (Q) để IL // JK. Chứng minh
rằng nếu IJKL luôn là hình bình hành thì (Q) luôn song
song với một mặt phẳng cố định

2) Trên cạnh CD lấy điểm Q sao cho:

22


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

Bài16: Cho hình vuông ABCD có cạnh a và tam giác vuông
cân ADF (AD = AF) nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Biết
BF = a 2 , trên các đoạn AC, FD lần l-ợt lấy hai điểm M,
N di động sao cho: AM = FN = x (0 < x < a 2 ).
1) Chứng minh rằng MM // (ABF).
2) Chứng minh: AN = MN = BM.
c) Tính độ dài MN theo a và x. Xác định x để MN có độ
dai nhỏ nhất

23