chuyen de tinh the tich khoi da dien day hoc 2015 the tich khoi da dien 12

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

CHỦ ĐỀ 1
ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VẤN ĐỀ 1
ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG
1/ C
t
Cho D A BC

ƣ
n

tr
i

t

vu
à ư n ca

à ư n

n

A

B

 BC 2 = A B 2 + A C 2 (Pitago )

t

ƣ

tr

t

ất

a)

b2 + c 2 - a 2
2bc
2
a + c 2 - b2
2
2
2
* b = a + c - 2ac cos B Þ cos B =
2ac
2
a + b2 - c 2
* c 2 = a 2 + b2 - 2ab cosC Þ cosC =
2ab
* a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A Þ cos A =

A

c

b
a

B

 AH .BC = AB .AC
 A B 2 = BH .BC , A C 2 = CH .CB
1
1
1

=
+
, A H 2 = HB .HC
2
2
AH
AB
AC 2
BC
 AM =
2

C

H M

2/ C

n Ta c

C

b)

A
c

a
b
c
=
=
= 2R
sin A
sin B
sin C

b

B

à

C

a

R

n

nh ư n

nn

i i

ABC)

c)

A
c

B

b

a

C

1
1
1
a.ha = b.hb = c.hc
2

2
2
1
1
= ab sin C = bc sin A =
2
2
abc
=
, S D A BC = p.r
4R
æ
p (p - a )(p - b)(p - c ), ççp
è



S D A BC =



S D A BC



S D A BC

S D A BC =

p – n a ch i

r – n nh ư n
R –

ư n n

nn i i
in i i

Trang 1

1
ac sin B
2

=

a + b+
2

ö
c÷
÷
÷
ø


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

d)

A

A B 2 + A C 2 BC 2
BA 2 + BC 2 A C 2
* BN 2 =
2
4 .
2
4
2
2
2
CA + CB
AB
* CK 2 =
2
4

.

K

* .A M 2 =

N
M

B

3/ Đ

T

C

t

M

N

S D A MN

*

B
4/ D

AM
AN
MN
=
=
= k
AB
AC
BC
2
æA M ÷

ö
ç
÷ = k2
= ç
÷
çè A B ÷
ø

* MN / / BC Þ

A

C

S D A BC

(

t

D

t

t

i n ch a
vuông.
D

t

i c

D

ca

n

t

ch

c nh

c

i c

a

t

i c

hD

vu

. 3
= c nh
4
2

n

A

C

A

t

n c nh

a

h

. 3
= c nh
2

v

+ Đư n ch h nh
n
+ i n ch h nh ch nh

t

B

SD

B

a

nh hư n

O

D

n c nh nh n 2 .
n ài nh n n

C

A

t

nh Than

D

1

=
2
t

íï S HV = a 2
ï
Þ ïì
ïï A C = BD = a 2
ïî

Þ S =
n

t

2
íï
ïï S D A BC = a 3
ï
4
Þ ïì
ïï
a 3
ïï h =
2
ïî

D

i n ch h nh han

S

chi

ƣ

+ i n ch
i c c hai ư n ch
n
ch hai ư n ch
+ nh h i c hai ư n ch
n
n i c a
i ư n

ca

B

1
A B .A C
2

C

u

+ i n ch h nh

D

n

Þ S D A BC =
A

+ i n ch a
+ hi

B

vu

H

(A D + BC ).A H
2

C

B

vu
n

c nha

c nha

i

A

C

Þ S H .T hoi =

1
A C .BD
2

D

ƣu
T n nh n i n ch a c h chia a i c hành nh n h nh
c n c c i n ch ược chia nà a ược i n ch a i c

Trang 2

n i n

nh i n ch sa


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

VẤN ĐỀ 2
ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
1 C

ƣ

i

t ẳ g d // mp(a )

a. Phương pháp 1:

h n

b. Phương pháp 2:

h n

c. Phương pháp 3:
h n

h n

a. Phương pháp 1:
b. Phương pháp 2:

3 C

ư n

h n h cc n

n

c

mp(a ) // mp (b )

2 C

c

íï
ïï d // d '
inh ïì d ' Ì (a ) Þ d // mp(a )
ïï
ïï (d Ë (a ))
ïî
íï d Ì ( b )
ï
inh ì
Þ d // mp(a )
ïï (b ) // (a )
ïî
inh d à ( a ) c n
n
c i

i

ư n

h n
h n

inh mp(a ) ch a hai ư n

( )c

inh mp(a ) à m p b

h n c nha s n s n
n s n s n

i

( )

i mp b .
h n h cc n

n

h n

ƣ
t ẳ s
s
:
a. Phương pháp 1: Hai mp(a ), b c

()

i

ch n

à

n ượ ch a

ư n

h n s n s n a, b h

(a ) Ç (b ) = Sx // a // b .
b. Phương pháp 2:

s n

4 C

h n

íï a // mp(a )
ïï
inh ïì a Ì mp (b )
ïï
ïï (a ) Ç (b ) = b
î

Þ a // b .

c. Phương pháp 3: ai
h n c n s n s n
i
ư n h n h ia
n c a ch n s n
i ư n h n
d. Phương pháp 4:
h n c hai
h n s n s n h
ia
ns n s n
e. Phương pháp 5: ai ư n h n c n
n
c i
h n h s n s n
i nha
f. Phương pháp 6:
n hư n h h nh h c h n Đư n
n
nh nh Ta
ƣ

t ẳ

d ^ mp (a )

a. Phương pháp 1:

h n

b. Phương pháp 2:

h n

íï d ^ a
ïï
ïï d ^ b
inh ïì
Þ d ^ mp (a )
ïï a Ç b
ïï
ïïî a, b Ì mp (a )
íï d // d '
ï
inh ì
Þ d ^ mp (a )
ïï d ' ^ mp (a )
ïî

Trang 3


Gia sư Thành Được

n

www.daythem.edu.vn

c. Phương pháp 3:

h n

d. Phương pháp 4:

ai

c

i

h n

h

e. Phương pháp 5:

c

i ia

5 C

íï d ^ mp b
ï
inh ì

()

ïï mp (b ) // mp (a )
ïî

h n c nha c n

íï (a ) ^ (P )
ïï
ïì (b ) ^ (P )
ïï
ïï (a ) Ç (b ) = d
î
hai

n

n

n

c

i

h n

h

h

ia

c

c

ư n

i

h n nà n

n

h n nà

íï (a ) ^ (b )
ïï
ïï a Ç b = a
() ()
ia ïì
ïï d Ì (a )
ïï
ïï d ^ a
î

h n

n

ư n

h n

ƣ
t ẳ d ^ d'
a. Phương pháp 1: Đư ng th ng d ^ a thì d ^ tất c c c ư ng th ng n m trong m p a .
b. Phương pháp 2:
c. Phương pháp 3:
d. Phương pháp 4:

( )

n

nh
a ư n
h n
c i ad àd'
n h nh h c h n

n
c
n 900 .

mp (a ) ^ mp (b )

6 C

a. Phương pháp 1:

c

i

h n

íï (a ) É d
ï
Þ mp (a ) ^ mp (b ) ch n
ïï d ^ (b )
ïî

inh ïì

inh

ch a

ia

b. Phương pháp 2:

h n

c i a hai

h n

n 900 .

PHƢƠNG PHÁP
XÁC ĐỊNH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
(P ầ
ầ ắ
ậ vữ
I. TÍNH GÓC
1. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Phương pháp :
h s
n
n c c c ch sa
a. Cách 1: (theo phương pháp hình học)
+ G c i a hai ư n h n song song ho c trùng nhau thì b ng 0
G c i a hai ư n h n ch nha
ắ
ầ
v
v

ữ

ấ

ọ k

b. Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ):



ấ

cos  a, b  

a b
a  b

2. Tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P 
Phương pháp xác định :
+ a   P    A
T ên ư n
T
i

h n a ấ i
à h nh chi c a

ấ

ỳ
ên

 P   MH   P 
Trang 4

a'

a

íï a // a '
ï

Þ (a¶, b) = (a· ', b ') = f
ì
ïï b // b '
î
(chú ý:

à

Þ d ^ (b )

()

n

n c a ch n

Þ d ^ (P )

h n

n c a 2 m t ph ng c n

Þ d ^ mp (a )

.

b'

b

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

+ a;  P   MAH  
Chú ý: đường thẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng thì góc bằng 0
3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q 
Phương pháp :
T
ia
T
ồn
c a

h i

nc a

h n

h n n

n

ư n

ư n h n nà c n
h n  P  và  Q 

G cc a
c n

n

C ú :2

c
ặt p ẳ

s

n

c

 P  và  Q 

h n
i ia

 P  và  Q 
h n  P  và  Q 
i ia

à

n ch n c a
s

n ch n

cc a
h n

ặ trù

ư n

h n

 P  và  Q 

ut

ằ

0

II. TÍNH KHOẢNG CÁCH
1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
Phương pháp : Đ nh h n c ch ừ
i
n
i
n
h n
a ha
n
n hai c ch sa

Cách 1 :
+T
h n (Q) ch a M à
n
c i (P) .
+ Xác nh m  P  Q  .

h n

+ ựn MH  m   P   Q  ,  MH   P 
Suy ra MH à
nc n

Cách 2: ựn MH / / AK   P 
Chú ý :
+N

MA / /  P   d

+N

MA P   I 

 M , P  

d

 M , P  

.

d  M , P  
IM



d  M , P  
IA



2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:
+ Khi a / /  P   d
i A P  .
d
 a, P 
 A, P 
+ Khi

a  P 

ặ a  P 

k ả

3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
+ Khi  P  / /  Q   d  P  ,  Q   d  M ,  Q  i A 








0

 P

  P   Q 
+ Khi 
 d P , Q   0
    
  P   Q 

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Trang 5

.

a h i i

n

n

c ẽ ừ


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

    '
a. Khi 
 d  ,  '   0 .
    
      '

b. Khi    / /   '  d    ,   '  d  M ,   '








 d  N ,   




i M    , N   ' .

c. Khi hai đường thẳng chéo nhau :
+ Đư n
n
c ch n c a hai ư n h n ch nha
   và   ' à ư n h n  a  c    ở M à c   ' ở N

(a)


M

h i
n
c i c    và   '  .
+ Đ n MN ược i à
n
n
c ch n c a hai ư n
h n ch nha    và   '  .
+ Kh n c ch i a hai ư n h n ch nha à
ài
n
n
c ch n c a hai ư n h n
ồn

' 

N

Phương pháp :
+ Cách 1 : ựn
.
h n

h n (P) ch a ư n

+ Cách 2 : ựn hai
à h n c ch c n
+ Cách 3 : ựn

*C

h n s n s n
n

n

c ch n

ự
ạ vu
u
+ ựn  P   b ,  P  / / a .
+ ựn a ' hch P  a

h n a às n s n
à n ượ ch a hai ư n

à nh
ƣ

ài

i b T nh h n c ch ừ b

h n

n mp(P)

Kh n c ch i a hai

n

t ẳ

u:

n c ch ấ M a

+ Dựn
n MN    c
’ là ư n h n
và song song a .
+ G i H  a 'b ựn HK / / MN
 HK
ạ vu
u
ầ t
( Hay MN
ạ vu
u
ầ t ).

iq aN

* Nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì:
mp  P   b ,  P   a i H .
+ ựn
+ Trong (P) ựn HK b i K .
+ Đ n HK à
n
n góc ch n c a a và b .

VẤN ĐỀ 3
TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT
I. HÌNH CHÓP ĐỀU
1/ Đ
:
h nh ch
ược
trùng với t m c a đa giác đá .
ậ
:

i à h nh ch
ặ

ặ

c đá à một đa giác đ u à có ch n đường cao

ữ

v
(

2/ H
a/

n

v
ặ
, hình vuông ...)

.

S

p ut ƣ
ặp
ình chóp tam giác đ u:
S .A BC Khi
h h nh ch
a
i c
+ Đ A BC à a
i c
Trang 6

A

C

Gia sư Thành Được
+ c
+ hi

ca

www.daythem.edu.vn

ên à c c a
SO .( O à

i c c n iS .
c a

· O = SBO
·
·
.
SA
= SCO
·
SHO .

+ G c i a c nh ên à
+G c i a

ên à

+ T nh chấ A O =
+T

+T
b/

2
1
AB 3
.
A H , OH = A H , A H =
3
3
2

k
v
c c c
àc c a
i c
à h nh ch
a
i c
c c nh ên

i n
i n

n c nh

S

ình chóp t giác đ u:

S .A BCD .
h h nh ch
a
i c
+ Đ A BCD à h nh
n
+ c
ên à c c a
i c c n iS .
+ hi ca SO .
+ G c i a c nh ên à

A

D

· O = SBO
·
·
·
.
SA
= SCO
= SDO
·
+G c i a
ên à
SHO .

H

O
B

II. TỨ DIỆN ĐỀU:
+T i n
c 4
+ Khi h nh ch
a
chấ như h nh ch
a
i c

àc c a
i c
i c
c c nh ên

n c nh

C

h

à

i n

i n

. Do

có tính

III. HÌNH ĂNG TRỤ VÀ HÌNH ĂNG TRỤ ĐỨNG
HÌNH ĂNG TRỤ

HÌNH ĂNG TRỤ ĐỨNG

à a i c s n s n à n nha
c c c nh ên s n s n à n nha
c c
ên à h nh nh hành
hi
H

ca

à a i c s n s n à n nha
c c c nh ên s n s n à n nha
c c
ên à h nh nh ch nh à
n

à h n c ch c a

ộp:

ă

ụ

hi

2

ca

c

à c nh ên

H

ộp
ữ ậ
H
p p ƣơ
hình vuông.

t:

ă

:

ă

ụ
ụ

2
6

ặ

IV. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT
1/ H

p

ột ạ

vu

vớ

v

:

v
V

nh ch

2/ H

S .A BCD c c nh ên SA ^ (A BCD ) h chi

p
ặ

ột
v

ặt
v

vu
.

vớ

ặt

Trang 7

:

i

ca

à SA .


Gia sư Thành Được
V
à chi

nh ch

www.daythem.edu.vn

ca c a D SA B .
3/ H
p
v
v
V

: H nh ch

(

S .A BC c

ên SA B

ặt

vu

)

n

vớ

(A BC ) h

i

chi

ca c a h nh ch
ặ

:

(

S .A BCD c hai

c

ên SA B

) à (SA D ) c

ca à SA .
4 H
p uv t
u:
S .A BCD c
V
nh ch
i c
vuông A BCD h c ư n ca à SO .

n

n

c

(A BCD ) h

i

chi

h n

à ia

v
.
O c a hai ư n ch h nh

i

CHỦ ĐỀ 2
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
VẤN ĐỀ 1
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
DIỆN TÍCH XUNG QUANH
DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN
T ểt

D

1
V  B.h
3

KHỐI CHÓP

t

xu

qu

D

t

t

p ầ

Sxq = Tổng diện tích các mặt bên

Stp = Sxq + Diện tích mặt đá

Sxq = Tổng diện tích các mặt bên

Stp = Sxq + Diện tích 2 mặt đá

Sxq = Tổng diện tích các mặt bên

Stp = Sxq + Diện tích mặt đá

+ B à diện tích đá
+ h đường cao hình chóp

V  B.h

KHỐI ĂNG
TRỤ

+ B à diện tích đá
+ h à đường cao ăng trụ

KHỐI CHÓP
CỤT

h
B + B '+ BB '
3
+ ới B , B ' à diện tích hai đá
V =

(

)

+ h đường cao hình chóp

Chú ý:
I. T ể t
a

ộp

t: V = a.bc
. Þ T ểt

p p ƣơ

: V = a3

a
a

b
a

c
nh h

ch nh

nh

hư n

II. 4 p ƣơ p p t ƣ

ù t
t ểt
1.T
t ểt
ằ
t
.
+ T nh c c
c n hi
ài c nh i n ch
chi ca
+
n c n h c nh h ch
n nă
n c c c n h c nh i n ch a
i c
i c ....
àn

2. T
t ểt
ằ
nh h ch c a ch n
a

ac n

: Ta chia h i a i n hành nhi
q
i a sẽ c

q c n

Trang 8

h i a i n nh

àc

h


Gia sư Thành Được
3. T
t ểt
h i a i n hê
à
4. T

www.daythem.edu.vn
ằ
su : Ta c
à h i a i n
ic h

t ểt

ằ
ặ
ặ

h h hê
à h i a i n
àn nh ược h ch

t s t ểt .
,v
v

k

k

ặ k

h i a i n h c sa ch

k ă v

k

,
P
ă

ụ

k

ầ

ặ

k

ả (

ặ

k
ặ

k

ầ

v

k

ặ

* Trong d ng nà , ta thường ha s dụng phương pháp tỉ số, ấ kết quả c a bài toán sau:
h h nh ch
C
K
Khi
Ta c

ấ

ư n

n

Khi

V S .A ' B ' C '
V S .A BC

=

SA ' SB ' SC '
.
.
.
SA SB SC

:
à

c n

n

c i
h n
h n hàn

à

V S .A ' B ' C '

=

V S .A BC

V A ' SB 'C '
V A .SBC

ưu

ả
,

III. Sử
ư n

S

1
S D SB 'C ' .A ' H '
= 3
1
S
.A H
3 D SBC

1
SB '.SC '. sin a .A ' H '
SB '.SC '.SA '

= 2
=
Þ
1
SB .SC .SA
SB .SC . sin a .A H
2
·' SC ' = BSC
·
T n
.
a = B
v

H

A

C

A º A ', B º B ',C º C ' .

’, ’, ’

v

,

h c hi n nhiên h =

,

nà

h ch =

V
S

i

3V
B

ở

B

(Ðpcm ) .

,

p ƣơ p p t ể t
ểt
ả
* Các bài toán tìm khoảng cách: Kh n c ch ừ
i
n
h n
n nhi

ư n hợ c h q i
ài
n h ch h i a i n

à c n
ch

ên c nh

V , B , h n ượ à h

ch

i n ch

,

h n
h n c ch i a hai
i c nh h n c ch nà ựa
à chi

ca c a

i h nh ăn

* Phương pháp nà áp dụng đư c trong trường h p sau: Gi s c h q i ài
n
ài n
chi ca c a

h nh ch
h c
ăn
nà
nhiên c c chi ca nà
nh ược ực i
n c ch s
n c c hư n h h n hư n như nh
ia
c n h
T nhiên c c h i a i n nà i
àn nh ược h ch à i n ch
Như
chi ca
c nh ởi c n h c n i n ên
* Phương pháp:
n c c nh c a h nh h c n h n ian sa
+N

mp (P )ch aCD h d (A B , CD ) = d éêA B , (P )ù
ú.
ë
û
mp (P ) // mp (Q )
mp (P ), mp (Q )
n
n ượ ch a A B

A B // mp (P )

+ N

+ Từ

q i ài

n

h n c ch
hư n à h n
c ượn i c
c a n sẽ ược

n

d (A B ,CD ) = d éêmp (P ), mp (Q )ù
.
ú
ë
û
h i ăn

h nh

h n c ch h

ê c

ài

nà
Trang 9

n

i c

chi

à CD

ca c a h i ch

h c

h


Gia sư Thành Được
h
ni
ca

+ Gi s ài
ch c a h nh ch
h nh ch ấ c
ừS c n

www.daythem.edu.vn
n

ược q i
ăn
nà h
nh S ' ¹ S a

chi ca
ừ nh S c a
h nh ch
h c
ăn
Ta
c n ư n h c à h n ựa à
nh S nà ch n h n như q an
nh i n ch
i i n i nh S Như h a s
a ược chi

VẤN ĐỀ 2
CÁC DẠNG TOÁN KHỐI CHÓP
DẠNG 1
HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1.

h h nh ch

a. T nh h

ch h i ch

b. G i G à

M , N T nh h
Bài 2.

S .A BC c

à h nh chi
a. T nh h
b. T nh h

cc a i

à D A BC

(

a. h n

S .A BCD c

(

inh

n

)

n ượ

a3 3
=
(đvtt).
30

Đ : V H .A BC
Đ : V A .BCKH

)

n mp SA C .

BC = 5 (cm ) T nh h n c ch ừ A

i mp A BCD

i

n ượ ên c nh SB , SC .

A

Tr
t tu ể s
Đạ
i n A BCD c c nh A D
n

SC hợ

n ượ

2a 3
(đvtt).
27
c nh a à SA ^ (A BC ) , SA = 2a G i H , K

ch h i A .BCKH theo a .

Bài 4. Ch h nh ch

a3
(đvtt) .
6
i BC c SC , SB

Đ : V SA MN =

ch h i chóp H .A BC theo a .

c. T nh h n c ch ừ H
Bài 3.
h

i q aA G à s n s n

S .A MN .

S .A BC c

)

Đ : V S .A BC =

c a D SBC , m p a

ch h i ch

n

(

n c n ở B , A C = a 2, SA ^ mp A BC , SA = a .

S .A BC .

( )

n

h h nh ch

à D A BC

3a 3 3
=
(đvtt).
50

Đ : d éH , SA C ù =
êë

(

)úû

a 3
(đvđd).
10

D – 2002)
c i mp A BC , A C = A D = 4 cm , A B = 3 cm ,

(

(

)

( )

)

n mp BCD .

A BCD à h nh

c 450 G i H , K

6 34
(cm )
)úû
êë (
17
O , SA ^ (A BCD ) , A B = a
Đ

n

n ượ à h nh chi

SC ^ (A HK )
Trang 10

( )

d éA , DBC ù =

c a c a A lên SB , SD .

nh ên


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

b. T nh h

ch h i ch

c. T nh h

ch h i ch

c 300 G i H , K

h n

a.

(A HK ) chia

b. G i M là i
T nh h ch
Bài 6.

i

h i ch

n

c a c a A lên SB , SD .

S .A BCD hành hai h i a i n T nh s hai h i a i n

ên c nh HK

ch h i

h n

inh h

ch h i ch

M .A BC c

h

ch h n

ổi

)

(

h h nh ch

(

(

)

Đ : d éA ,mp BCD ù =

(

êë

)úû

6a 34
(đvđd)
17

· C = 600
A BC à tam giác có A C = a, A B = 3a , BA

S .A BC c

c a S trên A BC

)

n mp BCD .

A

)

Đ : V A BCD = 8a 3 đvtt .

i n A BCD .

b. T nh h n c ch ừ i

h nh chi

i

i n A BCD c A D ^ A BC , A C = A D = 4a, A B = 3a, BC = 5a .

a. T nh h

Bài 7.

n ượ à h nh chi

(

h

a3 2
(đvtt).
12

O .A HK .
Đ :
S .A BCD c
A BCD à h nh
n c nh a , SA ^ (A BCD ). mp (SBC ) hợ

Bài 5. Ch h nh ch

mp (A BCD )

Đ : V S .OCD =

SOCD .

i

H Î A B à A H = 2HB

nh ên SC hợ

G i H là
c 450 .

i

a. T nh h ch h i ch S .A BC
b. T nh h n c ch ừ A
n mp SBC .

(

Bài 8.

h h nh ch

S .A BC c

(

, SC hợ

i mp SA B

a. h n
b. T nh h

inh

(

à SB ^ A BC

)

Đ : V S .A BC =

S .A BC .

i

H sao cho SH =

S .A BC c

BC = a, SA = a 3 G i M à
inh

i

A B = a 2; SB = a

2
HA . Tính h
3

ch h i ch

a3 3
(đvtt) .
6

S .HBC .

ch h i ch

c. T nh h

ch h i

BC = a 3 , SA = a
a T nh i n ch

n

i

i c

n

(

i B

à SA ^ A BC

)

·

i A CB = 600 ,

c a c nh SB .

S .A BC .

Đ

i n MA BC .

Đ

d. T nh h n c ch ừ i
Bài 10. h h nh ch

D A BC à a

mp (SA B ) ^ mp (SBC ) .

n

b. T nh h

b. T nh h

iA

a3 3
(đvtt) .
15

h h nh ch

a. Ch n

n

c 300 .

ch h i ch

Đ : V S .HBC =

à D A BC

SC 2 = SB 2 + A B 2 + A C 2 .

n

c T ên c nh SA ấ

Bài 9.

)

)

M

S .A BC c

(

)

n mp SA C .
à a

i c A BC

h n q aA
n
n q anh h nh ch S .A BC .

ch h i ch

Đ

c

n
i SC

i B

a3
: V S .A BC =
(đvtt) .
2
a3
: V MA BC =
(đvtt).
4
a
: d éM , SA C ù = (đvđd )
)úû
êë (
2
i SA ^ (A BC ) . Cho A B = a ,

i H và c

SB

Đ : V S .A HK =

S .A HK theo a .

Trang 11

iK .

a3 3
(đvtt).
60


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bài 11. h h nh ch

SBC hợ

a

i c S .A BC c

Đ : V A HKBC =

A BC à a

ch h i ch

Đ : V S .A BCD =

S .A BC theo a .

b. G i M à N n ượ à h nh chi
h i ch
a i n A .BCNM .

n

c c aA

ên c c ư n

A BC à a
Bài 12. h h nh ch S .A BC c
i c
A à
i
n
c i SB i H à c SC i K .
a T nh i n ch àn h n h nh ch S .A BC .
b. T nh h

ch h nh ch

Bài 13. h h nh ch
i

i c

ên

c 600 .

i

a. T nh h

ia

3a 3 3
(đvtt) .
20
c nh a à SA ^ mp (A BC ) .

ch h i a i n A .HKBC theo a .

c. Th

h n SB

c nh a 3

c a hai ư n ch

Đ : V S .A HK

A BCD à h nh

h nh

à SC T nh h

ư n ca SA = a

S .A HK .

S .A BCD c

a3 3
(đvtt).
8

(

ch c a
h n q a

a3 3
=
(đvtt).
40

)

n c nh a , SA ^ A BCD , SA = a 3 . G i O là

n A BCD .

a. T nh h

ch h i ch

S .A BCD theo a .

Đ : V S .A BCD =

a3 3
(đvtt).
3

T nh h

ch h i ch

S .OBC theo a .

Đ : V S .A BCD =

a3 3
(đvtt).
12

c T nh h n c ch ừ i

A

n mp SBC .

(

)

Đ : d éA , SBC ù =

a 3
(đvđd)
2

d T nh h n c ch ừ i

O

n mp SBC .

(

)

Đ : d éA , SBC ù =

a 3
(đvđd)
4

Bài 14. h h nh ch
c c c nh A B
a. T nh h

S .A BCD c

à A D, H à ia
ch h i ch

ëê

c a CN à DM

n c nh a
i

G iM àN

)ûú
)ûú

n ượ à

n

i

c a

SH ^ mp (A BCD ) à SH = a 3 .
Đ :V =

S .CDNM

b. T nh h n c ch i a hai ư n

(

ëê

A BCD à h nh
i

(

h n DM à SC theo a .

Đ :d =

5a 3 3
.
24
2a 3

19
A BCD à h nh
Bài 15. h h nh ch S .A BCD c
n c nh a c nh ên SA = a h nh chi
n
AC
H h c
c c a nh S lên mp (A BCD ) à i
n AC,AH =
G i CM à ư n ca c a a
4
i c SA C .
a. h n
inh M à n i c a SA .

b. T nh h ch h i
i n SMBC theo a .
A BCD à h nh
Bài 16. h h nh ch S .A BCD c
n c nh a , SA ^ (A BCD )
nh SC
i

(A BCD )

h n

a. T nh h
c

c 600 .

ch h i ch

nh à nh

Đ

S .A BCD theo a .
ài

n

n

c ch n c a hai ư n

Trang 12

h n SC

V S .A BCD =

a3 6
(đvtt ).
3

à BD . Đ : d(SC ;BD ) =

a 3
4


Gia sư Thành Được

(P )

h n

c.

(P ) chia

h i ch

n

S .A BCD c

c

i SC c

à h nh

àn h n h nh ch

ch h i ch

(P ) ch

h n

c.

i q aA à

SB , SC , SD

n c nh

n a chi

h nh ch

a AN

às n s n

S .A BCD c

Đ
i BD

n ượ c

à

n

SB , SD

S .A BCD .

i

h n SC

c a SC .

àAD .

(P ) ch

h n

a AM

·

(

c BA C = 600 .
ch h i ch

b. T nh h

ên SB C

à

) hợ

n

à

n

ch h i ch

ởi

(

h n

a3
(đvtt ).
3

Đ

V S .A BCD =

Đ

d(SC ;A D ) =

Đ : V S .OA D

)
(a )

a 6
(đvđd)
3

i BD chia h i ch
i

)

9a 3 3
=

(đvtt).
4

3a 2
(đvđd)
ú
ëê
û
2
i q a A G song song BD , chia h i ch S .A BCD

Đ : d éO ,(SBC )ù =

s hai h i a i n

A BCD c AD = 6AB = 3 3
c a A D T ên ư n h n
n

i

i M , P T nh h

(

Bài 20. h h nh ch nh
à N

2a 3
=

(đvtt ) .
3

Đ : V S .A BCD = 9a 3 3 đvtt .

n mp SBC .

O

D SA C .

hành hai h i a i n T nh

i

c 450 .

i

SOA D .

c. T nh h n c ch ừ i
G i G

n

O , SA ^ mp (A BCD )

nh

S .A BCD theo a .

ch h i ch

V S .A BCD

à s n s n

S .A BCD hành hai h i a i n T nh s hai h i a i n .
S .A BCD c
A BCD à h nh ch
Bài 19. h h nh ch

a. T nh h

à

2a 3
Đ : V S .A MNP =
(đvtt).
9
n c nh a , SA ^ mp (A BCD )
c

A BCD à h nh

b. T nh h n c ch i a hai ư n

A B = 3a

h n

n 450 .

ch c a h i ch

c. G i M

ca SA = 2a G i N

S .A BCD theo a .

mp (A BCD ) à mp (SBC )
a. T nh h

i M,N,P . M

S .A BCD .

S .A MNP theo a .
Bài 18. h

n ượ

S .A BCD hành hai h i a i n T nh s hai h i a i n ấ

Bài 17. h h nh ch
c a SC .
a T nh i n ch
b T nh h

www.daythem.edu.vn

ấ
c

i

M ên c nh A B sao cho MB = 2MA
S sao cho
i mp (A BCD ) i M ấ i

SM = 2 6 .
a. h n
b. T nh
Bài 21. h
h n ch a
a. T nh h
b. T nh h

(

) (

inh SBN ^ SMC

(

c i a ư n
h i ch

S .A BCD c

A BCD à h nh ch nh

i

(

)

n SA ^ A BCD , SC hợ

c 300 à A B = a, BC = 2a .

ch h i ch
ch h i ch
i

)

h n SN à mp SMC .

A BCD

c. G i O à ia

)

Đ : V S .A BCD

S .A BCD .
S .A BC .

c a AC và BD . T nh h n c ch ừ i
Trang 13

a 3 15
=
(đvtt).
3

a 3 15
Đ : V S .A BC =
(đvtt).
6
O n mp (SCD ) .

i


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Đ : d éO , SCD ù =
ëê

(

)ûú

Bài 22. h h nh ch

a 1140
(đvđd)
60

S .A BCD c

· BC = BA
· D = 900 , BA = BC = a, A D = 2a .
A

à h nh han c

nh ên SA
n
c i
à SA = a 2 G i H à h nh chi
a. h n
inh n D SCD vuông.
T nh i n ch n q anh h nh ch S .A BCD .

(

c. T nh h n c ch ừ H
Bài 23. h

a

b. T nh h
h

c G iJ
ch

Đ :
Bài 24. h

à i

i

n

V MNA BCD
h i

=

(

ên c nh BC
h i ch

h n

inh h

i n A BCD c

à h i

( )

ch 9 m 3 , trên A B , A C , A D

h

h

ch

trên A D sao cho DA = 3NA T nh h

h n q a i

S .A BCD c

A' às n s n

ch c a h i ch

n ượ à

ch h n

s hai h i ch

ổi T nh
.

i

h
i

S .A BCD c h
h n

SA sao cho 2SA = 3SM

B ',C ', D ' sao cho

( )

i n A B 'C ' D ' . Đ : V = 2 m 3

ch h i

n

n ượ ấ c c i

c a AB

à A C T nh

s

Đ :

( )

n 12 m 3
ch h i
ch

G i M,P à

n

i

( )

n 27 m 3
c

ấ

i

h

ch c a h i

V A B 'C ' D

=

V A BCD

c a A B ,CD

1
.
4

à ấ

i

N

( )

Đ :V = 1 m3 .

i n BMNP .

h nh ch

A ' trên SA sao cho SA = 3SA '
n ượ

SB , SC , SD

ic c i

B ',C ', D ' T nh h

( )

Đ :V = 1 m3 .

S .A ' B 'C ' D ' .

Bài 28. h h nh ch

T nh

i n A BCD .

i n A BCD c

Bài 27. h h nh ch

J .SA D c h

2
.
7

i n A BCD G i B ', C '

Bài 26. h

ch h i ch

S .A BCD thành hai h i ch

A B = 2A B ', 2A C = 3A C ', A D = 3A D ' T nh h

i n A B 'C ' D

)

Đ : V S .A BCD = 3a 3 đvtt .

S .A CD theo a .

(BCNM ) chia

V SMNBC

Bài 25. h

)

n BCNM à h nh ch nh

ch c a h i ch

h n

(

· D= A

· BC = 90o , A B = BC = a ,
BA
i c a SA, SD .

S .A BCD c
A BCD à h nh han
A D = 2a , SA ^ (A BCD ), SA = 2a G i M , N n ượ à n
inh

c c a A trên SB .

đvđd .
Đ : d H , SCD =
( ( ))
3

)

n mp SCD .

h nh ch

a. h n

n

ch

( )

n 9 m3

(MBC )c

à

A BCD à h nh nh hành

SD i N T nh h

ấ

i

M trên

ch h i a i n A BCDMN

( )

Đ :V = 4 m3 .
Bài 29. h h nh ch
AI à s n s n
Đ : k = 0, 5 .
Bài 30. h h nh ch
c ax

S .A BCD c
A BCD à h nh nh hành à I à n i c a SC
i BD chia h i ch

hành hai h n T nh s h ch hai h n nà

S .A BCD c

(

)

à h nh

h n MBC chia h nh ch

nh hành à ấ
ch

i

hành hai h n c

M trên SA sao cho
h

ch

SM
= x T
SA

n nha
Đ :x =

BÀI TẬP NÂNG CAO
Trang 14

h n q a

5- 1
.
2

i


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn
ễ t

Bi 1. Ch h nh ch

S .A BC c

a

A BC

mp (SBC ) mp (A BC ) n 300 G i M
a/ T nh h

ch h i ch

n

n

i

(

n c n

i B , A B = a, SA ^ A BC

(



)

h n

Bi 2. Cho hỡnh chúp S .A BC c

a 3
(vd)
6
a
d ộG ; SBC ự =
(vd )
(

)
ỳ
ởờ
ỷ
18
a
d ộA B ,SC ự = (vd )
ỳ
ởờ
ỷ
2

(

i c

n

d ộA , SBC ự =
ờở

)

n mp SBC .


SC v A B .

a

c i a

a3 3
=
(vtt )
36

V S .A BM



D SA C . T nh h n c ch G
n

)

c a c nh SC .

n mp A BC .

d/ T nh h n c ch i a

(

i c

S .A BM theo a .

b/ T nh h n c ch M
c G iG

(

)ỳỷ

ã

i B , BA C = 300 , SA = A C = a v SA vuụng gúc

)

i mp A BC .
a/ T nh h

ch h i ch

S .A BC theo a .



V S .A BC =

(

h n

a3 3
(vtt )

24

b/ T nh h n c ch A

n mp SBC .

)



d ộA , SBC ự =

c/ T nh h n c ch i a

n

SA v BC .



d ộSA ;BC ự =



ổ
ỗ
arct an ỗỗ
ỗỗố

T nh

c h

i

n

e/ T nh h n c ch i a
Bi 3. Ch h nh ch

(SCD ) h

i

a/ T nh h

ch h i ch

n

O

i

n

d ộA C ,SB ự =

n

(

ờn c nh A D



d ộO , SCD ự =

a 3
(vd)
4

n mp SCD .

d ộG , SDC ự =

a 3
(vd)
3

)

(

inh h

)

SO v CG .
h n

a3 3
(vtt )
12

V S .A DC =

ch h i ch

ởờ

ờở

(

)ỷỳ

(

)ỳỷ

a 30
(vd)
ỳ
ỷ
8

d ộSO ,CG ự

ởờ

J .SBC c h

ch h n
3

h

ch

Bi 4.


Tr

t

tu s



ờn



n mp SCD .

h n

ỳ
ỷ

a 3
(vd)
2
ử
15 ữ
ữ
ữ
3 ữ
ữ
ứ

c 600 .

D A BC . T nh h n c ch G
n

)ỷỳ

a 57
ỳ
ởờ
ỷ
3
O , c nh a , SA ^ (A BCD )


SB v A C .

A BCD h nh

(

ởờ

S .OCD theo a .

d/ T nh h n c ch gi a
i

h n

A BCD

b/ T nh h n c ch i

G iJ

n

SC v A B .

S .A BCD c
h n

c G iG

h n

ởờ

a 21
(vd)
7

B 2006)

Trang 15

V J .SBC =

a
(vtt )
8

i T nh


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

h h nh ch S .A BCD c
c i
h n
G iM,N
ch h i

A BCD à h nh ch nh
n ượ à

n

i A B = a, A D = a 2, SA = a à SA
n
c a A D, SC à I à ia i c a BM à A C T nh h

i

i n A NIB .

Đ

Bài 5. Tr
t tu ể s
Đạ
A – 2004)
h h nh ch S .A BCD c
à h nh h i A BCD c SO
à BD Gi s SO = 2 2, A C = 4, A B =
ư n
Bài 6.

5 àM à

n

n

c

i

h n ch a

Đ

S .A BC c SA ^ (A BC ), SA = a . i

iO à ia

i

ch c a h i ch

b. Cho E  AC h a

d(SA ,MB ) =

n D A BC

2 6
(đvđd)
3
à mp (SBC )hợ

Đ : V S .A BC =

S .A BC .

EC 1
 . T nh h n c ch ừ i
AE 3

(

)

n mp SBC .

E

a 3

Bài 7. Ch h nh ch

S .A BC c

(

i mp A BC

a. T nh h

A BC à a

)

ch c a h i ch

i cc n

c 300 . G i G à

n mp SA B .

h n SB C

(

G

) à (A BC )
B

b. T nh h n c ch i a ư n
c

h n

h i a i n

(

P

a3 3
(đvtt) .

6
a 6
Đ : d SA; BC  
 đvđd 
2
2a 15
Đ : d G ; SAB  
 đvđd 


15

)

S .A BC có SA ^ mp (A BC )

a. T nh h n c ch ừ i

ABC .
Đ : V S .A BC =

c. T nh h n c ch ừ i

hai

)

S .A BC theo a .
h n SA và BC theo a .

h h nh ch

(

i

n

A B = a, A C = 2a, BC = a 3

a 3
 đvđd 
2
 a  đvđd 

n mp SA C .

Đ : d  B; SAC  



h n SA và BC theo a .

Đ : d SA; BC 

(

n

c

)

i SC , chia hình chóp S .A BC hành

h i a i n T nh

s

.

S .A BC c

A BC à a

i c

(

n c n

a. T nh h n c ch ừ i
n

i

C

Đ : d C ; SAB   a  đvđd 




)

n mp SA B .

A C . T nh h n c ch ừ i

c. T nh h n c ch i a ư n
Bài 10. h h nh ch

(

nh SC

I

A BC

(

i mp A BC

)

à a

i c

c 600 .

Trang 16

a

n mp SA C . Đ : d  I ; SAC    đvđd 


2

(

)

3a

Đ : d SC ; AB  
 đvđd 
2

h n SC và AB theo a .

S .A BC c

)

i B , SA ^ A BC . Cho A C = a 2 ,

SB = 3a .

· C = 600

BA

c i a

n 600 .

iq a A à

Bài 9. Ch h nh ch

G iI à

 đvđd 

i A , SA ^ A BC . Cho BC = 2a, SB = a 3 .

n

b. T nh h n c ch i a ư n

Bài 8.

i

a3 3
(đvtt) .
3

Đ : d  E ; SBC  



8

mp (SBC )

c a AC

c 300 .

A BC

a. T nh h

i

a3 2
(đvtt )
36

c a SC T nh h n c ch i a hai

h n SA à BM .
h h nh ch

V N .A IB =

n

(

)

i B , SA ^ A BC . Cho A B = a , góc


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

a. T nh h n c ch ừ i
G i I à

n

i

A

(

Đ : d  A; SBC  



)

n mp SBC theo a .

AC . T nh h n c ch ừ i

(

n mp SA B

I

2a 39
 đvđd 
13

) theo a .
a 3
 đvđd 
2
SB, SC n ượ i M , N

Đ : d  I ; SAB  


h n  P  ch a AG à s n s n
i BC c
SBC
T nh h ch c a h i a i n MNA BC .
d. G i J à i
i ng trên c nh MN . Tính th tích kh i chóp J .A BC .
c G iG à

n

Bài 11. h h nh ch

mp (SBC ) hợ
a. T nh h

S .A BC c

i

à D A BC c n

·

i A, BC = 2a, BA C = 1200, SA ^

c 450 .

h n ch a

ch h i ch

( )
(A BC ) i

Đ : V J .A BC = a 3 đvtt .

Đ : V S .A BC =

S .A BC .

b. Cho D  AB h a: DB  2 AD . T nh h n c ch ừ i

D

(

a3
(đvtt) .
9

)

n mp SBC .

a 6
 đvđd 
9
 2 5
Đ :  SB, AC   acr cos  


5 

n cân i B
i A C = a, SA ^ (A BC ) à SB
Đ : d  D; SBC  


c. T nh

c i a ư n

Bài 12. h h nh ch
hợ

i

AC và SB .

S .A BC c

A BC à a

i c

A BC
c 600 .
VSA C . T nh h n c ch ừ i

h n ch a

a G iG à

h n

n

mp (SA B )

n 30 . G i O à ia

(

)

(

)

O

n mp SBC .

b. T nh h n c ch ừ i

C

n mp SBD .

S .A BCD c

n 450 .
a T nh h n c ch i a ư n

c nh a, SA ^ (A BCD )

c i a SD à

a 3
 đvđd 
4

a 21
Đ : d C ; SBD  
 đvđd 


7
n c nh a, SA ^ (A BCD )
c i a mp (SBC )
Đ : d O; SBC  



A BCD à h nh

Đ : d SC ;BD   a  đvđd 

h n BD và SC .

DE 2
 . T nh h n c ch ừ i
EC 3

b. Cho E  CD h a

n

c a AC và BD .

a. T nh h n c ch ừ i

Bài 14. h h nh ch
à

i

)

n mp SBC .

G

b. T nh h n c ch i a ư n h n SB và AC .
S .A BCD c
A BCD à h nh
Bài 13. h h nh ch
0

(



E

(

)

n mp SA C .

3a 2

c G i M à
T nh

s

n

V S .A EMF
V A BCDFME

Bài 15. Ch h nh ch

i

ch a AM

às n s n

.

S .A BCD c

mp (SCD ) à mp (SBC )
a. T nh h

P

h n

SC

Đ : d  E ; SAC  
 đvđd 


10
i BD c SB, SC n ượ i E , F

ch c a h i ch

A BCD à h nh

(

n c nh a , SA ^ mp A BCD

)

c

n 1200 .

(

)

Đ : V S .A BCD = a 3 đvtt .

S .A BCD .

Trang 17

ởi


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

b. T nh h n c ch i a hai ư n
Bài 16. h

h i ch

SC hợ

i
a. T nh h

S .A BCD c

h n ch a
ch c a h i ch

b. T nh h n c ch ừ i
c. T nh góc i a ư n
Bài 17. h h nh ch

(

i mp A BCD

a 2
 đvđd 
2
n SA ^ (A BCD ), SC = a à
Đ : d SC ; AD  

h n SC à A D .

A BCD à h nh

n tâm O

i

c 450 .
S .OBC .

O

(

)

n mp SA D .

h n BD và SC .

S .A BCD c

)

(

A BCD à h nh

c 450 . T ên c nh AC ấ

)

n SA ^ A BCD và SA = a 2

E h a AE 

i

nh ên SC

1
AC .
4

a. T nh h ch h i ch S .EBC .
c. T nh h n c ch i a ư n h n SC và BE .
Bài 18. h h nh ch

(

)

bên SCD hợ

S .A BCD c

i

a. T nh h

h n ch a

ch h i ch

h i ch

h n ch a
a. T nh h

E

mp (A BG ) c SC

(

c hợ

A BCD à h nh ch nh

h n B E à SD .
à h nh ch nh

SD t i N T nh h

(

ởi ư n

)

i

c a AC và BE . T nh h n c ch ừ i

iM c

h n A N à A BCD

Bài 21. h h nh ch

à

2
SC .
3

a3 3
(đvtt).
18
2a
Đ : d  E ; SCD  

 đvđd  .


3
n SA ^ (A BCD ), SC hợ
i

n mp SCD .

c. T nh h n c ch i a hai ư n
Bài 20. h h nh ch S .A BCD c

E h a SE 

i

)

Đ : V E .BCD =

c 450 à A B = 3a, BC = 4a . G i E à
S .BECD .

ch h i ch
i

c 600 . T ên c nh SC ấ

A BCD

S .A BCD c

A BCD

b. G i F à ia

n tâm O c nh a , SA ^ A BCD

E .BCD .

b. T nh h n c ch ừ i
Bài 19. h

(

A BCD à h nh

)

n

i

c nh AD .

(

)

n mp SBD .

F

(

)

i SA ^ mp A BCD ,G à

ch c a h i a i n MNA BCD

i

n

D SA C ,

SA = A B = a à

n 900 .

·

c nh n DAB = 600 .

S .A BCD c

A BCD à h nh h i c nh a à
1
E h a BE  BD .

SA ^ (A BCD ), SA = a . T ên c nh BD ấ i
3

i

n

a3 3
(đvtt).
36
2a 5
b. T nh h n c ch i a hai ư n h n CE à SD .
Đ : d CE ;SD  
 đvđd  .
5
A BCD à h nh h i c nh a à c nh A C = a . G i O là gia i
Bài 22. h h nh ch S .A BCD c
ư n ch A C và BD
i
n SA ^ (A BCD ), SA = a . G i C ' à
n i
c a c nh SC
a. T nh h

( )

h n P

ch h i ch

i q aAC ' à s n s n

a. T nh h
b.

ch h i ch

h n

c. G i J
T nh h ch

i

i BD c c c c nh SB , SD

h i ch
n

n ượ

i B ' à D'.

Đ : V S .A BC ' D ' =

S .A BC ' D ' .

(P ) chia

à i

Đ : V S .BEC =

S .BEC .

a3 3
(đvtt).
18

S .A BCD hành hai h i a i n T nh s hai h i a i n

ên c nh B ' D '

h n

inh h

Trang 18

ch h i ch

J .A BCD c h

ch h n

ổi


Gia sư Thành Được
Bài 23. h

n

h i ch

www.daythem.edu.vn
S .A BCD c

A BCD à h nh h i tâm O , c nh a à
A n c nh SC n a . G i E à
à h n c ch ừ i

SA ^ (A BCD )

·

c nh n DAB = 600
n

i

c nh AD .

(

a3 6 a. T nh h

ch h i ch

b. T nh h n c ch i a ư n
Bài 24. h

h i ch

Đ : V S .BEDC =

S .BEDC .

S .A BCD c

A BCD à h nh han

A D = 2a, SA ^ (A BCD ) à mp (SCD ) hợ
a. T nh h

ch c a h i ch

b G i O à ia
c G i E à

i
n

Đ : d CE ;Sb  

h n CE và SB .

(

i mp A BCD

n

)

àB

3

44

) đvtt .
(

)

a 42
 đvđd  .
7
i
n A B = BC = a,

c 600 .

a3 6
(đvtt).
3
n mp (SBD ) .

Đ : V S .A CD =

S .A CD .

c a AC và BD . T nh h n c ch ừ i
i

iA

i

c nh AD .T nh h n c ch i a ư n

O

h n BE và SD .

DẠNG 2
HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Chú ý:

íï P ^ Q
ïï ( ) ( )
ïï
(P ) Ç (Q ) = a Þ b ^ Q
- ïì
( )
ïï b Ì (P )
ïï
ïï b ^ a
î
- Tam giác BA C cân t A , I

phân giác D A BC .
- Tam giác A BC
,G
ọ
íï
ïï A G = 1 GM = 2 A M
ïï
3
3
ïï
1
2
+ ì BG = GN = BN
ïï
3
3
ïï
1
2
ïï CG = GP = CP
3
3
ïïî
+ A M , BN ,CP vừ

BC Þ A I vừ

vừ

D A BC , M , N , P ầ

vừ

BC , A C , A B

vừ

BÀI TẬP CƠ BẢN
Trang 19

vừ

D A BC .

ầ


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn
A BC à a

Bài 1. Hình chóp S .A BC có BC = 2a
à n

n

h n

mp (A BC )

c

i

inh

b. T nh h

ch h i ch

i

c nh A B .

Đ

S .A BC .

(

)

n mp SBC .

t

tu ể s
Đạ
S .A BC c

A BC à a

Bài 1. (Tr
nh ch

·
SB = 2a 3, SBC
= 300 T nh h
Bài 2. Ch h nh ch
h n

n

h n

i S

mp (SA C ) hợ

i

i

inh

i

c. T nh h

Bài 3. Ch h nh ch

n c nh a
ch

n

i

n

i

ch h i ch

)

n

a3 3
=
(đvtt).
6

a3 3
=
(đvtt).
12

(

êë

a 3
(đvđd).
2
i c
c nh à a à
c n 300 .

ch

ên SA B à a

(

i mp A BCD

)

)úû

Đ : V S .A BCD =

a 3 30
.
12

b. T nh h n c ch c a i

C

n mp SA D

(

)

Đ : d éC , SA D ù =

a 3
(đvđd) .
2

c. T nh h n c ch c a i

B

n mp SA C

(

)

Đ : d éB , SA C ù =

a 390
(đvđd).
13

h nh ch

Bài 4. Ch

êë

êë

· C = 900 , A
· BC = 300 , D SBC
BA

S .A BC c

n

Đ : d éD , SBC ù =

A BCD à h nh ch nh
i mp (A BCD ) . nh ên SC hợ

S .A BCD

i c

i

c a c nh A B .

Đ : V S .BCD

(

c

) (
)
n mp (SA C )

ên SA B à a

n mp SBC .

n

)ûú

Đ : V S .A BCD

S .A BCD c

h n

a. T nh h

S .A BC à h n c ch ừ B

S .BCD .

d. T nh h n c ch ừ D
n

(

S .A BCD .

ch h i ch

(

ëê

n ch n ư n ca c a h i ch

ch h i ch

2a 30
(đvđd) .
5

Đ : d éA , SBC ù =

A BCD à h nh
(A BCD ).

h n

2a 3 6
(đvtt )
3

V S .A BC =

D – 2011)
i c
n i B , BA = 3a, BC = 4a , SBC ^ A BC

ch h i ch

S .A BCD c

c

T nh h

n

n

i C , SA B là tam giác vuông cân

SI ^ mp (A BC ) .

n

c. T nh h n c ch ừ A

a

G i I à

n

c 600 .

h n

a.

n

i c

(

)úû

(

)úû

à

a

i c

c nh a

và

mp (SA B ) ^ mp (A BC ).
a T nh h

ch h i ch

b. T nh h n c ch ừ B
c G iG à

h h nh ch

Bài 5.
c

n

i

(

S .A BC c

(

A BC à a

ên SA B
n

)

n mp SA C .

i

AC

)

h n

i

a 3 39
(đvtt) .
96

Đ : d éB , SA C ù =
êë

D SBC . T nh h n c ch c a i

h n

a. G i H à

Đ : V S .A BC =

S .A BC .

i c

G
n cân

)

inh SH ^ A BC .

Trang 20

)úû

a 39
(đvđd).
8

)

n mp SA C .
i B c BC = a
c 450 . i

h n

(

(

(

(

ên SA C

D SA C c n i S .

)

n


Gia sư Thành Được
b. T nh h

www.daythem.edu.vn

ch h i ch

(

c. T nh h n c ch ừ H
Bài 6.

h

SA = SB

h nh ch

a h

h n

Bài 7.

à

SC

n

à h nh

)

n mp SBC .

S .A BCD c

a 2
(đvđd).
)úû
êë (
4
c nh a , mp (SA B ) ^ mp (A BCD ) ,

n 450 .

h n

Đ : V S .A BCD =

a3 5
(đvtt ).
6

Đ : d éD , SBC ù =

a 30
(đvđd).
6

ëê

D SA B . T nh h n c ch c a i

h h nh ch

n

S .A BCD .

(

a3
(đvtt) .
12

Đ : d éH , SBC ù =

A BCD

ch c a h i ch

b. T nh h n c ch ừ D
c G iG à

)

n mp SBC .

S .A BCD c

c i a ư n

a. T nh h

ĐS: V S .A BC =

S .A BC .

A BCD à h nh

(

)ûú

2a 5
.
ëê

9
n c nh a , mp (SA C ) ^ mp (A BCD ), D SA C ,

(

)

n mp SCD .

G

Đ : d éG , SCD ù =
(

)ûú

vuông cân i S .
a. T nh h

a h

ch c a h i ch

S .A BCD .

Đ : V S .A BCD =

b. T nh h

a h

ch c a h i ch

S .BCD .

Đ : V S .BCD =

)

Đ : d éB , SA D ù =

(

b. T nh h n c ch ừ B
Bài 8.

h

h nh ch

n mp SA D .
c

S .A BCD

(SA B ) ^ (A BCD ) . Hai mp (SBC )
à

n
a

ch h i ch

c. G i O à ia
Bài 9.
nh S

A BCD

(

i

h h nh ch
àn
n

h n

b. T nh h

ch h i

(SA B ) ^ (A BCD )
a. T nh h

a 6
(đvđd) .
12
i A B = 2a, BC = 4a,

)

Đ : V S .A BCD =

n 300 . G i H

c

(

)

n mp SCD .

8a 3 3
(đvtt).
9
Đ : d éO , SA D ù =
êë

(

)úû

A BCD à h nh h i i A C = 2BD = 2a à D SA C
c i mp (A BCD ) . G i O à ia i c a AC và BD .

n

i n SOA B .

(

2a
.
7
n c n i

2a 3
Đ : V S .A BCD =
(đvtt) .
3
a3
Đ : V S .OA B =
(đvtt) .
6

)

n mp SA D .

a 2
(đvđd).
)ûú
ëê (
2
·
h i c nh a , BA D = 600

Đ : d éO , SA D ù =

S .A BCD c
A BCD
à D SA B
n c n i nh S .

i

a3 2
(đvtt ) .
12

S .A BCD .

ch

ch h i ch

b. G i O à ia

(

S .A BCD .

c. T nh h n c ch ừ O

)ûú

nh

i mp A BCD

S .A BCD .

S .A BCD c

ch h i ch

h nh

)

c a AC và BD . T nh h n c ch ừ O

a. T nh h

Bài 10. h

à h nh ch

à mp SA D c n hợ

AB .
i
h n inh SH à ư n ca h nh ch

b. T nh h

ëê

(

a3 2
(đvtt ) .
6

à

h nh

Đ : V S .A BCD =

S .A BCD .
c a AC và BD . Tính kh n c ch ừ O
Trang 21

(

)

n mp SA D .

a3 3
(đvtt).
12
Đ : d éO , SCD ù =
êë

(

)úû

a 5
.
10

i


Gia sư Thành Được
h h nh ch

Bài 11.
i

www.daythem.edu.vn
S .A BCD c

n D SA D
a. T nh h

n

ch h i ch

b. T nh h

h n

S .A BCD c
n mp (SBC )hợ

i

i A

(

c

à D , A D = CD = a, A B = 2a

)

i mp A BCD .

a3 3
=
(đvtt).
4

Đ : V S .A BCD

i n SA BC .

h i ch

A B = 2R

n

n

S .A BCD .

ch h i

h

Bài 12.

àn

A BCD à h nh han

a3 3
=
(đvtt) .
6

Đ : V S .A BC

A BCD à n a
i mp (A BCD )

c i c

n i i

n n a ư n

0

c 45 T nh h

n ư n

ch c a h i ch

nh

ch

3R 3
.
4

Đ :V =

BÀI TẬP NÂNG CAO
Ô t
ạ
A BC à a

Bài 1. Hình chóp S .A BC có BC = 2a
àn

n

h n

n

c

i

(

)

ư n

h n

SA và BC .

h n

SB và IK

n mp SA C .

b. T nh h n c ch i a
c T nh

c hợ

Bài 2. Tr

h h nh ch
h n
n

ởi

t

ư n

(SB C )

S .A BC c

i c

A BC à a

àn

n

ch c a h i ch

h n

h h nh ch

i mp A BC

a. T nh h
b. T nh
c

S .A BC c

(

c

ấ

)

i S

c 600 .

d éA , SA C ù = a 3 (đvđd)
ëê

(

)ûú

d éSA ;BC ù =
êë

ú
û

n

c

n
i

ëê

à SA .
i c

(

i mp A BC

n
ch h i

i A , cho A B = a, A C = a 3

a3
=
(đvtt) .
2

Đ : d éB , SA C ù =

h n CB

(

)ûú

2a 39
(đvđd) .
13

a 15
(đvđd).
5
ư n ca SH = a à mp(SBC )

Đ : d(BC ,SA ) =

D SBC c

)

c 300 .

(

)

Đ : V S .A BC = a 3 3 đvtt .

S .A BC .

ên c nh A B h a

ên SA D à a
i c
àn
c a SB , BC ,CD T nh h

h n

)

h n SB

i

Đ : V S .A BC

n SB hợ

ch c a h i ch

E

i c

A BC à a

i

c i a2 ư n

i

n c n

a 3. 3
(đvtt)
96

n mp SA C .

c T nh h n c ch i a hai ư n

n

n

S .A BC .

(

b T nh h n c ch ừ B

Bài 4.

i I ,K à

)

i c

2a 30
(đvđd)
5
i c a
n A B và A C .
æ 6 ö÷
ç
Đ arc cos çç ÷
÷
ççè 6 ÷
÷
ø
Đ

Đ : V CMNP =

h nh ch

a T nh h

(

i mp A BC
Đ

Đạ
A – 2007)
S .A BCD
à h nh
n A BCD c nh a

A BCD G i M , N , P n ượ à n
c i

à a

i C , SA B à a

tu ể s

i n CMNP .
Bài 3. Ch

n

mp (SA C ) hợ

i

a. T nh h n c ch ừ B

i c

à AC .

BF
1
= . T nh h n c ch ừ i
BC
3
Trang 22

E

(

)

n mp SA C .

ên


Gia sư Thành Được

i n A BCD c D A BC

Bài 5. Ch
n

c

i nha

a. T nh h

n

D A BC à a
i c
h n mp (BCD ) à A D hợ

i

ch c a h i

G iG à

n

a

h h nh ch
àn
n

G

n ượ n

n hai

h n

(

ch h i ch

n c n
0

i

(

)ûú

i D

h n

AD = a .

a3
=
(đvtt) .
8

)

a 21
.
21

n mp A CD . Đ : d éG , B CD ù =

à SA .

ëê

(

)ûú

a 3
(đvđd).
4

Đ : d(BC ,SA ) =

·

i A B = A C = a , BA C = 1200 i
n D SA B c n
i mp A BC . mp SA C hợ
i mp A BC
c 450 .

A BC
n

ëê

c 60

(

a
.
3

Đ : d éG , A CD ù =

i c

Đ : V A BCD

h n CB

S .A BC c

)

D BCD à a
i mp (BCD )

i c VBCD . T nh h n c ch ừ G

h n

a3 3
(đvtt).
9

n mp A CD .

i n A BCD .

c T nh h n c ch i a hai ư n

a. T nh h

i c

Đ : V A BCD =

D BCD . T nh h n c ch c a i

c

a

i n nà

i n A BCD c

a T nh h

Bài 7.
nh S

à D BCD à nh n

AD = a 2 .

n

h

(A BC )

i

ch c a h i

G iG à
Bài 6.

www.daythem.edu.vn

(

c

)

(

(

)

i

)

S .A BC .

1
EB . T nh h n c ch ừ i E n mp (SBC ).
3

c. T nh h n c ch i a hai ư n h n SA à BC .
A BC à a
Bài 8. h h nh ch S .A BC c
i c
c nh a , D SBC c n i S ; SB = 2a à n
ấ

n

i

h n
a. T nh h

E

ên c nh A B h a A E =

n

c

(

ch c a h i ch

G iG à

n

a

i c VA BC . T nh h n c ch ừ G

h h nh ch

h n
a T nh h

n

S .A BCD c

c

i

h n

ch h i ch

h n AC

c T nh

à BD .

Bài 10. h h nh ch

ư n

S .A BCD c

(

cao SH = a 3 H Î A B
a. T nh h

c. T nh

)

ch h i

b G i K à ia

h n SA

i

n c nh a .

à SD .

(

)úû

a 1260
.

126

a 1260
(đvđd).
42
i c

Đ : V S .A BCD =

a3 3
(đvtt).
6

Đ : d(A B ,SD ) =

a 3
(đvđd) .
2

n tâm O

n

h n

n

n

c

ư n

)

ên SA B à a
n

c

(

à BD .
Trang 23

K

i c

)

i mp A BCD .

2a 3 3
(đvtt).
3
n mp (SBC ).

Đ : V SBCD =

c a HC và BD . T nh h n c ch c a i
h n SH

êë

ên SA B à a

(·

i n SBCD .

c i a2 ư n

)

Đ : SA ; BD = 450 .

A BCD à h nh

à ư n ca nà n

(

n mp SA B . Đ : d éG , SA B ù =
Đ : d(A C ,SB ) =

S .A BCD .
h n AB

c i a

à SB .

A BCD à h nh
(A BCD ).

b T nh h n c ch i a hai ư n

a3 5
(đvtt).
8

Đ : V S .A BC =

S .A BC .

c. T nh h n c ch i a hai ư n
Bài 9.

)

i mp A BC .


Gia s Thnh c
Bi 11. Ch

www.daythem.edu.vn

h nh ch

S .A BCD c

mp (SA B ) ^ mp (A BCD ) G i M , N
h i ch

h nh

A BCD
n

S .BMDN nh c sin c a

n

c i a hai n

i

n

c a c c c nh A B , BC T nh h

n

h n

a. T nh h

n

ch h i ch

n

Bi 13. h h nh ch
i

ch

S .A BCD

b. T nh h n c ch c a i
c G iG

A BCD h nh ch nh
i mp (A BCD ) i mp (SA C ) h

c

B

(

ch c a

(

i mp A BCD

i c

c nh a
c n 300 .

)

a3 3
(vtt).
4

)

tam giỏc VSCD . T nh h n c ch G

S .A BCD c

ờn SA B a

:V =

n mp SA C

a h



h n SM , DN .

a3 3

5
: V =
.
, cos j =
3
5
Bi 12. h h nh ch S .A BCD c
n

c nh 2a, SA = a, SB = a 3

A BCD h nh han

n

(

)

n mp SBC .
i A

D , A D = CD = a, A B = 2a

(SA D ) ^ (A BCD )v D SA D
b. T nh h

ch h i

i n SA BC .

c. T nh h n c ch A

(

)

n mp SBC .

: V S .A BC =

a3 3
(vtt) .
6

: d ộA , SBC ự =

16a 310
.
155

ởờ

(

)ỷỳ

DNG 3
HèNH CHểP Cể HAI MT VUễNG GểC VI Y
Chỳ ý:

(Q ) ^ (P ) ỹùùù
(R ) ^ (P ) ùýù ị
(Q ) ầ (R ) = a ùùùỵ

a ^ (P )

BI TP C BN
Bi 1. h h nh ch
c i mp(SBC ) .
a T nh h
b. T nh

S .A BC c SA = A B = A C = BC = a . Hai mp(SA B ) mp(SA C ) c n

ch c a h nh ch
c i a n

: V S .A BC =

S .A BC .

h n SB v mp(A BC ) .

c. T nh h n c ch A

(

)

n mp SBC .

ã

0
: SB , (A BC ) = 45 .

: d ộA , SBC ự =
ờở

Trang 24

a3 3
(vtt)
12

(

)ỳỷ

a 15
(vd) .
5

n


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bài 2. Cho hình chóp S .A BCD c

mp (SA D )c n
a. T nh h

n

c

ch h i ch

i

h n

c nh SC hợ

{}

c

i

ch c a h i ch

c T ên c nh A B ấ
h h nh ch

n

(

c

i

S .A BC
A n

i c

h n

n c n

(

S .A BCD c

n

n

n

i

a 3 15
6

h n SB

)

i

h n SA B

i

(
(A BCD )

c c

ên SA B

i

ch c a h i ch

c 600 .

h n

(A BCD )

nh ên SC

(

)

n mp SA B .

Đ : d éC , SA B ù =
ëê

A BCD à h nh han
n

)

n

c

i

n

i

(

ên SA B

i A

(A BCD )

(

)ûú

à D , A D = CD = a, A B = 2a .

(

ên SB C

Đ : V S .A BCD

S .A BCD .

Trang 25

) và

a 3
(đvđd).
2

)

i

450 .
ch h i ch

n

a3
(đvtt).
2
a3
=
(đvtt).
4

Đ : V S .BCD

S .A BCD c

(

à SA D c n

c 600 .

i

S .BCD .

) và (SA D ) c

)

à AH .

ch h i ch

a. T nh h

n

)

b. T nh h

(

) à (SA C )c

S .A HCD theo a .

Đ : V S .A BCD =

ên SA B

(đvđd).

c 450 .

S .A BCD .

i

2 19

(SA C ).
ên (SA B ) à (SA D ) c n

ch h i ch

h h nh ch

a 60

n

D

a. T nh h

Bài 7.

)ûú

(
(A BC )

ai

· D = 1200
A BCD à h nh h i c nh a , BA

i

c. T nh h n c ch ừ C

(

(đvtt )

c a CD .

A BCD à h nh ch nh

S .A BCD c
c

V S .OBC =

S .A BCM .
M n mp (SBC )

(

d. T nh h n c ch 2 ư n

và

(SB C ) .

(A BCD ), cho A B = a, A D = 2a, SC

(SA D ) c

iA

ên SB C

2

)

h h nh ch

Đ

ëê

a. T nh h ch c a h i ch S .A BCD theo a .
G i H à h nh chi c a A ên c nh BD . Tính h
c. T nh h n c ch c a i
C n mp SA H .

Bài 6.

2a 3 15
(đvtt )
3

Đ : d éO , SCD ù =

i A BCD . Cho SB = 3a . G i M à

i

V A BCD =

2
A B . T nh h n c ch ừ i
3
A BCD à h nh
n c nh a hai

h h nh ch p S .A BCD c

Bài 5.

Đ

D sao cho: A D =

a. T nh h ch c a h i ch
b. T nh h n c ch c a i

c

)

(A BC ), cho BC = a

T nh h n c ch ừ i

Bài 4.

S .OBC theo a .

A BC à a

)

óc 600 .

i

n mp SCD .

S .A BC c

h n

a T nh h

ch h i ch

(

c. T nh h n c ch ừ O

n

c A B = a, BC = 2a . Hai mp SA B

S .A BCD theo a .

b. G i O = A C Ç BD . T nh h

Bài 3. Ch h nh ch

(

A BCD à h nh ch nh

a3 2
=
(đvtt) .
2

c