de luyen thi thpt quoc gia so 10

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số y   x3  3mx  1 (1).
a*) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1.
b*) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại
O ( với O là gốc tọa độ ).

Câu 2 (1,0 điểm).
a*) Giải phương trình sin 2 x  1  6sin x  cos 2 x .
b*) Tìm số phức z biết iz  (2  i) z  3i  1 .

52 x1  6.5x  1  0 .

Câu 3* (0,5 điểm). Giải phương trình

x3  2ln x
dx .
2
x
1
 x  3 xy  x  y 2  y  5 y  4
Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
2

 4 y  x  2  y 1  x 1
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB  AC  a , I là

trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của
2

Câu 4* (1,0 điểm). Tính tích phân I  

BC , mặt phẳng  SAB  tạo với đáy 1 góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S . ABC và tính

khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SAB  theo a .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A 1; 4  , tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong
của ADB có phương trình x  y  2  0 , điểm M  4;1 thuộc cạnh AC . Viết phương trình
đường thẳng AB .
Câu 8* (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A  4;1;3 và đường
x 1 y 1 z  3


. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với
2
1
3
đường thẳng d . Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho AB  27 .

thẳng d :

Câu 9 (0,5 điểm). b) Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên
3 học sinh để làm trực nhật . Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương và a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:

P

bc
3a  bc



ca
3b  ca



ab
3c  ab

…….Hết……….

Câu

Nội dung
1

Điểm


Gia sư Thành Được

1

www.daythem.edu.vn

a.(1,0 điểm)
Vơí m=1 hàm số trở thành : y   x3  3x  1
TXĐ: D  R
y '  3x 2  3 , y '  0  x  1

0.25

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 1;   , đồng biến trên khoảng  1;1

0.25

Hàm số đạt cực đại tại x  1 , yCD  3 , đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  1
lim y   , lim y  
x 

x 

* Bảng biến thiên
x
–
y’
+
y

+

-1
0

+

1
0
3

–

0.25

+
-

-1
Đồ thị:
4

0.25

2

2

4

b.(1,0 điểm)
y '  3x 2  3m  3  x 2  m 

0.25

y '  0  x 2  m  0 *

Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị  PT (*) có 2 nghiệm phân biệt  m  0 **





Khi đó 2 điểm cực trị A  m ;1  2m m , B



m ;1  2m m



Tam giác OAB vuông tại O  OA.OB  0  4m3  m  1  0  m 
1
2
(1,0 điểm)
a) sin 2 x  1  6sin x  cos 2 x  (sin 2 x  6sin x)  (1  cos 2 x)  0

Vậy m 
2.

2

1
( TM (**) )
2

0.25
0.25

0,25


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

 2sin x  cos x  3  2sin 2 x  0  2sin x  cos x  3  sin x   0

0. 25

sin x  0
 x  k . Vậy nghiệm của PT là x  k , k  Z

sin x  cos x  3(Vn)
b) Tìm số phức z biết iz  (2  i) z  3i 1 .

0. 25

Giả sử z=a+bi(a,bR) ta có i(a+bi)+(2-i)(a-bi)=3i-1
2a-2b=-1 và -2b=3 => a=-2 và b=-3/2

0.25
0.25

(1,0 điểm)
2

2

2

2

2

ln x
x2
ln x
3
ln x
I   xdx  2 2 dx 
2 2 dx   2 2 dx
x
2 1
x
2
x
1
1
1
1

0.25

2

ln x
dx
x2
1

Tính J  

Đặt u  ln x, dv 

3

0.25
1
1
1
dx . Khi đó du  dx, v  
2
x
x
x
2

2

1
1
Do đó J   ln x   2 dx
x
x
1

1
2

1
1
1
1
J   ln 2 
  ln 2 
2
x1
2
2
1
Vậy I   ln 2
2

4.

0.25
0.25

(0,5 điểm)
5 x  1
52 x1  6.5x  1  0  5.52 x  6.5 x  1  0   x 1
5 

5
x  0


Vậy nghiệm của PT là x  0 và x  1
 x  1

5.

0.25

0.25

(1,0 điểm)
Đường thẳng d có VTCP là ud   2;1;3
Vì  P   d nên  P  nhận ud   2;1;3 làm VTPT
Vậy PT mặt phẳng  P  là : 2  x  4   1 y  1  3  z  3  0
 2 x  y  3z  18  0
Vì B  d nên B  1  2t;1  t; 3  3t 

AB  27  AB 2  27   3  2t   t 2   6  3t   27  7t 2  24t  9  0
2

2

3

0.25

0.25
0.25


Gia sư Thành Được

6.

www.daythem.edu.vn

t  3
 13 10 12 
  3 Vậy B  7; 4;6  hoặc B   ; ;  
t 
7
 7 7
 7
(1,0 điểm)
Gọi K là trung điểm của AB  HK  AB (1)
Sj
Vì SH   ABC  nên SH  AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra  AB  SK
Do đó góc giữa  SAB  với đáy bằng góc

0.25

0.25

giữa SK và HK và bằng SKH  60
Ta có SH  HK tan SKH 

M
B

H

C

a 3
2

K

A

1
1 1
a3 3
Vậy VS . ABC  S ABC .SH  . AB. AC.SH 
3
3 2
12
Vì IH / / SB nên IH / /  SAB  . Do đó d  I ,  SAB    d  H ,  SAB  

Từ H kẻ HM  SK tại M  HM   SAB   d  H ,  SAB    HM
Ta có
7.

1
1
1
16
a 3
a 3



 2  HM 
. Vậy d  I ,  SAB   
2
2
2
HM
HK
SH
3a
4
4

0.25

0.25
0,25

(1,0 điểm)
Gọi AI là phan giác trong của BAC
Ta có : AID  ABC  BAI

A

IAD  CAD  CAI

E
M'

B

K
I

M
C

D

0,25

Mà BAI  CAI , ABC  CAD nên AID  IAD
 DAI cân tại D  DE  AI

PT đường thẳng AI là : x  y  5  0
Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI  PT đường thẳng MM’ : x  y  5  0
Gọi K  AI  MM '  K(0;5)  M’(4;9)
VTCP của đường thẳng AB là AM '   3;5  VTPT của đường thẳng AB là n   5; 3
Vậy PT đường thẳng AB là: 5  x  1  3  y  4   0  5x  3 y  7  0
4

0,25

0,25
0,25


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

2

 x  3 xy  x  y  y  5 y  4(1)

2

 4 y  x  2  y  1  x  1(2)

(1,0 điểm).

 xy  x  y 2  y  0

Đk: 4 y 2  x  2  0
 y 1  0

Ta có (1)  x  y  3

0.25

 x  y  y  1  4( y  1)  0

Đặt u  x  y , v  y  1 ( u  0, v  0 )

8.

u  v
Khi đó (1) trở thành : u 2  3uv  4v 2  0  
u  4v(vn)

Với u  v ta có x  2 y  1 , thay vào (2) ta được :

 4 y 2  2 y  3   2 y  1 

2  y  2
4 y2  2 y  3  2 y 1
 y  2 ( vì 







4 y2  2 y  3  y 1  2 y

0.25

y 1 1  0


2
y2
 0   y  2 

2
 4 y  2 y  3  2 y 1
y 1  1

2

4 y2  2 y  3  2 y 1




1
0
y  1  1 

1
 0y  1 )
y 1  1

0.25

0.25

Với y  2 thì x  5 . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là  5; 2 

9

10

n     C113  165

0.25

Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là C52 .C61  C51.C62  135
135 9


Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là
165 11
(1,0 điểm) .
bc
bc
bc
bc  1
1 


Vì a + b + c = 3 ta có
 


2  ab ac 
3a  bc
a (a  b  c )  bc
(a  b)(a  c )
1
1
2


Vì theo BĐT Cô-Si:
, dấu đẳng thức xảy ra  b = c
ab ac
(a  b)(a  c)
Tương tự

Suy ra P 

ca
ca  1
1 
 

 và
2 ba bc 
3b  ca

ab
ab  1
1 




2  ca cb 
3c  ab

bc  ca ab  bc ab  ca a  b  c 3



 ,
2(a  b) 2(c  a ) 2(b  c)
2
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =

5

0.25

0,25

0,25

0,25
3
khi a = b = c = 1.
2

0,25


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

6