Lý thuyết dây loại II

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

TRẦN TIẾN MẠNH

LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC:TS. Phạm Thúc Tuyền, Trƣờng Đại học Khoa Học
Tự Nhiên-ĐHQGHN

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

TRẦN TIẾN MẠNH

LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số:60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Phạm Thúc Tuyền, Trƣờng Đại học Khoa
Học Tự Nhiên-ĐHQGHN

Hà Nội – Năm 2015


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS Phạm Thúc
Tuyền, là ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn tôi rất chu đáo và tận tình giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô, tập thể cán bộ Bộ
môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán, trƣờng Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội vì đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau đại
học, trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn.
Qua đây, tôi cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới toàn thể ngƣời thân, bạn bè đã
giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học
quý báu để em có thể hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn có nhiều thiếu
sót, tôi rất mong nhận đƣợc sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Học viên
Trần Tiến Mạnh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY .................................................................... 3

1.1.

Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson .......................................................... 3

1.1.1.
buộc

Hàm tác dụng, nghiệm của phƣơng trình chuyển động và điều kiện ràng
............................................................................................................. 4

1.1.2.

Bất biến Poincaré.................................................................................. 8

1.1.3.

Lƣợng tử hóa dây boson ..................................................................... 10

1.2.

Lý thuyết siêu dây cổ điển ................................................................... 15

1.2.1.

Siêu đối xứng trên trang đời ............................................................... 15

1.2.2.

Siêu dây cổ điển ................................................................................. 17

1.2.3.

Điều kiện ràng buộc của siêu dây-Các toán tử siêu Virasoro ............... 20

1.2.4.

Lƣợng tử hóa siêu dây ........................................................................ 23

1.2.5.

Siêu đại số Neveu – Schwarz và Ramond ........................................... 25

CHƢƠNG 2: TRƢỜNG DÂY .................................................................................... 33
2.1.

Phiếm hàm trƣờng siêu dây đóng .......................................................... 34

2.1.1.

Phiếm hàm trƣờng cho các khu vực của siêu dây đóng ....................... 34

2.1.2.

Biến đổi gauge phiếm hàm trƣờng dây ............................................... 38

2.2.

Hình thức luận BRST(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin) ................................ 38

2.2.1.

Tích BRST trong đối xứng gauge ....................................................... 39

2.2.2.

Trƣờng ma .......................................................................................... 39

2.2.3.

Trƣờng siêu ma .................................................................................. 41

2.2.4.

“Tích BRST” cho siêu dây đóng ......................................................... 46

2.2.5.

Phiếm hàm trƣờng dây mở rộng.......................................................... 47

CHƢƠNG 3: LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II................................................................. 49
3.1. Tổng quan về các lý thuyết siêu dây ........................................................... 49
3.2. Spinơ trong Không thời gian D  10 (hoặc 11) chiều .................................. 51
3.3 Lý thuyết dây loại II .................................................................................. 55
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 61


DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH ẢNH
Hình 1.1 (a) Tham số hóa đƣờng đời của một hạt.(b) Tham số hóa trang đời của một
dây mở ............................................................................................................................ 4

Hình 3.1 Quan hệ giữa các lý thuyết dây khác nhau ......................................................... 51
Bảng tóm tắt các lý thuyết dây ......................................................................................... 49
CÁC KÝ CHỮ VIẾT TẮT
BRST: Becchi-Rouet-Tyutin
GSO: Gliozzi-Scherk-Olive
NS: Neveu-Schwarz
QCD: Quantum ChromoDynamics
QED: Quantum ElectroDynamics
R: Ramond
SUSY: Supersymmetry


MỞ ĐẦU

Mục đích chọn đề tài
Lý thuyết dây là một ứng cử viên cho lý thuyết thống nhất tất cả bốn loại tƣơng
tác: mạnh, yếu, điện từ và hấp dẫn. Ban đầu nó vốn đƣợc đề xuất để mô tả tƣơng tác
mạnh giữa các hadron, trƣớc khi Sắc động lực học lƣợng tử (QCD) ra đời. Sau khi đã
có QCD, lý thuyết dây đƣợc rất ít ngƣời quan tâm trong một thời gian khá dài. Tuy
nhiên khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lƣợng tử hóa trƣờng hấp dẫn và nhất
là khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tƣơng ứng với những đặc trƣng
của lƣợng tử trƣờng hấp dẫn: không khối lƣợng, spin bằng 2, lý thuyết dây mới lại
đƣợc chú ý trở lại. Hiện nay nó trở thành mối quan tâm hàng đầu của lý thuyết trƣờng
và hạt cơ bản.
Ban đầu, bằng cách tƣơng đối tính hóa dây cổ điển trong không gian D chiều,
ngƣời ta thu đƣợc một lý thuyết, gọi là lý thuyết dây boson. Để các trạng thái kích thích
của nó tuân theo các quy luật của bất biến Lorentz, số chiều tới hạn của không – thời
gian phải bằng 26. Để giải thích việc chúng ta không quan sát đƣợc các chiều phụ
ngoài bốn chiều thực của không - thời gian Minkowski, ngƣời ta giả sử các chiều ngoại
phụ ở kích thƣớc nhỏ chúng bị xoắn, cuộn lại với nhau (compact hóa) tạo thành không

gian Calabi – Yau và ở kích thƣớc lớn sẽ không quan sát đƣợc. Số chiều D  26 là một
con số quá lớn so với số chiều là bốn của không – thời gian Minkiwski, do đó việc
compact hóa không gian với số chiều ngoại phụ D  4 theo cách thức của lý thuyết
Kaluza – Klein, sẽ gặp khó khăn khó lòng có thể vƣợt qua đƣợc. Hơn nữa, lý thuyết
dây boson không mô tả đƣợc trạng thái tƣơng ứng với hạt fermion (hạt mô tả trƣờng
vật chất). Nhƣ vậy lý thuyết dây boson chỉ thích hợp khi mô tả trƣờng tƣơng tác
(boson), không thích hợp khi mô tả trƣờng vật chất (fermion).
Để khắc phục nhƣợc điểm của lý thuyết dây boson ngƣời ta siêu đối xứng hóa
nó bằng cách đƣa thêm vào các tọa độ spinơ phản đối xứng, còn gọi là tọa độ lẻ trên
trang đời hoặc trong không thời gian và xét các phép biến đổi qua lại giữa các tọa độ
không – thời gian, tọa độ boson, với các tọa độ siêu đồng hành spinơ của chúng. Lý
thuyết dây chứa siêu đối xứng đƣợc gọi là lý thuyết siêu dây. Lý thuyết siêu dây có rất
nhiều ƣu điểm. Số chiều tới hạn của không – thời gian chỉ còn là D  10 . Trong lý
thuyết siêu dây có cả trƣờng tƣơng tác boson và trƣờng vật chất fermion, các phân kỳ
xuất hiện trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử thông thƣờng đều đƣợc tự loại bỏ, bởi vì, bậc
tự do boson và fermion là bằng nhau và sự đóng góp vào phân kỳ của hai loại trƣờng
boson và fermion có giá trị bằng nhau và trái dấu.
Khi ta lƣợng tử hóa lý thuyết siêu dây chúng ta có năm phƣơng án để mô tả lý
thuyết trƣờng siêu dây. Đó là: lý thuyết dây loại I, lý thuyết dây IIA, lý thuyết dây IIB,

1


lý thuyết dây lai (heterotic): HO với nhóm chuẩn là E8  E8 và HE với nhóm chuẩn là
SO(32) . Năm phƣơng án này, thông qua khái niệm đối ngẫu, chúng đƣợc coi là những
thể hiện các mặt khác nhau của một lý thuyết dây thống nhất gọi là M – theory. Trong
lý thuyết siêu dây loại I dây cơ bản là siêu dây mở, trong những lý thuyết siêu dây còn
lại, trong đó có siêu dây loại II, siêu dây cơ bản là đóng. Tuy nhiên, trong siêu dây loại
II vẫn tồn tại những dây mở tƣơng tác với dây cơ bản, gọi là các p-brane.
Do đó trong luận văn này, tôi chọn đề tài nghiên cứu: Lý thuyết dây loại II, bởi

vì nó chứa đựng những nét tinh túy nhất của lý thuyết dây và hiện đang là những đối
tƣợng đƣợc quan tâm nhiều nhất.
Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
gồm có 3 chƣơng, cụ thể:
Chƣơng 1: Cơ sở lý thuyết dây
Chƣơng 2: Trƣờng dây
Chƣơng 3: Lý thuyết dây loại II

2


CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY
1.1.

Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson

Trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử, hạt cơ bản đƣợc coi là hạt điểm không kích thƣớc,
trong khi với lý thuyết dây, đối tƣợng cơ bản là một dây (sợi dây – string). Chúng có
kích thƣớc vô cùng nhỏ (cỡ kích thƣớc Plank ~
). Dây có hai đầu trùng nhau
nhau gọi là dây đóng. Dây có hai đầu rời nhau đƣợc gọi là dây mở.
Tƣơng tự nhƣ hạt điểm, khi vận động trong không thời gian hạt điểm vẽ nên một
đƣờng cong một chiều gọi là “đƣờng đời” (world-line), một dây chuyển động sẽ quét
một mặt cong hai chiều, gọi là “trang đời’’ (world-sheet). Tổng quát hơn, một đối
tƣợng p chiều (p-brane) sẽ quét nên một đa tạp với số chiều p  1 gọi là “quyển đời”
(world-volum)1.
Trong mọi lý thuyết dây hiện nay, chiều của không thời gian đều lớn hơn 4, cho
nên trong luận văn này, chiều của không thời gian nói chung sẽ đƣợc ký hiệu là D .
Metric tổng quát sẽ đƣợc ký hiệu là g AB hoặc  ab , trong khi metric Minkowski (metric

phẳng) sẽ đƣợc ký hiệu bằng  . Cho không thời gian Minkowski D chiều là
 AB  diag 1, 1, 1,..., 1 , cho trang đời là   diag 1, 1 . Nói chung khi nào có thể,
ta sẽ dành chỉ số  , để chỉ không thời gian 4 chiều.
Hệ đơn vị là c   1 cho nên, mọi đại lƣợng đều hoặc không thứ nguyên, hoặc có
thứ nguyên là lũy thừa âm hoặc dƣơng của năng lƣợng.

Hình 1.1 (a) Tham số hóa đƣờng đời của một hạt.
(b) Tham số hóa trang đời của một dây mở
Trang đời đƣợc tham số hóa bằng hai đại lƣợng không thứ nguyên,  (tựa thời
gian) và  (tựa không gian), mỗi điểm của trang đời sẽ đƣợc nhúng vào không thời
gian bằng D hàm số vô hƣớng:
1

Trong một số tài liệu tiếng Việt, world-line, world-sheet đƣợc dịch thành đƣờng thế, lá thế, …, chúng tôi tránh
chữ “thế”, vốn đƣợc dùng để dịch từ potential.

3


X   X  ( ,  ),   0,1,..., D  1

Tham số

(1.1a)

biến thiên trong miền sau đây:
    
0  

(1.1b)

Có thể coi hai tham số  ,  là thành phần của một vector hai chiều   (  0,1) trên
trang đời:
 0   ,  1   , d 2  d d

(1.1c)

1.1.1. Hàm tác dụng, nghiệm của phƣơng trình chuyển động và điều kiện ràng
buộc
Hàm tác dụng của dây cũng đƣợc xây dựng tƣơng tự nhƣ hàm tác dụng của hạt.
Trong trƣờng hợp hạt, nó tỉ lệ với độ dài của đƣờng đời, thì trong trƣờng hợp dây, nó tỉ
lệ với diện tích của trang đời:
S NG 

1

d
4  
2

h

(1.2a)

Trong đó, h   X    X  , là metric của không thời gian cảm sinh trên trang đời, 
là đạo hàm theo  hoặc  , còn h là giá trị tuyệt đối định thức h :

h  X 2 X 2   X X 

2

(1.2b)

( X là đạo hàm theo  và X  là đạo hàm theo  ),   đƣợc gọi là độ dốc Regge. Đại
lƣợng 4  thƣờng đƣợc viết là 1/ T , trong đó T là độ căng của dây (khối lƣợng trên
đơn vị độ dài, thứ nguyên 2 ).
Hàm tác dụng (1.2a) đƣợc gọi là hàm tác dụng Nambu-Goto [1]. Nguyên lý tác
dụng tối thiểu yêu cầu diện tích trang đời phải cực tiểu.
Hàm tác dụng Nambu-Goto (1.2a) mặc dù có ý nghĩa hình học rõ ràng nhƣng do
tính chất phi tuyến, chứa dấu căn bậc hai trong tích phân, nên nó gây khó khăn khi
lƣợng tử hóa. Polyakov đã đề xuất hàm tác dụng sau đây:
SP 

1

1

d  L
d
4  
4  
2

2

    X    X 

(1.3)

trong đó,

là metric trên trang đời còn   det  ab .  d 2 là độ đo bất biến, tƣơng
tự nhƣ trong lý thuyết tƣơng đối rộng. L dùng để ký hiệu Lagrangian của dây.

4


Hàm tác dụng Polyakov bất biến đối với phép biến đổi tổng quát, thƣờng đƣợc
gọi là phép tái tham số hóa hay phép vi phôi (diffeomorphism):
 D a   a ,  D X    a  a X  ,  D ab   c c ab   a c cb  b c ac

(1.4a)

và phép biến đổi Weyl:
 W ab  2 ab ,  W X   0

(1.4b)

Sử dụng tính bất biến tái tham số hóa và bất biến Weyl,  ab có thể đƣợc chọn dƣới
dạng “Minkowski”:
1

0

 ab  ab  
  diag 1, 1
 0 1

(1.5)

Metric nhƣ trên đƣợc gọi là metric chọn trong chuẩn bảo giác (conformal gauge).

Trong chuẩn bảo giác, với điều kiện biên và ban đầu thích hợp, phƣơng trình
Euler-Lagrange cho tọa độ X  sẽ là phƣơng trình “truyền sóng” một chiều:
  X    2  2  X   0

-

(1.6)

Cho dây mở, chọn điều kiện biên Neumann:
X '  0 tại   0 và   

(1.7)

Khi đó, nghiệm của phƣơng trình (1.6) sẽ có dạng khai triển Fourier:
1
X   x   2 ' p   i 2 '   n ein cos(n )
n0 n

(1.8a)

Các hệ số không đổi 2, 2 và 1/ n trong khai triển Fourier của nghiệm, thuần túy chỉ
vì sự tiện dùng sau này. Các hệ số  n đƣợc gọi là các mode dao động hay các dao
động tử. Nghiệm riêng của phƣơng trình sóng có dạng hàm mũ với số mũ là in
tƣơng ứng với hai dao động tử trái và phải. Điều kiện Neumann kéo theo dao động tử
trái và phải là bằng nhau và chúng tạo thành sóng dừng. Điều kiện thực của
sẽ kéo
theo:
 n   n 

†

Tham số
đóng vai trò là tọa độ khối tâm của dây, còn
của dây.
- Cho dây đóng, chọn điều kiện biên tuần hoàn:
X  ( ,  )  X  ( ,    )

5

(1.8b)
là xung lƣợng khối tâm

(1.9)


Khi đó, nghiệm sẽ có dạng khai triển Fourier với cả hai dao động tử trái và
phải:
X   x    ' p  


i
1
2 '  e2in  n e2in   n e2in 


2
nZ \0 n

Nhƣ vậy, trong trƣờng hợp dây đóng, hai mode dao động trái
nhau, Điều kiện thực của

kéo theo:

  
 †

( n )†   n ,  n

(1.10a)
và phải ̃


n

là khác
(1.10b)

Ta nhớ rằng, phƣơng trình (1.6) chỉ thỏa mãn trong chuẩn bảo giác, điều này
nghĩa là ta đã cố định chuẩn. Nó tƣơng đƣơng với việc chọn gauge-fixing trong lý
thuyết trƣờng lƣợng tử thông thƣờng. Để tìm điều kiện ràng buộc cho phƣơng trình, ta
xét hàm tác dụng với metric trang đời bất kỳ. Khi đó, biến phân của hàm tác dụng
Polyakov (1.3) đối với metric trang đời sẽ là:
S 

1

d d  (
4 ' 

 ) ab  X    X     ( ab ) X    X  

(1.11a)

Và dùng:
d    d     d 

(1.11b)

Ta thu đƣợc:
S 

1

d d
4 ' 



1


  X    X      X   X   (  )
2



1

d d
4 ' 

(1.12)

 T  (  )

trong đó biểu thức:
1
T   X    X      X   X 
2

(1.13)

đƣợc gọi là tensơ năng-xung lƣợng của dây. Nhƣ vậy, điều kiện để hàm tác dụng bất
biến đối với phép biến đổi metric là tensơ năng-xung lƣợng T phải không vết:
  T  T01  X . X   0, T00  T11 

1 2
X  X 2   0

2

(1.14)

Nếu thay cho biến  ,  ta dùng       , gọi là tọa độ nó sáng, tensơ T trở thành
T    X    X  và điều kiện không vết (1.14) sẽ có dạng:

6


 X 

  X   0

2

(1.15)

2

Thay biểu thức khai triển của X cho dây mở, ta thu đƣợc:

  X 

2

   Ln ein   0

(1.16)

n

trong đó:
Ln  

1
 nm .  m ,  0  2  p 

2 m

(1.17)

đƣợc gọi là mode Virasoro. Nhƣ thế nghĩa là, mode Virasoro là hệ số Fourier của tensơ
năng-xung lƣợng T . Từ điều kiện ràng buộc (1.16) suy ra:
Điều kiện để hàm tác dụng bất biến đối với phép tái tham số hóa và phép
biến đổi Weyl là mode Virasoro phải triệt tiêu:
1
(1.18)
Ln     n m .  m  0
2

m

trong đó, để đơn giản, ta dùng dấu chấm để chỉ tích vô hƣớng (với metric Minkowski
của không thời gian) giữa hai vectơ.
Tƣơng tự cho dây đóng, ta có hai điều kiện cho mode Virasoro đối với chuyển
động sang trái và mode chuyển động sang phải:
1
1
 
Ln    nm .  m  0, Ln    n m .  m  0,  0   0 
p
(1.19)
2

2

m

2

m

Từ hàm tác dụng Polyakov suy ra xung lƣợng liên hợp với trƣờng
trang đời:
P 

L


 ( X )



1
2 '

 X 

trên

(1.20)

Nhƣ thƣờng lệ, móc Poisson của tọa độ và xung lƣợng thỏa mãn hệ thức “đồng thời
gian”

 X  ,  , P  ,    X  ,  , P  ,         ;
 X  ,  , X  ,   0; P  ,  , P  , 

















PB



(1.21)

Từ đó suy ra hệ thức móc Poisson cho các mode dao động:

x



, p     ,  m , n   im   mn,0

cho dây mở, và:

7

(1.22a)


x



, p     ,  m , n   im   mn,0 ,  m , n   im   mn,0 ,  m , n   0

(1.22b)

cho dây đóng.
Từ các móc Poisson cho các mode dao động, suy ra móc Poisson cho các mode
Virasoro:

L , L    m  n  L

Lm , Ln    m  n  Lmn ,

m

n

m n

(1.23)

Hệ thức (1.23) đƣợc gọi là đại số Witt hay đại số Virasoro cổ điển. Sự tồn tại
đại số Witt chứng tỏ rằng, ngoài phép vi phôi  D ab và phép biến đổi Weyl  W ab một

cách riêng rẽ, hàm tác dụng còn bất biến đối với phép biến đổi làm bất biến metric:

 D   W   ab  0
Đó là đối xứng tồn dƣ sau khi chọn metric bảo giác. Đối xứng tồn dƣ này đƣợc gọi là
đối xứng bảo giác và mode Virasoro chính là vi tử sinh của đối xứng bảo giác và đại số
Witt (1.23) là đại số Lie của đối xứng này.
1.1.2. Bất biến Poincaré
Hàm tác dụng (1.3) phải bất biến đối với nhóm biến đổi toàn xứ Poincaré:
X    X   b , T g   g

(1.24)

Khi   1 , ta có phép tịnh tiến, còn khi b  0 , ta có phép biến đổi Lorentz.
Đối với phép tịnh tiến:
 X   b ,  SP 

1

2  

d 2   ab  ab   b X 

(1.25)

Suy ra, dòng Noether năng xung lƣợng sẽ là:
Pa 

1
2 

a X 

(1.26)

Từ phƣơng trình chuyển động suy ra dòng này bảo toàn. Khi đó, sử dụng (1.8a) cho
X  , ta thu đƣợc toán tử sinh cho năng xung lƣợng:



 P0 d 
0

1



2  0

d 0 X   p 

(1.27)

Nhƣ vậy, hệ số p  trong khai triển của hàm X  đƣợc coi là xung lƣợng khối tâm của
dây.
Sự liên hệ giữa khối lƣợng và moment năng xung lƣợng:

8


M 2  p  p

(1.28)

Mặt khác, cho dây mở theo (1.17), p    0 / 2  :
L0  



1 
1
2


.




.



.




M

 m .  m

 m m 2 0 0 

m
m
2 m
m 1
m 1

(1.29)

Nhƣ vậy, từ điều kiện cho mode Virasoro L0  0 , kéo theo:
M2 

1 
1 

.




 g   
  m1  m m
  m1   m m

(1.30)

Biểu thức bên phải của (1.30), liên quan đến số trạng thái của dây. Đối với phép biến
đổi Lorentz vi phân   1  a :
 X   a X  ,  S P 



1

2  

d   
2

ab

1

2  

d 2   ab  a  a X    b X  g 








(1.31)

 a a X  b X  a  a X  b X 

Số hạng thứ hai bằng không do là tích của hai đại lƣợng đối xứng và phản đối xứng đối
với cặp chỉ số  , . Số hạng thứ nhất có phần khác không là:

 Sp 

1

d 
4  
2

    a  X    X   X    X  

(1.32)

Suy ra, dòng Noether moment góc có dạng:
J 

1
4 

X



 X   X    X  

(1.33)

Khi đó, sử dụng X  từ công thức (1.8a) cho dây mở, ta thu đƣợc toán tử sinh cho
moment góc:




Q    d J 0   x  p  x p    

1  
  m m    m m 

m 1 m

0

(1.34)

Hamiltonian cho dây có dạng:


H   d  X  P  L  
0





d  X
4  
1

2

 X 2 

0

Sử dụng biểu thức của X  và so sánh với (1.17) và (1.19) suy ra: Cho dây mở:

9

(1.35)


H 

1 
 n .  n  L0
2 n 1

(1.36)

Còn cho dây đóng ta cũng có kết quả tƣơng tự, sử dụng định nghĩa (1.19)
 
 0   0 
p :
2




H     n .  n    n .  n   2 L0  L0
n 1



(1.37)

1.1.3. Lƣợng tử hóa dây boson
Lƣợng tử hóa dây cũng đƣợc thực hiện theo quy tắc lƣợng tử hóa của hệ có ràng
buộc trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử.
Có hai cách lƣợng tử cơ bản, đó là áp đặt trƣờng tọa độ
và xung lƣợng
liên hợp (1.20) với chúng thành các toán tử Hermitian tác dụng trong không gian Fock
các trạng thái của dây. Giao hoán tử của chúng đƣợc suy ra từ móc Poisson theo quy
tắc:

 A, B  i  Aˆ , Bˆ 

(1.38)

Thêm nữa, thay cho điều kiện ràng buộc đối với toán tử Virasoro, Lˆn  0 , ta chỉ yêu
cầu nhẹ hơn, đó là, chỉ với các trạng thái vật lý của không gian Fock:





Lˆn   0, n  0 và Lˆ0  a   0
trong đó a là một số cần xác định. Điều này giống nhƣ cách thức Gupta-Bleuler thay
điều kiện Lorentz   A  0 trong điện động lực học lƣợng tử bằng yêu cầu chỉ thành
phần ứng với tần số dƣơng của toán tử   A là triệt tiêu các trạng thái photon vật lý.
Cách lƣợng tử hóa thứ hai, có ý nghĩa hình học rõ ràng hơn, đó là lƣợng tử hóa
BRST [20]. Theo cách này, ngƣời ta đƣa vào trƣờng ma Faddeev-Popov và xét không

gian Fock rộng hơn, bao gồm các các trạng thái ma và phản ma. Do yêu cầu hạn chế
đối với luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ đi sâu vào phƣơng pháp thứ nhất trong chƣơng II
của Luận văn này..
Nhƣ vậy, ta xét các hệ thức giao hoán chính tắc đồng thời gian (để đơn giản ta
bỏ dấu mũ trên các toán tử):
 X  ( ,  ), Pv ( ,  ')   i v (   ')

 X  ( ,  ), X v ( ,  ')   0

10

(1.39)


 P  ( ,  ), Pv ( ,  ')   0

Từ (1.39) suy ra hệ thức giao hoán giữa các mode dao động tử nhƣ sau:
Đối với dây mở:

 x  , p   i  ,  m ,n   m   mn,0

(1.40)

Đối với dây đóng:

 x  , p   i  ,  m , n   m   m n,0 ,

(1.41)

 m , n   m   m n,0 ,  m , n   0

Nếu ký hiệu  bằng a theo quy tắc:
 mi  ma,  i m  ma† , m  0
Thì:

 a, a†   1
Hệ thức này đúng nhƣ hệ thức giao hoán giữa các dao động tử điều hòa trong cơ học
lƣợng tử. Vì lẽ đó, các mode dao động tử
,̃
(với
) đƣợc xem là các toán
tử sinh trạng thái hạt và
, ̃ (
) đƣợc xem là các toán tử hủy trạng thái hạt.
Tƣơng tự, toán tử:

N 


1 


g




nan† . an


  n n

2 n
n 1

(1.42)

đƣợc định nghĩa nhƣ toán tử số hạt. Các giá trị riêng của N là những số nguyên không
âm.
Trạng thái cơ bản, tƣơng ứng với N  0 , là trạng thái chân không 0, k thỏa mãn
điều kiện:
p  0, k  k  0, k , am 0, k  0, m  0

(1.43)

Khi đó, mọi trạng thái kích thích của không gian Fock sẽ có dạng:
  am †am †
1

2

1

2

amnn † 0, k , mk  0

(1.44)

Do chƣa đặt các điều kiện ràng buộc, không phải mọi trạng thái đều có ý nghĩa
vật lý. Ví dụ, xét trạng thái   an0† 0; k . Chuẩn của nó là:
0 am0 am0† 0  0 am0 , am0†  0   00 0 0   0 0

11

(1.45)


Điều này nghĩa là, nếu chọn trạng thái cơ bản có chuẩn dƣơng thì  sẽ có chuẩn âm.
Trạng thái có chuẩn âm đƣợc coi là không có ý nghĩa vật lý. Chúng thƣờng đƣợc gọi là
trạng thái tachyon hay siêu quang, vì chúng có tốc độ lớn hơn tốc độ ánh sáng. Khối
lƣợng của hạt là giá trị riêng của toán tử M 2 . Chẳng hạn, ở trạng thái  , giá trị riêng
của toán tử khối lƣợng sẽ là:
1
1
g  am am an0† 0    g  am  am , an0†  0

 m
 m
1
n
n
   g  am mg 0 m n ,0 0   a0m mn ,0 0   
 m


M2  

(1.46)

Nhƣ vậy, khối lƣợng của hạt tƣơng ứng với trạng thái  là thuần ảo, nghĩa là, nó là
trạng thái tachyon. Và một trong những công việc cần thiết của lý thuyết dây là tìm cơ

chế để loại bỏ trạng thái tachyon.
Các mode Virasoro trở thành toán tử Virasoro. Tuy nhiên, chúng không thỏa
mãn đại số Witt (1.23) mà thỏa mãn đại số Virasoro lƣợng tử, có thêm số hạng dị
thƣờng. Chẳng hạn, cho dây mở, có thể tính trực tiếp:

Lm , Ln    m  n  Lmn 

c
m  m2  1  m, n
12

(1.47)

trong đó, xuất hiện một số hạng dị thƣờng chứa tham số c . Số hạng này xuất hiện do
thứ tự của các mode dao động chƣa đƣợc xác định định khi chuyển từ biểu thức cổ điển
sang toán tử lƣợng tử. Nếu ta lấy thứ tự của tích chuẩn, nghĩa là, toán tử sinh đứng bên
phải của toán tử hủy, làm chuẩn khi định nghĩa Ln :
 1   
 2   m n m , khi n  0
1   
1   
 m
Ln     mn m  Ln   :   mn m :  

2 m
2 m
 1
 m mn , khi n  0
 2 m


(1.48)

thì khi n  0 ta phải xắp xếp lại.
Để tránh sự bất định này, cũng nhƣ trong trƣờng hợp QED, ta sẽ thay điều kiện
Ln  0 , n , bằng điều kiện: Với mọi trạng thái vật lý  :
Ln    L†n  0, n  0

 L0  a  

0

(1.49)

trong đó a là một hằng số. Điều kiện thứ hai thƣờng đƣợc gọi là điều kiện mặt khối
(mass-shell). Đây là điều kiện Gupta-Bleuler cho lý thuyết dây.

12


Do tính bất biến bảo giác, ta có thể chứng minh rằng, không phải tất cả D tọa độ
của một điểm trên trang đời đều độc lập, chúng luôn đƣợc tách thành một thành phần
“thời gian”, một thành phần “dọc” và D  2 thành phần ngang, và chỉ những thành
phần ngang mới đƣợc coi là những bậc tự do độc lập cần phải lƣợng tử hóa. Cách làm
này đƣợc gọi là lƣợng tử hóa nón sáng. Khi đó, đặt:

X    X 0  X D1  / 2

là thành phần thời gian và dọc, và

X i , i  1,2,..., D  2
là những thành phần ngang. Dùng tính bất biến bảo giác, ta có thể đặt thêm điều kiện
cho X  , đó là X   x   2  p  và do đó,  n  0, n  0 . Từ điều kiện ràng buộc
Virasoro ta giải ra mode dao động  n . Kết quả là ta chỉ còn D  2 mode dao động  i
là độc lập và [20]:
D 2 

 M 2   :  i m  mi :  a  N  a

(1.50a)

i 1 m 1

Công thức này đƣợc thay cho công thức khối phổ (1.30) của dây và toán tử số hạt
(1.42) cũng đƣợc thay bằng:
N 

1 D 2 
:  i m .  mi :


2 i 1 m

(1.50b)

Trạng thái kích thích đầu tiên sẽ thu đƣợc từ việc tác dụng toán tử sinh
 , n  0 lên trạng thái chân không. Vectơ  i 1 0; k thuộc biểu diễn vectơ của nhóm
i
n

SO  D  2  . Ta biết rằng, tính bất biến Lorentz kéo theo hạt vectơ không khối lƣợng

thuộc biểu diễn của nhóm SO  D  2  , (giống nhƣ photon), còn hạt vectơ có khối

lƣợng thuộc biểu diễn của nhóm SO  D  1 [26], [18]. Từ đó suy ra,  i 1 0; k phải
tƣơng ứng với hạt không khối lƣợng. Theo (1.50a), cho trƣờng hợp N  1 :

a 1
Tìm điều kiện đối với chiều D  26 của không thời gian có phức tạp hơn. Có
nhều cách để thu đƣợc kết quả trên. Sau đây, ta tìm nó từ điều kiện a  1 và hệ thức
lƣợng tử hóa của các dao động tử.
Thực vậy, sự xuất hiện của a là vì trong biểu thức của L0 , ta không xác định
đƣợc thứ tự của các mode dao động. Để tìm hệ số a , nếu chọn một thứ tự tích chuẩn
làm chuẩn, thì một nửa trong biểu thức cổ điển của L0 đã đƣợc thỏa mãn, nửa còn lại
để về tích chuẩn, ta cần đổi thứ tự các dao động tử. Theo hệ thức giao hoán (1.41), ta
có:

13


L0  


1 D 2  i
1
  n .  ni  N   D  2   n  N  a


2 i 1 n
2

n 1

Tổng theo n là phân kỳ, tuy nhiên, sau khi chính quy hóa (regularizatin), bỏ phần vô
hạn, phần hữu hạn sẽ bằng 1/12 . Nhƣ vậy:
1
a  1   D  2   D  26
24
Từ công thức (1.50a):
D 2 

 M 2    i m .  mi  1  N  1
i 1 m 1

Suy ra những trạng thái khối lƣợng đầu tiên của dây mở sẽ là [22]:
N = 0 trạng thái 0;k , với khối lƣợng là:  M 2  1. Nhƣ vậy, trạng thái chân
không của dây boson là tachyon.
Việc a  1 và D  26 suy ra, đóng góp của mỗi bậc tự do boson vào năng lƣợng
của trạng thái chân không là 1/ 24 .
N = 1,  i 1 0; k là vectơ boson mô tả trạng thái không khối lƣợng. Vectơ này có
24 thành phần và là biểu diễn vectơ của nhóm SO  24  .
N = 2 , những trạng thái có khối lƣợng khác không đầu tiên là:
 i 2 0; k   i 1 i 1 0; k

với khối lƣợng  M 2  1 . Trạng thái tƣơng ứng với vectơ boson có 24 thành phần,
trạng thái tƣơng ứng với phần thứ hai là đối xứng đối với cặp chỉ số i, j (công thức
(1.40)). Vì thế, số thành phần độc lập chỉ là:
 D  2 D  1  24  25  300
2
2
Nhƣ vậy, tổng số thành phần tƣơng ứng với mức khối lƣợng này là 324 . Nó đúng bằng

số thành phần của một biểu diễn tensơ cấp 2 đối xứng và không vết của SO  25 :
25  26
 1  324
2
Nghĩa là, trong phổ của dây ở mức khối lƣợng  M 2  1 , có chứa trạng thái đơn hạt,
với spin bằng 2. Hiển nhiên, trạng thái này là vật lý vì có chuẩn dƣơng. Chúng đều
đƣợc xây dựng từ các thành phần ngang của mode dao động dây.
Đối với dây đóng, ta có hai tập hợp các mode dao động: dao động sang phải và
sang trái. Phổ của chúng có thể suy ra từ trƣờng hợp dây mở bởi vì trạng thái dây đóng
là tích trực tiếp của mode phải và trái, trong đó, mỗi thừa số có cấu trúc nhƣ của trạng
thái dây mở. Khối lƣợng của các trạng thái thuộc phổ dây đóng sẽ là:
 M 2  4  N  1  4 N  1



14




Các trạng thái ở mức khối lƣợng đầu tiên là:
N = 0 đó là trạng thái 0;k , với khối lƣợng là:  M 2  4 . Đó vẫn là tachyon.
N = 1,  ij   i 1 i 1 0; k là tập hợp gồm 242  576 thành phần boson mô tả
trạng thái không khối lƣợng. Tensơ  ij đƣợc tách thành tổng trực tiếp của tensơ đối
xứng không vết, vết và tensơ phản đối xứng:



ij

 ij
 ij
 ij
ij
ij 


sp   
sp  ij    
D2

 D2

(1.51)

Phần tensơ đối xứng hạng 2 không vết là trƣờng graviton, phần vô hƣớng tƣơng ứng
với vết đƣợc gọi là trƣờng dilaton. Phần tensơ hạng 2 phản đối xứng sẽ đƣợc đoán
nhận trong Chƣơng III nhƣ là trƣờng axion, khi xét đến lý thuyết dây loại II.
1.2.

Lý thuyết siêu dây cổ điển

Điều kiện D  26 đối với chiều của không thời gian và sự không có mặt trạng thái
fermion chứng tỏ rằng, dây boson không thể là một lý thuyết thực tiễn. Ta sẽ chứng tỏ
rằng, trong lý thuyết siêu dây dựa trên việc siêu đối xứng hóa dây boson sẽ chứa cả
fermion lẫn boson, đồng thời số chiều tới hạn của không thời gian giảm xuống chỉ còn
D  10 .
1.2.1. Siêu đối xứng trên trang đời
Để siêu đối xứng hóa dây boson, ta có hai cách tiếp cận.
Một trong số những cách tiếp cận đó đƣợc gọi là hình thức luận Green-Schwarz

(GS). Theo hình thức luận này, ta sẽ xét nhóm siêu đối xứng của không thời gian và từ
đó suy ra sự tồn tại của siêu trƣờng trong trang đời. Ta cũng không xét đến cách tiếp
cận này trong luận văn.
Cách tiếp cận thứ hai mà ta sẽ trình bày trong luận văn đƣợc gọi là hình thức
luận Ramond-Neveu-Schwarz (RNS). Theo hình thức luận này, trên trang đời, ngoài
tọa độ

mà ta gọi là tọa độ chẵn, ta còn có  A , A  1, 2 , gọi là các tọa độ lẻ. Khi

đó, ngoài D tọa độ dây vô hƣớng Lorentz X  , ta còn có D tọa độ dây vô hƣớng
Lorentz khác,

, gọi là bạn đồng hành fermion của X  . Trên trang đời,

là các spinơ 2 thành phần phản giao hoán:

15


 a ( ,  ), a  1, 2,   1, 2,..., D

Ngoài ra, chúng còn thỏa mãn điều kiện thực (điều kiện Majorana):
(  † )a  ( a )†   a†

Số thành phần độc lập của một spinơ là 2  2D /2 vì có chứa cả phần thực lẫn
phần ảo. Điều kiện Majorana có ý làm cho số bậc tự do fermion giảm đi một nửa chỉ
còn là 2D /2 . Tuy nhiên, nếu diễn tả “hạt” bằng spinơ Majorana, khối lƣợng của nó phải
bằng không. Điều này sẽ dẫn đến việc xét cơ chế Higgs để tạo khối cho hạt.
Phép biến đổi siêu đối xứng trên trang đời sẽ trộn lẫn tọa độ boson và fermion.
Trƣớc hết, ta xét siêu đối xứng toàn cục (global), với tham số biến đổi  không phụ

thuộc vào tọa độ  ,  của trang đời. Đến khi cần tìm điều kiện ràng buộc, ta sẽ xét
đến phép biến đổi siêu đối xứng định xứ (local)     ,  .
Để tìm hàm tác dụng bất biến siêu đối xứng toàn cục, ta đƣa thêm vào tọa độ
phụ boson B  . Khi đó, số tọa độ boson mới cân bằng với số tọa độ fermion.
Xét phép biến đổi siêu đối xứng sau đây:
X   X    

B   B      

     i X  (    )  B  


(1.52a)



   i X  (  )   B 

trong đó,  là tham số spinơ Majorana phản giao hoán cực vi,  a là ma trận Dirac
2 2 :
 0 i 
0 i 
1
;   

0
 i 0

0  
i

thỏa mãn đại số Clifford:

16

(1.52b)






,     2 

(1.53)

Ta thấy rằng, hàm tác dụng thỏa mãn điều kiện bất biến đối với phép biến đổi siêu đối
xứng (1.52a) có thể chọn dƣới dạng sau đây:
S

1

d  (
4 ' 
2





X   X   i      B  B )

(1.54)

Trong Lagrangean trên đây không chứa đạo hàm đối của tọa độ phụ, vì thế, từ phƣơng
trình Euler-lagrange cho trƣờng B  :
B  0

Kéo theo, ngay từ ban đầu, ta có thể đặt
xứng cho dây có thể chọn là:
S

1

d  (
4 ' 
2



(1.55)
và hàm tác dụng bất biến siêu đối



X   X   i     )

(1.56)

1.2.2. Siêu dây cổ điển

Với hàm tác dụng (1.56), tất cả các kết quả đã thu đƣợc cho dây boson vẫn còn
đúng trong trƣờng hợp siêu dây và do đó, ta chỉ cần đi tìm các nghiệm đối với các tọa
độ fermion. Đối với các tọa độ fermion, áp dụng phƣơng trình Euler-Lagrange, chúng
ta thu đƣợc phƣơng trình chuyển động cho
:
     0

(1.57)

Đó chính là phƣơng trình Dirac cho hạt có khối lƣợng bằng không.
Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp dây boson, đối với siêu dây mở, ngƣời ta đặt các
điều kiện biên, còn đối với siêu dây đóng, ngƣời ta đặt điều kiện tuần hoàn hoặc phản
tuần hoàn. Điều kiện biên đối với tọa độ boson không thay đổi. Đối với tọa độ fermion,
để tích phân trên biên triệt tiêu:
S

 d  




   

 

       

 0



ta cần đặt điều kiện giữa các thành phần khác nhau của   ở từng đầu của dây.
Lý thuyết cho siêu dây đóng mặc dù có hình thức phức tạp hơn nhƣng thực chất,
nó chỉ là tích tensơ của hai lý thuyết siêu dây mở.
a. Điều kiện cho nghiệm siêu dây mở

17


Vì dấu tƣơng đối giữa các thành phần
tại
là:

chỉ là quy ƣớc nên ta đặt điều kiện

 1 ( ,0)   2 ( ,0)

-

(1.58)

Điều kiện Neveu-Schwarz (khu vực NS):
 1 ( ,  )   2 ( ,  )

-

(1.59)

Điều kiện Ramond (khu vực R):
 1 ( ,  )   2 ( ,  )

(1.60)

Nghiệm của phƣơng trình (1.57) thỏa mãn các điều kiện biên (1.58) - (1.60) có biểu
thức khai triển tổng quát nhƣ sau:
-

Khu vực NS:
 1 ( ,  ) 

1
br eir (  ) ;

2 rZ  1

(1.61)

2

 2 ( ,  ) 

1
br eir (  )

2 rZ  1
2

-

Khu vực R:

Trong đó

 1 ( ,  ) 

1
d n ein (  ) ;

2 nZ /0

 2 ( ,  ) 

1
d n ein (  )

2 nZ /0

đƣợc gọi là các siêu dao động tử. Do
br †  br dn †  dn

(1.62)

là Majorana nên:
(1.63)

Ta sẽ dùng m, n,.. để chỉ số nguyên và r , s,.. để chỉ số bán nguyên. Nhƣ vậy, khu vực
NS, ta có b -dao động tử, với chỉ số bán nguyên, còn trong khu vực R, ta có các d -dao
dộng tử, với chỉ số nguyên.
b. Điều kiện cho nghiệm siêu dây đóng

18


Với siêu dây đóng thì điều kiện biên có thể là tuần hoàn (R):
 a ( ,    )   a ( , )

hoặc phản tuần hoàn (NS) nhƣ sau:
 a ( ,    )   a ( ,  )

Do đó, khi ghép cặp, ta phân biệt bốn khu vực sau đây:
-

Khu vực NS – NS
 1 ( ,    )   1 ( ,  )
 2 ( ,    )   2 ( ,  )

-

(1.64a)

Khu vực NS – R
 1 ( ,    )   1 ( ,  )
 2 ( ,    )   2 ( , )

-

Khu vực R – NS
 1 ( ,    )   1 ( , )

 2 ( ,    )   2 ( ,  )

-

(1.64b)

(1.64c)

Khu vực R – R
 1 ( ,    )   1 ( , )
 2 ( ,    )   2 ( , )

(1.64d)

Các nghiệm của phƣơng trình Dirac (1.57) thỏa mãn các điều kiện biên (1.64a) (1.64d) có biểu thức khai triển tổng quát nhƣ sau:
- Khu vực NS – NS :
 1 ( ,  ) 

1
br e2ir (  ) ;

2 rZ  1
2

 2 ( ,  ) 


1
br e2ir (  )

2 rZ  1

2

-

Khu vực NS – R :

19

(1.65a)


 1 ( ,  ) 

1
br e2ir (  ) ;

2 rZ  1

(1.65b)

2

 2 ( ,  ) 

-


1
d n e2in (  )


2 nZ /0

Khu vực R – NS :
 1 ( ,  ) 

 2 ( ,  ) 

1
d n e2in (  ) ;

2 nZ /0

(1.65c)


1
br e2ir (  )

2 rZ  1
2

-

Khu vực R – R :
 1 ( ,  ) 
 2 ( ,  ) 

Từ điều kiện Majorana của
̃
̃ :

1
d n e2in (  ) ;

2 nZ /0

(1.65d)


1
d n e2in (  )

2 nZ /0

dẫn đến các điều kiện của các siêu dao động tử
†



†



br †  br ; br  b r ; dn †  dn ; d n  d  n

(1.66)

Nhƣ vậy, trong khu vực NS, ta có các mode b -dao động tử, còn trong khu vực R, ta có
d -dao động tử.
1.2.3. Điều kiện ràng buộc của siêu dây-Các toán tử siêu Virasoro

1.2.3.1. Tensơ năng-xung lƣợng
Chú ý rằng, hàm tác dụng (1.57) đƣợc viết trong chuẩn bảo giác. Tuy nhiên, để
tìm điều kiện ràng buộc, chọn chuẩn bất biến tái tham số hóa và lấy biến phân theo
phép biến đổi Weyl đối với metric của trang đời. Khi đó, cũng nhƣ trƣờng hợp dây
boson, tính bất biến của hàm tác dụng đối với phép biến đổi Weyl sẽ kéo theo tensơ
năng-xung lƣợng:
i 
i 
T   X    X            
4
4

phải là không vết:

20

(1.67)